Lista 1 - Sistemas Lineares

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO TRIAˆNGULO MINEIRO
1a Lista de A´lgebra Linear
Prof.: Danilo Adrian Marques
OBS: Todos os sistemas devem ser resolvidos por escalonamento.
1) Resolver os sistemas abaixo.
a)
 x + y + z = 1x− y + 2z = 2x + 6y + 3z = 3
b)
 x + y + z = 1x− y + z = −22y = −3
c)
 x + y + z + t = 0x + y − 2z + t = 02x + y + 2z − t = 0
d)
{
x− y = 4
x + y = 0
e)
 x + y + z = 2x− y + z = 0y + 2z = 0
f)

x− y + z + t = 0
x + y − z + t = 1
−x + y + z − t = 0
2x− y − z + 3t = 1
2) Determinar os valores de a e b que tornam o sistema
3x− 7y = a
x + y = b
5x + 3y = 5a + 2b
x + 2y = a + b− 1
compat´ıvel e determinado. Em seguida resolver o sistema.
3) Discutir os sistemas lineares em func¸a˜o de a.
a)
 x + y − az = 0ax + y − z = 2− a
x + ay − z = −a
b)
 ax + 2y = 6,3x− y = −2
x + y = 0
4) Determinar o valor de a para que o sistema linear S admita uma u´nica soluc¸a˜o e determina´-la.
S :
 x + y = 12x + y = 23y = a
5) Determinar os valores de m para os quais o sistema e´ determinado:
x + 2y − 2z − t = 1
2x− 2y − 2z − 3t = −1
2x− 2y − z − 5t = 9
3x− y + z −mt = 0
6) Resolver os sistemas homogeˆneos abaixo.
a)
 3x− y + 2z − t = 03x + y + 3z + t = 0x− y − z − 5t = 0 b)
{
x + y + z + w − t = 0
x− y − z + 2w − t = 0
7) (EsPCEx) A soma das idades dos amigos Pedro, Jose´ e Ivo e´ igual a 60. Sabe-se que a soma da
idade de Jose´ com a diferenc¸a entre as idades de Pedro e Ivo (nesta ordem) e´ igual a 30 e que o
dobro da idade de Pedro mais a idade de Jose´, menos a idade de Ivo e´ igual a 55. Assim qual a
idade de Jose´?
1
8) Uma indu´stria produz treˆs tipos diferentes de produtos qu´ımicos A, B e C. Cada produto deve
passar por duas ma´quinas processadoras X e Y . Os produtos exigem os seguintes tempos das
ma´quinas X e Y .
• Uma tonelada do produto A exige 2 horas na ma´quina X e 2 horas na Y .
• Uma tonelada do produto B exige 3 horas na ma´quina X e 2 horas na Y .
• Uma tonelada do produto C exige 4 horas na ma´quina X e 3 horas na Y .
A ma´quina X esta´ dispon´ıvel 80 horas por semana e, a ma´quina Y , 60 horas por semana. Como
a gereˆncia na˜o deseja manter inativas as ma´quinas X e Y , gostaria de saber quantas toneladas
de cada produto deve fabricar a fim de que as ma´quinas sejam totalmente utilizadas. Supo˜e-se
que a indu´stria consegue vender todo o produzido.
9) Uma refinaria de petro´leo processa dois tipos de petro´leo: com alto teor de enxofre e com baixo
teor de enxofre. Cada tonelada de petro´leo com baixo teor exige 5 minutos na unidade de mistura
e 4 minutos na refinac¸a˜o. Cada tonelada de alto teor exige 4 minutos de mistura e 2 minutos de
refinac¸a˜o. Se a unidade de mistura esta´ dispon´ıvel durante 3 horas e a refinaria durante 2 horas,
quantas toneladas de cada tipo de petro´leo deveriam ser processados para que as duas unidades
sejam completamente utilizadas?
10) Um nutricionista esta´ preparando uma refeic¸a˜o que consiste nos alimentos A, B e C. Cada
grama do alimento A conte´m 2 unidades de prote´ına, 3 unidades de gordura e 4 unidades de
carboidrato.Cada grama do alimento B conte´m 3 unidades de prote´ına, 2 unidades de gordura e 1
unidades de carboidrato. Cada grama do alimento C conte´m 3 unidades de prote´ına, 3 unidades
de gordura e 2 unidades de carboidrato. Se a refeic¸a˜o deve fornecer exatamente 25 unidades de
prote´ına, 24 unidades de gordura e 21 unidades de carboidrato, quantos gramas de cada tipo de
alimento deveriam ser usados?
11) Uma loja vende produtos como os listados na tabela e seus prec¸os. Sabendo que qualquer mochila
custa R$20,00, calcule o prec¸o pago por um par de meias e um conjunto de roupas ı´ntimas.
12) (UFF-RJ) Lu´cia resolve organizar uma festa de aniversa´rio para seu filho e encomenda, para
servir aos convidados, 107 refrigerantes, 95 sandu´ıches, 113 salgadinhos e 151 doces. Servira´, a
cada homem, 3 refrigerantes, 3 sandu´ıches, 3 salgadinhos e 3 doces; a cada mulher, 2 refrigerantes,
2 sandu´ıches, 5 salgadinhos e 4 doces; a cada crianc¸a, 2 refrigerantes, 1 sandu´ıche e 4 doces.Para
que na˜o sobrem nem faltem refrigerantes, sandu´ıches, salgadinhos e doces, qual o nu´mero de
pessoas que devem ser convidadas?
13) (Fuvest-SP) Um caminha˜o transporta mac¸as, peras e laranjas, num total de 10000 frutas. As
frutas esta˜o condicionadas em caixas (cada caixa so´ conte´m um tipo de fruta), sendo que cada
caixa de mac¸as, peras e laranjas tem, respectivamente, 50 mac¸as, 60 peras e 100 laranjas e
custam, respectivamente, 20, 40 e 10 reais. Se a carga do caminha˜o tem 140 caixas e custa 3300
reais, calcule quantas mac¸as, peras e laranjas esta˜o sendo transportadas.
2