Prova Álgebra 2 resolvida

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COE 
1. Seja G um grupo tal que |G| = p, onde p é um inteiro positivo primo. Prove que G é um 
grupo cíclico. 
Solução: 
Seja G um grupo tal que |G|=p onde é primo. Seja { } um subgrupo 
de G, sabemos que tem que dividir |G| = p, isso implica que -p=|G|. Logo 
|G|= , com isso G= , portanto G é cíclico. 
2. Determinar as classes laterais à direita e à esquerda de H={0,2} em { } , para cada 
elemento de 
Solução: 
H={0,2} em ( ) sendo que ={0,1,2,3} 
Classes laterais à esquerda: 
0+H=H 
1+H={1,3} 
2+H={5,0}=H 
3+H={3,1}=1+H 
 
Classes laterais à direita: 
 
H+0=H 
H+1={1,3} 
2+H={5,0}=H 
3+H={3,1}=H+1 
 
3. Prove que se G é um grupo e |G| , então G é abeliano. 
Solução: 
Seja G um grupo e |G| , Tomamos { } e seja subgrupo <x>, sabemos que |,x>| 
tem que dividir |G|, mas a ordem de G pode se 1,2,3,4 ou 5 se for 1 só o neutro logo 
abeliano e 2,3,5 são números primos logo pelo 1º G seria cíclico e todo grupo cíclico é 
abeliano. E se |G|=4, |<x> poderia ser 2 ou 4 se |<x>|=4=|G| então G=<x> e G seria cíclico 
e logo seria abeliano, mas se |<x>|=2, e se todos os elementos do grupo tiver ordem 2 ele 
é abeliano. Portanto G é abeliano, pois se o {x}=2 x²=e seja x,y (xy)²=e xy.xy=e portanto g 
xy.xyy=ey=xyx=y operando x xyxx=yx então xy=yx.