Aproximação de funções Interpolação

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86
unesp CAMPUS DE GUARATINGUETÁ 
Computação e Cálculo Numérico: Elementos de Cálculo Numérico 
Prof. G.J. de Sena - Depto. de Matemática – Rev. 2008 
 
CAPÍTULO 4 
 
 INTERPOLAÇÃO 
 
 
4.1 INTRODUÇÃO 
 
Considere a seguinte tabela relacionando calor específico da água(c) e temperatura (T): 
 
T (oC) 25 30 35 40 
c 0.99852 0.99826 0.99818 0.99828 
 
Suponha se queira determinar: 
 
(i) c para T = 32.5 oC 
(ii) T para c = 0.99825 
 
Este tipo de problema pode ser resolvido com a ajuda da interpolação. Interpolar uma 
função f(x) consiste em "substituir" esta função por outra função, g(x), que é uma 
aproximação da função dada. 
 
Há a necessidade de se efetuar uma interpolação em várias situações, como por exemplo: 
 
(a) quando a função é conhecida apenas em um conjunto finito e discreto de pontos, não se 
dispondo de sua forma analítica; 
 
(b) quando a forma analítica da função é tal que operações como a diferenciação e a 
integração são difíceis (ou mesmo impossíveis) de serem realizadas. 
 
 
4.2 PROBLEMA GERAL DE INTERPOLAÇÃO 
 
Sejam nxxx ,,, 10 K , )1( +n pontos distintos, chamados pontos de interpolação e sejam 
)(,),(),( 10 nxfxfxf K os valores de )(xf nesses pontos. 
 
Objetiva-se obter uma função de interpolação g(x) para a função f(x), a partir dos pontos de 
interpolação, com a condição de que os valores numéricos de f e g sejam coincidentes 
nesses pontos de interpolação, ou seja: 
 
)()(),()(),()( 1100 nn xfxgxfxgxfxg === L 
 
 
 
87
Graficamente: 
 
 
Obs.: 
(a) A função g(x) pode pertencer à classe das funções exponenciais, logarítmicas, 
trigonométricas ou polinomiais; 
(b) Para o caso da interpolação polinomial, há as formas dadas, por exemplo, pela 
fórmula de Taylor e pelos polinômios de Hermite, em que as condições de 
interpolação são outras. 
 
 
4.3 INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 
 
4.3.1 EXISTÊNCIA E UNICIDADE DO POLINÔMIO INTERPOLADOR 
 
Dados os pontos ))(,(,)),(,()),(,( 1100 nn xfxxfxxfx K , portanto 1+n pontos, queremos 
aproximar ( )xf por um polinômio de grau ( )xPn n,≤ , tal que: 
 
( ) ( ) nkxPxf knk ,...,2,1,0== 
 
Dado que ( )xPn é da forma 
 
n
nxaxaxaa ++++ ...
2
210 
 
obter ( )P xn significa obter os coeficientes 
 
naaaa ,...,,, 210 
 
Da condição ( ) ( )kkn xfxP = , obtém-se o sistema linear: 
 
 
 
88
( )
( )
( )






=++++
=++++
=++++
+
n
n
nnnn
n
n
n
n
n
xfxaxaxaa
xfxaxaxaa
xfxaxaxaa
S
L
MMMMM
L
L
2
210
11
2
12110
00
2
02010
1 
 
com n+1 equações e n+1 variáveis: naaa ,,, 10 L . 
 
A matriz A dos coeficientes: 
 














=
n
n
n
n
nn x
x
x
xx
xx
xx
A
M
L
MMM
L
L
1
0
2
2
11
2
00
1
1
1
 
 
é uma matriz de Vandermonde. Portanto, desde que x0, x1, ..., xn sejam pontos 
distintos, tem-se que det A ≠ 0 e que o sistema admite solução única. 
 
Concluindo: se x x j kk j≠ ≠, , então existe um único polinômio )(xPn , de grau ≤ n, tal 
que nkxfxP kkn ,...,2,1,0),()( == . 
 
Exemplo:
 
Obter um polinômio de grau ≤ 2 que interpole os pontos da tabela 
 
x 1.0 1.1 1.2 
f(x) 2.718 3.004 3.320 
 
Determinar o valor aproximado de f(1.05) 
 
Solução: 
 
Forma do polinômio: 
2
212 )( xaxaaxP o ++= 
 
Condição de interpolação: 
2,1,0)()(2 == kxfxP kk 
320.3)2.1()2.1()2.1()2.1()(
004.3)1.1()1.1()1.1()1.1()(
718.2)0.1()()0.1()(
2
210222
2
210212
0210202
==++==
==++==
===++==∴
faaaPxP
faaaPxP
fxfaaaPxP
 
 
Os coeficientes ao, a1 e a2 são obtidos, portanto, da solução do sistema: 
 
 
89
 





=++
=++
=++
320.3a44.1a2.1a
004.3a21.1a1.1a
718.2aaa
:S
210
210
210
3 
 
Usando o dispositivo prático para o método de eliminação de Gauss, obtém-se: 
 
a0 a1 a2 
1 
1 
1 
1 
1.1 
1.2 
1 
1.21 
1.44 
2.718 
3.004 
3.320 
 
a 2
0 003
0 002
15= =.
.
. 
 0.1 
0.2 
0.21 
0.44 
0.286 
0.602 
29.0
1.0
)5.1)(21.0(286.0
a1 −=
−
= 
 0.002 0.003 a0 = 2.718 - 1.5 + 0.29 = 1.508 
 
2
2 5.129.0508.1)( xxxP +−=∴ 
85725.2)05.1)(5.1()05.1)(29.0(508.1)05.1()05.1( 22 =+−=≅ Pf 
 
Obs.: sabendo-se que xexf =)( , tem-se que 8576511.2)05.1( 05.1 == ef 
 
A matriz A dos coeficientes pode ser, no caso geral, mal condicionada. Portanto, não será 
sempre conveniente obter o polinômio de interpolação da forma indicada no exemplo. 
 
 
4.3.2 OBTENÇÃO DE )(xPn - FORMA DE LAGRANGE 
 
Sejam nxxx ,,, 10 K , )1( +n pontos distintos, e )( ii xfy = , ni ,,2,1,0 K= . Seja )(xPn o 
polinômio de grau ≤ n que interpola f em nxxx ,,, 10 K . Supor que )(xPn é da forma: 
 
)(...)()()( 1100 xLyxLyxLyxP nnn +++= 
 
onde cada ),...,2,1,0(),( nkxLk = , é um polinômio de grau ≤ n. 
 
Da condição de interpolação: 
 
iin yxP =)( vem que iinnii yxLyxLyxLy =+++ )(...)()( 1100 
 
Esta condição será satisfeita se se impuser: 
 
 
 
90



≠
=
=
ikse
ikse
xL ik
,0
,1)( 
 
o que é obtido com a seguinte definição de Lk(x): 
 
))...()()...()((
))...()()...()(()(
1110
1110
nkkkkkkk
nkk
k
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xL
−−−−−
−−−−−
=
+−
+−
 
pois: 
kisexL
exL
ik
kk
≠=
=
0)(
1)(
 
 
Como Lk(x) tem n fatores da forma (x - xi), )(xLk é um polinômio de grau n. Assim, 
)(xPn é um polinômio de grau ≤ n. 
 
Esta é a forma de Lagrange para o polinômio interpolador: 
 
∑
=
=
n
k
kkn xLyxP
0
)()( onde 
)(
)(
)(
0
0
ik
n
ki
i
i
n
ki
i
k
xx
xx
xL
−
−
=
≠
=
≠
=
pi
pi
 
 
 
Exemplo: 
Seja )(xfy = uma função definida através da tabela a seguir. Para esta função pede-se, 
utilizando a forma de Lagrange, com interpolação quadrática: 
(a) O valor aproximado para )05.1(f ; 
(b) O polinômio de interpolação na forma 22102 )( xaxaaxP ++= . 
 
x 1.0 1.1 1.2 
f(x) 2.718 3.004 3.320 
 
Resolução: 
 
(a) )()()()( 2211002 xLyxLyxLyxP ++= 
)2.10.1)(1.10.1(
)2.1)(1.1(
))((
))(()(
2010
21
0
−−
−−
=
−−
−−
=
xx
xxxx
xxxx
xL )2.10.1)(1.10.1(
)2.105.1)(1.105.1()05.1(0
−−
−−
=L 
)2.11.1)(11.1(
)2.1)(1(
))((
))(()(
2101
20
1
−−
−−
=
−−
−−
=
xx
xxxx
xxxx
xL )2.11.1)(11.1(
)2.105.1)(105.1()05.1(1
−−
−−
=L 
 
 
91
)1.12.1)(12.1(
)1.1)(1(
))((
))(()(
1202
10
2
−−
−−
=
−−
−−
=
xx
xxxx
xxxx
xL )1.12.1)(12.1(
)1.105.1)(105.1()05.1(2
−−
−−
=L 
 
)05.1(32.3)05.1(004.3)05.1(718.2)05.1()05.1( 2102 LLLPf ++=≅ 
375.0)2.10.1)(1.10.1(
)2.105.1)(1.105.1()05.1(0 =
−−
−−
=L 
75.0)2.11.1)(11.1(
)2.105.1)(105.1()05.1(1 =
−−
−−
=L 
125.0)1.12.1)(12.1(
)1.105.1)(105.1()05.1(2 =
−−
−−
=L 
85725.2)125.0(32.375.0004.3375.0718.2)05.1(2 =−×+×+×=∴ P 
 
(b) Obtenção de 22102 )( xaxaaxP ++= 
)()()()( 2211002 xLyxLyxLyxP ++= 
6611550)2.10.1)(1.10.1(
)2.1)(1.1()( 20 +−=
−−
−−
= xx
xx
xL 
120220100)2.11.1)(11.1(
)2.1)(1()( 21 −+−=
−−
−−
= xx
xx
xL 
5510550)1.12.1)(12.1(
)1.1)(1()( 22 +−=
−−
−−
= xx
xx
xL 
 
)5510550(320.3)120220100(004.3)6611550(718.2)( 2222 +−+−+−++−=∴ xxxxxxxP 
⇒ = − +P x x x2
215 0 29 1508( ) . . . 
 
Observação: 
320.3508.1)2.1)(29.0()2.1)(5.1()2.1(
004.3508.1)1.1)(29.0()1.1)(5.1()1.1(
718.2508.1)1)(29.0()1)(5.1()0.1(
2
2
2
2
2
2
=+−=
=+−=
=+−=
P
P
P
 
 
 
Exemplo:
 (interpolação linear)(a) Obter, utilizando a forma de Lagrange, o polinômio P1 (x) que interpole os pontos 
))(,( 00 xfx e ))(,( 11 xfx . 
(b) Comparar com a equação da reta que passa por estes pontos. 
Resolução: 
 
 (a) )()()( 11001 xLyxLyxP += x 0x 1x 
 f(x) 
oy 1y 
 
 
92
L x
x x
x x
0
1
0 1
( ) ( )( )=
−
−
 L x
x x
x x
1
0
1 0
( ) ( )( )=
−
−
 
4342143421
ba
xx
xyxy
x
xx
yy
xx
xxy
xx
xxy
xx
xxy
xx
xxyxP )(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
01
0110
01
01
01
0
1
01
1
0
01
0
1
10
1
01
−
−
+
−
−
=
−
−
+
−
−
=
−
−
+
−
−
=∴ 
(b) 
 
0
01
01
01 )(
xx
yxP
xx
yy
tg
−
−
=
−
−
=α 00
01
01
1 )()(
)()( yxx
xx
yy
xP +−
−
−
=⇒ 
)(
)()(
)(
)()(
01
001010
01
01
1
xx
yxxxyy
x
xx
yy
xP
−
−+−
+
−
−
=⇒ 
4342143421
ba
xx
xyxy
x
xx
yy
xP )(
)(
)(
)()(
01
0110
01
01
1
−
−
+
−
−
=⇒ 
 
 
Exemplo: 
 
Seja a função )(xfy = conhecida apenas nos pontos tabelados: 
 
x 0 0.1 0.3 0.6 1 
f(x) 1 2.001 4.081 8.296 21 
 
Determinar o valor aproximado para )20.0(f aplicando-se a fórmula de Lagrange: 
a) Com interpolação linear; 
b) Com interpolação quadrática; 
c) Utilizando todos os pontos da tabela. 
 
Resolução: 
 
a) Interpolação Linear 
Neste caso são necessários dois pontos. Trabalharemos com os pontos a seguir: 
 
x 0.1 0.3 
f(x) 2.001 4.081 
 
Uma vez que 0.20 está neste intervalo. O polinômio de interpolação é dado por: 
)()()( 11001 xLyxLyxP += 
 
 
93
( ) )1.03.0(
)1.0()081.4()3.01.0(
)3.0(001.2)(1
−
−
+
−
−
=
xx
xP 
 
Substituindo 20.0=x , obtém-se: 
( ) 041.3)1.03.0(
)1.02.0()081.4()3.01.0(
)3.02.0(001.2)2.0(1 =
−
−
+
−
−
=P 
041.3)20,0( ≅∴ f 
 
b) Interpolação Quadrática 
Neste caso são necessários três pontos. Trabalharemos com os pontos a seguir: 
 
x 0.1 0.3 0.6 
f(x) 2.001 4.081 8.296 
 
Uma vez que 20.0=x está neste intervalo. Neste caso poderíamos também ter escolhido 
os três pontos a seguir, dado que 0.2 é ponto médio do intervalo [ ]3.0,1.0 : 
 
x 0 0.1 0.3 
f(x) 1 2.001 4.081 
 
Retornaremos à questão de escolha dos pontos mais adiante. O polinômio de interpolação é 
dado por: 
)()()()( 2211002 xLyxLyxLyxP ++= 
( ) )3.06.0)(1.06.0(
)3.0)(1.0()296.8()6.03.0)(1.03.0(
)6.0)(1.0()081.4()6.01.0)(3.01.0(
)6.0)(3.0(001.2)(2
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
=
xxxxxx
xP
 
Substituindo 20.0=x , obtém-se: 
( ) )3.06.0)(1.06.0(
)3.02.0)(1.02.0()296.8()6.03.0)(1.03.0(
)6.02.0)(1.02.0()081.4()6.01.0)(3.01.0(
)6.02.0)(3.02.0(001.2)2.0(2
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
=P
968.2)2.0(2 =⇒ P 968.2)20,0( ≅∴ f 
 
c) Interpolação utilizando todos os pontos da tabela 
( ) +
−−−−
−−−−
+
−−−−
−−−−
=
++++=
)11.0)(6.01.0)(3.01.0)(01.0(
)1)(6.0)(3.0)(0()001.2()10)(6.00)(3.00)(1.00(
)1)(6.0)(3.0)(1.0(1
)()()()()()( 44332211004
xxxxxxxx
xLyxLyxLyxLyxLyxP
( ) ( )
( ) )6.01)(3.01)(1.01)(01(
)6.0)(3.0)(1.0)(0(21
)16.0)(3.06.0)(1.06.0)(06.0(
)1)(3.0)(1.0)(0(296.8)13.0)(6.03.0)(1.03.0)(03.0(
)1)(6.0)(1.0)(0(081.4
−−−−
−−−−
+
−−−−
−−−−
+
−−−−
−−−−
xxxx
xxxxxxxx
 
 
 
94
016.3)6.01)(3.01)(1.01(
)6.02.0)(3.02.0)(1.02.0)(2.0()21(
)16.0)(3.06.0)(1.06.0)(6.0(
)12.0)(3.02.0)(1.02.0(2.0()296.8()13.0)(6.03.0)(1.03.0)(3.0(
)12.0)(6.02.0)(1.02.0)(2.0()081.4(
)11.0)(6.01.0)(3.01.0)(1.0(
)12.0)(6.02.0)(3.02.0)(2.0()001.2()6.0)(3.0)(1.0(
)12.0)(6.02.0)(3.02.0)(1.02.0(
)20,0()20,0( 4
=
−−−
−−−
+
−−−
−−−
+
−−−
−−−
+
−−−
−−−
+
−−−−
=
=≅∴ Pf
 
016.3)20,0( ≅∴ f
 
 
 
Exercício:
 
Usar a forma de Lagrange para obter um polinômio de grau ≤ 3 que interpole os pontos 
da tabela: 
 
x 0 1 3 4 
f(x) -5 1 25 55 
 
Calcular )4()3(),1(),0( 3333 PePPP , utilizando Briot-Ruffini. 
Resp.: 572)( 233 −+−= xxxxP 
 
 
Exercício:
 
Seja a função )(xfy = conhecida apenas nos pontos tabelados: 
x 0 0.2 0.4 0.5 
f(x) 0 2.008 4.064 5.125 
 
Determinar o valor aproximado para f(0.3) aplicando-se a fórmula de Lagrange. 
 
 
4.3.3 OBTENÇÃO DE )(xPn - FORMA DE GREGORY - NEWTON PARA O 
POLINÔMIO INTERPOLADOR 
 
4.3.3.1 TABELA DE DIFERENÇAS FINITAS 
 
Definição:
 
Sejam K,,, 210 xxx pontos que se sucedem com passo h, isto é, jhxx j += 0 . Define-se o 
operador de diferenças finitas como segue: 
 
 
 
95
)()()(
)()()(
)()()(
)()(
11
2
0
xfhxfxf
xfhxfxf
xfhxfxf
xfxf
nnn −− ∆−+∆=∆
∆−+∆=∆
−+=∆
=∆
M
 
 
Conhecidos os valores de )(xf em nxxxx K,,, 210 , constrói-se a seguinte tabela de 
diferenças finitas: 
 
x f(x) ∆∆∆∆f(x) ∆∆∆∆2f(x) 
0x f(x0) 
 ∆f(x0) 
1x f(x1) ∆2f(x0) 
 ∆f(x1) ... 
2x f(x2) ∆2f(x1) 
 ∆f(x2) M 
3x f(x3) 
M M M 
 
 
Exemplo:
 
Seja f(x) dada na forma tabular: 
x -1 0 1 2 3 
f(x) 2 1 2 5 10 
 
A tabela de diferenças finitas para esta função é mostrada a seguir: 
 
x f(x) ∆f(x) ∆2f(x) ∆3f(x) ∆4f(x) 
-1 2 
 -1 
0 1 2 
 1 0 
1 2 2 0 
 3 0 
2 5 2 
 5 
3 10 
 
 
 
 
96
 
4.3.2 O POLINÔMIO DE INTERPOLAÇÃO 
 
Estabelece-se a seguinte forma para o polinômio de interpolação (forma de Gregory-
Newton): 
!.
)())...()((...
2
)())(()()()()( 01102 0
2
10
0
00
nh
xf
xxxxxx
h
xf
xxxx
h
xf
xxxfxP
n
n
nn
∆
−−−++
∆
−−+
∆
−+=
−
 
Observar que os pontos de interpolação devem ser igualmente espaçados (por um valor de 
“passo” h). 
 
 
Exemplo:
 
Para os dados da função f(x), apresentada abaixo na forma tabular a seguir, pede-se obter, 
usando a forma de Gregory-Newton: 
a) Uma aproximação para f(1.05) 
b) O polinômio )(2 xP que interpola f(x) 
 
x 1.0 1.1 1.2 
f(x) 2.718 3.004 3.320 
 
Solução: 
(a) Construção da tabela das diferenças finitas 
 
x f(x) ∆f(x) ∆2f(x) 
x0 = 
1 
2.718 
 0.286 
1.1 3.004 0.03 
 0.316 
1.2 3.320 
 
2
0
2
10
0
002 2
)())(()()()()(
h
xf
xxxx
h
xf
xxxfxP ∆−−+∆−+= 
2.)1.0(
03.0)1.1)(1(
1.0
286.0)1(718.2)( 22 −−+−+=∴ xxxxP 
2.)1.0(
03.0)1.105.1)(105.1(
1.0
286.0)105.1(718.2)05.1()05.1( 22 −−+−+=≅ Pf 
85725.2)05.1( ≅f 
 
 
 
97
(b) obtenção de P2(x): 
 
2.)1.0(
03.0)1.1)(1(
1.0
286.0)1(718.2)( 22 −−+−+= xxxxP 
)65.186.2718.2()15.386.2(5.1)(
)1.11.2(5.186.286.2718.2)(
2
2
2
2
+−+−+=⇒
+−+−+=⇒
xxxP
xxxxP
 
508.129.05.1)( 22 +−=⇒ xxxP 
 
 
Exemplo:
 Dada a função )(xfy = , conhecida pelos pontos da tabela abaixo, obter uma 
aproximação para )25.0(f , empregando a fórmula de Gregory-Newton com: 
a) Interpolação linear b) Interpolação quadrática 
x 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 
f(x) 0.125 0.064 0.027 0.008 0.001 
 
Resolução: 
(a) Construção da tabela de diferenças finitas: 
 
x f(x) ∆f(x) ∆2f(x) ∆3f(x) ∆4f(x) 
0.10 0.125 
 -0.061 
0.20 0.064 0.024 
 -0.037 -0.006 
0.30 0.027 0.018 0.000 
 -0.019 -0.006 
0.40 0.008 0.012 
 -0.007 
0.50 0.001 
 
Obtenção de uma aproximação para )25.0(f utilizando interpolação linear ( )(1 xP ): 
 
x f(x) ∆f(x) 
=0x 0.20 0.064 
 -0.037 
0.30 0.027 
 
 
 
98
O passo h corresponde ao espaçamento entre os pontos, ou seja, 10.020.030.0 =−=h . 
 
h
xf
xxxfxP )()()()( 0001
∆
−+= 
1.0
)037.0()20.0(064.0)(1
−
−+=⇒ xxP 
1.0
)037.0()20.025.0(064.0)25.0()25.0( 1
−
−+=≅ Pf 0455.0)25.0(≅⇒ f 
 
(b) Obtenção de uma aproximação para )25.0(f com interpolação quadrática ( )(2 xP ): 
 
x f(x) ∆f(x) ∆2f(x) 
=0x 0.10 0.125 
 -0.061 
0.20 0.064 0.024 
 -0.037 
0.30 0.027 
 
2
0
2
10
0
002 2
)())(()()()()(
h
xf
xxxx
h
xf
xxxfxP ∆−−+∆−+= 
10.010.020.020.030.0 =−=−=h . 
22 )10.0)(2(
024.0)2.0)(1.0(
10.0
)061.0()1.0(125.0)( −−+−−+=∴ xxxxP 
2
05.015.015.0
2 )10.0)(2(
024.0)02.025.0)(10.025.0(
10.0
)061.0()10.025.0(125.0)25.0()25.0(
484764847648476
−−+
−
−+=≅ Pf 
0425.0)25.0( ≅∴ f 
 
Observe-se que poderiam também ser utilizados os pontos a seguir, para a obtenção de 
)(2 xP : 
 
x f(x) ∆f(x) ∆2f(x) 
0.20 0.064 
 -0.037 
0.30 0.027 0.018 
 -0.019 
0.40 0.008 
 
22 )10.0)(2(
018.0)30.0)(20.0(
10.0
)037.0()20.0(064.0)( −−+−−+= xxxxP 
 
 
99
22 )10.0)(2(
018.0)30.025.0)(20.025.0(
10.0
)037.0()20.025.0(064.0)25.0()25.0( −−+−−+=≅ Pf 
04325.0)25.0( ≅∴ f 
 
Exercício: 
 dada a função )(xfy = , conhecida pelos pontos da tabela abaixo, calcular 
uma aproximação para f(3.7), empregrando a fórmula de Gregory-Newton. 
 
x 1 2 3 4 Obs.: 
f(x) 0 0.6931 1.0986 1.3863 f(x) = ln x 
 
 
Exercício:
 obter, usando a fórmula de Gregory-Newton, uma aproximação para f(0.7), 
onde f é uma função conhecida apenas nos pontos tabelados a seguir: 
 
x 0 0.5 1 1.5 2.0 
f(x) 0.0 1.1487 2.7183 4.9811 8.3890 
 
 
 
4.3.4 OBTENÇÃO DE )(xPn - FORMA DE NEWTON COM DIFERENÇAS 
DIVIDIDAS 
 
 
4.3.4.1 TABELA DE DIFERENÇAS DIVIDIDAS 
 
Definição: 
 
Seja )(xfy = uma função tabelada em ( )1 ,,,, 10 +nxxx nK pontos distintos. Define-se o 
operador de diferenças divididas como segue: 
 
[ ] ( )
[ ] [ ] [ ] ( ) ( )
01
01
01
01
10
00
,
xx
xfxf
xx
xfxf
xxf
xfxf
−
−
=
−
−
=
=
 
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
03
210321
3210
02
1021
210
,,,,
,,,
,,
,,
xx
xxxfxxxf
xxxxf
xx
xxfxxf
xxxf
−
−
=
−
−
=
 
[ ] [ ] [ ]
0
11021
210
,,,,,,
,,,,
xx
xxxfxxxf
xxxxf
n
nn
n
−
−
=
−
KK
K
M
 
 
 
 
100
Define-se [ ]kxxxf ,,, 10 K como sendo a diferença dividida de ordem k da função f(x) 
sobre os (k+1) pontos: kxxx ,,, 10 K 
 
 
Tabela de diferenças divididas 
 
Conhecidos os valores de )(xfy = em ,,,, 10 nxxx K , constrói-se a seguinte tabela de 
diferenças divididas. 
 
x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3 ... ordem n 
0x [ ]f x 0 
 [ ]f x x0 1, 
1x [ ]f x1 [ ]f x x x0 1 2, , 
 [ ]f x x1 2, [ ]f x x x x0 1 2 3, , , 
2x [ ]f x 2 [ ]f x x x1 2 3, , O 
 [ ]f x x2 3, [ ]f x x x x1 2 3 4, , , 
3x [ ]f x 3 [ ]f x x x2 3 4, , 
 [ ]f x x3 4, M [ ]f x x x xn0 1 2, , , ,K 
4x [ ]f x 4 N 
M M M M [ ]f x x x xn n n n− − −3 2 1, , , 
 [ ]f x x xn n n− −2 1, , 
 [ ]f x xn n−1 , 
nx [ ]f x n 
 
 
Exemplo: 
Construir a tabela de diferenças divididas para a função f( x ) tabelada a seguir: 
 
x -1 0 1 2 3 
f(x) 1 1 0 -1 -2 
 
 
Resolução: 
 
 
101
 
x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3 ordem 4 
-1 1 
 
( )
1 1
0 1
0−
− −
= 
 
0 1 
( )
− −
− −
= −
1 0
1 1
1
2
 
 
 
0 1
1 0
1−
−
= − 
 ( )
( )
0 1 2
2 1
1
6
− −
− −
= 
 
1 0 ( )− − −
−
=
1 1
2 0
0 ( )
0 1 6
3 1
1
24
−
− −
= − 
 
− −
−
= −
1 0
2 1
1 0 0
3 0
0−
−
= 
 
2 -1 ( )− − −
−
=
1 1
3 1
0 
 
( )− − −
−
= −
2 1
3 2
1 
3 -2 
 
 
4.3.4.2 FORMA DE NEWTON PARA O POLINÔMIO INTERPOLADOR
 
 
A forma de Newton para o polinômio )(xPn que interpola f(x) em ,,,, 10 nxxx K )1( +n 
pontos distintos, é a seguinte: 
 
( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ]
( )( ) ( ) [ ]nn
n
xxxfxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxxfxP
,,, 
,, , 
10110
210101000
KK
K
−
−−−+
+−−+−+=
 
 
 
Exemplo:
 Obter, utilizando a forma de Newton com diferenças divididas, o polinômio 
)(2 xP que interpola )(xfy = nos pontos dados abaixo: 
 
x 1.0 1.1 1.2 
f(x) 2.718 3.004 3.320 
 
Resolução: 
 
(a) Tabela das diferenças divididas 
 
x ordem 0 ordem 1 ordem 2 
1.0 2.718 
 
 
86.2
0.11.1
718.2004.3
=
−
−
 
 
1.1 3.004 
 
3 16 2 86
1 2 1 0
1 5. .
. .
.
−
−
= 
 
16.3
1.12.1
004.3320.3
=
−
−
 
 
1.2 3.320 
 
 
 
102
(b) Obtenção de )(2 xP : 
 
( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ]
( ) ( )( ) ( )( )( )
( ) 508.129.05.1
65.115.35.186.286.2718.2=5.11.1186.21718.2
,, , 
2
2
2
2
2101010002
+−=
+−+−+−−+−+=
−−+−+=
xxxP
xxxxxxxP
xxxfxxxxxxfxxxfxP
 
 
Exemplo: 
Dada a função )(xfy = , conhecida pelos pontos da tabela abaixo, obter uma aproximação 
para )25.0(f , através da fórmula de Newton (com diferenças divididas), utilizando: 
a) Interpolação linear 
b) Interpolação quadrática 
 
x 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 
f(x) 0.125 0.064 0.027 0.008 0.001 
 
Resolução: 
 
(a) Aproximação com interpolação linear: 
 
Construção da tabela de diferenças divididas: 
 
x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3 ordem 4 
0.10 0.125
 
 
 
 10.6−=
−
−
10.020.0
125.0064.0
 
 
0.20 0.064 ( ) 1.2=
−
−−−
10.030.0
61.037.0
 
 
 
 
37.0
20.030.0
064.0027.0
−=
−
−
 
 
0 9 1 2
0 40 0 10
. .
. .
−
−
= −1 
0.30 0.027 ( )− − −
−
=
0 19 0 37
0 0 20
0 9. .
.40 .
.
 
 
( )− − −
−
=
1 1
0 50 0 10. .
0
 
 
 
19.0
30.040.0
027.0008.0
−=
−
−
 
 
0 6 0 9
0 50 0 20
1. .
. .
−
−
= − 
 
0.40 0.008 ( )− − −
−
=
0 07 0 19
0 50 0 30
0 6. .
. .
.
 
 
 
 
07.0
40.050.0
008.0001.0
−=
−
−
 
 
0.50 0.001 
 
Obtenção de )(1 xP : 
 
 
103
 
x ordem 0 ordem 1 
=0x 0.20 0.064 
 
 -0.37 
0.30 0.027 
 
( ) ( ) ( ) [ ] )37.0)(20.0(064.0, 10001 −−+=−+= xxxfxxxfxP 
( ) )37.0)(20.025.0(064.025.0)25.0( 1 −−+=≅ Pf 
0455.0)25.0( ≅∴ f 
 
(b) Aproximação com interpolação quadrática: 
 
x ordem 0 ordem 1 ordem 2 
=0x 0.20 0.064 
 
 -0.37 
0.30 0.027 0.9 
 
 -0.19 
0.40 0.008 
 
( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ]2101010002 ,, , xxxfxxxxxxfxxxfxP −−+−+= 
( ) ( ) ( )( ) .9)0( 30.020.0)37.0(20.0064.02 −−+−−+=∴ xxxxP 
( ) ( ) ( )( ) .9)0( 30.025.020.025.0)37.0(20.025.0064.025.0)25.0( 2 −−+−−+=≅ Pf 
04325.0)25.0( ≅f 
 
 
4.3.4.3 ESTUDO DO ERRO NA INTERPOLAÇÃO
 
 
Ao se aproximar uma função )(xfy = por um polinômio interpolador de grau ≤ n comete-
se um erro, ou seja: 
( ) ( ) ( ) [ ]nnn xxxxPxfxE , , 0∈∀−= 
 
 
Teorema 1:
 
Sejam ( )1 ,210 +<<<< nxxxx nK pontos, e seja )(xfy = com derivadas até ordem 
( ) [ ]nxxxn , ,1 0∈∀+ . Seja Pn(x) o polinômio interpolador de f(x) nos pontos nxxx ,,, 10 K . 
Então, [ ],, 0 nxxx ∈∀ tem-se que: 
 
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )!1
1
210
+
−−−−=−=
+
n
f
xxxxxxxxxPxfxE x
n
nnn
ε
K onde ( )nx xx , 0∈ε 
 
 
 
104
Observe-se que a fórmula anterior para ( )xEn tem uso limitado na prática, dado que são 
raras as situações em que conhecemos ( ) )(1 xf n+ e que o ponto xε nunca é conhecido. 
 
 
Teorema 2:
 
[ ] ( )( )( ) ( ) ( )nxn
x
n
n xxxxx
n
f
xxxxf , e , ,
!1
,,,, 00
1
10 ∈∈
+
=
+
ε
ε
K 
 
Observe-se que este teorema mostra a relação existente entre a diferença dividida de ordem 
( )1+n e a derivada de ordem ( )1+n . 
 
 
Corolário 1:Sob as hipóteses do Teorema 1, e se ( )( )xf n 1+ for contínua em [ ],,0 nxxI = pode-se escrever 
a seguinte relação: 
 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )!1
1
10
+
−−−≤−= +
n
M
xxxxxxxPxfxE nnnn K 
onde ( )( )xfmáxM n
Ix
n
1
1 
+
∈
+ = 
 
 
Se a função )(xfy = é dada na forma de uma tabela, o valor absoluto do erro, ( ) ,xEn 
somente pode ser estimado. Se construirmos a tabela de diferenças divididas até ordem 
)1( +n , podemos usar o maior valor (em módulo) das diferenças divididas de ordem (n+1) 
como uma aproximação para ( )!1
1
+
+
n
Mn
 no intervalo [ ],, no xx ou seja: 
( ) ( )( ) ( ) ( )1+n ordem de divididas 10 diferençasMaxxxxxxxxE nn ×−−−≅ K 
 
 
Exemplo:
 
Seja )(xfy = dada na forma tabelar: 
 
x 0.2 0.34 0.4 0.52 0.6 0.72 
f(x) 0.16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37 
 
Para esta função, pede-se obter: 
(a) Uma aproximação para f(0.47) utilizando um polinômio de grau 2 (interpolação 
quadrática), a partir da forma de Newton com diferenças divididas. 
(b) Obter uma estimativa para o erro incorrido com esta aproximação. 
 
Resolução: 
 
(a) Tabelas de diferenças divididas 
 
 
 
 
105
x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3 
0.2 0.16 
 0.4286 
0.34 0.22 2.0235 
 0.8333 -17.8963 
=0x 0.4 0.27 -3.7033 
 0.1667 18.2492 
=1x 0.52 0.29 1.0415 
 0.375 -2.6031 
=2x 0.6 0.32 0.2085 
 0.4167 
0.72 0.37 
 
( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ] =−−+−+= 2101010002 ,, , xxxfxxxxxxfxxxfxP
( )( ) ( )( )( )0415.152.04.00.1667 4.027.0 −−+−+ xxx 
 
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )
( ) 2780.047.0 
0415.152.047.04.047.00.1667 4.047.027.047.047.0 2
≅∴
−−+−=≅
f
Pf
 
 
(b) ( ) ( )( ) ( ) ( )1+n ordem de divididas 10 diferençasMaxxxxxxxxE nn ×−−−≅ K 
( ) ( )( )( ) 3 ordem divididas 2102 diferençasMaxxxxxxxxE ×−−−≅ 
( ) ( )( )( )( )
( ) 32
2
10303.847.0 
2492.186.047.052.047.04.047.047.0
−≅∴
−−−≅
xE
E
 
 
 
4.3.5 INTERPOLAÇÃO INVERSA 
 
Dada a Tabela: 
 
x
 0x 1x 2x … nx 
)(xf
 )( 0xf )( 1xf )( 2xf … )( nxf 
 
o problema de Interpolação Inversa consiste em, dado ( ) ( )( )no xfxf , y ∈ , obter 
( ) .x que talx yf = 
 
 
FORMAS DE SE RESOLVER ESTE PROBLEMA 
 
(I) Obter )(xPn que interpole )(xfy = em ,,,, 10 nxxx K e em seguida encontrar 
( ) yPn =x que talx 
 
 
Exemplo: 
Dada a tabela a seguir, encontrar uma aproximação x para x tal que 2)( =xf . 
 
 
 
106
 
x 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 
f(x) 1.65 1.86 2.01 2.23 2.46 2.72 
 
Utilizando interpolação quadrática sobre 8.0 e ,7.0 ,6.0 21 === xxxo 
 
Resolução: 
 
Tabela de Diferenças Divididas 
 
x ordem 0 ordem 1 ordem 2 
0.5 1.65 
 2.1 
0.6 1.86 -3 
 1.5 
0.7 2.01 3.5 
 2.2 
0.8 2.23 2.0 
 2.3 
0.9 2.46 1.5 
 2.6 
1.0 2.72 
 
Polinômio de Interpolação 
 
( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ]2101010002 ,, , xxxfxxxxxxfxxxfxP −−+−+= 
( ) ( )( ) ( )( )( ) 43.205.35.35.37.00.6-x+5.16.0+1.86= 22 +−=−− xxxxxP 
 
( ) ( )
043.0x05.3x5.30.243.2x05.3x5.3
2x0.2x
22
2
=+−⇒=+−∴
≅⇒= fP
 
177.0xou 6945.0x == ∴ 6945.0x = (pois )7.0,6.0(6945.0x ∈= ). 
 
 
(II) Interpolação Inversa 
 
Se )(xfy = for inversível num intervalo contendo y então fazemos a interpolação de 
( ) ( )ygyfx == −1 . 
 
Uma condição para que uma função contínua num intervalo [a, b] seja inversível é que seja 
monótona crescente (ou decrescente) neste intervalo. Se )(xf é dada na forma tabelar, 
supondo que )(xfy = seja contínua em ( ) ( )xfxx no ,, será considerada monótona 
crescente se ( ) ( ) ( )no xfxfxf <<< K1 e decrescente se ( ) ( ) ( )no xfxfxf >>> K1 . 
 
 
Exemplo: 
Para os dados do exemplo anterior, encontrar x tal que ( ) :2xf = , através de interpolação 
inversa, utilizando interpolação quadrática. Estimar o erro incorrido com esta aproximação. 
 
 
 
107
Resolução: 
Tabela de diferenças divididas: 
 
y ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3 
1,65 0,5 
 
 0,4762 
 
 =0y 1,86 0,6 0,5291 
 
 0,6667 -1,9007 
=1y 2,01 0,7 -0,5733 
 0,4545 0,8823 
=2y 2,23 0,8 -0,0439 
 0,4348 
-0,0823 
2,46 0,9 -0,1024 
 
 0,3846 
 
2,72 1 
 
 
Obtenção de x (interpolação inversa): 
( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ]21112 ,,, yyygyyyyyygyyygyP ooooo −−+−+= 
( ) ( )( ) ( )( )( )
( ) ( )( ) ( )( )( )
6941.0 
6941.0=5733.001.2286.126667.086.126.000.2
5733.001.286.16667.086.16.0
2
2
=∴
−−−+−+=∴
−−−+−+=∴
x
P
yyyyP
 
 
Estimativa do erro na aproximação: 
( ) ( )( ) ( ) ( )1+n ordem de divididas 10 diferençasMaxyyyyyyyE nn ⋅−−−≅ K 
( ) ( )( )( ) 3 ordem divididas 2102 diferençasMaxyyyyyyyE ⋅−−−≅ 
( ) ( )( )( )( ) ( ) 0.00061200.29007.123.200.201.200.286.100.200.2 22 ≅⇒−−−≅ EE 
 
 
Exercício: 
Seja a Tabela: 
 
x 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 
f(x) 0.12 0.16 0.19 0.22 0.25 0.27 
 
Usando um polinômio interpolador de grau 2, trabalhe de dois modos diferentes para obter 
o valor estimado de x para o qual f(x) = 0.23. Dê uma estimativa do erro cometido em cada 
caso, se possível. 
Resp.: (I) 0.3166666 (II) 0.3166666; 310666664.1 −≅ xerro 
 
 
 
Exercício: 
Construa uma tabela para a função f(x) = cos(x) usando os pontos: 0.8, 0.9, 1.0, 1.1, 1.2, 
1.3. Obtenha um polinômio de 3o grau para estimar cos(1.07) Forneça um limitante 
superior para o erro ao se calcular cos(1.07) pelo polinômio obtido. 
 
 
108
 
Resp.: 
( )
( ) 610x2020383.107.1E
4801232.007.1cos
−≤
≅
 
 
Exercício: 
O calor específico da água, como função da temperatura, é dado por: 
 
Temperatua, oC Calor Específico 
20 0.99907 
25 0.99852 
30 0.99826 
35 0.99818 
40 0.99828 
45 0.99849 
50 0.99878 
 
(a) Use interpolação linear para estimar o calor específico da água a 37oC; 
(b) Use interpolação quadrática para estimar o calor específico a 37oC. 
Observação: usar o polinômio interpolante de Newton com diferenças divididas, estimar o 
erro cometido em cada caso: 
 
 
4.3.6 INTERPOLAÇÃO LINEAR DUPLA
 
 
Seja determinar uma aproximação para ( )cc y,xf , utilizando a teoria de Interpolação. 
Supor que xc e yc satisfaçam às restrições: 
 
ici
jcj
yyy
xxx
≤≤
≤≤
−
−
1
1
 
 
Graficamente: 
 
 
Inicialmente interpolamos ( )yxfz j ,1−= e obtemos uma expressão para ( )cj yxf ,1−r , onde 
( )
cj yxf ,1−
r
 é uma aproximação para ( )cj yxf ,1− . Depois interpolamos ( )yxfz j ,= e 
 
 
109
obtemos uma expressão para ( )
cj yxf , . Interpolamos então ( )cyxfz ,= e obtemos então 
uma expressão para ( )cc y,xf . O detalhamento segue: 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]111
1
1
111 ,,,, −−−
−
−
−−−
−
−
−
+= ijij
ii
ic
ijcj yxfyxfyy
yyyxfyxf 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]1
1
1
1 ,,,, −
−
−
−
−
−
−
+= ijij
ii
ic
ijcj yxfyxfyy
yyyxfyxf 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]cjcj
jj
jc
cjcc yxfyxf
xx
xx
yxfyxf ,,,, 1
1
1
1 −
−
−
−
−
−
−
+= 
 
Notar que as expressões para ( )cj yxf ,1− e ( )cj yxf , são obtidas a partir da interpolação de 
z como função de y, mantidos constantes os correspondentes valores de x. Notar também 
que a expressão para ( )cc yxf , é obtida a partir da interpolação de z como função de x, em 
y constante é igual a cy . Observar, por final, que os valores para ( )cj yxf ,1−r e ( )cj yxf , , 
calculados através das duas primeiras expressões, são utilizados no cálculo de ( )cc yxf , . 
 
 
Exemplo: 
A integral elíptica de primeira espécie é definida como sendo: 
 
( ) ∫ Θ−=Θ
ϕ
ϕ
ϕϕ
0 22 sensen1
,
dF 
 
Mostra-se, a seguir, uma tabela parcial do valor desta função: 
 
 
50 60 70 80 9050 0.9401 0.9647 0.9876 1.0044 1.0107 
55 1.0500 1.0848 1.1186 1.1444 1.1542 
60 1.1643 1.2125 1.2619 1.3014 1.3170 
65 1.2833 1.3489 1.4199 1.4810 1.5065 
70 1.4068 1.4944 1.5959 1.6918 1.7354 
75 1.5345 1.6492 1.7927 1.9468 2.0276 
80 1.6660 1.8125 2.0119 2.2653 2.4362 
 
Seja determinar ( )F o o73 77, , utilizando interpolação linear dupla. 
 
Resolução:
 
 
Notação utilizada: 
 
90,80,70,60,50 54321 ===== xxxxx 
 
 
110
80,75,70,65,60,55,50 7654321 ======= yyyyyyy 
 
Cálculo de uma aproximação para ( )77,73f 
 
 
 
 
( )
( )
( )
( ) 2653.280,80
9468.175,80
0119.280,70
7927.175,70
=
=
=
=
f
f
f
f
 
 
(i) ( ) ( ) 8804.17927.10119.2
7580
75777927.177,70 =−
−
−
+=f 
(ii) ( ) ( ) 0742.29468.12653.2
7580
75779468.177,80 =−
−
−
+=f 
(iii) ( ) ( ) 9385.18804.10742.2
7080
70738804.177,73 =−
−
−
+=f 
 
 
4.3.7 ASPECTOS COMPUTACIONAIS: IMPLEMENTAÇÃO DO MÉTODO DE 
NEWTON COM DIFERENÇAS DIVIDIDAS 
 
Esquema para construção da tabela de diferenças divididas: 
 
X 0 ordem ordem 1 ordem 2 ordem (N-1) ordem N 
X(0) D(0,0) 
)0()1(
)0,0()0,1(
)1,0(
XX
DD
D
−
−
=
 
)0()2(
)1,0()1,1(
)2,0(
XX
DD
D
−
−
=
 
..
)0()1(
)2,0()2,1(
)1,0(
XNX
NDND
ND
−−
−−−
=−
 
)0()(
)1,0()1,1(
),0(
XNX
NDND
ND
−
−−−
=
 
X(1) D(1,0) 
)1()2(
)0,1()0,2(
)1,1(
XX
DD
D
−
−
=
 
)1()3(
)1,1()1,2(
)2,2(
XX
DD
D
−
−
=
 
..
)1()(
)2,1()2,2(
)1,1(
XNX
NDND
ND
−
−−−
=−
 
 
X(2) D(2,0) 
)2()3(
)0,2()0,3(
)1,2(
XX
DD
D
−
−
=
 
)2()4(
)1,2()1,3(
)2,3(
XX
DD
D
−
−
=
 
 
 
X(3) D(3,0) 
)3()4(
)0,3()0,4(
)1,3(
XX
DD
D
−
−
=
 
)3()5(
)1,3()1,4(
)2,4(
XX
DD
D
−
−
=
 
 
 
M
 
M
 
M
 
M
 
 
 
 
 
)1()(
)1,1()1,(
)2,1(
−−
−−
=−
NXNX
NDND
ND 
 
 
X(N-1) D(N-1,0) 
)1()(
)0,1()0,(
)1,(
−−
−−
=
NXNX
NDND
ND 
 
 
X(N) D(N,0) 
 
 
 
Seja M = N + 1, o número de pontos da tabela. Os elementos de D podem ser obtidos, de 
uma forma genérica, a partir das expressões: 
 
 
 
111
1,...,2,1,0,...,2,1,
)()(
)1,()1,1(),(,0)),(()0,( +−==
−+
−−−+
=== JMINJ
IXJIX
JIDJID
JIDNIIXFID
O polinômio interpolante de Newton com diferenças divididas, em uma determinada 
abscissa A, é dado por: 
 
),0())1())...(1())(0(()1,0())2())...(1())(0((
...)2,0())1())(0(()1,0())0(()0,0()(
NDNXAXAXANDNXXXAXA
DXAXADXADAP
−−−−+−−−−−+
+−−+−+=
 
( )
( ) 1)(
),0()(
1
0
0
1
0
=−










−=
−
=
=
−
=
∑
kXAcom
JDKXA
K
N
J
J
K
pi
pi
 
 
Segue o algoritmo: 
 
Início ! Método de Newton com Diferenças Divididas 
 ! entrada de dados 
 Solicite o número de pontos 
 Leia o número de pontos (M) 
 Solicite os valores de (X,F(X)) 
 N = M – 1 
 Para I de 0 até N 
 Faça 
 Leia X(I), D(I,0) 
 Fim Para 
 ! construção da tabela de diferenças divididas 
 Para J de 1 até N 
 Faça 
 Para I de 0 até M-J+1 
 Faça 
 
)()(
)1,()1,1(),(
IXJIX
JIDJID
JID
−+
−−−+
= 
 Fim para 
 Fim para 
 ! cálculo do valor aproximado 
 Solicite o valor da abscissa em que se quer aproximar F 
 Leia o valor da abscissa (A) 
 F = 0 
 Para J de 0 até N 
 Faça 
 P = 1 
 Para K de 0 até J-1 
 Faça 
 P = P * (A – X(K)) 
 Fim Para 
 F = F + D(0,J)*P 
 Fim para 
 (* saída do valor aproximado *) 
 Escreve ‘Aproximação = ‘, F 
Fim ! Método de Newton com Diferenças Divididas 
 
 
 
112
Exercícios:
 
 
(1) Considere a função y = f (x) conhecida através dos pontos da tabela: 
 
x 0.000 0.100 0.300 0.400 
f(x) 1.000 0.761 0.067 -0.376 
 
Através da forma de Lagrange, determine: 
(a) o valor aproximado de f(0.32) usando um polinômio interpolador de 2o grau, ou 
seja, calcule P2 (0.32) 
(b) P3(0.32) 
 
Sabendo que a função f(x) é x3 - 4x2 - 2x + 1, calcule f(0.32) exatamente. 
 
Obs.:
 trabalhar com quatro decimais 
Resp.: P2 (0.32) = -0.0165 P3(0.32) = -0.0168 
 
(2) A tabela a selguir relaciona o calor específico da água (c) em função da temperatura 
(T). Calcular o calor especifico da água a uma temperatura de 25oC interpolando os 
pontos da tabela com um polinômio de 3o grau, obtido através: 
(a) da fórmula de Lagrange. 
(b) da fórmula de Newton com diferenças divididas. 
Comparar os resultados obtidos com o valor real 0.99852 
 
T (oC) C 
20 
30 
45 
55 
0.99907 
0.99826 
0.99849 
0.99919 
 
Resp.: P3(25) = 0.99854 
 
(3) A tabela a seguir relaciona a velocidade (v) de um foguete lançado do solo com o 
tempo (t). Calcule a velocidade aproximada do foguete 25s após o lançamento, 
interpolando os pontos da tabela com um polinômio de 4o grau, obtido através da 
fórmula de Newton com diferenças divididas. 
 
t (s) 0 8 20 30 45 
v (m/s) 0.000 52.032 160.450 275.961 370.276 
 
Resp.: P4(25) = 219.612 m/s 
 
(4) A tabela a seguir relaciona a distância (d) percorrida por uma bala ao longo do cano de 
um canhão com o tempo (t). Encontrar a distância percorrida pela bala 5 segundos após 
ter sido disparada, interpolando os pontos da tabela através de um polinômio de 4o grau 
obtido através da fórmula de Gregory-Newton. 
 
t (s) 0 2 4 6 8 
d (m) 0.000 0.049 0.070 0.087 0.103 
 
 
113
 
Resp.: P4(5) = 0.078 
 
(5) Considerando a tabela a seguir, onde estão representados alguns pontos da função 
f x x( ) = 3 , determine o valor aproximado de 0.53. 
 
x 0.000 0.008 0.064 0.216 0.512 
f(x) 0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 
 
 
Agradecimentos: 
Ao Pólo Computacional, em particular à equipe de digitação, cujo apoio foi essencial para a produção do 
presente trabalho. Aos colegas do DMA, pelo apoio, críticas e sugestões recebidas. 
 
BIBLIOGRAFIA 
1. RUGGIERO, M. A. G. & LOPES, V. L. R. Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e 
Computacionais (2. ed.). São Paulo: MAKRON Books, 1996. 
2. FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
3. CLÁUDIO, D. M.; MARINS, J. M. Cálculo Numérico Computacional: teoria e prática. 
São Paulo: Atlas, 1994. 
4. DORN, W. S.; MAcCRACKEN, D. D. Cálculo Numérico com Estudo de Casos em 
Fortran IV. Rio de Janeiro: Campus; São Paulo: Ed. Da Universidade de São Paulo, 1989. 
5. BARROSO, L. C. et. alii. Cálculo Numérico (com aplicações). São Paulo: Editora 
Harbra Ltda, 1987. 
6. SCHEID, F. Análise Numérica. Lisboa: McGraw-Hill, 1991. 
7. ALBRECHT, P. Análise Numérica: um curso moderno. Rio de Janeiro: Livros 
Técnicos e Científicos, 1973. 
8. PACITTI, T.; ATKINSON, C.P. Programação e Métodos Computacionais (Vol. 2 – 2. 
ed.). Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1983. 
9. CHAPRA, S.C.; CANALE, R.P. Métodos Numéricos para Engenharia. São Paulo: 
McGraw-Hill, 2008.