24 questoes de calculo 2

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CCE1134_A1_ 
 
 
Lupa 
 
 
 
 
Disciplina: CCE1134 - CALCULO.DIF.INTEG.II Período Acad.: 2016.2 (G) / EX 
 
 
Prezado (a) Aluno(a), 
 
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será 
composto de questões de múltipla escolha (3). 
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV 
e AVS. 
 
 
 
1. 
 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de 
suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique 
a única resposta correta para o limite da função: 
limt→0 r(t)=(sen2t) i + eln(2t)j + (cost)k 
 
 
 
j - k 
 
 
i - j + k 
 
j 
 
j + k 
 
 
k 
 
 
 
 
2. 
 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) 
= t3 i + t2 j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
 
 
t2 i + 2 j 
 
 
3t2 i + 2t j 
 
 2t j 
 
0 
 
- 3t2 i + 2t j 
 
 
 
 
3. 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) 
 
 
= t3 i + t2 j. 
 Determine a aceleração do objeto no instante t = 1. 
 
 
 
6ti+2j 
 
 
6i+2j 
 
6ti+j 
 
6ti -2j 
 
ti+2j 
 
 
 
 
4. 
 
 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt é: 
 
 
 
 
2sent i - cost j + t2 k + C 
 
sent i - t2 k + C 
 
2senti + cost j - t2 k + C 
 
πsenti - cost j + t2 k + C 
 
-cost j + t2 k + C 
 
 
 
 
5. 
 
 
Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a 
única resposta correta. 
 
 
 
(0,0,0) 
 
 
(0,-1,2) 
 
 
(0,0,2) 
 
(0, 1,-2) 
 
(0,-1,-1) 
 
 
 
 
6. 
 
 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 
 
 
x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
x=1+t ; y=2+5t, z=-1 
 
x=1+t ; y=2+5t 
 
 
x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
x= t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
 
CCE1134_A2_ 
 
 
Lupa 
 
 
 
 
Disciplina: CCE1134 - CALCULO.DIF.INTEG.II Período Acad.: 2016.2 (G) / EX 
 
 
Prezado (a) Aluno(a), 
 
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será 
composto de questões de múltipla escolha (3). 
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV 
e AVS. 
 
 
 
1. 
 
 
Calcule o limite de: 
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y) 
 
 
 
-12 
 
12 
 
- 11 
 
 
11 
 
 
5 
 
 
 
 
2. 
 
 
Encontrando Primitivas. 
Seja ∫((cost)i + 3t2)j dt, 
qual a resposta correta? 
 
 
 
(cost)i - 3tj 
 
 
(cost)i + 3tj 
 
(cost)i - sentj + 3tk 
 
-(sent)i -3tj 
 
 
(sent)i + t³j 
 
 
 
 
3. 
 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de 
suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, 
 indique a única resposta correta para o limite da função: 
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + te-tj + (sentt)k 
 
 
 
 
i + j 
 
 
i + j - k 
 
i + j + k 
 
 
i + k 
 
j + k 
 
 
 
 
4. 
 
 
Seja ∫((cost)i + (4t3)j) dt, 
qual a resposta correta? 
 
 
 
-(sent)i-3tj 
 
 
(cost)i-3tj 
 
(cost)i+3tj 
 
(cost)i-(sent)j+3tk 
 
 
(sent)i + t4j 
 
 
 
 
5. 
 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de 
suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique 
a única resposta correta para o limite da função: 
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k 
 
 
 i + j + k 
 
 
 
- i + j - k 
 
i + j - k 
 
j - k 
 
i - j - k 
 
 
 
 
6. 
 
 
Elimine o parâmetro tpara encontrar uma equação cartesiana da curva: x=3t-5 e y=2t+1 
 
 
y=(13)x+133 
 
 
y=-(23)x+133 
 
y=(23)x-133 
 
y=(23)x+103 
 
 
y=(23)x+133 
 
 
 
 
7. 
 
 
Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com 
velocidade angular constantew tem vetor posição dado 
por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única resposta correta que 
determina a acelaração em um tempo t qualquer. Observação: a > 0. 
 
 
 
-aw2coswt i - awsenwtj 
 
 
-aw2coswt i - aw2senwt j 
 
aw2coswt i + aw2senwtj 
 
-w2coswt i - w2senwtj 
 
aw2coswt i - aw2senwtj 
 
 
 
 
8. 
 
 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então a integral definida: ∫0π2r(t)dt é: 
 
 
 
i+j- π2 k 
 
 
i - j - π24k 
 
2i - j + π24k 
 
2i + j + (π2)k 
 
 
2i + j + π24k 
 
 
CCE1134_A3_ 
 
Lupa 
 
 
 
 
Disciplina: CCE1134 - CALCULO.DIF.INTEG.II Período Acad.: 2016.2 (G) / EX 
 
Deseja carregar mais 3 novas questões a este teste de conhecimento? 
 
Prezado (a) Aluno(a), 
 
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será 
composto de questões de múltipla escolha (3). 
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV 
e AVS. 
 
 
 
1. 
 
 
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela 
funções vetoriais: 
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k 
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k 
Podemos concluir que 
a) as aeronaves não colidem. 
 b) as aeronaves colidem no instante t=2 
c) as aeronaves colidem no instante t=5 
d) as aeronaves colidem no instante t=3 
e) as trajetórias não se interceptam 
 
 
 
(d) 
 
 
(a) 
 
 
(c) 
 
(e) 
 
(b) 
 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde 
sua posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk 
 
 
 
2i + j 
 
i/2 + j/2 
 
 
2j 
 
 
2i 
 
2i + 2j 
 
 
 
 
3. 
 
 
Encontrando Derivadas. 
Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk? 
 
 
 
(sent - tcost)i + (sentcost)j - k 
 
 
(cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k 
 
(tcost - sent)i + (sent - tcost)j + k 
 
(cost - tsent)i + (sent + cost)j + 1 
 
t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k 
 
 
 
 
4. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única 
resposta correta. 
 
 
 
(1 +cost,sent,0) 
 
(1-cost,sent,1) 
 
 
(1-cost,sent,0) 
 
 
(1-sent,sent,0) 
 
(1-cost,0,0) 
 
 
 
 
5. 
 
 
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor 
posição r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de 
uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da 
velocidade da asa-delta no instante t = 0. 
 
 
 
14 
 
9 
 
2 
 
1 
 
 
3 
 
 
 
 
6. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t2), indicando a única 
resposta correta. Considere a resposta em t=π4 
 
 
 
(22,22,π2) 
 
 
(-22,- 22,-π4) 
 
(22,22,π4) 
 
(-2,2,π4) 
 
 
(-22,22,π2) 
 
 
 
 
7. 
 
 
Encontre o vetor aceleração da partícula de posição:r(t)= (et)i+29(e2t)j-2(et)k no instante t=ln3. 
 
 
 
a(t)=(e3)i+29(e3)j-2(e3)k 
 
 
a(t)=3i+8j-6k 
 
a(t)=e3i +29e3j-2e3k 
 
a(t)=3i +89j-6k 
 
a(t)=e3i +2e3j-4e3k 
 
 
 
 
8. 
 
 
Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz) encontre 
 (∂f∂x)+(∂f∂x)+(∂f∂z) 
 
 
 
 
 1x+1y+1z +3cos(y+2z) 
 
 (1x)+(1y)+(1z) 
 
 1x+1y+1z+2cos(y+2z) 
 
 
 1x+1y+1z+2cos(y+2z) 
 
 1x+1y+1z +1cos(y+2z) 
 
 
CCE1134_A4 
 
 
Lupa 
 
 
 
 
Disciplina: CCE1134 - CALCULO.DIF.INTEG.II Período Acad.: 2016.2 (G) / EX 
 
Deseja carregar mais 3 novas questões a este teste de conhecimento? 
 
Prezado (a) Aluno(a), 
 
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será 
composto de questões de múltipla escolha (3). 
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV 
e AVS. 
 
 
 
1. 
 
 
Calcule a velocidade de uma partícula com vetor de 
posição r(t) = (t2, et, tet). Indique a única resposta correta. 
 
 
 
 
(2t,et,(1 - t)et) 
 
 
(t,et,(2+t)et) 
 
(t,et,(1+t)et) 
 
(2,et,(1+t)et) 
 
 
(2t,et,(1+t)et) 
 
 
 
 
2. 
 
 
Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂y 
 
 
 
 
 
sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
 
-6sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
-6sen(x - 3y) 
 
sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
-6sen(x + 3y)cos(x + 3y) 
 
 
 
 
3. 
 
 
Supondo que r(t)é o vetor posição de uma partícula que se 
move a longo de uma curva então,em qualquer instante t , 
pode-se afirmar: 
 I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é 
dado por:v(t)=dr(t)dt 
 II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em 
relação ao tempo. 
 III) O versor v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no 
instante t. 
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa 
como o produto do módulo de sua velocidade pela sua 
direção. 
Estão corretas apenas as afirmações: 
 
 
 
 
 
II,III e IV 
 
I,II,III e IV 
 
I,II e III 
 
I,II e IV 
 
 
I,III e IV 
 
 
 
 
4. 
 
 
Marque dentre as opções a que representa uma equação 
cartesiana para a equação polar r2 = 4r cosΘ 
 
 
 
 
 
(x - 2)2 + y2 = 4 
 
 
(x - 4)2 + y2 = 2 
 
(x - 2)2 + (y + 4)2 = 4 
 
(x - 2)2 + y2 = 10 
 
(x + 2)2 + y2 = 4 
 
 
 
 
5. 
 
 
Um objeto de massa m que se move em uma trajetória 
circular com velocidade angular constante w tem vetor posição 
dado por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única resposta 
correta que determina a velocidade em um tempo t qualquer. 
Observação: a > 0. 
 
 
 
 
-awsenwt i - awcoswtj 
 
 
-senwt i + coswtj 
 
 
- awsenwt i + awcoswtj 
 
awsenwt i + awcoswtj 
 
-senwt i + awcoswtj 
 
 
 
 
6. 
 
 
Seja a função f(x,y,z)=x-y2+z2 . Encontre ∂f∂x , ∂f∂y e ∂f∂z 
 
 
 
 
∂f∂x=x2 , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2 
 
∂f∂x=x , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2 
 
 
∂f∂x=1 , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 
∂f∂x=xy , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 
∂f∂x=y2+z , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 
 
 
 
7. 
 
 
Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x 
 
 
 
 
2sen(x - 3y) 
 
2sen(x + 3y)cos(x + 3y) 
 
sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
2cos(x - 3y) 
 
 
2sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
 
 
 
8. 
 
 
Determine o versor tangente à curva de função 
vetorial r(t)=(2sent)i+(2cost)j+(tgt)k no ponto t=π4. 
 
 
 
 
 (2)i -(2)j+(2))k 
 (22)i -(22)j+(22)k 
 
 (12)i -(12)j+(22)k 
 
 (25)i+(25)j+(255)k 
 
(105)i -(105)j+(255)k 
 
 
CCE1134_A5 
 
Lupa 
 
 
 
 
Disciplina: CCE1134 - CALCULO.DIF.INTEG.II Período Acad.: 2016.2 (G) / EX 
 
 
Prezado (a) Aluno(a), 
 
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será 
composto de questões de múltipla escolha (3). 
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV 
e AVS. 
 
 
 
1. 
 
 
Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da 
soma: d2xdt2+w2x? 
 
 
 
cos2(wt) 
 
w2 
 
-wsen(wt) 
 0 
 
 
w2sen(wt)cos(wt) 
 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre a curvatura para r(t)=(lnsect)i+tj para -π2<t<π2 
 
 
 
sen t 
 
 
cos t 
 
ln t + sen t 
 
tg t 
 
 
ln t 
 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j 
+ 3k 
 
 
 
(-sen t)i + (cos t)j + k 
 
(-sen t - cos t)i + (cos t)j 
 
 
(-sen t)i + (cos t)j - k 
 
 
(-sen t)i + (cos t)j 
 
(-sen t)i - (cos t)j 
 
 
 
 
4. 
 
 Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem 
derivadas parciais contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum 
intervalo e x,ye z são funções de outra variável t 
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt. 
Diz - se que dwdt é a derivada total de w com relação 
a t e representa a taxa de variação de w à medida 
que t varia. 
Supondo w=x2 -3y2 +5z2 onde x=et, y=e-t, z= e2t, 
 
 
calcule dwdt sendo t= 0 
 
 
20 
 
10 
 
12 
 
 
8 
 
 
18 
 
 
 
 
5. 
 
 
Encontre a curvatura para a curva r(t) = (cos t + t sen t)i + (sen t - t cos t)j para t > 0 
 
 
1/t + sen t 
 
sen t 
 
cos t 
 
 
1/t + sen t + cos t 
 
 
1/t 
 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre a derivada direcional da função f(x,y,z)=lnxyz em 
 P(1,2,2) na direção do vetor v=i+j -k. 
 
 
 
 
 
 33 
 
23 
 
22 
 
32 
 
 
3