Telecomunicações: Conceitos Básicos

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Prof. Marcus Tadeu Pinheiro Silva
Coordenação. de Eletrônica - CEFET-MG
Telecomunicações I
Unidade I (Conceitos Básicos)
Material didático para acompanhamento das aulas
Prof. Marcus Tadeu Pinheiro Silva
Coordenação de Eletrônica
Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais - CEFET-MG
Maio de 2002
Para qualquer crítica ou comentário sobre este texto envie mensagem
para o autor através do endereço eletrônico pinheiro@deii.cefetmg.br
SUMÁRIO
1 Conceitos Básicos ............................................................................................... 4
1.1 Introdução ............................................................................................................ 4
1.2 Sistemas de Comunicação .................................................................................. 4
1.3 Quantidade de Informação e Entropia ................................................................. 5
1.4 Sinais Elétricos .................................................................................................. 14
1.4.1 Sinais senoidais .............................................................................................. 15
1.4.2 Expressão matemática para o sinal senoidal ................................................. 20
1.4.3 Comprimento de onda ( l ) ............................................................................. 24
1.5 Sinais não-senoidais ......................................................................................... 26
1.5.1 Filtros passa-baixa e passa-faixa ideais ......................................................... 27
1.5.2 Decomposição da onda quadrada .................................................................. 30
1.5.3 Equação da onda quadrada ........................................................................... 37
1.5.4 Limitação das freqüências presentes nos sinais informação
 (ex. do sinal de voz ......................................................................................... 39
1.6 Canal de Voz ..................................................................................................... 42
1.7 Representação do sinal no domínio da freqüência: O Espectro ....................... 44
1.7.1 Espectro de amplitudes e de fases ................................................................ 47
1.7.2 Espectros de Energia e de Potência .............................................................. 54
1.8 Exercícios .......................................................................................................... 61
APÊNDICE A - Histórico do desenvolvimento das Telecomunicações ............ 65
TELECOMUNICAÇÕES I 4
CEFET-MG
UNIDADE I
CONCEITOS BÁSICOS
1.1 Introdução
Nesta unidade serão apresentados conceitos básicos que são indispen-
sáveis para pavimentar o caminho que seguiremos nas próximas unidades do Cur-
so. Por exemplo, para tratar convenientemente de modulação (uma das próximas
unidades) devemos ter total domínio dos sinais senoidais e cossenoidais, sabendo
interpretar e aplicar equações envolvendo tais sinais. Assim, uma grande parte desta
unidade destina-se a tratar especificamente de sinais senoidais abordando tanto a
representação matemática quanto a interpretação das grandezas que caracterizam
tais sinais. Veremos outros conceitos como a composição de sinais não-senoidais,
quantidade de informação, sistemas de comunicação, e largura de faixa para trans-
missão de um sinal de voz. No apêndice da unidade apresenta-se um histórico re-
sumido com os principais fatos relativos ao desenvolvimento das Telecomunicações
1.2 Sistemas de Comunicação
Em uma perspectiva abrangente sistema de comunicação é todo aquele
que possibilita a transmissão de informação entre uma fonte e um destino. Assim,
tanto a divulgação de informações através de jornais e revistas quanto a transmis-
são de dados em um sistema de reserva de passagens aéreas constituem exemplos
de sistemas de comunicação. Mas no caso de nossa disciplina o enfoque é nos mei-
os eletrônicos de transmissão e recepção de informação, e assim o primeiro exem-
plo foge ao nosso interesse, pois o meio de transmissão da informação é o papel
impresso, ou seja, trata-se de um sistema de comunicação por meios não-
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eletrônicos. Por outro lado, o segundo exemplo está dentro do escopo desta discipli-
na pois toda transmissão da informação ocorre através de sinais elétricos.
Qualquer que seja o sistema de comunicação eletrônico além da fonte de
informação e do destino da informação, podemos identificar no mesmo três partes, a
saber: transmissor, receptor e meio de transmissão. A Fig. 1 apresenta um exemplo
de um sistema de comunicação.
Figura 1 – Sistema de comunicação: exemplo de comunicação de dados entre
computadores.
Na Fig. 1 a comunicação pode ocorrer nos dois sentidos, pois tanto o mi-
crocomputador pode enviar dados para o servidor, quanto o inverso pode ocorrer,
com o servidor enviando dados para o microcomputador. Para facilitar a caracteriza-
ção dos componentes do sistema vamos simplificar a situação estabelecendo que
no exemplo acima a comunicação simultânea nos dois sentidos não é possível, ou
seja, quando o microcomputador está enviando dados o servidor fica na condição
exclusiva de receptor e não envia dados, e quando o servidor envia dados é o mi-
crocomputador que fica na condição de receptor apenas. Considere então um perío-
do de tempo em que os dados fluem da esquerda para a direita na FIG. 1. Nesse
momento o microcomputador e o modem constituem o transmissor do sistema de
comunicação, enquanto o servidor e seu respectivo modem constituem a parte re-
ceptor. Sempre a rede de telefonia constitui o meio de transmissão do sistema.
Quanto a fonte e destino da informação podemos exemplificar considerando a fonte
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um arquivo armazenado no microcomputador, e para destino podemos considerar
um outro arquivo no servidor.
Além das três partes básicas indicadas acima, normalmente nos sistemas
de comunicação a parte receptora e a parte transmissora se subdividem em outras
unidades. Temos o transmissor constituído por circuitos de processamento de si-
nal e por circuitos de modulação e/ou codificação. No receptor temos outros cir-
cuitos de processamento de sinal e circuitos de demodulação e/ou decodifica-
ção.
Na FIG. 1, um exemplo óbvio de processamento de sinal no transmissor é
a serialização dos bits que são transmitidos entre o computador e o modem através
da interface serial. Dentro do computador os bits de informação normalmente fluem
em paralelo, em agrupamentos de 8, 16, 32 ou 64 bits. Todavia, na interligação entre
o computador e periféricos externos à máquina muitas vezes convém enviar a infor-
mação em série, pois isto reduz o número de fios na interligação; imagine o des-
conforto que seria utilizar um mouse com interface paralela, onde o cabo seria gros-
so, pois tal interface necessita de mais de 8 fios. No nosso exemplo esse processa-
mento de sinal (serialização) é revertido na chegada da informação no servidor, ou
seja, no receptor. Na chegada da informação os bits em série vindos do modem são
novamente paralelizados através da interface serial do servidor.
Como exemplo de circuitos de modulação e demodulação temos aqueles
presentes no modem tanto do lado receptor quanto do lado transmissor. A necessi-
dade de processos de modulação é justificada pelo fato da rede convencional de te-
lefonia não ser adequada para a transmissão de sinais digitais. A função dos circui-
tos de modulação no modem do transmissor é exatamente transformar os sinais cor-
respondentes aos bits a serem transferidos em uma forma de ondaadequada à linha
telefônica. Novamente, como esperado, no lado receptor temos no modem circuitos
de demodulação que revertem o processo do modem transmissor.
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Na FIG. 1 também é apresentada uma representação do componente in-
desejável em qualquer sistema de comunicação. Tal componente indesejável é o
ruído. Contudo, apesar de indesejável não existe uma forma de eliminar totalmente o
ruído nos sistemas de comunicação. Assim, o que é feito no projeto dos sistemas de
comunicação práticos é uma minimização do ruído dentro de níveis que tornem o
sistema economicamente viável e ao mesmo tempo eficiente na transmissão da in-
formação. O ruído pode ser entendido como um sinal com variações de nível impre-
visíveis e que contém componentes de freqüência tão baixas como 60 Hz a até tão
altas quanto milhares de GHz. O ruído tanto é gerado internamente pelos próprios
componentes utilizados na construção dos equipamentos (semicondutores, conduto-
res, resistores, etc.) quanto por fontes externas (ignição de automóveis, contatos de
motores elétricos, descargas atmosféricas, irradiações do sol e das estrelas, etc.).
Na FIG. 1, representou-se o ruído de uma forma que talvez leve-nos a imaginar que
ele só atua no meio de transmissão, contudo, pelo que foi dito acima, na realidade
não é isto que ocorre, pois o ruído também existirá dentro dos circuitos eletrônicos
dos modens e dos computadores, e estará sendo induzido nos cabos da interface
serial. Mas, sem dúvida, no sistema representado na FIG. 1, e na maioria dos siste-
mas, o ruído mais importante é aquele que atua ao longo do meio de transmissão.
Isto ocorre basicamente porque em geral é no meio de transmissão que os sinais
atingem seus níveis mais baixos de intensidade, podendo com maior facilidade ser
adulterados pelo ruído interno e externo. Além disso, as distâncias envolvidas no
meio de transmissão são muito maiores que aquelas relativas a dimensão do trans-
missor e do receptor, logo, é maior a probabilidade de que o ruído externo afete
mais os sinais no meio de transmissão do que nas outras partes do sistema.
A exposição feita acima quanto aos sistemas de comunicação e o exem-
plo utilizado tem um caráter introdutório. Diversos termos importantes para a área de
Telecomunicações, tais como modulação e demodulação, foram utilizados acima,
mas, no ponto em que estamos a exposição permite que tenhamos apenas uma pe-
quena noção do significado dos mesmos. No restante deste texto e nas próximas
unidades deste Curso faremos o estudo detalhado de tais conceitos, além de outros
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que são fundamentais para qualquer pessoa envolvida com comunicações por mei-
os eletrônicos.
1.3 Quantidade de informação e quantidade média de informação
Um sistema de comunicação só tem sentido na medida em que possibilite
a transmissão de informações entre uma origem (fonte) e um destino. Assim, é con-
veniente que inicialmente tenhamos uma noção do que é informação e de como
quantificar o seu envio através dos sistemas de comunicação.
Em telecomunicações uma informação pode ser entendida como uma
certeza que é passada (transmitida) entre a fonte de informação e o destino da in-
formação do sistema. Antes da entrega da informação temos uma incerteza no des-
tino da informação do sistema, após a entrega da informação tal incerteza é elimina-
da. Por exemplo, suponha um portão de garagem controlado por controle remoto.
Para esse sistema simples a informação consiste de duas possibilidades (informa-
ção binária): abrir ou fechar o portão. Nesse caso o destino da informação pode ser
um único flip-flop na saída do receptor de controle remoto. Com base no conteúdo
desse flip-flop o circuito lógico que controla o motor de acionamento do portão toma
a decisão de abri-lo ou fecha-lo. A incerteza para o exemplo simples do portão con-
siste simplesmente de saber QUANDO abrir ou fechar o portão. Ou seja, se o portão
está fechado com certeza ele só pode ser aberto, a incerteza encontra-se em saber
quando abri-lo, onde tal incerteza só é eliminada quando o usuário pressiona o bo-
tão do transmissor do controle remoto. Raciocínio análogo vale para o caso do por-
tão inicialmente aberto.
Acima vimos o conceito de informação, mas além de tal conceito, em tele-
comunicações também é importante mensurar (medir) a quantidade de informação
que é transmitida pelos diversos sistemas. Em termos qualitativos a grandeza
quantidade de informação, relaciona-se com quão surpreendente é a informação
para o destinatário da mesma. Por exemplo, considere uma pessoa que esta atuali-
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zada com fatos esportivos, e que está trabalhando na Internet. Se esta pessoa car-
regar uma página de notícias e encontrar a manchete “Olimpíadas XXXX, basquete
masculino dos Estados Unidos é derrotado pela Turquia” ela ficará muito mais sur-
preendida do que no caso de encontrar a manchete “Eliminatórias da Copa XXXX,
Brasil vence Venezuela por 3 a 0”. Neste exemplo, a primeira mensagem traz muito
mais informação para o destinatário do que a primeira, basicamente porque a primei-
ra mensagem é surpreendente, enquanto a segunda poderia até ser esperada pelo
destinatário.
Para tratar da grandeza quantidade de informação em valores numéricos,
devemos fazer a restrição de que nossas mensagens se originam de fontes digitais
de informação, ou seja, a mensagem está codificada sob a forma de dígitos que va-
riam em pequenos passos ao longo do tempo. Em uma fonte analógica de informa-
ção a forma de onda relativa à mensagem varia com o tempo de forma contínua,
contudo para este tipo de fonte a formulação matemática para a quantidade de in-
formação é muito mais complexa do que no caso digital. Além disso, pode-se apro-
ximar uma fonte analógica usando uma fonte digital. Assim, considere inicialmente
que várias mensagens diferentes possam ser geradas por uma fonte digital. Quando
tal fonte digital envia a j-ésima mensagem, lembrando que posteriormente a mesma
será recebida por um destinatário do sistema de comunicação, tem-se que esta
mensagem carrega uma quantidade de informação dada por:
j
j P
I
1
log 2= (bits) Equação. 1
Onde:
Ij = quantidade de informação correspondente a j-ésima mensagem. É um valor me-
dido em bits.
Pj = probabilidade de transmissão da j-ésima mensagem. É um valor sem dimensão
que varia entre 0 e 1. Para entender em linhas gerais que significa probabilida-
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de, imagine uma pessoa que joga cara-coroa várias vezes. Se esta pessoa jogar
a moeda um número cada vez maior de vezes ela verificará, cada vez com mai-
or exatidão, que a cada jogada a chance dela obter cara é a mesma dela obter
coroa, ou seja, 50% (0,5) para cada possibilidade. O valor da probabilidade da
mensagem estabelece de forma quantitativa quão surpreendente ou não é a
mesma, e assim podemos quantificar a informação correspondente a mensa-
gem.
Observação: neste tópico bit representa uma grandeza para medida de
informação, ou seja um bit representa uma unidade de informação, o que pode ser
diferente do uso da palavra bit no âmbito de eletrônica digital.
Como normalmente as calculadoras, mais simples, não vem equipadas
com função para cálculo de logaritmo na base 2, é conveniente obter uma equação
usando logaritmo na base 10, equivalente a EQ. 1, pois o logaritmo na base 10
sempre está presente nas calculadoras científicas. Temos das propriedades dos lo-
garitmos que
2log
log
log
10
10
2
X
X =
Aplicando a propriedade acima na EQ. 1 obtemos:
2log
1log
1
log
10
10
2
÷
ø
öç
è
æ
== j
j
j
P
P
I ou seja 
2log
1log10
10 ÷
ø
ö
ç
è
æ
= jj
P
I (bits)
Equação 2
Exemplo 1.1:
Em um sistema de gerenciamento de dados de prontuários médicos, em
uma rede de computadores, o usuário fornece o código numérico correspondente ao
prontuário que deseja consultar, e o sistema responde inicialmente com uma res-
posta entre quatro possibilidades. As possibilidades são: a) prontuário presente mas
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temporariamente não disponível, b) prontuário não existe, c) possível código errado,
verifique e repita a solicitação e d) prontuário presente e disponível. Fazendo a esta-
tística de acesso ao sistema, verificou-se que para cada acesso a possibilidade de
obter a resposta “a” é 2%, a resposta “b” 24%, a “c” 30% e a “d” 44%. Calcule a
quantidade de informação para cada uma das respostas do sistema.
Solução:
Como são 4 possibilidades de resposta do sistema temos que 2 posições
de bit bastam para carregar tal informação. Cada uma destas 4 seqüências de 2 bits
carrega um quantidade de informação diferente da outra, pois cada uma representa
uma ocorrência de probabilidade diferente. Aplicando a EQ. 1 (ou a EQ. 2) para
cada uma das possibilidades indicadas acima temos os seguintes resultados:
Probabilidade resposta “a” = 2% Þ Pa = 0,02, logo Ia = log2 (1/0,02),
ou seja, a quantidade de informação da resposta “a” é Ia = 5,64 bits
Probabilidade resposta “b” = 24% Þ Pb = 0,24, logo Ib = log2 (1/0,24),
ou seja, a quantidade de informação da resposta “b” é Ia = 2,06 bits
Probabilidade resposta “c” = 30% Þ Pc = 0,30, logo Ic = log2 (1/0,30),
ou seja, a quantidade de informação da resposta “c” é Ic = 1,74 bits
Probabilidade resposta “d” = 44% Þ Pd = 0,44, logo Id = log2 (1/0,44),
ou seja, a quantidade de informação da resposta “d” é Id = 1,18 bits
Como esperado, os resultados acima mostram que quanto maior a proba-
bilidade de ocorrência de uma mensagem menor a quantidade de informação que a
mesma transporta. Outro ponto de interesse é que podemos tirar a prova quanto a
estatística que define as probabilidades de cada uma das mensagens do sistema de
comunicação. Sempre que temos m possíveis mensagens a soma das probabi-
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lidades das mensagens individuais deve resultar igual a 1. Ou seja, com certeza
(valor 1) somente uma dentre as m possíveis mensagens estará presente na saída
da fonte de informação a cada momento, não existindo a possibilidade de outra
ocorrência na saída. O Exemplo 1.1 também ilustra este aspecto, pois realizando a
operação, 0,44 + 0,02 + 0,30 + 0,24 obtemos como resultado o valor 1.
Via de regra, como no Exemplo 1.1, para cada mensagem gerada pela
fonte digital varia o conteúdo de informação, desde que algumas deverão ser mais
prováveis de ocorrer que outras, ou seja, Pj variará de mensagem para mensagem.
Assim, é importante quantificar também a média de informação gerada (absorvida)
pela fonte (destino) digital. A expressão para esta média de informação gerada (ab-
sorvida) é:
mm IPIPIPIPH ++++= L332211 (bits) Equação 3
Onde:
H é a média de informação por mensagem, sendo denominada Entropia da
fonte de informação.
m é o número máximo de possíveis mensagens.
P1 é a probabilidade de ocorrer a mensagem 1, P2 é a probabilidade de ocorrer a
mensagem 2, e assim por diante.
I1 é a quantidade de informação da mensagem 1, I2 é a quantidade de informação da
mensagem 2, e assim por diante.
Exemplo 1.2:
Em um sistema de comunicação digital, onde a sinalização é em dois ní-
veis, o número máximo de possíveis mensagens que podem ser recebidas no desti-
no é 16. Sendo que para as mensagens 1, 2, 15 e 16 a probabilidade é 2%, para as
mensagens 3, 4, 13 e 14 a probabilidade é 5%, para as mensagens 5, 6, 7, 10, 11,
12 é 8%, e para as mensagens 8 e 9 é 12%. Calcule a média de informação por
mensagem (entropia) do sistema.
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Solução:
Como são 16 possíveis mensagens, sinalizadas em dois níveis, temos
que as mensagens se constituem de seqüências com 4 posições de bit. Além disso,
as várias mensagens se dividem em 4 grupos quanto a probabilidade de ocorrência.
Para calcular a entropia inicialmente obtemos as diferentes quantidades de informa-
ções das mensagens, usando para isto a EQ. 1 (ou a EQ. 2), e, a seguir, aplicamos
a EQ. 3. Os resultados obtidos são:
GRUPO I - Probabilidade das mensagens 1, 2, 15 e 16 é 2% Þ P1 = P2 =P15 = P16 =
0,02
Logo I1 = I2 = I15 = I16 = log2 (1/0,02)= 5,64 bits
GRUPO II - Probabilidade das mensagens 3, 4,13 e 14 é 5% Þ P3 = P4 =P13 = P14 =
0,05
Logo I3 = I4 = I13 = I14 = log2 (1/0,05)= 4,32 bits
GRUPO III - Probabilidade das mensagens 5, 6, 7, 10, 11, 12 é 8% Þ P5 = P6 =P7 =
P10 = P11 = P12 = 0,08
Logo I5 = I6 = I7 = I10 = I11 = I12 = log2 (1/0,08)= 3,64 bits
GRUPO IV - Probabilidade das mensagens 8 e 9 é 12% Þ P8 = P9 = 0,12
Logo I8 = I9 = log2 (1/0,12)= 3,06 bits
H = P1I1 + P2I2 + P3I3 + P4I4 + P5I5 + P6I6 P7I7 + P8I8 + P9I9 + P10I10 + P11I11 + P12I12 +
P13I13 + P14I14 + P15I15 + P16I16
H = 4(0,02·5,64) + 4(0,05·4,32) + 6(0,08·3,64) +2(0,12·3,06)
H = 3,8 bits
O exemplo acima mostra um exemplo onde as mensagens são constituí-
das de seqüências com 4 posições de bit. Por outro lado, a quantidade de informa-
ção média em cada mensagem é de 3,8 bits, ou seja, um pouco menor que o núme-
TELECOMUNICAÇÕES I 14
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ro de posições de bit. Essa ocorrência é comum, e decorre das definições de I e H.
Quando as diversas mensagens possuem probabilidades diferentes, H é sempre
menor que o número de posições bit do código das mensagens. Agora, se todas
mensagens tem a mesma probabilidade, H será exatamente igual ao número posi-
ções de bit do código das mensagens.
O propósito desse tópico foi apenas apresentar de forma básica o con-
ceito de informação sob o enfoque que interessa em Telecomunicações. Esse as-
sunto, denominado Teoria da Informação, teve suas bases teóricas lançadas em
1948 por Claude Shannon e seu desenvolvimento completo é bastante complexo. O
leitor interessado em mais detalhes encontrará uma boa introdução à teoria da in-
formação no bom livro “Você e as Telecomunicações” de Ovídio Barradas (1995).
1.4 Sinais Elétricos
Um sinal elétrico constitui-se de uma grandeza elétrica (em geral uma
tensão) que varia com o tempo. Exemplos de sinais elétricos bastantes comuns são
as formas de onda senoidal e quadrada. Na maioria das situações as pessoas utili -
zam em sua comunicação a informação sob a forma de sons (voz, música, tons)
e/ou imagens (gestos, textos, fotografias, vídeo, pinturas, desenhos, etc.). Estas
formas (ondas sonoras e ondas eletromagnéticas visíveis) não podem ser utilizadas
diretamente em sistemas que se baseiam em dispositivos elétricos e eletrônicos, e
assim, os sistemas de comunicações eletrônicos utilizam para a transmissão da in-
formação sinais elétricos, sendo que tais sinais se originam de conversões dos sons
ou imagens que as pessoas utilizam cotidianamente em sua comunicação. Desta
maneira, qualquer sistema de comunicação possui etapas de conversão de uma
forma para outra. Por exemplo, supondo um sistema de comunicação do tipo inter-
comunicador residencial, temos uma etapa no sistema que consiste na conversão da
onda sonora de voz em sinal elétrico, através de um microfone e, posteriormente, no
mesmo sistema, temos uma etapa reversa que consiste na conversão do sinal elétri-
Marcus Tadeu Pinheiro Silva 15
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co relativo à voz de volta em onda sonora, o que é feito por um alto-falante. A FIG. 2
apresenta um exemplo da conversão indicada acima.
Enfatizando a definição dada no início, vemos que, como apresentado, na
FIG. 2, o sinal correspondente à informação é uma tensãoque varia seu valor com o
tempo.
Figura 2 – Exemplo de sinal elétrico: atuação do microfone na conversão de
onda sonora de voz em sinal elétrico
1.4.1 Sinais senoidais
Uma das formas de onda mais comuns na área de telecomunicações é a
senoidal. Como será visto algumas aulas à frente, quando transmitimos através do
meio de transmissão, seja este meio uma linha de transmissão ou o espaço livre en-
tre as antenas, muitas vezes utilizamos uma onda senoidal “modificada”, sendo que
a modificação tem origem no sinal correspondente a informação que devemos
transmitir. Além disso, várias vezes no estudo de Telecomunicações fazemos a su-
posição de que o sinal de informação também é senoidal. Esta suposição simplifica
bastante a análise do sinal que transporta a informação através do meio de trans-
missão.
TELECOMUNICAÇÕES I 16
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Tendo em vista sua importância em nossos estudos vamos analisar agora
as características do sinal senoidal.1 Especificamente, verificaremos as característi-
cas de freqüência, amplitude e valor médio. Observe o sinal representado na FIG. 3.
Como apresentado na FIG. 3 em um intervalo de tempo de 250 ms o sinal
varre toda a faixa de valores correspondente a um ciclo de 360 graus da função
seno. Além disso, na representação do gráfico do sinal senoidal nós vemos que ele
se repete, continuamente, em intervalos fixos de 250 ms, ou seja, nos temos um si-
nal periódico. A freqüência ( f ) de um sinal periódico é a característica que nos diz
em cada intervalo de um segundo quantas vezes o sinal se repete, ou seja, freqüên-
cia significa número de ciclos em cada segundo, e assim sua unidade é o inverso do
segundo (1/s), pois o número de ciclos é uma quantidade sem dimensão. Mas, para
a unidade de freqüência foi adotado o nome especial de Hertz (Hz), o qual obvia-
mente correspondente a 1/s (1 Hz = 1/s; 10 Hz = 10/s; ...). Para o exemplo da FIG. 3
temos um sinal de 4 Hz, pois em um segundo o sinal repete 4 ciclos senoidais.
Figura 3 – Sinal senoidal
 
1 Neste item nos referimos apenas a sinal senoidal, contudo, tudo que for estabelecido para este tipo
de sinal pode ser estendido para o sinal cossenoidal. Lembre-se que seno e cosseno são as funções
trigonométricas estreitamente relacionadas (p. ex. basta acrescentar um ângulo fixo de 90o ao argu-
mento de uma das funções para transformá-la na outra).
Marcus Tadeu Pinheiro Silva 17
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Outra grandeza importante é o tempo necessário para que se desenvolva
um único ciclo completo de variação do sinal periódico, o que é denominado período
( T ) do sinal, sendo o mesmo medido em segundos. Como já foi observado, o sinal
da FIG. 3 gasta 250 ms para fazer a variação completa de 360 graus da função
seno, logo, o sinal tem período de 250 ms. É intuitivo que freqüência e período se-
jam grandezas relacionadas, pois se um sinal se repete “n” vezes por segundo, o
tempo necessário para um único ciclo se desenvolver é 1/n. Logo podemos escre-
ver:
T
f
1=
Finalmente, a amplitude (A) do sinal indica a faixa de valores de tensão
que o sinal varre a medida que se desenvolve. Quando medimos um sinal na tela do
osciloscópio podemos medir sua amplitude em valores de pico-a-pico (Vpp) ou em
valores de pico (Vp), sendo que no osciloscópio é muito mais fácil medir o valor de
pico-a-pico. A maior dificuldade na medida de valor de pico não representa qualquer
problema pois o valor de pico corresponde exatamente a metade do valor de pico-a-
pico (Vp = Vpp/2). Por outro lado, quando tratamos dos sinais senoidais em termos
formais, ou seja, desejamos escrever equações, é apenas o valor de pico que nos
interessa, pois tal valor corresponde exatamente ao valor de A que devemos usar na
equação que descreve o sinal senoidal. Assim, a não ser em caso de observação
em contrário, nesse texto sempre que nos referirmos ao valor de amplitude de um
sinal estaremos nos referindo a seu valor de pico (A = Vp). No caso da FIG. 3 temos
um sinal de amplitude igual a 2 (A = 2).
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Figura 4 – Determinação do valor médio de um sinal.
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Determinar o valor de pico ou amplitude de um sinal senoidal não é tarefa
complicada, mas se deve ter o cuidado de levar em conta o valor médio2 (Vcc) do
sinal nesta determinação, pois tal valor médio representa uma característica do sinal
que se distingue de sua amplitude. Quando um sinal tem valor médio nulo, tal como
na FIG. 3 a amplitude (A) do sinal é simplesmente valor máximo que ele atinge. Po-
demos dizer que, considerando apenas sinais senoidais com valor médio nulo, o
valor de A corresponde ao valor de pico, tal como medido em um osciloscópio na
posição CA (corrente alternada). Reforçando mais, no caso da FIG. 3 temos um sinal
de amplitude igual a 2, pois 2 volts é o valor mais alto (Valormax ) de tensão que ele
atinge e tal sinal apresenta valor médio nulo. Quando o sinal senoidal apresenta va-
lor médio diferente de 0 para definir seu valor de amplitude devemos levar em conta
seu valor médio. No caso de sinal senoidal o valor médio pode ser obtido através da
EQ. 4 e o valor de A pode ser obtido através da EQ. 5. O estabelecimento dessas
relações é intuitivo e você pode aplicá-las agora para verificar os resultados apre-
sentados na FIG. 4.
2
minmax ValorValorVCC
+= (volts) Equação 4
CCVValorA -= max (volts) Equação 4a
 
2 A definição de valor médio de um sinal, ou valor CC (de corrente contínua), é relação entre a área
resultante em um período e o tempo correspondente ao período. A área resultante é a diferença entre
a área do sinal acima do eixo do 0 (área(+)) e abaixo do eixo do 0 (área(-)). Verifique o conceito de
valor médio de um sinal através do exemplo da FIG. 4.
TELECOMUNICAÇÕES I 20
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1.4.2 Expressão matemática para o sinal senoidal
A seguir obteremos a expressão geral para o sinal senoidal. Para chegar
a este resultado faremos uma análise passo a passo, partindo de uma situação par-
ticular muito simples. Primeiramente, é oportuno recordar a característica básica da
função seno. O seno expressa um valor numérico entre -1 e +1, a medida que se
aplica ao mesmo um ângulo, de acordo com o chamado ciclo trigonométrico. Pen-
sando na função seno por si só, podemos escrever em termos matemáticos
que y (q) = sen q, onde q é o ângulo medido ao longo do ciclo trigonométrico.
Iniciemos agora nosso raciocínio em direção a uma expressão geral para
o sinal senoidal partindo da equação mais simples e que ainda é capaz de descrever
um sinal periódico. Tal equação é:
( ) tte sen= (volts) Equação 5
Traçando um gráfico para este sinal obtemos o resultado da FIG. 5.
É importante enfatizar novamente que o seno é uma função matemática
onde o valor do argumento deve sempre corresponder a um ângulo. Este ângulo
para a função seno pode ser dado em graus ou radianos (rad). Contudo, quando
trabalhamos com sinais não é conveniente expressarmos o ângulo em graus, e as-
sim, para sinais elétricos usamos apenas o valor em radianos. Sendo assim, na EQ.
05 esta implícita uma constante de multiplicação para o tempo, que no caso não é
apresentada pois vale 1. Contudo, esta constante tem uma unidade que é rad/s, ou
seja, uma velocidade angular, de tal forma que para cada valor de tempo, em se-
gundos, aplicado a EQ. 5 obtenhamos um valor de ângulo, em radianos, para a fun-
ção seno. O símbolo para a velocidade angular é a letra grega w (ômega).
Marcus Tadeu Pinheiro Silva 21
CEFET-MG
Figura 5 – Gráfico para o sinal expresso pela EQ. 5
Com a análise feita acima quanto ao argumento para a função seno po-
demosfazer a primeira generalização, escrevendo a expressão para o sinal da
FIG. 5, na forma:
( ) ( )tte wsen= Equação 6
Onde fazendo w = 1 rad/s obteremos a expressão original da EQ. 5.
Observando novamente a FIG. 5 vemos que o sinal representado tem um
período igual 2p segundos, o que significa que sua freqüência é:
Hz
p2
1
Considerando que o w indica a velocidade na qual o sinal varre o valores
de ângulo a medida que o tempo passa, e o período é o tempo necessário para que
o sinal faça a variação do ciclo de 360o (2p radianos), chegamos a conclusão que as
duas grandezas estão relacionadas. Quando o t aplicado a EQ. 6 for o período T, o
valor de w.t deverá equivaler a 2p (ou 360o), ou seja:
pw 2. =T
TELECOMUNICAÇÕES I 22
CEFET-MG
Desta análise obtemos então que:
T
pw 2=
Lembrando que, 
T
f
1= também podemos escrever que
fpw 2=
Nossa expressão geral continua sendo ( ) ( )tte wsen= , mas agora temos
relacionamentos entre w e a freqüência do sinal ( )fpw 2= , e entre w e o período do
sinal ( )T/2pw = , o que nos permite escrever:
( ) ( )tfte p2sen= (volts)
Sendo que para o caso particular do sinal da EQ. 5 p2
1=f Hz.
O próximo passo no sentido da generalização é considerar um desloca-
mento do sinal da FIG. 5, ao longo do eixo do tempo, resultando no sinal da FIG. 6.
Figura 6 – Sinal senoidal com ângulo inicial
Marcus Tadeu Pinheiro Silva 23
CEFET-MG
Como apresentado, agora para o tempo 0 (zero) nosso sinal tem um valor
que corresponde ao valor da FIG. 5 em um tempo um pouco maior. Para expressar
este deslocamento matematicamente basta acrescentar à w.t um ângulo constante
correspondente ao ângulo cujo seno resulta no valor de e(t) para t = 0 na FIG. 6, ou
seja:
( ) ( )fp += tfte 2sen
onde tanto na FIG. 6 quanto na FIG. 5 w vale 1/(2.p), mas, enquanto na FIG. 5 f vale
0, na FIG. 6 ele vale p/3 radianos (60o). A unidade para a chamada constante de
fase, f, é obviamente radianos, pois, relembrando, o seno é uma função onde o va-
lor do argumento entre parênteses deve ser sempre uma medida de ângulo.
Falta apenas o ultimo passo no sentido da generalização. Ele correspon-
de ao fato de que em todas equações anteriores sempre a amplitude máxima de
nosso sinal era 1 volt, pois os valores extremos da função seno são -1 e +1. Para
expressarmos sinais de diferentes amplitudes basta que acrescentemos uma cons-
tante multiplicando a função seno. O valor desta constante dará o valor máximo de
nosso sinal. o qual agora poderá ser menor, igual, ou maior que 1 volt, conforme o
valor dessa constante. Colocando isto matematicamente temos a equação mais ge-
ral para um sinal senoidal:
( ) ( )fp += tfAte 2sen Equação 7
Tanto no caso da FIG. 5, quanto no da FIG. 6, o valor da constante A é
igual a1 e, assim, ela não foi explicitada.
Enquanto isso, para o sinal da FIG. 3, temos A = 2, enquanto w vale 8.p e
f vale 0.
TELECOMUNICAÇÕES I 24
CEFET-MG
1.4.3 Comprimento de Onda ( ll )
Comprimento de onda ( l ) é a grandeza que indica em qual extensão fí-
sica do meio de transmissão um ciclo do sinal se “espalha” ao propagar-se pelo
meio. Primeiramente, devemos recordar que um sinal elétrico não se propaga ins-
tantaneamente em um circuito, ou seja, supondo tanto as conexões em uma placa
de circuito impresso quanto uma ligação por cabo entre dois equipamentos, nós te-
mos sempre um tempo maior que 0 (zero) para que o sinal saia de um ponto e che-
gue a outro. Contudo, como a velocidade de propagação do sinal elétrico é muito
alta (da ordem de centenas de milhares de km por segundo), e as distâncias entre
os dispositivos dos sistemas eletrônicos em geral são pequenas, em freqüências
abaixo da faixa de UHF3 normalmente podemos aproximar a velocidade de propaga-
ção considerando-a infinita (propagação instantânea). Mas, em comunicações mui-
tas vezes não devemos ou não poderemos fazer essa aproximação, e o conceito de
comprimento de onda torna-se importante nestes casos. Vamos verificar então em
que consiste exatamente a característica de comprimento de onda.
Sendo finita a velocidade de propagação ( vp ou velp ) do sinal, quando
ele se propagar por grandes distâncias e/ou for de freqüências elevadas, diferentes
pontos do meio de transmissão apresentarão diferentes valores do sinal, tal qual o
sinal se espalhasse ao longo do meio.
Por exemplo, se um sinal senoidal de 300 MHz propaga com velocidade
de 200 mil km/s por um cabo entre a saída de um gerador de sinais senoidais e a
entrada de um osciloscópio, qual comprimento deve ter o cabo de tal forma que na
entrada do osciloscópio a tensão seja igual a tensão na saída do gerador atrasada
de um tempo igual a um período do sinal? Pela definição de comprimento de onda o
que estamos tentando determinar é a extensão de cabo correspondente a um l do
sinal de 300 MHz .
 
3 UHF (Ultra High Frequency) é uma das faixas de freqüências em que é dividido o espectro eletro-
magnético. Sinais de UHF tem freqüências entre 300 MHz e 3000 MHz (3 GHz).
Marcus Tadeu Pinheiro Silva 25
CEFET-MG
O tempo de atraso entre a saída do gerador e a entrada do osciloscópio
é:
tatraso = T = 1 / f = ( 1 / 300.106 ) s
A velocidade do sinal em propagação no cabo é:
velp = 200.103 km/s = 200.106 m/s
Logo, a distância entre o gerador e o osciloscópio deve ser:
distância = l = velp .tatraso = velp .T
distância = 200.106 m/s.(1/300.106) s = 2/3 m = 0,667 m
l » 0, 67 m = 67 cm
A partir da análise acima podemos expressar o comprimento de onda de
duas formas:
l = velp .T e, sendo T = 1 / f obtemos:
f
velp=l Equação 8
Se pudéssemos observar a tensão em cada ponto do cabo em um certo
instante de tempo, t’, obteríamos o gráfico da FIG. 7. Note que o gráfico apresentado
tem no eixo x a distância ao longo do cabo.
TELECOMUNICAÇÕES I 26
CEFET-MG
Figura 7 – Tensão ao longo de um cabo cujo comprimento é igual ao ll de um
sinal de 300 Mhz, para um instante particular de tempo t = t’, sendo
a amplitude do sinal aplicado a entrada do cabo 5 Vpp e a velocida-
de de propagação igual a 2.108 m/s.
1.5 Sinais não-senoidais.
Sinais não-senoidais são a forma natural em que se apresentam as infor-
mações e grandezas do mundo real quando convertidas em sinais elétricos, e pode-
se ter uma noção disto analisando, por exemplo, as conversões de som e imagem
em sinal elétrico, e sinais de diagnóstico cardíaco e cerebral. Na FIG. 2 você viu um
exemplo de sinal não-senoidal sendo obtido na conversão das ondas sonoras de
voz. Você nota que neste sinal aparentemente não é possível identificar as grande-
zas que usamos para caracterizar o sinal senoidal, ou seja, freqüência, amplitude,
fase. Todavia, como será mostrado mais adiante, em um exemplo simples, pode-se
montar um sinal não-senoidal a partir da soma de vários sinais senoidais de fre-
qüências, amplitudes e fases diferentes. Colocando de outro modo, podemos dizer
que sinais não-senoidais são constituídos de somas de sinais senoidais de diferen-
tes freqüências e amplitudes. Inicialmente, precisamos estabelecer os conceitos de
filtros passa-baixa e passa-faixa, pois tais conceitos são indispensáveis para a se-
guir compreender os testes apresentados no estudo da composição do sinal onda
quadrada.
Marcus Tadeu Pinheiro Silva 27
CEFET-MG
1.5.1 Filtros passa-baixa e passa-faixa ideais
Considere um circuito que é capaz de bloquear totalmente os sinais se-
noidais a partir de uma certa freqüência fc , onde fc é o símbolo para freqüência de
corte. Abaixo desta freqüência fc o circuito não tem qualquer efeito sobre o sinal se-
noidal, ou seja, se o sinal tem freqüência menor que fc e uma amplitude de, por
exemplo, 1 Vpp, na saídado circuito o sinal obtido será uma reprodução fiel daquele
da entrada, possuindo a mesma freqüência e amplitude. Por outro lado, se o sinal
senoidal aplicado ao circuito possuir uma freqüência maior que fc, independente de
sua amplitude, ele será totalmente bloqueado e a saída do circuito será uma tensão
nula. Analisando a situação descrita em termos de ganho de tensão Av,
( )ENTSAÍDA EEA = , podemos dizer que até a freqüência fc o circuito tem ganho 1, e
para freqüências acima de fc o ganho de tensão do circuito é 0 (zero). Toda descri-
ção feita acima quanto ao comportamento do circuito pode ser resumida através de
um gráfico de resposta de freqüência, como apresentado na FIG. 8a, e em concor-
dância com seu comportamento o circuito é denominado filtro passa-baixas ideal. O
termo ideal justifica-se pelo fato do resultado exato descrito pela FIG. 8a não poder
ser obtido na prática, ou seja, não é possível construir um circuito real com o com-
portamento da FIG. 8a, embora seja possível construir circuitos eletrônicos cujo
comportamento aproximam-se bastante do resultado da FIG. 8a.
TELECOMUNICAÇÕES I 28
CEFET-MG
Figura 8 - a) gráfico de resposta de freqüência de um filtro passa-baixas (FPB)
ideal; b) exemplo do comportamento de um FPB quando o sinal de en-
trada “cai” dentro de sua faixa de passagem (abaixo de fc ); c) exemplo
do comportamento de um FPB quando o sinal de entrada “cai” fora de
sua faixa de passagem (acima de fc ).
Um outro tipo de filtro é o passa-faixa, o qual é bastante utilizado em
equipamentos de Telecomunicações. Trataremos aqui apenas do comportamento
ideal de tal filtro. O comportamento do passa-faixa ideal pode ser descrito conside-
rando três faixas de freqüência. Assim: i) o filtro bloqueia totalmente os sinais de fre-
qüência 0 até uma certa freqüência fc1; ii) o filtro bloqueia totalmente os sinais desde
uma freqüência infinita até uma certa freqüência muito menor fc2, sendo que fc2 > fc1;
iii) entre as freqüências fc1 e fc2 o filtro passa a responder aos sinais, permitindo que
eles apareçam na saída da mesma forma como se apresentavam na entrada
Marcus Tadeu Pinheiro Silva 29
CEFET-MG
(Av =1). Todo o comportamento descrito pode ser visualizado como no exemplo da
FIG. 9. Novamente, como no caso do passa-baixas também para o passa-faixa é
possível construir circuitos reais com comportamento próximo do ideal.
Figura 9 - Comportamento de um filtro passa-faixa ideal: a) sinal de entrada
com freqüência abaixo da faixa de passagem; b) sinal de entrada
com freqüência dentro da faixa de passagem; c) sinal de entrada
com freqüência acima da faixa de passagem.
TELECOMUNICAÇÕES I 30
CEFET-MG
1.5.2 Decomposição da onda quadrada
A proposta deste tópico é mostrar como um sinal não-senoidal será afeta-
do pelo valor da freqüência de corte de diversos filtros ideais, e para isto utilizaremos
o exemplo de uma onda quadrada de 500 Hz, com amplitude de 1 Vpp sendo apli-
cada a tais filtros. Serão vários filtros com diferentes fc. Faremos a análise do com-
portamento do sinal de saída a medida em que variarmos o valor de fc apenas para
uma situação bem particular, onde o sinal de entrada é a onda quadrada de 500 Hz,
contudo os resultados obtidos serão bastante ilustrativos para que tenhamos uma
percepção da decomposição de qualquer sinal não senoidal. A situação inicial está
apresentada na FIG. 10.
Figura 10 - Onda quadrada de 500 Hz sendo aplicada a um filtro com corte em
250 Hz
O resultado obtido não deve surpreender o leitor, pois tendo o sinal uma
onda quadrada de freqüência de 500 Hz e sendo o corte do filtro em 250 Hz, obvia-
mente a saída é nula. Você já deve saber que se aumentarmos a fc até 500 Hz o
mesmo resultado deve ocorrer, ou seja, a saída será nula para fc até 500 Hz. Mas,
como deve ser a saída quando fc for igual a 501 Hz, ou mais alta? Uma resposta in-
tuitiva talvez nos levasse a supor que a saída passaria a ser a onda quadrada da
entrada. Contudo não é isto que ocorre, como apresenta a FIG. 11.
Marcus Tadeu Pinheiro Silva 31
CEFET-MG
Figura 11- Onda quadrada de 500 Hz sendo aplicada a um filtro com corte em
501 Hz
Por que a onda quadrada de entrada transformou-se em um sinal senoi-
dal com exatamente a mesma freqüência, mas com uma amplitude um pouco maior?
A explicação exata para o resultado obtido na FIG. 12 envolve conhecimentos ma-
temáticos que fogem do nível de nosso curso. Tais conhecimentos seriam relativos a
análise de Fourier. Contudo, mesmo não podendo tratar matematicamente o resul-
tado podemos interpreta-lo qualitativamente. Assim, a explicação é que nossa onda
quadrada contém o sinal senoidal apresentado na FIG. 12, ou seja, o sinal senoidal
de 500 Hz entra na composição da onda quadrada de 500 Hz, e o filtro permitiu
isolar esta componente da onda quadrada. O motivo pelo qual apenas o sinal senoi-
dal de 500 Hz aparece na saída é que os outros componentes devem possuir fre-
qüências acima da fc do filtro, ou seja, acima de 501 Hz. Mesmo com esta explica-
ção neste ponto talvez ainda exista dúvida sobre como pode ter ocorrido uma mu-
dança tão grande, com a onda quadrada mudando para senoidal. O entendimento
melhor disto só pode ser obtido se continuarmos nossa analise através do aumento
da fc do filtro. Então, vamos continuar aumentando a fc do filtro acima de 501 Hz e
observando a saída. O resultado é que a saída não mudará até que a fc do filtro
seja maior do que 1500 Hz, ou seja, fc seja maior que 3 vezes a freqüência da onda
quadrada. Esta nova situação aparece na FIG. 12, onde o filtro agora tem uma fc de
1501 Hz.
TELECOMUNICAÇÕES I 32
CEFET-MG
Figura 12 - Onda quadrada de 500 Hz sendo aplicada a um filtro com corte em
1501 Hz
Comparando as FIG. 12 e FIG. 13 podemos notar que houve uma sens í-
vel melhoria na forma de onda de saída; ela agora aproxima-se da onda quadrada. A
freqüência da forma de onda de saída é exatamente a da onda quadrada de entra-
da, embora a amplitude de pico a pico seja um pouco maior que a da entrada. Ago-
ra, nas partes que correspondem ao topo e base da onda quadrada, temos uma os-
cilação do valor em torno do que seria o valor desejado (0,5 no topo e -0,5 na base).
A conclusão que derivamos dos resultados, é que com o incremento da
faixa de passagem do filtro de 501 até 1501 Hz adicionamos à componente senoidal
da FIG. 11 outro(s) componente(s) de sinal tal que houve uma melhor aproximação
da onda quadrada. Além disso, como a nova saída ainda é apenas uma aproxima-
ção da entrada, podemos dizer que o filtro até 1501 Hz ainda está bloqueando com-
ponentes de freqüência mais alta do nosso sinal de onda quadrada. Continuando a
análise vamos tentar agora separar qual (ou quais) componente foi adicionado a
onda senoidal da FIG. 11 de modo a resultar na onda de saída da FIG. 12. Para isto
basta usar no lugar do filtro passa-baixas um filtro passa-faixa. Como queremos
isolar os novos componentes adicionados desde a situação de saída FIG. 11, deve-
mos eliminar tal sinal fazendo o inicio da faixa de corte inferior do filtro, fc1, igual a
501 Hz. A seguir, diminuiremos progressivamente a faixa de passagem do filtro, e
para isto fc1 será aumentado até chegar ao limite de 1499 Hz. Neste processo pode-
Marcus Tadeu Pinheiro Silva 33
CEFET-MG
remos identificar a contribuição de sinal dentro da faixa de freqüência de 501 a 1499
que resultou no novo sinal de saída da FIG. 12. Este novo teste está apresentado na
FIG. 13.
Figura 13 - Identificando o componente de sinal da onda quadrada entre 501 e
1501 Hz através de um filtro passa-faixa onde varia-se fc1 entre os
limites indicados. Obs.: O resultado acima ocorre para fc1 variando
entre 501 e 1499 Hz. Se fc1 for 1500 ou 1501Hz a saída será nula,
pois o sinal identificado tem 1500 Hz.
O teste da FIG. 13 nos mostra que apenas um novo componente de sinal
contribuiu para a melhoria na forma de onda de saída da FIG. 11 para a FIG.12. Isto
pode ser visualizado através da FIG. 14 que mostra que somando ponto a ponto os
sinais senoidais de 500 Hz da FIG. 11 e o de 1500 Hz da FIG. 13, obtemos exata-
mente a forma de onda da saída da FIG. 12. Ou seja, os sinais senoidais de 500
Hz e 1500 Hz são componentes da onda quadrada. Contudo, devem existir outros
em freqüências mais altas, pois ainda há uma diferença razoável entre o sinal qua-
drado e a forma de onda resultante da soma na FIG. 14.
TELECOMUNICAÇÕES I 34
CEFET-MG
Figura 14 - Soma ponto a ponto dos sinais senoidais de 500 e 1500 Hz das FIG.
11 e FIG. 13.
O resultado da FIG. 13, identificando a componente da onda quadrada
entre 501 e 1499 Hz, permite-nos estabelecer novos e importantes conceitos. O si-
nal que contribuiu para a mudança da saída da FIG. 11 para a saída da FIG. 12 é
senoidal com freqüência igual a 3 vezes a da onda quadrada. A amplitude de tal si-
nal é reduzida em relação à daquele identificado na FIG. 11. Assim, temos que a re-
gra para a onda quadrada em questão é de que ela é constituída apenas de sinais
senoidais de diferentes freqüências, sendo tais freqüências apenas múltiplos impa-
res da freqüência original da onda quadrada, ou seja, 1 vez, 3 vezes, 5 vezes e as-
sim por diante. Tais sinais senoidais de freqüência múltipla são denominados
os harmônicos que constituem a onda quadrada . Assim, teríamos que o sinal de
saída da FIG. 11 é o 1o harmônico da onda quadrada, o sinal da FIG. 13 é o 3o, e
assim por diante. Quanto a amplitude dos harmônicos a regra é de que quanto maior
Marcus Tadeu Pinheiro Silva 35
CEFET-MG
a ordem do harmônico menor sua amplitude, ou seja, o 3o harmônico é de amplitude
menor que o 1o, o 5o harmônico é de amplitude menor que o 3o, e assim por diante.
Para concluir a análise temos as FIG. 15 e FIG. 16 que mostram a identificação do
próximo componente da onda quadrada, o 5o. harmônico.
Figura 15- Onda quadrada de 500 Hz sendo aplicada a um filtro com corte em
2501 Hz. Obs.: Compare o resultado para o filtro de 2501 Hz com
aquele do filtro de 1501 Hz (FIG. 12).
Figura 16 - Teste para identificação do componente de sinal da onda quadrada
entre 1501 e 2499 Hz através de um filtro passa-faixa onde varia-se
fc1 entre os limites indicados.
Neste ponto, após todos os testes realizados nas figuras anteriores, e da
interpretação dada para os resultados obtidos, podemos apresentar uma conclusão
geral para a composição do sinal onda quadrada. Apesar não poder ser comprovado
TELECOMUNICAÇÕES I 36
CEFET-MG
neste texto, tais conclusões valem tanto para o sinal que usamos no exemplo visto
como para qualquer onda quadrada, de qualquer freqüência e amplitude.
a) o sinal de onda quadrada, como apresentado nas FIG. 10 a FIG. 16, é
composto apenas de sinais senoidais.
b) o sinal de onda quadrada possui em sua composição apenas os har-
mônicos de ordem impar, ou seja, apenas senoides cuja freqüência é um múltiplo
impar da taxa de repetição (freqüência) da onda quadrada.
c) a medida que a ordem do harmônico aumenta sua amplitude diminui.
Na realidade o que apresentamos nas FIG. 10 a FIG. 16 são testes que
podemos realizar em laboratório. Como já foi dito, existe também a possibilidade de
provar todos os resultados vistos através do uso de ferramentas matemáticas. Con-
tudo, como tais ferramentas são muito avançadas não pudemos fazer esta prova
matemática formal. Além disso, se prosseguíssemos nossos testes de laboratório,
na mesma linha que a apresentada acima, para outros tipos de sinais periódicos
não-senoidais também obteríamos resultados similares. Assim podemos reescrever
as conclusões sob um enfoque mais geral da seguinte forma:
i) qualquer sinal periódico não-senoidal é constituído a partir de somas
de sinais senoidais (e/ou cossenoidais) de diferentes freqüências e amplitudes.
ii) nos casos mais gerais, na composição do sinal podem entrar tanto se-
noides (ou cossenoides) de freqüências múltiplas impares, quantos senoides (ou
cossenoides) de freqüências múltiplas pares. Contudo, para vários tipos de sinais
não existirão, ou os harmônicos impares, ou os harmônicos pares, sendo esta última
possibilidade o caso em que se enquadra a onda quadrada.
iii) a medida que a ordem do harmônico aumenta sua amplitude diminui.
Marcus Tadeu Pinheiro Silva 37
CEFET-MG
iv) teoricamente o sinal não-senoidal é constituído por um número infinito
de componentes senoidais (e/ou cossenodais).
Duas observações finais cabem neste momento. A primeira, é de que as
conclusões acima a rigor aplicam-se apenas aos sinais periódicos, ou seja o sinal
deve repetir-se continuamente. Na realidade, se um sinal tem forma de onda não-
senoidal, e não é periódico , as conclusões acima constituem uma aproximação que
deveria ser um pouco modificada para valer para tais tipos de sinais. A outra obser-
vação é quanto a afirmação “iv”. A implicação de “iv” é de que caso quiséssemos
amplificar o sinal onda quadrada sem qualquer distorção o amplificador teria de ser
capaz de amplificar todos harmônicos do sinal, sendo que o número de harmônicos
é infinito. Isto significa um amplificador capaz de trabalhar com qualquer freqüência,
desde as mais baixas, até as mais altas que tenderiam a valor infinito. Obviamente
tal amplificador não existe na prática. Contudo, como vimos nos testes das FIG. 10 a
FIG. 16, a amplitude dos harmônicos reduz-se rapidamente com a ordem dos mes-
mos, e assim, se nosso amplificador responder apenas aos harmônicos de ordem
mais baixa, por exemplo, somente até o 13o (6500 Hz) no caso que estudamos,
existirá alguma distorção no sinal de saída do amplificador, mas tal distorção será
muito pequena e na prática desprezível.
1.5.3 Equação da onda quadrada
Tendo obtido que uma onda quadrada é composta de sinais senoidais,
conforme as conclusões “a”, “b” e “c” do item anterior, podemos escrever a equação
geral da mesma como:
úû
ù
êë
é +++= K)2(
5
)2(
3
)2(
1
2
)( t5fsen
A
t3fsen
A
t1fsen
A
tq ppp
p
Equação 9
TELECOMUNICAÇÕES I 38
CEFET-MG
Talvez a primeira vista a EQ. 9 pareça complexa. Mas, na realidade não
é bem isto que ocorre. Tudo que temos na EQ. 9 é uma soma de vários sinais do
tipo senoidal, e este tipo de sinal já foi visto detalhadamente no tópico 1.3, inclusive
quanto a formulação matemática. Se inicialmente observamos a EQ. 9 isolando cada
uma de suas partes constituintes e só depois visualizarmos ela como um todo, o
entendimento da mesma será obtido.
Primeiro, temos que cada seno tem um fator de amplitude comum, o valor
2/p, que multiplica todos os senos entre colchetes. Dentro do colchete vemos que
cada sinal seno tem uma representação “padronizada”. O argumento de cada seno é
da forma (2.p.f.n.t) , ou seja, da forma (w.n.t), pois 2.p.f = w. O n vale 1, 3, 5,..., con-
forme a ordem do seno na equação, e será comentado mais adiante.
O “t ” é o tempo pois estamos descrevendo a forma de onda do sinal, o
que constitui uma função do tempo.
“f” corresponde a freqüência da onda quadrada, e assim corresponde a
uma constante relativa a onda quadrada sendo descrita. Por exemplo, se a EQ. 9
descrever a onda quadrada vista nas FIG 10 e FIG. 11, a constante f assume o valor
500.
Para cada seno, multiplicando f temos um diferente índice n, um número
que cresce conforme a ordem do harmônico representado. Assim, no seno mais a
esquerda o índice é 1, significando que temos o 1o harmônico (f. 1), a seguir temos o
índice 3, significando que temos o 3o harmônico, mais a direita temoso índice 5, si-
gnificando que temos o 5o harmônico, e assim por diante. Isto condiz com as obser-
vações já feitas de que a onda quadrada só tem harmônicos impares.
Para finalizar, como vimos nos testes apresentados nas FIG. 10 a
FIG. 16, conforme o índice do harmônico cresce, a amplitude do mesmo diminui. Isto
é facilmente visto na EQ. 9, onde além do termo de amplitude comum (2/p), para
cada harmônico temos um fator de amplitude. Para o 1o harmônico este fator vale
Marcus Tadeu Pinheiro Silva 39
CEFET-MG
A/1, para o 3o vale A/3, para o 5o valor A/5, e assim por diante. O valor A correspon-
de ao valor de pico-a-pico da onda quadrada original, o que no caso da onda qua-
drada vista nas FIG. 10 a FIG. 16 significa que A vale 1.
Da discussão acima podemos reescrever a EQ. 9 para o caso particular
da onda quadrada das FIG. 10 a FIG.16, obtendo:
q t t t t( ) ( ) ( ) ( )= + + +é
ëê
ù
ûú
2 1
1
2 500
1
3
2 1500
1
5
2 2500
p
p p psen sen sen K Equação 10
Se o leitor possuir uma calculadora com capacidade para exibir gráficos
(uma HP-XXX, por exemplo), ou um computador pessoal, poderá usando um pro-
grama específico “programar” a EQ. 10 de modo a exibir na tela a forma de onda
quadrada construída a partir de senoides, obtendo resultados similares a aqueles
das FIG. 11 a FIG. 16.
1.5.4 Determinação das freqüências presentes nos sinais informação (exemplo
do sinal de voz)
Após as análises feitas acima, quando voltamos novamente nossa aten-
ção para o sinal de voz da FIG. 2, uma pergunta que surge é se poderemos identifi-
car no mesmo os sinais senoidais que devem ser somados, tal como fizemos no
caso da onda quadrada. Uma outra pergunta, relacionada a primeira, é se podere-
mos obter para tal sinal uma equação que o descreva ao longo do tempo analoga-
mente ao caso da onda quadrada . Na realidade, para o sinal de voz a resposta para
estas perguntas seria sim apenas sob condições extremamente controladas. Ou
seja, em geral não é possível escrever uma equação descrevendo um sinal de voz
ao longo do tempo, nem é possível identificar a qualquer tempo todas as freqüên-
cias (sinais senoidais) que o constituem. Pensando agora apenas no caso da equa-
ção, as condições controladas seriam, por exemplo, que a equação valeria apenas
para uma pessoa especifica, falando uma determinada palavra, sempre usando o
TELECOMUNICAÇÕES I 40
CEFET-MG
mesmo volume na pronúncia. Mesmo assim, a equação será extremamente comple-
xa e se a pessoa repetisse a pronúncia da palavra diversas vezes, de cada vez obte-
ríamos um sinal um pouco diferente do outro, ou seja, na melhor das hipóteses nos-
sa equação será apenas uma aproximação para a média de diversas pronúncias da
palavra escolhida para aquela pessoa em particular. Se mudarmos a palavra esco-
lhida a equação será outra, e, certamente muito diferente da anterior. E, finalmente,
se considerarmos o enorme repertório de palavras de uma língua qualquer, chega-
remos a conclusão que é inviável tentar caracterizar com equações exatas os sinais
de voz.
Embora não seja possível escrever equações para sinais de voz, descre-
vendo exatamente as freqüências que fazem parte do mesmos, pode-se trabalhar
esta questão das freqüências de forma estatística. A idéia é identificar “na média”
quais as freqüências importantes nos sinais de voz. O procedimento para tal identifi-
cação é basicamente o seguinte. Primeiro escolhe-se um grupo representativo de
pessoas. Cada uma destas pessoas, em ambiente de estúdio, geram amostras de
sinais de voz, sendo que tais amostras correspondem a pronúncia dos diferentes fo-
nemas da língua, de forma isolada e em palavras. Cada uma das amostras é pro-
cessada por equipamento eletrônico4 capaz de identificar as freqüências presentes
bem como suas amplitudes. No fim dos testes têm-se uma coleção de dados, que
são as freqüências e suas amplitudes para os diferentes fonemas pronunciados por
diferentes indivíduos. Faz então, uma média dos dados, média que pode inclusive
levar em conta a maior ou menor ocorrência de cada um dos fonemas naquela lín-
gua. No fim de tudo obtêm-se um gráfico tal como aquele da FIG. 17.
 
4 Tal equipamento é o analisador de espectro. Basicamente o analisador de espectro é um filtro pas-
sa-faixa sintonizável. A faixa de passagem de tal filtro é muito estreita de modo que ele consiga sepa-
rar as senoides que constituem o sinal analisado. Sintonizável significa que fc1 e fc2 do filtro vão cres-
cendo simultaneamente e continuamente, desde um limite inferior até um superior, conforme o sinal
sob analise. Tal processo é similar a aquele nas FIG 13 e FIG. 16, onde foram separados os compo-
nentes senoidais de 1500 e 2500 Hz, respectivamente, da onda quadrada.
Marcus Tadeu Pinheiro Silva 41
CEFET-MG
O que o gráfico da FIG. 17 mostra é que na média a maior parte da ener-
gia no sinal de voz concentra-se nas baixas freqüências, entre 100 Hz e 1500 Hz,
muito embora os testes indicados acima também mostrem que certos fonemas con-
tém sinais reduzidos, mas ainda significativos, em freqüências tão altas como em
12 kHz.
O exemplo da determinação do gráfico da FIG. 17 é representativo, pois
existem várias outras situações em Telecomunicações, onde apesar de ser impossí-
vel descrever o sinal de informação por uma equação, é importante determinar na
média qual (ou quais) a faixa de freqüências de tal sinal contém a principal parte da
energia. Por exemplo, para a televisão foi este tipo de conhecimento em relação ao
sinal de imagem que permitiu a evolução para um sistema colorido compatível com o
sistema preto e branco já existente.
Figura 17 - Gráfico da energia distribuída no sinal de voz em função da fre-
qüência (resultado estatístico).
TELECOMUNICAÇÕES I 42
CEFET-MG
1.6 Canal de Voz
Houve um determinado momento no desenvolvimento das telecomunica-
ções em que foi necessário determinar qual a faixa de freqüências5 seria aceita para
os sinais de voz nos sistemas telefônicos de longa distância (popularmente conheci-
do como chamadas interurbanas). A questão que estava em jogo neste momento
era de que sendo as faixas de freqüências recursos preciosos, se deveria transmitir
nos sistemas telefônicos de longa distância apenas os componentes de freqüência
da voz que fossem importantes para a inteligibilidade do sinal.
O significado disto é que testes estatísticos similares aos indicados no tó-
pico anterior tiveram que ser feitos. Dado que o objetivo dos testes é a inteligibilida-
de dos sinais de voz quando eles são limitados pelo sistema de comunicação a uma
certa faixa, eles incluem além de uma seleção de locutores, também uma seleção de
ouvintes representativos. Tais ouvintes escutavam os sinais de voz de palavras pro-
nunciadas por diversas pessoas, após tais sinais de voz terem passado por filtros
que limitavam as freqüências em sua saída (filtros passa-faixa). Se um sinal de voz
passa por um filtro que elimina várias de suas freqüências ele se torna em alguma
medida distorcido, ficando mais difícil para o ouvinte identificar a palavra pronuncia-
da. O objetivo era encontrar, na média destes ouvintes, qual seria a menor faixa de
freqüência possível, e que ainda permitiria que os ouvintes identificassem correta-
mente as palavras, dentro de uma margem de erro muito baixa. No caso da telefo-
nia, a margem de erro escolhida foi de 1%. Ou seja, se, estatisticamente, em uma
 
5 Para entender no contexto acima o significado de “faixa de freqüências”, considere o exemplo de um
amplificador para áudio. Se este amplificador responde a sinais senoidais até 18 kHz ele é um ampli-
ficador de áudio de altaqualidade para a amplificação do sinal originário de um acionador de CD de
música, pois a faixa de freqüências que o ouvido humano é capaz de responder vai até aproximada-
mente 18 kHz e os instrumentos musicais geram freqüências de onda sonora desde poucos Hz a até
mais do que 18 kHz. Por outro lado se este amplificador responde a sinais senoidais de freqüências
até 10 kHz, ele já não será de alta qualidade para musica mas para amplificação da voz captada por
um microfone ele será plenamente adequado pois os sinais de voz só possuem componentes senoi-
dais “significativas” em freqüências até os 10 kHz.
Marcus Tadeu Pinheiro Silva 43
CEFET-MG
conversação telefônica onde os componentes senoidais da voz são limitados em
uma faixa de “X” até “Y” Hz, e ainda assim na média 99% das palavras pronunciadas
são entendidas pelo ouvinte, considera-se que têm-se uma inteligibilidade aceitável.
A partir dos testes determinou-se que o valor para entendimento imediato de 99%
das palavras seria a faixa de 300 a 3400 Hz.
Na realidade, nos sistemas telefônicos deixou-se uma margem de segu-
rança tanto baixo do limite inferior quanto acima do limite superior. Isto foi feito por
razões tecnológicas que serão esclarecidas quando estudarmos a multiplexação em
uma outra unidade do curso. Assim, reserva-se nos sistemas telefônicos uma faixa
de 4 kHz para cada sentido da conversação telefônica, onde nos 300 Hz inferiores
da faixa e nos 600 Hz superiores da faixa os sinais de voz são bloqueados (veja a
FIG. 18).
Figura 18 - Canal de voz para telefonia. A área marcada com corresponde a
faixa efetiva para o sinal de voz. As áreas marcadas com cor-
respondem às margens de segurança onde não existe o sinal de
voz.
Observe que embora, o gráfico da FIG. 17 indique que as freqüências de
100 a 1500 Hz contem a maior parte da energia do sinal de voz, isto não foi funda-
mental quando surgiu a necessidade determinar o canal de voz para telefonia, pois o
que era principal era a inteligibilidade, critério este que levou a escolha de uma faixa
que descarta boa parte da energia do sinal de voz.
TELECOMUNICAÇÕES I 44
CEFET-MG
Por último, consideremos a economia em termos de ocupação de fre-
qüências que é feita quando utilizamos canais de voz com 4 kHz e não com 10 kHz,
que é a componente senoidal de mais alta freqüência que na média ainda é rele-
vante no sinal de voz. Se forem 10 conversações telefônicas necessitaremos de 40
kHz para a limitação em 4 kHz, e de 100 kHz para a limitação em 10 kHz, ou seja
uma economia de 60 kHz. Tal economia em termos de uso de freqüências se justifi-
ca plenamente quando consideramos que a limitação em 4 kHz representará uma
redução muito pequena na inteligibilidade (1%) em relação ao caso de 10 kHz.
1.7 Representação do sinal no domínio da freqüência: O Espectro
A expressão no domínio da(o) “xxxxxx” indica qual é a variável em função
da qual estamos representando uma certa grandeza. Assim, quando traçamos um
gráfico de tensão em função do tempo, tal como aquele da FIG. 19a, podemos dizer
que estamos fazendo uma representação de um sinal no domínio do tempo. Em
nossa disciplina tal representação será normalmente denominada forma de onda
(F.O.) do sinal. Por outro lado, como será a descrição deste sinal senoidal da
FIG. 19a em função (no domínio) da freqüência? Primeiro temos que o sinal senoidal
da FIG. 19a contém um única freqüência, que no caso é 100 kHz. Assim tal sinal
não contém qualquer outra freqüência que não seja 100 kHz, e assim para descre-
ve-lo em um gráfico de freqüência devemos simplesmente traçar um eixo horizontal
graduado em Hertz e no ponto correspondente a 100 kHz, marcar uma linha vertical
com altura igual a amplitude do sinal. Isto resulta no gráfico da FIG. 19b.
Marcus Tadeu Pinheiro Silva 45
CEFET-MG
Este resultado da FIG. 19b é a representação no domínio da freqüência
do sinal da FIG. 19a, e tal representação é denominada espectro do sinal6.
Figura 19 - a) Forma de onda de um sinal senoidal; b) Espectro de amplitudes
do sinal da FIG 19a
 
6 Em alguns casos pode ser conveniente ser mais especifico em relação ao gráfico de forma de onda
ou de espectro, indicando exatamente que grandeza esta sendo avaliada no eixo vertical. Por exem-
plo, podemos ter forma de onda de tensão, ou forma de onda de potencia, ou forma de onda de ener-
gia, da mesma forma que podemos ter espectro de amplitudes da tensão, ou espectro de potência,
ou ainda espectro de energia. Normalmente, em nossa disciplina trataremos apenas de sinais de for-
ma de onda de tensão e assim fica subentendido daqui por diante que se nos referirmos simples-
mente a forma de onda está implícito que trata-se de forma de onda de tensão. O mesmo vale para a
representação em freqüência, onde se nos referirmos apenas a espectro trata-se do espectro de ten-
são.
TELECOMUNICAÇÕES I 46
CEFET-MG
Na realidade, a representação de espectro já havia sido apresentada an-
teriormente nesta unidade. O gráfico da FIG. 17 é uma representação de espectro.
No caso da FIG. 17 trata-se de um espectro de energia para sinais de voz. Como foi
discutido no item 1.5 o gráfico da FIG. 17 foi obtido por um processo de média de
uma enorme quantidade de sinais de voz. O resultado foi um espectro contínuo, ou
seja, um sinal de voz qualquer pode conter todas as freqüências dentro de uma fai-
xa que vai de 60 Hz até 12 kHz. Para contrastar com o espectro contínuo da FIG.
17, podemos agora traçar o espectro para o sinal onda quadrada apresentado nos
testes do item 1.5. O resultado obtido aparece na FIG. 20. Observe que o espectro
para a onda quadrada é do tipo discreto , ou seja, a onda quadrada só contém com-
ponentes senoidais em pontos específicos do eixo da freqüência, sendo nula em to-
dos demais pontos do eixo da freqüência.
Figura 20- Forma de onda da onda quadrada analisada no item 1.5 e seu espec-
tro de amplitudes.
A obtenção do gráfico da FIG. 20 é simples. Basta observar a equação da
onda quadrada decomposta em sinais senoidais (EQ. 10). Para cada senoide, ano-
ta-se no ponto do eixo horizontal correspondente a sua freqüência uma linha vertical.
Esta linha vertical tem a altura proporcional a sua amplitude. Por exemplo, o 1o ter-
mo da equação é 1/1[sen(2.p.500.t)], logo no ponto 500 Hz do eixo horizontal, tra-
çamos uma linha vertical de altura correspondente a (2/p).(1/1). O termo (2/p) é co-
Marcus Tadeu Pinheiro Silva 47
CEFET-MG
mum a todas as amplitudes das senoides e assim aparece na amplitude de todas a
linhas apresentadas. Quando o espectro é discreto, tal como na figura acima, deno-
minamos cada uma das linhas verticais de “raia de freqüência” do espectro, ou sim-
plesmente de “raia” do espectro. Por outro lado, para espectros contínuos, tal como
aquele da FIG. 17, denominamos de “faixa de freqüências” do espectro, ou sim-
plesmente “faixa” do espectro, qualquer extensão continua do espectro de freqüên-
cias.
1.7.1. Espectro de amplitudes e de fases
Na realidade, o conceito de espectro de amplitudes já foi apresentado no
item anterior quando traçamos o espectro do sinal onda quadrada descrito na
EQ. 10. Neste item o que vamos fazer é completar a análise da representação de
um sinal de tensão (ou de corrente) no domínio da freqüência indicando a necessi-
dade e como é obtido o espectro de fases para um sinal. Para chegar nesta novo
espectro vamos antes fazer dois exemplos que justificarão sua necessidade.
Exemplo 1.3
Para a forma de onda apresentada na FIG. 21, foi obtida através da análi-
se de Fourier a EQ. 11. Trace o espectro de amplitudes para o sinal.
Figura 21 – Forma de onda triangular do exemplo 1.3
TELECOMUNICAÇÕES I 48CEFET-MG
g( t t t t) cos cos cos= + + +æ
èç
ö
ø÷
4 1
1
2 500
1
9
2 1500
1
25
2 2500
2p
p p p L Equação 11
Solução
Para traçar o espectro de amplitudes basta observar a EQ. 11 e a
FIG. 21. O sinal da FIG. 21 tem freqüência de 500 Hz com amplitude de 1 volt de
pico-a-pico. A EQ. 11 mostra que, de forma similar a onda quadrada, a onda trian-
gular também só possui harmônicos impares (no exemplo 1500 Hz, 2500 Hz, ...).
Traçando o espectro de amplitudes com base na EQ. 11 obtemos o resultado da
FIG. 22.
Figura 22- Espectro de amplitudes para a onda triangular do exemplo 1.2.
Se compararmos o espectro resultante do exemplo 1.3 com aquele que
tinha sido obtido anteriormente para a onda quadrada (FIG. 20b), vemos imediata-
mente que eles têm alguma semelhança, pois as raias do espectro estão nas mes-
mas freqüências. Por outro lado, obviamente as amplitudes de tais componentes de
freqüência são diferentes no caso da onda quadrada e da triangular. Mas o mais im-
portante a observar é que enquanto o espectro da FIG. 22 foi obtido de uma equa-
Marcus Tadeu Pinheiro Silva 49
CEFET-MG
ção de cossenos, o espectro da FIG. 20b foi obtido de uma equação de senos. Ou
seja, a apresentação no espectro apenas das amplitudes de freqüência do sinal, não
permite caracteriza-lo completamente, pois fica faltando indicar se tais componentes
de freqüências referem-se a senos ou cossenos (ou ambos tipos) que entram na
constituição do sinal. O que falta em nossa representação do sinal no domínio da
freqüência é o espectro de fase; é este espectro, junto com o de amplitude, que
permite caracterizar completamente o sinal. Temos a seguir um outro exemplo onde
fica ainda mais clara a necessidade do espectro de fases. Neste exemplo, veremos
então como obter a representação completa (fase e amplitude) do sinal no domínio
da freqüência.
Exemplo 1.4
Para a forma de onda apresentada na FIG. 23 foi obtida através da análi-
se de Fourier a EQ. 12. Trace a representação completa do sinal no domínio da fre-
qüência.
Figura 23 – Forma de onda do exemplo 1.4.
h t t t t
t t t
( ) cos cos cos
sen sen sen
= - + + +æ
èç
ö
ø÷
+
+ + +æèç
ö
ø÷ +
4 1
1
2 500
1
9
2 1500
1
25
2 2500
2 1
1
2 500
1
3
2 1500
1
5
2 2500
2p
p p p
p
p p p
L
L
Equação 12
TELECOMUNICAÇÕES I 50
CEFET-MG
Solução
Observando a equação vemos que para cada freqüência (500, 1500,
2500, etc.) ela possui um termos em seno e um termo em cosseno, sendo as fre-
qüências harmônicos impares da taxa de repetição do sinal (500 Hz), ou seja, o sinal
da FIG. 23 não contem harmônicos pares. As amplitudes destes harmônicos impa-
res diferem no caso dos senos e dos cossenos de mesma freqüência. Assim, como
poderemos ao traçar apenas o espectro de amplitudes indicar a composição do sinal
em termos de senos e cossenos? A questão é que o espectro só será uma repre-
sentação completa do sinal se permitir que a partir do mesmo obtenhamos nova-
mente a equação da análise de Fourier. A idéia simples de somar as amplitudes de
senos e cossenos de mesma freqüência, e assim traçar a raia do espectro de cada
freqüência presente no sinal, falha pelo fato de que uma vez traçado tal espectro
não poderemos fazer a operação reversa, ou seja, escrever a equação do sinal a
partir do espectro obtido desta forma.
A solução para obter um espectro que descreve completamente o sinal é
dividi-lo em duas partes, uma relativa as amplitudes puras e outra relativa as fases.
O procedimento pode ser entendido da seguinte forma. Seno e cosseno, de uma
mesma freqüência, são funções defasadas no tempo por 90°, assim, consideramos
um sistema de dois eixos defasados de 90°, onde o seno refere-se ao eixo vertical e
o cosseno ao eixo horizontal, veja isto na FIG. 24. Desta forma a amplitude pura, a
distancia Cn, refere-se a composição de An e Bn, segundo o teorema de Pitágoras,
ou seja:
C A Bn n n= +( ) ( )
2 2 Equação 13
Marcus Tadeu Pinheiro Silva 51
CEFET-MG
Figura 24 - Representação geométrica para as amplitudes de sinais senoidais e
cossenoidais de mesma freqüência.
Em todos os casos o índice n indica o harmônico do sinal para o qual es-
tamos obtendo a composição em termos de amplitude e fase. An é a componente no
eixo do cosseno, e Bn é a componente no eixo do seno. A caracterização do ângulo,
ou fase, relativo a um harmônico n do sinal, é novamente obtida através de um cál-
culo de geometria analítica, ou seja, conforme a FIG. 24 o valor do ângulo vale:
f fn ajuste
n
n
arctg
B
A
= +
æ
è
ç
ö
ø
÷ Equação 14a
Onde,
An > 0 Þ fajuste = 0°
An < 0 Þ fajuste = 180°
Ou de outra forma,
fajuste n
n
A
A
= °× -
æ
è
ç
ö
ø
÷90 1 Equação 14b
TELECOMUNICAÇÕES I 52
CEFET-MG
Com o procedimento indicado acima podemos agora traçar o espectro
completo do sinal da FIG. 23. obtendo os espectros de amplitudes e fases, apre-
sentados na FIG. 25. O leitor que quiser tirar a prova poderá obter a equação origi-
nal do sinal (EQ. 12), a partir dos espectros da FIG. 25. Para isto basta usar as EQ.
15 e EQ. 16 ( tais equações se justificam por raciocínio geométrico similar aos das
EQ. 13 e EQ. 14)
A Cn n n= cosf Equação 15
B Cn n n= senf Equação 16
Figura 25 - Representação completa do espectro para o sinal da FIG. 23. À es-
querda têm-se o espectro de amplitude, e à direita o espectro de
fase.
Tendo estabelecido a necessidade do espectro de fase para permitir a re-
presentação completa do espectro de um sinal, podemos agora complementar a
apresentação anteriormente feita para os casos do sinal quadrado e triangular,
EQ. 10 e EQ.11, respectivamente. Neste dois casos já obtemos os espectros de
amplitudes, e tais espectros estão coerentes com a EQ. 13, bastando observar que:
Marcus Tadeu Pinheiro Silva 53
CEFET-MG
i) se para todo n, An = 0, a EQ. 13 se reduz a Cn = Bn;
 ii) se para todo para todo n, Bn = 0, a EQ. 13 se torna Cn = An .
Para os espectros de fases os resultados para estes dois sinais são muito
simples. Para o triangular as amplitudes dos senos é nula ( Bn = 0, para todo n ), o
que resulta, através da EQ. 14, que a fase vale 0°, para todas as freqüências pre-
sentes no sinal. Tal resultado aparece na FIG. 26. Para o quadrado todos os cosse-
nos tem amplitude nula (An = 0, para todo n), e assim, a fase para todas freqüências
presentes no sinal é 90°, conforme apresenta a FIG. 27.
Figura 26 - Espectro de fases para o sinal triangular da EQ. 11. O espectro aci-
ma junto com o espectro de amplitudes anteriormente apresentado
(FIG. 23), constitui a representação completa do sinal triangular no
domínio da freqüência
TELECOMUNICAÇÕES I 54
CEFET-MG
Figura 27 - Espectro de fases para o sinal quadrado da EQ. 10. O espectro aci-
ma junto como espectro de amplitudes anteriormente apresentado
(FIG. 22), constitui a representação completa do sinal quadrado no
domínio da freqüência
Como as FIG. 26 e FIG. 27 exemplificam, nos casos em que todos An’s,
ou Bn’s, são nulos o espectro de fases é muito simples. Assim, nestes casos ao in-
vés de traçarmos o espectro de fases em si, podemos indicar no próprio espectro de
amplitudes toda informação contida no espectro de fase. Quando só existem senos
na forma de onda, e todos Bn’s são de mesma polaridade, podemos escrever no es-
pectro de amplitudes, tal como uma legenda, indicando : “apenas +90° “ (coeficien-
tes positivos) ou “apenas -90° “ (coeficientes negativos). No caso onde só existem
cossenos, de forma análoga, poderíamos apresentar apenas o espectro de amplitu-
des indicando no mesmo “apenas 0° “ (coeficientes positivos) ou “apenas 180° “ (co-
eficientes negativos).