Exercícios de Diagonalização, Autovalores, Autovetores e Cônicas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
MAT038 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
PROF. ROBERTO RODRIGUEZ
LISTA DE EXERCÍCIOS
DATA: 28/06/2016
Exercício 0.1. Determinar se as seguintes matrizes são diagonalizáveis:
A =
 5 −6 −6−1 4 2
3 −6 −4
 B =
 3 −1 0−1 2 −1
0 −1 3
 C =
 −1 0 −33 2 3−3 0 −1

Exercício 0.2. Determinar os autovalores e os autovetores das seguintes matrizes:
A =
 1 2 11 0 1
4 −4 5
 B =
 2 1 12 3 2
3 3 4

Exercício 0.3. Uma matriz A de ordem 2 × 2 verifica as seguintes condições:
(a) A
(
1
−1
)
=
(
3
1
)
(b) v = (2,−1) é um autovetor de A associado ao autovalor λ = −2
Encontrar a matriz A indicando se ela é diagonalizável ou não. Em caso afirmativo, diagonalizar
a matriz A determinando as matrizes P e D.
Exercício 0.4. Determine os valores de α e β para os quais a matriz A é diagonalizável 2α − β 0 2α − 2β1 α 2−α + β 0 −α + 2β

Exercício 0.5. Diagonalizar ortogonalmente as seguintes matrizes
A =
 1 −2 0−2 2 −2
0 −2 3
 B =
 1 −1 −1−1 1 −1−1 −1 1

Exercício 0.6. Identificar qual é a cônica que representa cada uma das seguintes equações:
(a) 3x2 + 3y2 − 2xy − 2 = 0
(b) x2 + y2 + 2xy − 7x − 5y + 7 = 0
(c) −2x2 + y2 + 4xy + 2x − 1 = 0
(d) 8x2 + 17y2 + 12xy − 8x − 16y − 8 = 0
(e) x2 + 7y2 − 4xy + 3x + 2y + 1 = 0
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