Lista2

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Lista 2 - A´lgebra Linear II
Prof. Luciano Bedin
1. Seja V um espac¸o euclidiano. Em cada afirmac¸a˜o abaixo, prove ou deˆ contra-
exemplo.
a. Sendo 0 o elemento neutro da adic¸a˜o em V , 0 e´ ortogonal a todo v ∈ V .
b. Se u e´ ortogonal a v, enta˜o v e´ ortogonal a u.
c. Se u e´ ortogonal a v e v e´ ortogonal a w, enta˜o u e´ ortogonal a w.
d. Se u1 e´ ortogonal a v e u2 e´ tambe´m ortogonal a v, enta˜o u1 + u2 e´ ortogonal
a v.
e. Se v e´ ortogonal a w e λ ∈ R, enta˜o λv e´ ortogonal a w.
2. Seja V um espac¸o euclidiano com norma ‖.‖ proveniente de seu produto interno.
Prove que ∀u, v ∈ V , os vetores ‖u‖v + ‖v‖u e ‖u‖v − ‖v‖u sa˜o ortogonais.
3. Seja V um espac¸o euclidiano e {u1, u2, . . . , un} ⊂ V uma base ortonormal. Prove
que, para v, w ∈ V arbitra´rios, tem-se
〈v, w〉 =
n∑
i=1
〈v, ui〉〈w, ui〉.
4. Seja u = (a, b, c) ∈ R3 (com o produto interno usual) um vetor unita´rio, com abc 6= 0.
Determine t de modo que, pondo v = (−bt, at, 0) e w = (act, bct,−1/t), os vetores
u, v e w sejam ortogonais dois a dois e tambe´m unita´rios.
5. Em cada um dos casos abaixo, determine se o conjunto u, v, w ⊂ R3 e´ ortonormal,
ortogonal ou nenhum dos dois, com relac¸a˜o ao produto interno usual.
a. u = (1, 2, 1), v = (1,−1, 1), w = (−1, 1, 2).
b. u = (a, b, c), v = (−b, a, 0), w = (−ac,−bc, a2 + b2).
c. u = 1
7
(2, 6, 3), v = 1
7
(3, 2,−6), w = 1
7
(6,−3, 2).
6. Seja V um espac¸o euclidiano e U = {u1, u2, . . . , un} uma base desse espac¸o. Suponha
que, para todo v = x1u1 + x2u2 + . . . + xnun, tenhamos ‖v‖2 = x21 + x22 + . . . + x2n.
Prove que a base U e´ ortonormal.
7. Seja V um espac¸o euclidiano com norma ‖.‖ proveniente de seu produto interno.
Mostre que se u, v ∈ V satisfazem ‖u+ v‖ = ‖u− v‖, enta˜o u e v sa˜o ortogonais.
8. Prove que, num espac¸o euclidiano V , se u, v ∈ V sa˜o ortogonais e na˜o-nulos, enta˜o
cos2 (u, u− v) + cos2 (v, u− v) = 1. Aqui, cos(u, u− v) denota o cosseno do aˆngulo
entre os vetores u e u− v.
9. Seja {e1, e2, e3} a base canoˆnica de V = R3. Mostre que, dados nu´meros reais
a, b, c, a fim de que exista em V um produto interno tal que 〈e1, e1〉 = a, 〈e1, e2〉 =
〈e2, e1〉 = b e 〈e2, e2〉 = c e´ necessa´rio e suficiente que a > 0 e ac > b2.
10. Existe em R3 um produto interno tal que 〈e1, e1〉 = 2, 〈e2, e2〉 = 3, 〈e3, e3〉 =
4, 〈e1, e2〉 = 0 e 〈e2, e3〉 = 〈e1, e3〉 = 1. Essa afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa?
Justifique.
11. Considere em V = Rn a norma ‖.‖. Mostre que se a, b ∈ V sa˜o tais que ‖a‖ ≤ r,
‖b‖ ≤ r (para algum r > 0), enta˜o ‖(1− t)a+ tb‖ ≤ r para cada t ∈ (0, 1).
12. Seja V um espac¸o euclidiano com norma definida por seu produto interno. Conside-
remos u, v ∈ V fixados. Encontrar o vetor do conjunto {u + tv, t ∈ R} de menor
norma, supondo v 6= o.
13. Sejam u = (1, 1, 0) e v = (0, 1, 2) vetores do espac¸o euclidiano V = R3. Determine
os vetores w ∈ R3 tais que ‖w‖ = 1 e 〈u,w〉 = 〈v, w〉 = 0, considerando ‖.‖ a norma
proveniente do produto interno usual em V .
14. Sejam u e v vetores de um espac¸o euclidiano V . Considerando em V a norma
‖.‖ proveniente de seu produto interno, prove que 〈u, v〉 = 0 se, e somente se,
‖u+ αv‖ ≥ ‖u‖, ∀α ∈ R.
15. Sejam e1, e2, . . . , er vetores unita´rios de um espac¸o euclidiano com norma ‖.‖ prove-
niente de seu produto interno. Suponha que ‖ei−ej‖ = 1 sempre que i 6= j. Calcule
o cosseno do aˆngulo entre dois vetores ei e ej.