AD2 GAII 2016.1 gabarito

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AD2 - Geometria Anal´ıtica II - 2016.1
Atenc¸a˜o: Responda a`s questo˜es abaixo utilizando os conhecimentos relativos a`s cinco primeiras
aulas do Mo´dulo.
Questa˜o 1:(2,5 pt) Prove que a equac¸a˜o do plano Π que conte´m os pontos (x0, y0, z0), (x1, y1, z1)
e (x2, y2, z2) pode ser escrita na forma
Π :
∣∣∣∣∣∣
x− x0 y − y0 z − z0
x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0
x2 − x0 y2 − y0 z2 − z0
∣∣∣∣∣∣ = 0.
SOLUC¸A˜O:
O plano Π e´ gerado, a partir do ponto (x0, y0, z0), pelos vetores ~u = (x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0)
e ~v = (x2 − x0, y2 − y0, z2 − z0). Um ponto (x, y, z) pertencera´ a este plano se, e so´ se, os vetores
~w = (x− x0, y − y0, z − z0), ~v e ~u forem LD, o que ocorre se, e so´ se
[~w, ~u,~v] = 0.
Como
[~w, ~u,~v] =
∣∣∣∣∣∣
x− x0 y − y0 z − z0
x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0
x2 − x0 y2 − y0 z2 − z0
∣∣∣∣∣∣ ,
temos enta˜o que (x, y, z) ∈ Π se, e so´ se
[~w, ~u,~v] =
∣∣∣∣∣∣
x− x0 y − y0 z − z0
x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0
x2 − x0 y2 − y0 z2 − z0
∣∣∣∣∣∣ = 0.
Questa˜o 2:(2,5 pt) Considere o plano
Π : 2x+ 2y + z = 3,
e a reta
r : (x, y, z) = (4, 0, 4) + t · (3, 0, 3), t ∈ R.
(a) Determine o aˆngulo de incideˆncia θ da reta r no plano Π.
SOLUC¸A˜O:
Como ~η = (2, 2, 1) e´ vetor normal ao plano Π e vecv = (3, 0, 3) e´ um vetor direc¸a˜o da reta, o
aˆngulo de incideˆncia da reta no no plano e´ o menor aˆngulo θ tal que
cos θ =
√
1− cos2(~v, ~η).
1
Mas
cos(~v, ~η) =
〈~v, ~η〉
‖~v‖ ‖~η‖ =
〈(3, 0, 3), (2, 2, 1)〉
‖(3, 0, 3)‖ ‖(2, 2, 1)‖ =
3 · 2 + 0 · 2 + 3 · 1√
32 + 02 + 32
√
22 + 22 + 12
=
=
9
3
√
2 · 3 =
1√
2
.
Assim,
cos θ =
√
1−
(
1√
2
)
=
√
1− 1
2
=
√
1
2
=
1√
2
=
√
2
2
.
Sabemos que o menor aˆngulo cujo cosseno e´
√
2
2
e´ pi
4
, logo o aˆngulo de incideˆncia de r em Π e´ pi
4
.
(b) Determine uma parametrizac¸a˜o para a reta perpendicular a r e contida no plano Π.
SOLUC¸A˜O:
A reta procurada e´ perpendicular a r, logo seu vetor direc¸a˜o ~d = (a, b, c) e´ ortogonal ao vetor
direc¸a˜o ~v = (3, 0, 3) da reta r. Ale´m disso, como a reta procurada esta´ contida no plano Π, vecd
deve ser ortogonal ao vetor normal de Π, dado por ~η = (2, 2, 1).
Podemos enta˜o fazer
~d = ~v × ~η =
∣∣∣∣∣∣
~e1 ~e2 ~e3
3 0 3
2 2 1
∣∣∣∣∣∣ = (−6, 3, 6).
Agora que temos um vetor direc¸a˜o da reta, para podermos parametriza´-la, precisamos apenas
conhecer um de seus pontos. Como a reta e´ perpendicular a` r, elas se intersectam em um ponto
P e, como a reta esta´ contida no plano Π, teremos enta˜o que P ∈ Π. Assim, P e´ o ponto de
intersec¸a˜o entre r e Π, dado, portanto, pela soluc¸a˜o do sistema{
2x+ 2y + z = 3
(x, y, z) = (4, 0, 4) + t · (3, 0, 3)
Substituindo as coordenadas da segunda equac¸a˜o na primeira, temos
2(4 + 3t) + 2(0) + (4 + 3t) = 3,
logo
8 + 6t+ 4 + 3t = 3,
e, portanto, 9t = −9, que nos da´ t = −1. Com isso,
P = (x, y, z) = (4, 0, 4)− 1(3, 0, 3) = (1, 0, 1).
Assim, a reta procurada sera´ parametrizada por
(x, y, z) = (1, 0, 1) + s(−6, 3,−6), s ∈ R.
Questa˜o 3:(2,5 pt) Determine a equac¸a˜o da esfera de menor raio e tangente, simultaneamente, a`s
retas
r1 : (x, y, z) = t · (1, 1, 0), t ∈ R
r2 : (x, y, z) = (−1, 1, 1) + s · (1,−1, 1), s ∈ R
SOLUC¸A˜O:
2
Primeiro, observe que as retas na˜o sa˜o paralelas ou coincidentes, pois seus vetores direc¸a˜o ~v1 =
(1, 1, 0) e ~v2 = (1,−1, 1) na˜o sa˜o mu´ltiplos. De fato, na˜o existe λ ∈ R tal que (1,−1, 1) = λ(1, 1, 0),
basta ver que, observando a u´ltima coordenada, ter´ıamos 1 = λ · 0, o que e´ imposs´ıvel.
As retas sera˜o, portanto, concorrentes ou reversas. Vamos verificar se sa˜o concorrentes, o que
equivale a existir algum ponto da reta r1 em comum com a reta r2. Isto ocorrera´ se o sistema
r :
{
(x, y, z) = t · (1, 1, 0)
(x, y, z) = (−1, 1, 1) + s · (1,−1, 1),
admitir soluc¸a˜o. O sistema pode ser reescrito na forma
x = t
y = t
z = 0
x = −1 + s
y = 1− s
z = 1 + s
A terceira e a sexta equac¸o˜es, juntas, nos da˜o 0 = z = 1+s, logo s = −1. Substituindo esta valor
nas outras quatro equac¸o˜es do sistema, temos enta˜o
x = t
y = t
x = −2
y = 2.
A primeira e a terceira equac¸o˜es nos da˜o t = x = −2, logo t = −2. A segunda e a quarta nos da˜o
t = y = 2, logo t = 2. Isto e´ imposs´ıvel, mostrando que o sistema na˜o tem soluc¸a˜o e, portanto, as
retas sa˜o reversas.
A esfera de menor raio e tangente simultaneamente a`s retas sera´ como na figura abaixo, com
centro no ponto me´dio do segmento perpendicular comum a`s retas, e com raio dado pela metade da
medida deste segmento.
Para obter o segmento perpendicular comum, podemos proceder de diversas maneiras. Por exem-
plo, se R1 ∈ r1 e R2 ∈ r2, o segmento R1R2 sera´ perpendicular simultaneamente a`s duas retas se−−−→
R1R2 for ortogonal a ~v1 = (1, 1, 0) e ~v2 = (1,−1, 1), isto e´, se
〈−−−→R1R2, ~v1〉 = 0 e 〈−−−→R1R2, ~v2〉 = 0.
3
Temos
R1 = (x1, y1, z1) = t · (1, 1, 0) = (t, t, 0)
R2 = (x2, y2, z2) = (−1, 1, 1) + s · (1,−1, 1) = (−1 + s, 1− s, 1 + s),
logo
−−−→
R1R2 = (−1 + s− t, 1− s− t, 1 + s). Assim,
〈−−−→R1R2, ~v1〉 = 0⇔ 〈(−1 + s− t, 1− s− t, 1 + s), (1, 1, 0)〉 = 0⇔ (−1 + s− t) + (1− s− t) = 0⇔
⇔ −2t = 0⇔ t = 0.
Ale´m disso, e utilizando que t = 0,
〈−−−→R1R2, ~v2〉 = 0⇔ 〈(−1+s−t, 1−s−t, 1+s), (1,−1, 1)〉 = 0⇔ 〈(−1+s, 1−s, 1+s), (1,−1, 1)〉 = 0⇔
⇔ (−1 + s)− (1− s) + (1 + s) = 0⇔ −1 + 3s = 0⇔ s = 1
3
.
Com isso,
R1 = (t, t, 0) = (0, 0, 0),
R2 = (−1 + s, 1− s, 1 + s) =
(
−1 + 1
3
, 1− 1
3
, 1 +
1
3
)
=
(
−2
3
,
2
3
,
4
3
)
.
Conhecido o segmento R1R2 perpendicular comum a`s retas, com R1 = (0, 0, 0) e R2 =
(−2
3
, 2
3
, 4
3
)
,
o centro C da esfera sera´ o ponto me´dio do segmento, isto e´,
C =
(
0− 2
3
2
,
0 + 2
3
2
,
0 + 4
3
2
)
=
(
−1
3
,
1
3
,
2
3
)
.
O raio r da esfera sera´ dado pela metade do comprimento do segmento, logo
r = d(R1, C) =
√(−1
3
− 0
)2
+
(
1
3
− 0
)2
+
(
2
3
− 0
)2
=
√
2
3
.
Assim, a equac¸a˜o da esfera de menor raio e tangente a`s retas r1 e r2 sera´(
x+
1
3
)2
+
(
y − 1
3
)2
+
(
x− 2
3
)2
=
2
3
.
Questa˜o 4:(2,5 pt) Dada a reta
r :

x = 1− t
y = −1 + t
z = 0,
t ∈ R
e a esfera
S : x2 + y2 + z2 − 4x− 4y + 4 = 0,
(a) determine, em func¸a˜o de um paraˆmetro, a famı´lia de planos que conteˆm a reta r;
(b) determine a equac¸a˜o cartesiana do plano que conte´m a reta r e e´ tangente a S.
SOLUC¸A˜O:
4
(a) Um plano Π contera´ a reta r se contiver um ponto desta reta e o vetor direc¸a˜o da reta for paralelo
ao plano.
O ponto P0 = (1,−1, 0) esta´ na reta (ele e´ dado, na parametrizac¸a˜o de r, por t = 0) e um vetor
direc¸a˜o da reta e´ dado por ~v = (−1, 1, 0).
Para que o vetor ~v seja paralelo ao plano Π, o ~v deve ser ortogonal ao vetor normal de Π, que
denotaremos por ~η = (a, b, c). Assim,
〈~v, ~η〉 = 0,
que equivale a
〈(1,−1, 0), (a, b, c)〉 = 0,
ou ainda a− b = 0, que e´ o mesmo que a = b.
Assim, ~η = (a, a, c), e
Π : ax+ ay + cz = d.
Como P0 ∈ Π, temos
a · 1 + a(−1) + c · 0 = d,
logo d = 0. Assim,
Π : ax+ ay + cz = 0.
Temos enta˜o a famı´lia de planos dada por dois paraˆmetros, a e c. Para reduzir para apenas 1,
podemos, por exemplo, fazer a = cos θ, c = sen θ, e obter
Π : (cos θ)x+ (cos θ)y + (sen θ)z = 0.
Outra forma seria dividir a equac¸a˜o por a, por exemplo, para obter
Π : x+ y +
c
a
z = 0,
e fazer k = c
a
. Neste caso,
Π : x+ y + kz = 0.
O u´nico problema e´ que essa famı´lia na˜o contemplara´ o plano z = 0, que aparece quando a = 0.
(b) A esfera pode ser reescrita na forma
x2+y2+z2−4x−4y+4 = 0⇔ x2−4x+4+y2−4y+4+z2+4−8 = 0⇔ (x−2)2+(y−2)2+z2 = 4.
Assim, seu centro e´ (2, 2, 0) e seu raio e´ 2.
Um plano sera´ tangente a esta esfera se sua distaˆncia ao centro (2,2, 0) for igual ao raio. Assim,
como queremos Π : (cos θ)x+ (cos θ)y + (sen θ)z = 0 tangente a` esfera, temos
2 = d(Π,S) = |(cos θ) · 2 + (cos θ) · 2 + (sen θ) · 0|√
(cos θ)2 + (cos θ)2 + (sen θ)2
=
4| cos θ|√
(cos θ)2 + 1
.
Com isso, √
cos2 θ + 1 = 2| cos θ|,
e enta˜o
cos2 θ + 1 = 4 cos2 θ.
Assim, temos
cos2 θ =
1
3
∴ cos θ = ± 1√
3
.
5
Isso implica que sen θ = ±√1− cos2 θ = ±
√
1− 1
3
= ±
√
2√
3
. Logo,
Π :
1√
3
x+
1√
3
y +
√
2√
3
z = 0
ou
Π :
1√
3
x+
1√
3
y −
√
2√
3
z = 0
(as outras opc¸o˜es de escolha de sinal acabam levando aos mesmo planos).
Utilizando a outra famı´lia obtida acima, temos
2 = d(Π,S) = |2 + 2 + d · 0|√
12 + 12 + d2
=
4√
2 + d2
.
Com isso, √
2 + d2 = 2,
e enta˜o
2 + d2 = 4 ∴ d = ±
√
2.
Assim,
Π : ax+ by +
√
2 z = 0
ou
Π : ax+ by −
√
2 z = 0
[Estas equac¸o˜es parecem bem diferentes das obtidas anteriormente, mas repare que sa˜o equiva-
lentes, basta multiplicar as primeiras por
√
3.]
6