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Aula 06 Transformada de Laplace Seja um sinal cuja expressão no tempo é dada por f (t). A Transformada de Laplace de f, representada por F(s), é definida como . A Transformada de Laplace é definida acima apenas a partir do instante , razão pela qual é conhecida como Transformada de Laplace Unilateral. Para nós, a transformada unilateral é suficiente porque os sinais que consideraremos serão sempre iguais a zero para . Repare que a integral na definição da Transformada é própria, de modo que o resultado da integração não é mais uma função do tempo, mas uma função da nova variável s. A variável s é na verdade um número complexo que pode ser, então, expresso como a soma de uma parcela real mais uma parcela imaginária: . Como consequência, temos que . Em resumo, a Transformada de Laplace leva o sinal no tempo f(t) para o domínio complexo na variável s. Mas será que existe alguma interpretação para esse domínio complexo? Em coordenadas cartesianas, por exemplo, como determinamos a componente de um vetor v no eixo do x? Fazendo o produto escalar v.i, onde i é o vetor ortogonal diretor referente ao eixo x. Podemos conceber a transformada de Laplace de uma forma análoga: o termo corresponde a um vetor ortogonal associado à variável (“eixo”) s. Porém, como o tempo t é infinito, precisamos somar as infinitas contribuições de cada instante de tempo. Então, a Transformada de Laplace pode ser vista como o “produto escalar” entre o sinal f(t) e os infinitos vetores ortogonais , o que representa calcular o valor da componente de f(t) no novo “eixo” s, que define o novo domínio. A transformada releva então que: “Cada sinal no tempo pode ser visto como o somatório de infinitas contribuições do tipo , onde cada contribuição representa um termo senoidal amortecido ( ).” Sinais elementares No estudo da aplicação da Transformada de Laplace a sistemas dinâmicos, alguns sinais desempenham um papel primordial. Isso porque representam sinais elementares a partir do qual conseguimos construir uma série de outros sinais mais complexos. O primeiro deles é a função degrau unitário, descrita por 1 f(t) Sinal no tempo F(s) Função no domínio da variável s Transformada de Laplace 1 0 t O degrau é frequentemente utilizado na descrição de outros sinais. Por exemplo, seja o sinal abaixo: Este sinal pode ser descrito pela soma de dois degraus: . Outro sinal muito importante é o impulso, que pode ser descrito por (1) Na verdade, o impulso não pode ser considerado como uma função. Para nós, entretanto, a descrição (1) acima será suficiente. O impulso possui a chamada propriedade de filtragem, que diz que (2) Essa propriedade será utilizada na sequência. A Transformada de Laplace de alguns sinais elementares A primeira transformada a ser calculada é a do impulso: , onde utilizamos a propriedade de filtragem definida em (2). Módulo da Transformada de Laplace do impulso unitário, Outra transformada importante que calcularemos é a do degrau: 2 5 0 t 2 4-10 0 t Módulo da Transformada de Laplace do degrau unitário, Podemos calcular também a transformada da exponencial decrescente, muito importante no estudo de sistemas dinâmicos: Módulo da Transformada de Laplace de Outra transformada importante é a da senóide, particularmente fundamental para circuitos elétricos: Módulo da Transformada de Laplace de 3 Propriedades da Transformada de Laplace Veremos agora algumas propriedades que a Transformada de Laplace obedece, qualquer que seja a função f (t). Multiplicação por uma constante Adição Derivação Podemos utilizar a integração por partes para resolver a integral acima. Fazendo e , temos: Para que a transformada exista, temos que ter , de modo que Seja agora . Suponha que queremos determinar a transformada de . Temos que . Logo, O raciocínio pode ser estendido para as derivadas superiores: Integração Podemos utilizar a integração por partes para resolver a integral acima. Com e temos: e 4 Então, Para que a transformada exista, temos que ter , de modo que . Deslocamento no Domínio do Tempo Mudando a variável de integração, fazendo , temos Deslocamento no Domínio da Frequência Por exemplo, vimos que . Assim, a transformada de pode ser vista como um deslocamento na frequência em relação à transformada do degrau: Mudança de Escala Por exemplo, se soubermos que , poderemos rapidamente calcular . Exemplo 1 Queremos calcular a transformada da rampa amortecida: . Solução Sabemos que a transformada do degrau é . Pela propriedade da integração, a transformada da rampa é dada por: Pela propriedade do deslocamento na frequência, a transformada da rampa amortecida é então: . 5 Aplicação da Transformada de Laplace em Sistemas Dinâmicos Vamos determinar a equação diferencial associada ao circuito RLC paralelo abaixo. Circuito RLC paralelo Em t=0 a chave é aberta, de modo que a corrente fornecida para o paralelo pode ser expressa por . Pela LKC, temos que: Podemos aplicar a Transformada de Laplace aos dois lados da equação que a igualdade continua valendo: Utilizando as propriedades da aditividade e homogeneidade da Transformada, temos Considerando o capacitor descarregado em , temos . Logo, , ou seja, Então, Repare que se soubermos como “voltar” com o sinal V(s) para o domínio do tempo de modo a determinarmos v(t), então teremos analisado o circuito elétrico sem ter que resolver a equação íntegro-diferencial. Podemos, então, destacar dois grandes atrativos da Transformada de Laplace: 1o – Permite analisar um sistema mecânico ou circuito elétrico utilizando apenas equações algébricas, sem a necessidade de se resolver as equações diferenciais; 2o – Fornece uma interpretação frequencial para os sistemas dinâmicos que permite um entendimento mais amplo dos mesmos. 6 Idc LC R Exemplo 2 Vamos supor que o circuito acima é um apenas um RL paralelo, ou seja, faremos C=0. Então, Nessa situação, podemos facilmente encontrar a transformada inversa de v(t). Isso porque V(s) possui uma forma conhecida. Como sabemos que podemos então afirmar que Obviamente que esse resultado é o mesmo que encontraríamos se resolvêssemos a equação diferencial. Exemplo 3 Considere o sistema mecânico abaixo, já visto em aula anterior. A força externa f(t) aplicada à massa m1 corresponde à entrada do sistema, xP é o deslocamento vertical da massa e xQ o deslocamento vertical do ponto Q. Na ocasião, determinamos as equações de movimento (modelo matemático) para o sistema como sendo constituído de duas equações diferenciais: Vimos que uma dificuldade em se analisar esse sistema é que temos um sistema de equações diferenciais acopladas. Ou seja, não podemos resolver as equações sucessivamente, mas precisamos resolvê-las simultaneamente. Como veremos a seguir, a Transformada de Laplace facilita essa resolução. Por uma questão de simplicidade, vamos supor que o sistema esteja em equilíbrio. Ou seja, as condições iniciais de posição e velocidade são nulas. Aplicando a Transformada de Laplace na primeira equação temos: , , , , e finalmente, (Eq.1). 7 Repetindo o mesmo procedimento para a segunda equação diferencial, temos , , , , e finalmente, (Eq.2). Note que podemos substituir a expressão de XQ(s) da Eq. 2 na Eq. 1: , , , Mais uma vez, se soubermos como calcular a Transforma de Laplace inversa de XP(s), então obteremos a expressão de xP(t) e teremos resolvido o problema de análise. Observe que por uma simples substituição de variáveis (da expressãode XQ(s) da Eq. 2 na Eq. 1) teremos resolvido o sistema de equações diferenciais acopladas. 8 Módulo da Transformada de Laplace do degrau unitário, Módulo da Transformada de Laplace de Outra transformada importante é a da senóide, particularmente fundamental para circuitos elétricos: þÿ Multiplicação por uma constante Adição Derivação Integração Deslocamento no Domínio do Tempo Deslocamento no Domínio da Frequência Mudança de Escala Exemplo 1 Solução Circuito RLC paralelo Exemplo 2
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