Exercícios de Álgebra Linear II

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Lista 6 - A´lgebra Linear II
Prof. Luciano Bedin
Em todos os exerc´ıcios abaixo, V e´ um espac¸o vetorial sobre um corpo Φ (Φ = R ou
Φ = R), V tem dimensa˜o finita.
1. Encontre os autovalores e autovetores dos operadores abaixo
a. T : R2 → R2, T (x, y) = (2y, x).
b. T : R2 → R2, T (x, y) = (x+ y, 2x+ y).
c. T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x+ y, x− y + 2z, 2x+ y − z).
d. T : R4 → R4, T (x, y, z, w) = (x, x+ y, x+ y + z, x+ y + z + w).
d. T : P2(R)→ P2(R), T (ax2 + bx+ c) = ax2 + cx+ b.
e. T : M2(R)→M2(R), T (A) = AT .
2. Encontre a transformac¸a˜o linear T : R2 → R2, tal que T tenha autovalores −2 e 3
associados aos autovetores (3y, y) e (−2y, y), y 6= 0, respectivamente.
3. Seja T : V → V linear com λ = 0 como autovalor. Prove que T na˜o e´ injetora. A
rec´ıproca e´ verdadeira?
4. Mostre que se A,B ∈ Mn(C) sa˜o invert´ıveis, o espectro de AB e´ igual ao de BA.
Mostre tambe´m que: se λ1 e´ autovalor de AB com autovetor v, enta˜o λ1 e´ autovalor
de BA com autovalor Bv; por outro lado, se λ2 e´ autovalor de BA com autovetor
w, λ2 e´ autovalor de AB com autovetor Aw.
5. Encontre os autovalores de cada matriz abaixo. Se os autovalores forem todos
reais, encontre os autovetores correspondentes com entradas reais. Se algum dos
autovalores for complexo, encontre os autovetores com entradas complexas.
a.
 1 0 2−1 0 1
1 1 2

b.

2 0 1 0
0 2 0 1
12 0 3 0
0 −1 0 0

c.

−3 −1 0 0 0 1
0 −3 −3 −3 0 −1
0 0 1 0 2 −1
0 0 0 1 −9 6
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0

d.
(
1 2
−2 1
)
6. Prove que se λ e´ autovalor de uma transformac¸a˜o linear T : V → V , λn e´ autovalor
da transformac¸a˜o T n. Use esse resultado para mostrar que se p(t) = a0 + a1t +
. . .+ ant
n e´ um polinoˆmio com coeficientes reais enta˜o, se λ e´ autovalor de T , p(λ)
e´ autovalor de p(T ).
7. Sejam S, T : V → V operadores lineares tais que S ◦ T = T ◦ S, prove que Ker(T )
e Im(T ) sa˜o invariantes por S.
8. Dado T : V → V linear e um polinoˆmio p(t) com coeficientes reais, mostre que os
subespac¸os vetoriais Ker(p(T )) e Im(p(T )) sa˜o invariantes por T .
9. Se U1, U2 sa˜o subespac¸os invariantes pelo operador linear T : V → V , prove que
U1 + U2 e U1 ∩ U2 tambe´m sa˜o invariantes por T .
10. Seja T : V → V linear invert´ıvel. Se o subespac¸o U ⊂ V e´ invariante por T , prove
que a restric¸a˜o de T a U e´ um operador invert´ıvel TU : U → U . Mostre tambe´m
que U e´ invariante por T−1.
11. Prove que se T : V → V linear e´ invert´ıvel e λ e´ autovalor de T , λ−1 e´ autovalor de
T−1. O que acontece com os autovetores?
12. Dada uma matriz invert´ıvel A ∈Mn(R) que possui λ = 3 como autovalor, encontre
um autovalor da matriz A2 + A−1 + I.
13. Quais sa˜o os autovalores e autovetores do operador de derivac¸a˜o D : P → P? Aqui
P e´ o espac¸o vetorial dos polinoˆmios com coeficientes reais.
14. Seja T : V → V linear tal que T possui como autovetor todo vetor na˜o nulo de V .
Prove que T = λI, para algum λ ∈ Φ.
(Dica: Tome uma base β = {u1, . . . , un} de V e observe que existem autovalores
λ1, . . . , λn de T tais que Tui = λiui. Considerando um vetor u =
∑
i ciui tal que,
para todo i, ci 6= 0, prove que λ1 = λ2 = . . . = λn).
15. Seja T : V → V linear tal que T 2 possui algum autovalor λ ≥ 0. Prove que T possui
autovetor. Deˆ um exemplo em que T 2 possui autovetor mas T na˜o possui.
16. Considere o operador linear T : Pn(R)→ Pn(R) definido por T (p(x)) = (x+1)p′(x) e
A sua matriz com relac¸a˜o a` base canoˆnica {1, x, . . . , xn}. Verifique se cada afirmac¸a˜o
e´ verdadeira ou falsa. Justifique.
a. O autovetor de T que corresponde ao autovalor λ = 2 tem treˆs componentes
na˜o nulas.
b. A matriz A possui n+ 1 autovalores distintos.
c. A matriz A e´ sime´trica.
17. Mostre que se T : V → V e´ linear e idempotente, isto e´, T 2 = T , os u´nicos
autovalores de T sa˜o 0 e 1.
18. Um operador T : V → V linear e´ denominado nilpotente se, para algum inteiro
positivo n, T n = 0 e T r 6= 0, para todo r ∈ {1, 2, . . . , n − 1}. Mostre que se T e´
nilpotente seu u´nico autovalor e´ 0.