Lista de exercícios cálculo 1

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Departamento de Matema´tica - CCEN - UFPE
CA´LCULO 1 – Turma PF (Matema´tica e F´ısica) – 2016.1
LISTA 1 DA PRIMEIRA UNIDADE
1. Seja P o ponto do gra´fico y = x3 com coordenadas (1, 1).
(a) Se Q e´ o ponto do gra´fico com abscissa 1 + h, onde h 6= 0, calcule a inclinac¸a˜o da
reta secante PQ.
(b) Fazendo h → 0 na sua resposta do item anterior, obtenha a inclinac¸a˜o da reta
tangente ao gra´fico no ponto P = (1, 1). Confirme sua resposta usando a fo´rmula
da derivada de xn vista em aula.
2. Calcule, a partir da definic¸a˜o de derivada como limite do quociente de Newton, a
derivada das func¸o˜es: f(x) = 1/x2; g(x) =
√
x; h(x) =
√
3x + 1.
3. Em cada um dos casos a seguir, calcule a reta tangente a` curva no ponto com abscissa
indicada: (i) y = 1/x2, x = 1; (ii) y =
√
x, x = 9; (iii) y = x3, x = 1. Desenhe a curva e
a reta tangente no mesmo sistema de eixos.
4. Mostre que ha´ duas retas tangentes ao gra´fico y = x3 que sa˜o paralelas a` reta y = x.
Determine a equac¸a˜o destas retas. Fac¸a uma figura ilustrando o gra´fico e as retas obtidas.
5. Verifique se existem retas tangentes ao gra´fico y = 1/x com a inclinac¸a˜o m a seguir:
(i) m = 0; (ii) m = 1; (iii) m = −1/4. Em caso afirmativo, determine quantas retas ha´
com esta propriedade e obtenha a equac¸a˜o destas retas. Fac¸a uma figura ilustrando o
gra´fico e as retas tangentes obtidas.
6. Se x0 e´ a abscissa do ve´rtice da para´bola y = ax
2 + bx + c (a 6= 0), qual deve ser a
derivada da func¸a˜o f(x) = ax2 + bx + c em x = x0? Use a sua resposta para determinar
as coordenadas do ve´rtice.
7. Considere a curva y = x4.
(a) Determine a equac¸a˜o da reta tangente a esta curva no ponto P = (x0, x
4
0).
(b) Determine as equac¸o˜es das retas tangentes a` curva que passam pelo ponto (2, 0).
Ilustre em uma figura este gra´fico e as retas encontradas.
8. Deˆ exemplo de uma func¸a˜o f : R → R tal que lim
x→0
f(x) exista e f na˜o seja cont´ınua
em x = 0, isto e´, lim
x→0
f(x) 6= f(0).
9. Deˆ exemplo de gra´fico de uma func¸a˜o f : (−1, 1) → R que seja cont´ınua para todo
x 6= 0 em seu domı´nio e satisfac¸a as condic¸o˜es abaixo. Na˜o e´ necessa´rio escrever uma
fo´rmula para o seu exemplo.
lim
x→−1+
f(x) = 2, lim
x→0−
f(x) = −1, f(0) = 0, lim
x→0+
f(x) = 1, lim
x→1−
f(x) = 3.
10. Calcule os limites a seguir:
lim
x→2
3x + 2
x5 + 3
; lim
x→1
2x− 2
x2 + x− 2; limx→0
x√
x + 1− 1; limt→4
√
t− 2
t− 4 .
11. Sejam a, b nu´meros reais. Considere a func¸a˜o
f(x) =

2x, x < 1,
b, x = 1,
ax− x2, x > 1.
(a) No caso a = 0, lim
x→1
f(x) existe? Para a = 0, b = 0, desenhe o gra´fico de f .
(b) Determine a e b tais que a func¸a˜o f(x) seja cont´ınua. Para estes valores de a e b,
desenhe o gra´fico de f(x).
12. Explique por que os seguintes argumentos esta˜o ERRADOS:
(a) lim
x→0
(x2sen(1/x)) = (lim
x→0
x2)(lim
x→0
sen(1/x)) = 0× lim
x→0
sen(1/x) = 0.
(b) lim
x→1
[
(x3 + x2 − 2x)/(x2 + 2x− 3)] = 0, pois lim
x→1
(x3 + x2 − 2x) = 0.
(c) lim
x→0
sen(2x)
sen(5x)
= lim
x→0
2 sen(x)
5 sen(x)
= 2/5.
13. Calcule (corretamente!) os limites do exerc´ıcio anterior.
Observac¸a˜o: Para calcular o limite em (c), sera´ u´til saber que lim
t→0
sen t
t
= 1. Este limite
fundamental sera´ provado em breve.