Lista de exercícios Álgebra Linear II

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Lista 1- Álgebra Linear II
1. Nos seguintes problemas, achar, se existem r, s ∈ R.
a) r(−2, 3)− s(8, 1) = (16, 15)
b) r(5, 1) + s(−3, 5) = (−2, 8)
c) r(−2, 3) + s(4,−6) = (0, 2)
2. Seja ~x ∈ R2 tal que: (−5, 2) = 2~x+ (1,−8).
Se (−5, 3) = t~x+ r(2,−1), achar o valor de 2t+ r.
3. Se ~a = (m, 2m) 6= ~0, ~a−~b = (2m, p), ~b||~a e ‖~a−~b‖ = 20.
Determine ‖~b‖.
4. Se o vetor ~a = (x, y) é paralelo ao vetor ~b = (2, 4), tal que:
~u = ( x√
5
, y√
5
) é vetor unitário paralelo aos vetores ~a e ~b. Achar o vetor ~a.
5. Se ~a = (r, 3m) e ~b = (−2m, s). Achar r+s tal que ~a+~b = (8,−4) e ~a||~b.
6. Se ~a = (m, 5) + (3, 3),~b = 4(−m,−3)− 2(1, 2) e ~a||~b.
Determine o valor de m.
7. Se ~b = (2, 3), ~a.~b = −16 e ~a||~c = (1, 2). Calcular ‖~a‖.
8. Usando propriedades de produto escalar, verifique
a) ‖~a+~b‖2 − ‖~a−~b‖2 = 4~a.~b
b) ‖~a+~b‖2 + ‖~a−~b‖2 = 2(‖~a‖2 + ‖~b‖2)
9. Usando a desigualdade triangular, provar que se ~a e ~b ∈ R2 então∣∣∣‖~a‖ − ‖~b‖∣∣∣ ≤ ‖~a+~b‖
Dica: escrever ~a = ~b− (~b− ~a) e ~b = ~a− (~a−~b).
10.Sejam ~a,~b,~c ∈ R2 tal que: ‖~a‖ = √26, ‖~b‖ = 3√2 e ~b.~c = 12.
Se ~a = ~b− ~c, achar ‖~c‖.
11.Se ~a = (2, x),~b = (x,−2x) e ~c = (x− 2, x+ 1), onde x > 0
e se (~a+~b).~c = ~a.~b+ 1, achar o vetor v = ~a+~b+ ~c.
12. Se ~a+~b− ~c = ~0 e ‖~a‖ = 2, ‖~b‖ = 4√3, ‖~c‖ = 8, calcular ~a.~c
13. Se ~a,~b ∈ R2 são unitários, verificar que: ‖1
2
~a+ 1
3
~b‖ < 1
1
14. Se os vetores ~a e ~b formam um angulo de 45◦ e ‖~a‖ = √48. Achar
‖~b‖, se ~a−~b é ortogonal ao vetor ~b.
15. Se os vetores ~a e ~b formam um angulo de 120◦ com ‖~a‖ = 3 e ‖~b‖ = 5
determinar: ‖~a+~b‖e‖~a−~b‖.
16. Se os vetores ~a e ~b formam um angulo de 60◦ com ‖~a‖ = 5 e ‖~b‖ = 8
determinar: ‖~a+~b‖e‖~a−~b‖.
17. Se os vetores ~a e ~b formam um angulo de 150◦ com ‖~a‖ = √48
e ‖~b‖ = 6 determinar: ‖~a+~b‖
Gabarito
1)a)r = 4, s = −3 b)r = 1/2, s = 3/2 c)@r, s 2)−2 3)10 4)~a = (±1,±2)
5)5 6)m = 2 7)2
√
5 8)
9) 10)4
√
2 11)~v = (5, 1)
12)10 13)
14)8 15)
√
19 e 7
16)
√
129 e 7 17)2
√
3
Wilman R.H.
2