Exercícios de Álgebra Linear II

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Lista 4 - A´lgebra Linear II
Prof. Luciano Bedin
1. Determine uma base do complemento ortogonal W⊥ do subespac¸o W do R5 (mu-
nido com o produto interno usual) gerado pelos vetores u1 = (1, 1, 3, 4, 1) e u2 =
(1, 2, 1, 2, 1).
2. Suponha que U e´ um subespac¸o de um espac¸o euclidiano V . Prove que U⊥ = {o}
se, e so´ se, U = V .
3. Suponha que U e´ um subespac¸o de um espac¸o euclidiano V . Prove que
dim U⊥ = dim V − dim U.
(Dica: relembre A´lgebra Linear I).
4. Seja R4 munido com o produto interno usual. Seja v = (1, 3, 5, 7), determine PW (v),
onde W e´ o subespac¸o do R4 gerado pelos vetores
u1 = (1, 1, 1, 1), u2 = (1,−3, 4,−2).
5. Ache uma base para o complemento ortogonal do seguinte subespac¸o do R3 (munido
do produto interno usual): S = [(3,−1, 2), (−1, 2, 3)].
6. Seja W = [(1, 0, 1), (1, 1, 0)] ⊂ V = R3. Encontre W⊥ considerando o seguinte
produto interno
〈(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)〉 = 2x1y1 + x2y2 + x3y3.
7. Considere o seguinte produto interno em V = R3:
〈(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)〉 = 2x1y1 + x2y2 + 4x3y3.
Seja T : V → V dada por T (x1, x2, x3) = (x3, x1 − x2,−x3), encontre W⊥ se
W = Ker(T ).
8. Considere W = [(1, 0, 0), (0, 1, 1), (1,−1,−1)] ⊂ V = R3 com o produto interno
usual. Ache W⊥ e exiba uma transformac¸a˜o linear T : V → V tal que Im(T ) = W
e ker(T ) = W⊥.
9. Seja V = R3 com o produto interno usual. Determinar a projec¸a˜o ortogonal do
vetor (−1, 1, 6) sobre o subespac¸o S = [(1, 3, 0), (−1, 2, 2)] ⊂ V .
10. Seja W = [(1, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 2), (0, 0, 0, 1)] ⊂ V = R4. Considerando o seguinte
produto interno
〈(x1, x2, x3, x4), (y1, y2, y3, y4)〉 = 2x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4
determine a projec¸a˜o ortogonal do vetor (1, 1, 1, 1) sobre W .
11. Seja V um espac¸o euclidiano.
a. Mostre que se X e´ um conjunto finito de vetores de V , enta˜o X⊥ = [X]⊥.
b. Se X ⊂ Y ⊂ V , mostre que Y ⊥ ⊂ X⊥.
12. Seja {g1, g2, . . . , gr} um conjunto ortonormal de vetores de um espac¸o euclidiano V
de dimensa˜o finita. Mostre que, se ‖.‖ e´ induzida pelo produto interno de V ,
‖u‖2 ≥
r∑
i=1
〈u, gi〉2, ∀u ∈ V.
(Desigualdade de Bessel).
13. Determinar uma base ortonormal para W e para W⊥, sendo
W = {(x, y, z, w) ∈ R4, x + y = 0 e 2x + z = y}.
Considere o produto interno usual.
14. Considerando o produto interno usual, determine a projec¸a˜o ortogonal do vetor
(1, 1, 0,−1) ⊂ R4 sobre
W = {(x, y, z, w) ∈ R4, x− y − z = 0 e z − 2w = 0}.
15. Seja V um espac¸o euclidiano. Se u ∈ V , W = [u] e T e´ a transformac¸a˜o linear que
associa a cada vetor de V sua projec¸a˜o ortogonal sobre W , mostre que
‖v − Tv‖ ≤ ‖v − w‖, ∀v ∈ V, ∀w ∈ W,
onde ‖.‖ e´ induzida pelo produto interno em V .
16. Seja V um espac¸o euclidiano e T o operador projec¸a˜o ortogonal de V sobre o subes-
pac¸o vetorial W ⊂ V . Mostre que 〈T (u), v〉 = 〈u, T (v)〉, ∀u, v ∈ V .