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�PAGE � �PAGE �1� MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I Projeto Turmas Especiais RESUMO DA AULA TEÓRICA 7 DERIVADA E RETA TANGENTE Seja um ponto fixado no gráfico da função . Agora considere um outro ponto sobre o gráfico dessa função. (veja figura abaixo). O coeficiente angular da reta secante é dado pela expressão . Conforme observamos na aula teórica 5, quando tende ao número aparentemente a reta secante tende a uma certa posição. Se esse limite existir, diremos que a posição limite das retas secantes é a reta tangente ao gráfico de no ponto . Para formalizar esse conceito, vamos definir: Definição: a derivada da função no ponto , denotada por , é o valor de qualquer um dos seguintes limites , caso eles existam. Caso exista , dizemos que é derivável, ou que possui derivada, no ponto . Definição: se é derivável no ponto então a reta tangente ao gráfico de no ponto é definida como sendo a reta que passa por e tem inclinação . Ou seja, é a reta de equação Exemplo 1: determinar a equação da reta tangente ao gráfico da hipérbole em . Exemplo 2: (velocidade média e velocidade instantânea) Suponhamos que a distância percorrida por um objeto, entre os instantes 0 e , é dada por . Nesse caso, definimos a velocidade instantânea desse objeto no instante por . Interpretar essa derivada como sendo o limite das velocidades médias , conforme fazemos tender a zero. Exemplo 3: O deslocamento de uma partícula em cada instante t, em segundos, é dado, em metros, por . Substituir os extremos dos intervalos na expressão da velocidade média e apresentar os resultados na tabela: Intervalo de tempo Velocidade média (m/s) [2 ; 3] 25 [2 ; 2,1] 20,5 [2 ; 2,01] 20,05 [2 ; 2,001] 20,005 Calcular a velocidade instantânea em t = 2. Exemplo 4: calcular cada uma das seguintes derivadas: Se é uma função constante então . Se então . Se então . Se , natural, então . Exemplo 5: se então não tem derivada no ponto . REGRAS DE DERIVAÇÃO Suponhamos que as funções e sejam deriváveis. Então cada uma das funções listadas a seguir também é derivável, e além disso, valem as igualdades: (a) (b) (c) (d) (e) , desde que . (f) Se , então , para qualquer número real e . Exemplos: calcule a derivada de cada uma das funções a seguir: , e DERIVADAS DAS FUNÇÕES: seno, cosseno, exponencial e logaritmo Para os próximos exemplos e exercícios admita que: Observação: essas derivadas serão calculadas na Aula Teórica 10. Exemplos 1: usando as informações da tabela anterior e as regras de derivação, calcule a derivada de cada uma das seguintes funções: a) b) c) d) e) f) Exemplo 2: Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa x = 1. _1234681263.unknown _1234682646.unknown _1234683002.unknown _1234683353.unknown _1234782287.unknown _1235806585.unknown _1236541845.unknown _1235800577.unknown _1234684048.unknown _1234684416.unknown _1234684449.unknown _1234704933.unknown _1234782286.unknown _1234684479.unknown _1234684428.unknown _1234684080.unknown _1234683996.unknown _1234684019.unknown _1234683651.unknown _1234683259.unknown _1234683321.unknown _1234683347.unknown _1234683296.unknown _1234683105.unknown _1234683183.unknown _1234683048.unknown _1234682808.unknown _1234682913.unknown _1234682920.unknown _1234682850.unknown _1234682747.unknown _1234682755.unknown _1234682715.unknown _1234682723.unknown _1234682697.unknown _1234681807.unknown _1234682591.unknown _1234682619.unknown _1234682637.unknown _1234682611.unknown _1234681846.unknown _1234682577.unknown _1234681829.unknown _1234681498.unknown _1234681700.unknown _1234681794.unknown _1234681689.unknown _1234681397.unknown _1234681420.unknown _1234681342.unknown _1234619615.unknown _1234681022.unknown _1234681144.unknown _1234681262.unknown _1234681062.unknown _1234619704.unknown _1234681015.unknown _1234619874.unknown _1234619694.unknown _1234618948.unknown _1234618993.unknown _1234619373.unknown _1234619054.unknown _1234618788/ole-[42, 4D, BA, AA, 03, 00, 00, 00] _1234618916.unknown _1218525493.unknown _1234617981.unknown _1218525219.unknown
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