Fundamentos de Engenharia Hidráulica (?) ed BAPTISTA, Márcio ; COELHO, Márcia

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Capítu lo 2 
A mecânica dos fluidos na Hidráulica 
Neste capitulo são apresentados, resumidamente, alguns tópicos básicos 
da Mecânica dos Fluidos necessários ao estudo da Hidráulica, tais como 
sistemas de unidades, propriedades físicas dos fluidos e conceitos de 
hidrodinâmica e hidrostática. 
2.1 Introdução 
A fundamentação teórica da Hidráulica está contida na Mecânica dos Fluidos e con-
sequentemente na Física. Assim, enquanto esta estuda o comportamento da matéria nos 
três estados (sólido, líquido e gasoso), a Mecânica dos Fluidos trata dos fluidos (líquidos 
e gases) e a Hidráulica apenas dos líquidos, mais especificamente da água. 
Entretanto, os elementos teóricos originários da Física não são suficientes per si para 
resolver todos os problemas práticos da Hidráulica, requerendo esta, quase sempre, de 
dados experimentais. Desta maneira, os fundamentos dos itens apresentados neste livro 
estão alicerçados na Física clássica e no empirismo. 
Para análise destas questões, principalmente as relacionadas com equações e proprie-
dades físicas dos fluidos, apresentam-se a seguir as unidades das grandezas normalmente 
utilizadas neste livro e o princípio da homogeneidade dimensional. 
2.1.1 Sistemas de un idades 
Para efetuar-se a medida de determinada grandeza, tal como comprimento, força, ou 
mesmo, alguma propriedade do fluido, é necessário compará-la com outra grandeza de 
mesma espécie. O padrão de medida que serve para comparação é denominado de unidade. 
Conforme a natureza da grandeza considerada, as unidades podem ser fundamentais ou 
derivadas. 
O conjunto formado pelas unidades das grandezas fundamentais e pelas unidades das 
grandezas derivadas é denominado Sistema de Unidades. No Brasil, desde 1962, adota-se 
üenerátêd by GamScanner trom íntsig.com 
s e t - ^ - a r a Hidráulica 
c* ca Tients o Sistema Internacional (SI), baseado em 7 grandezas fundamentais, básicas. 
As a c e . a:~ras das unidades são escritas em letras minúsculas, com exceção das unida-
des cê" . aças de nomes próprios, que devem iniciar-se com letras maiúsculas, conforme 
mostra o Q-aaro 2.1. 
Quadro 2.1 - Grandezas fundamentais - símbolos e unidades 
Grandezas fundamentais Símbolo Unidade Abreviatura da unidade 
Compn —eito L Metro m 
'.'assa M Quilograma kg 
Te"-po T Segundo s 
-tens dade corrente elétrica 1 Ampere A 
"en-oeratura e Kelvin K 
Quantidade de matéria n Mole mol 
~:ens aace ^minosa i Candeia cd 
Na ~ s ca. em geral, e na Hidráulica, em particular, adotam-se como grandezas fun-
ca~~e~:as a Massa M, o Comprimento Leo Tempo 7", daí a denominação de Sistema 
VLT substituição ao nome de Sistema Internacional. As unidades correspondentes 
à ~assa ao comprimento e ao tempo são o quilograma (kg), o metro (m) e o segundo 
5 ', respectivamente. 
0 ^ : r o sistema muito utilizado no Brasil é o Técnico ST, também denominado FLT, 
ce~- seme hante ao SI. Contudo, utiliza-se a força f c o m o grandeza fundamental, cuja 
ur dade é o kgf, no lugar da massa, além do comprimento e do tempo. Por outro lado, 
a ~55sa cassa a ser uma grandeza derivada, cuja unidade é denominada unidade técnica 
ce massa Jtm). A passagem de um sistema ao outro é feita pela aplicação da segunda 
le ce r .ewton (F = m.a), estabelecendo dessa maneira que: 
1utm = lkgfs2 /m 
lutm = 9,8 Ikg 
1N = 1kg-m/s2 
Ikgf = 9,8 IN 
D Quadro 2.2 contém as unidades das grandezas normalmente utilizadas na Hidráulica, 
".os sistemas internacional e técnico. 
Quadro 2.2 - Unidades utilizadas nos sistemas usuais 
Grandezas Símbolo Abreviatura das unidades 
Sistema Internacional Sistema Técnico 
Massa M kg kgf.s2/m (utm) 
Comprimento L m m 
Tempo T s s 
Força F N kgf 
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36 
A Mecânica dos Fluidos na Hidráulica | Capitulo 2 
2.1.2 Princípio da h o m o g e n e i d a d e dimensionai 
0 princípio da homogeneidade dimensional é utilizado para facilitar o desenvolvi-
mento de equações e a conversão de sistemas de unidades. Através deste, é possível 
representar, por exemplo, as leis da Física pelas grandezas fundamentais dos sistemas 
internacional ou técnico. Este princípio estabelece que uma equação é dita homogênea 
dimensiona/mente, quando os seus diferentes termos apresentam o mesmo grau com 
relação às grandezas fundamentais. É importante ressaltar, entretanto, que o princípio 
da homogeneidade dimensional, embora seja uma condição geral para a validade de 
uma equação, não é suficiente. 
Por outro lado, é possível ter-se equações não homogêneas, ou seja, equações 
cujos diferentes termos não apresentam as mesmas dimensões, sendo válidas em um 
determinado sistema de unidades, para uma determinada gama de valores das grande-
zas intervenientes. Em geral, estas equações são oriundas de experiências conduzidas 
empiricamente. 
Exemplo 2.1 
Determinar a equação da distância percorrida por um corpo em queda livre, 
considerando-se que a distância percorrida d depende do peso do corpo 
P, da aceleração da gravidade g e do tempo t, ou seja: 
d = k P3gb r (2.1) 
sendo k um coeficiente adimensional, geralmente determinado experimen-
talmente e/ou por análise física. 
Solução 
Pelo princípio da homogeneidade dimensional, para que esta equação seja 
homogênea os expoentes das grandezas fundamentais envolvidas devem 
ter o mesmo grau, em ambos os membros da equação. Expressando, en-
tão, as grandezas envolvidas em termos das grandezas fundamentais MLT 
e substituindo-as em (2.1) tem-se: 
d => L 
P => ML T
2 
g => LT
2 
t => T 
M°L'V) = (M<>/.J T2») (LbT2b) (T) 
37 
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Fundamento* d» Fngenharla Hidráulica 
Relacionando os expoente de M, L, e T na equação anterior, tem se, 
respectivamente: 
0 = a => 3 = 0 
1 = a + ò => b = 7 
0 = -2â -2b + c => c = 2 
Substituindo-se os valores de a, ò e c na equação (2.1), obtém-se as 
dimensões da distância em relação às grandezas fundamentais MLT, de 
onde pode-se concluir que a distância independe de P . 
d = k Fg112 => d = k g t2 
A aplicação desse princípio permite obter o mesmo resultado, utilizando-se 
tanto as grandezas fundamentais MLT quanto FLT. 
2.2 Propriedades físicas dos fluidos 
Fluidos são substâncias no estado líquido ou gasoso que se deformam continua-
mente sob a ação de alguma força cisalhante. Este texto trata especialmente dos líquidos 
newtonianos, isto é, dos líquidos em que a taxa de deformação varia linearmente com a 
força de cisalhamento aplicada. Algumas propriedades físicas dos líquidos e em especial 
da água são apresentadas a seguir. 
Massa específica ou dens idade absoluta 
Massa específica ou densidade absoluta é a relação entre a massa do fluido e o seu 
volume. 
P = m / V ( 2 2 ) 
sendo: 
P = massa especifica ou densidade absoluta do f lu ido 
m = massa do fluido 
V = volume do fluido 
E n t r e t n T e m e T o n d S e s d n P e n d e ^ 6 03 temP«**ura (ver Quadros 2.3 e 2.4). tnxreianto, em condiçoes normais, a variação r W a nranru , -
considerada constante. N a maioria dos problemas adot , « * T * " * " C ° T « 
específica a 4°C, ou seja, p=1000 kg/m' n o s i s t e Z n l e r n f f * ™ * ^ °S V a ' ° r 0 S ^ 
y no sistema internacional ou P=102 kgf.s2/m4 no sistema 
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A Mecânica dos Fluidos na Hidráulica | Capítulo 2 
técnico. Exceção se faz aos escoamentos transitórios, nos quais essa propriedade deve 
ser considerada como uma função da pressão que é muito variável, ou em escoamentos 
com elevadas temperaturas. Para todas as aplicações práticas deste livro, salvo indicação 
em contrário, serão adotados: p = 1000 kg/m3 = 102kgf.s2/m4. 
D e n s i d a d e re la t iva 
Densidade relativa (ô) é a relação entre a massa específica de uma substância para 
outra tomada como referência.Normalmente, para líquidos, a água a 4°C é tomada como 
padrão, o que corresponde a p( =1000 kg/m3 ou p =102 kgf nr4s2. Assim, a densidade 
relativa da água, independe do sistema de unidade, podendo ser considerada igual a 
unidade (ô =1) em grande parte dos problemas. Para todas as aplicações práticas deste 
livro, salvo indicado em contrário, será adotado 5 = 1 . 
ô = p / p o (2.3) 
Quadro 2.3 - Propriedades físicas da água - sistema internacional 
Temperatura Massa Peso Pressão de Módulo de Viscosidade Viscosidade 
Específica Específico Vapor Elasticidade Dinâmica Cinemática 
Volumétrico 
T P y p abs V K M V 
°C k g / m 3 N/m 3 Pa 107 Pa 103 kg/m.s 106 m2 /s 
0 999,9 9805 611 204 1.79 1,79 
5 • 1000,0 9806 873 206 1,52 1,52 
10 999,7 9803 1266 211 1.31 1,31 
15 999,1 9798 1707 214 1,14 1,14 
20 998,2 9789 2335 220 1,01 1,01 
25 997,1 9779 3169 222 0,89 0,90 
30 995,7 9767 4238 223 0,80 0,80 
35 994,1 9752 5621 224 0,72 0,73 
40 992,2 9737 7377 227 0,66 0,66 
45 990,2 9720 9584 229 0,60 0,61 
50 988,1 9697 12331 230 0,55 0,56 
55 985,7 9679 15745 231 0,51 0,51 
60 983,2 9658 19924 228 0,47 0,48 
65 980,6 9635 25015 226 0,44 0,44 
70 977,8 9600 31166 225 0,41 0,42 
75 974,9 9589 38563 223 0,38 0,39 
80 971,8 9557 47372 221 0,36 0,37 
85 968,6 9529 57820 217 0,34 0,35 
90 965,3 9499 70132 216 0,32 0,33 
95 961,9 9469 84552 211 0,30 0,31 
100 958,4 9438 101357 207 0,28 0,30 
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Fundamentos de Engenharia Hldraulica 
Quadro 2.4 - Propriedades físicas da água sistema técnico 
Temperatura 
Viscosidade 
Cinemática 
0 
5 
10 
15 
20 
25 
30 
35 
40 
45 
50 
55 
60 
65 
70 
75 
80 
85 
90 
95 
100 
101,9 
101,9 
101,9 
101,8 
101,8 
101,6 
101,5 
101,3 
1 0 1 , 1 
100,9 
100,7 
100,5 
100,2 
100,0 
99,7 
99,4 
99,1 
98,7 
98,4 
98,1 
97,7 
999,9 
1000,0 
999,7 
999.1 
998.2 
997,1 
995,7 
994.1 
992.2 
990,2 
988.1 
985.7 
983.2 
980,6 
977.8 
974.9 
971.8 
968,6 
965.3 
961.9 
958.4 
62 
89 
129 
174 
238 
323 
432 
573 
752 
977 
1257 
1605 
2031 
2550 
3177 
3931 
4829 
5894 
7149 
8619 
10332 
2,08 
2,10 
2,15 
2,18 
2,24 
2,26 
2.27 
2.28 
2.31 
2.33 
2.34 
2.35 
2.32 
2,30 
2,29 
2,27 
2,27 
2,21 
2,20 
2,15 
2 , 1 1 
1,83 
1,55 
1,33 
1,16 
1,03 
0,91 
0,82 
0,74 
0,67 
0,61 
0,56 
0,52 
0,48 
0,44 
0,42 
0,39 
0,36 
0,34 
0,32 
0,31 
0,29 
1,79 
1,52 
1,31 
1,14 
1,01 
0,90 
0,80 
0,73 
0,66 
0,61 
0,56 
0,51 
0,48 
0,44 
0,42 
0,39 
0,37 
0,35 
0,33 
0,31 
0,30 
Peso específico 
Peso específico é a relação entre o peso do fluido e o seu volume. 
y=W/V (2.4) 
sendo: 
/= peso específico do fluido 
W = peso do fluido 
V- volume do fluido 
Pela segunda lei de Newton W = m.g, sendo m a massa e g a aceleração da gravi-
dade. Substituindo este valor de W na equação (2.4), juntamente com a equação (2.2), 
tem-se y = p g. Conclui-se, portanto, que o peso específico depende da pressão e da 
temperatura, já que p também depende destas características. Para todas as aplicações 
práticas deste livro, salvo indicação em contrário, serão adotados' v = 9810 N/m3 = 
1000 kgf/m3 eg = 9,81 m/s2 ' ' 
Os Quadros 2.3 e 2.4 relacionam os valores do peso específico da água em diferentes 
temperaturas, entretanto, como a variação dos valores do peso específico é pequena, 
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A Mecânica dos Fluidos na Hidráulica | Capi tão i 
em grande partedos problemas utiliza-se o valor padrão:y =9>81x103 N/m3 ouy =1000kgf/m3, 
nos sistemas de unidades internacional e técnico, respectivamente. 
Pressão 
A relação entre a força normal que age contra uma superfície plana e sua área é definida 
como pressão média (P = F/A). Quando esta área se aproxima de zero, em torno de um 
ponto, tem-se, por definição, a pressão no ponto, sendo a direção da pressão sempre 
normal à superfície. A medida dessa grandeza no sistema técnico é denominada Pascal 
(Pa), sendo 1 Pa = 1 N/m2. 
P = Um ~ 
A~*° A (2.5) 
em que: 
P : pressão num ponto 
F : esforço normal à superfície 
A : área da superfície 
Também leva o nome de Pascal a lei que estabelece que num fluido em equilíbrio a 
pressão num ponto é a mesma em todas as direções, independentemente da orientação 
da superfície em torno do ponto, ou seja: 
P = P = P (2.6) 
x y z y ' 
Pressão de v a p o r 
Pressão de vapor corresponde ao valor da pressão na qual o líquido passa da fase 
líquida para a gasosa. Na superfície de um líquido há uma troca constante de moléculas 
que escapam para a atmosfera (evaporação) e outras que penetram no líquido (con-
densação). Visto que este processo depende da atividade molecular e que esta depende 
da temperatura e da pressão, a pressão de vapor do líquido também depende destes, 
crescendo o seu valor com o aumento da pressão e da temperatura. 
Quando a pressão externa, na superfície do líquido, se iguala à pressão de vapor, 
este se evapora. Se o processo no qual isto ocorre é devido ao aumento da temperatura 
do líquido, permanecendo a pressão externa constante, o processo é denominado de 
evaporação. Caso isto se dê pela mudança da pressão local enquanto a temperatura 
permanece constante, o fenômeno é conhecido por cavitação. Este fenômeno ocorre, 
normalmente, em escoamentos sujeitos às baixas pressões, próximos à mudança de 
fase do estado líquido para o gasoso e constitui um grande problema em vertedores, 
válvulas e sucção de bombas. Valores da pressão de vapor, para a água, são mostrados 
nos Quadros 2.3 e 2.4. 
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Fundamentos de Engenharlo Hidráulico 
M ó d u l o de elasticidade volumétr ico 
O módulo de elasticidade volumétrico é a relação entre o incremento de pressão (AP) 
aplicado ao fluido e a variação relativa de volume (AV/ V), dando, portanto, a medida 
da compressibilidade do fluido através da relação: 
K = - A P V / A V (2.7) 
em que: 
K = módulo de elasticidade volumétrico do líquido 
AP = incremento de pressão 
AV= variação do volume devido a AP 
V = volume do líquido 
Em grande parte dos problemas que envolvem escoamento de líquidos, a compressi-
bilidade pode ser desprezada, uma vez que as mudanças de volume para as variações de 
pressões normalmente existentes são irrelevantes. Entretanto, no estudo de transientes 
hidráulicos o módulo de elasticidade volumétrico passa a ser importante, pois as oscilações 
das pressões são de maior monta, afetando a velocidade de propagação das perturbações 
no meio líquido. Para a água, os valores do módulo de elasticidade são mostrados nos 
Quadros 2.3 e 2.4. 
Viscosidade 
Viscosidade é a resistência do fluido à deformação, devida principalmente às forças 
de coesão intermolecular. Consequentemente, essa propriedade só é evidenciada 
com o escoamento do fluido, apresentando menor fluidez os fluidos de alta viscosidade 
e vice-versa. 
Newton estabeleceu que num escoamento unidirecional, como o representado na 
Figura 2.1, a tensão tangencial x é proporcional ao gradiente de velocidade dv/dy, sendo 
o coeficiente de proporcionalidade a viscosidade dinâmica do fluido j i . Os fluidos que 
seguem esta lei são chamados de newtonianos. 
T = |Í dv/dy (Lei da Viscosidade de Newton) (2.8) 
PLACA MÓVEL 
7 
7 
dv 
dv/dy dy 
PLACA FIXA 
Figura 2.1- Diagrama de velocidade de um fluido escoando entre duas placas planas 
jnerated bv ü 
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A Mecânica dos Fluidos na Hidráulica | Capitulo 2 
A entre a viscosidade dinâmica do fluido [x e sua massa específica p é denomi-
nada viscosidade cinemática v e é frequentemente utilizada, pois os efeitos da viscosidade 
tornam-se mais evidentes com menor inércia do fluido.O Quadro 2.3 mostra no sistema internacional de unidades os valores da viscosidade 
dinâmica e cinemática da água, a diferentes temperaturas, o mesmo acontecendo no 
Quadro 2.4 para o sistema técnico. 
2.3 Classificação dos escoamentos 
Uma classificação geral básica, que norteia o estudo da Hidráulica, diz respeito à 
pressão reinante no conduto, podendo o escoamento ser forçado ou livre. No primeiro 
caso a pressão é sempre diferente da atmosférica e portanto o conduto tem que ser 
fechado, como nas tubulações de recalque e sucção das bombas ou nas redes de abas-
tecimento de água. No escoamento livre a pressão na superfície do líquido é igual à 
atmosférica, podendo o conduto ser aberto, como nos canais fluviais, ou fechado, como 
nas redes de coleta de esgoto sanitário. 
V = | i / P (2.9) 
Piezômetro 
/ \ 
r » A 
Q 
L-»A 
Seção AA 
Conduto forçado 
Canal Seção BB 
Conduto livre 
Figura 2.2 - Escoamento forçado e livre 
43 
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fundamentos de Engenharia Hidráulica 
Adutora - conduto forçado - e canalização do ribeirão Arrudas - escoamento livre (Belo Horizonte, MG) 
Quanto à direção na trajetória das partículas, o escoamento pode ser laminar ou 
turbulento. A experiência de Osborne Reynolds, que consiste na injeção contínua de 
um corante em um ponto do escoamento, permite visualizar estes dois tipos de fluxo 
(ver Figura 2.3). No fluxo laminar o corante forma um filete bem definido, sem misturar 
com o líquido, uma vez que as várias camadas do líquido se movem sem perturbação. 
Já no escoamento turbulento, as partículas do líquido têm trajetórias irregulares, cau-
sando uma transferência da quantidade de movimento de uma parte a outra do fluido. 
Neste caso, ocorre a mistura do corante na massa líquida. Na Engenharia Hidráulica, em 
geral, os escoamentos se enquadram na categoria de turbulento. O escoamento laminar 
pode ocorrer quando o fluido é muito viscoso ou a velocidade do escoamento é muito 
pequena, como nos decantadores das estações de tratamento de água. 
Filamento de tinta 
Tubo \ Tubo 
Fluxo laminar 
Figura 2.3 - Escoamento laminar e turbulento 
Fluxo turbulento 
Com efeito, considerando as indicações de Reynolds, tem-se: 
Re = pUDh/[i ou Re = UDJv 
em que: 
Re : Número de Reynolds; 
U : Velocidade média do escoamento; 
Dh : Dimensão geométrica característica; 
p : Massa específica; 
ji : Viscosidade dinâmica; 
v : Viscosidade cinemática. 
(2 .10) 
44 
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A Mecânica dos Fluidos na Hidráulica | Capitulo 2 
Para os escoamentos livres, adota-se o raio hidráulico /?,. como dimensão geométrica 
característica, e para os escoamentos em condutos forçados o diâmetro D, como será 
visto oportunamente. O Quadro 2.5 apresenta os números de Reynolds correspondentes 
aos regimes de escoamento verificados na experiência citada, conforme os escoamentos 
se deem em escoamentos livres ou forçados. 
Quadro 2.5 - Regime de escoamento e o número de Reynolds 
Regime Condutos Livres Condutos Forçados 
Re = U Rh /v Re = U D/v 
Laminar Re < 500 Re < 2000 
Transição 500 < Re < 1000 2000 < Re < 4000 
Turbulento Re > 1000 Re > 4000 
Quanto à variação no tempo os escoamentos se classificam em permanentes e tran-
sitórios. No regime permanente não há variação das características de escoamento com 
o tempo; assim, a velocidade v e também outras propriedades como massa específica 
p, pressão p etc. serão expressas matematicamente como sendo: 
dv/dt = 0, dp/dt = 0, dp/dt = 0 
De maneira similar, tem-se nos escoamentos transitórios: 
dv/dt * 0, dpíd1 * 0, dp/dt * 0 
Os escoamentos transitórios podem ainda ser subdivididos de acordo com a taxa de 
variação da velocidade e da pressão. Se estas variam lentamente, como no escoamento 
em uma tubulação abastecida por um reservatório de nível variável, a mudança é lenta 
e a compressibilidade do líquido não é importante. Entretanto, quando a mudança é 
brusca, como nos casos de fechamento rápido de válvulas em condutos forçados, on-
das de pressão são geradas e transmitidas com a velocidade de propagação do som e 
causam uma variação acentuada de pressão, sendo a compressibilidade, nestes casos, 
fator importante no fenômeno, chamado de transiente hidráulico ou golpe de aríete. 
Caracter ís t icas h idrául icas Caracter ís t icas h idráu l icas 
cons tan tes no t empo var iáveis no tempo 
Fluxo pe rmanen te Fluxo t ransiente 
Figura 2.4 - Escoamento permanente e transitório 
Com relação à trajetória os escoamentos podem também ser classificados em unifor-
me e variado. No escoamento uniforme o vetor velocidade é constante em módulo, direção 
45 
Generáíèd by üambcanner trom intsig.com 
Fundamentos de Engenharia Hidráulica 
e sentido, em todos os pontos, para qualquer instante, isto quer dizer, matematicamente, 
que dv/ds = 0, sendo v o vetor velocidade e s o deslocamento. Exemplos de escoamento 
uniforme são encontrados nos condutos de seção constante de grande extensão, como 
adutoras e canais prismáticos em que a altura da lâmina d 'água é invariável. No 
escoamento variado dvíds * 0. Condutos com vários diâmetros ou canais com declividades 
variáveis, como o mostrado na figura a seguir, são exemplos de escoamento variado. 
Figura 2.5 - Escoamento variado 
Tem-se ainda os escoamentos unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais, 
conforme o número de dimensões envolvidas no fenômeno. No primeiro t ipo são des-
prezíveis as variações das grandezas na direção transversal ao escoamento, tendo em 
vista as variações dessas mesmas grandezas ao longo do escoamento. Os escoamentos 
em condutos forçados são considerados unidimensionais, uma vez que as grandezas, 
do tipo velocidade, pressão e propriedades físicas, são expressas em termos de valores 
médios constantes para a seção transversal. No escoamento bidimensional admite-se 
que as variações das grandezas podem ser expressas em função de duas coordenadas, 
ou seja, as variações da velocidade, da pressão e demais grandezas podem ser descritas 
num plano paralelo ao do escoamento. O tridimensional é o mais geral, sendo que suas 
características variam nas três dimensões e por isso mesmo sua análise exige métodos 
matemáticos mais complexos. 
Escoamento unidimensional 
Figura 2.6 - Escoamentos unidimensional e bidimensional 
Quanto à velocidade angular das partículas que compõem o f luido, os escoamentos 
podem ser rotacionais e irrotacionais. No escoamento irrotacional a velocidade angular 
é tida como zero e no rotacional a velocidade angular é diferente de zero. 
46 
Escoamento bidimensional 
üeneratèd by CamScanner trom intsig.com 
A Mecânica dos Fluidos na Hidrâulli .11 ( flpituk» l 
Curso d'água natural: escoamento variado tridimensional (Rio Verde, MG) 
2.4 Equações fundamentais do escoamento 
Os escoamentos, em sua grande maioria, podem ser considerados unidimensionais e 
em regime permanente, simplificando muito as equações de fluxo normalmente utilizadas 
(continuidade, quantidade de movimento e Bernoulli). Pequenos ajustes nestas equações 
podem ser introduzidos para contemplar situações em que o escoamento está caracteri-
zado também em duas ou três dimensões. Para atender a estas situações o escoamento 
é representado por suas características médias (velocidade média, densidade média etc.) 
e os efeitos das variações que ocorrem numa seção transversal são corrigidos através 
de coeficientes. 
2.4.1 Equação da cont inu idade 
A equação da continuidade é decorrente da lei de conservação de massa. Esta lei da 
física estabelece que a massa não pode ser criada ou destruída (massa que entra no tubo 
= massa que sai do tubo). Aplicando esse conceito entre duas seções "1" e "2" de um 
conduto, tem-se: 
47 
Generated by CamScanner trom intsig.com 
Fundamentosde Engenharia Hidráulica 
Pi A , U = p, A2 U, 
Considerando que a hidráulica trata praticamente, dfl condução de /KJUÔ, fluido 
este, praticamenteincompress!\e ci massa específica pode mm »< <hm<I«'m<!.> u. 
no regime permanente, a equação da continuidade, aplicada «MU um ii«-< ho < 
seções onde não haja entrada oi. saída de agua assume a sua lomi. i m-n\ ',impl'-, 
A,U,=A2U=Q u u > 
em que: 
A : área da seção transversal do escoamento, em m , 
U : velocidade media do escoamento em m/s 
Q : vazão em m :/s. 
2.4.2 Equação da q u a n t i d a d e de m o v i m e n t o 
A equação da quantidade de movimento, algumas vezes denominada equação de 
momentum, é deduzida a partir da segunda lei de Newton, aplicada ao conceito de 
quantidade de movimento (m~), ou seja: 
R = d(mv)/dt 
Aplicando este conceito ao caso de escoamento de líquidos, tem-se: 
r = pQ® 2 ü 2 - p 7 ü 7 ; ( 2 1 2 ) 
em que: 
R : Resultante das forças externas atuantes no sistema; 
p : Massa específica do líquido; 
Q: Vazão escoada; 
Vetor que representa a velocidade media do escoamento, na seção 
considerada; 
(3: Coeficiente da quantidade de movimento, ou de Boussinesq. 
É importante aqui ressaltar a diferença entre as forças internas das externas. As 
primeiras são devidas às interações no interior da massa considerada, sendo a resultante 
destas nula, pois a cada ação resulta em uma reação (primeira lei de Newton). Já as forças 
externas agem sobre a superncie fechada, entre estas distinguem-se as forças devido a 
pressão e ao peso. 
O coeficiente da quantidade ce movimento p leva em conta a variação que existe 
entre a velocidade das partículas do escoamento v e a velocidade média U considerada 
48 
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A MecAnica dos Fluidos na Hdráu' ca | Capitulo 2 
numa dada seção transversal ao escoamento, de área A (ver Figura 2.7), em termos de 
quantidade de movimento: 
j VcM 
P = 1 J Ã (2.13) 
Figura 2.7 - Variação de velocidade 
Nos escoamentos em condutos forçados turbulentos, o coeficiente (3 frequente-
mente é superior a 1,1, e nos escoamentos laminares é 1,33. Em escoamentos livres este 
coeficiente varia de 1,02 a 1,12, entretanto, na maioria das aplicações práticas, pode-se 
adotar p =1,0 tanto para escoamentos forçados quanto livres. 
2.4.3 Equação de energia - Bernoulli 
A equação de Bernoulli é um caso particular da primeira lei da Termodinâmica. Esta 
lei estabelece que a mudança de energia interna de um sistema é iguala soma da energia 
adicionada ao fluido com o trabalho realizado pelo fluido. Uma forma geral de expressar 
esta lei para o caso de um escoamento entre duas seções de um fluido incompressível 
em regime permanente é a seguinte: 
2 , 4 + « X j - ^ 4 + a ^ ) = H , + i A (2.14) 
De fato, o lado esquerdo da equação (2.14) corresponde ao gasto médio de energia 
para o fluido ser transportado da seção 1 à seção 2, enquanto o lado direito representa o 
trabalho realizado por uma máquina desde o sistema ao exterior somada à perda de energia 
mecânica. Cada parcela da equação (2.14) representa um tipo de energia do elemento fluido 
de peso unitário, cuja unidade pode ser escrita como N.m/N de fluido ou simplesmente 
m. Assim, estas parcelas têm dimensão linear e são denominadas de carga, conforme 
descrito a seguir: 
49 
Generated by CamScanner trom intsig.com 
Fundamentos do Engenharia Hidráulica 
Z : energia ou carga de posição; 
P/y : energia ou carga de pressão; 
aU2 /2g : energia ou carga de velocidade, também denominada de 
taquicarga; 
Hr : energia aplicada ou retirada por alguma máquina; 
Ah : perda de energia mecânica ou perda de carga. 
O fator a, também denominado coeficiente da energia cinética ou de Coriolis, 
visa corrigir o cálculo da parcela relativa à energia cinética, tendo em vista a adoçao 
da velocidade média do fluxo, no lugar da média das energias cinéticas das partículas. 
Este coeficiente, dado pela expressão (2.15), no caso de condutos forçados, é igual a 
2,0 no escoamento laminar e varia de 1,0 a 1,10 para escoamentos turbulentos. Nos 
escoamentos livres a varia de 1,03 a 1,36. 
\v3dA 
(2 .15) 
U3A 
Em geral, adota-se a = 1,0, a não ser em trabalhos que exijam muita precisão ou 
onde existam razões fortes para supor variações significativas das velocidades nas seções. 
O efeito de uma máquina no sistema, representado na equação (2.14) pela parcela 
H deve levar em conta o tipo de máquina. No caso de turbina, que utiliza a energia 
do sistema, o sinal de deve ser positivo, mas no caso de bomba que cede energia ao 
sistema, o sinal deve ser negativo. 
A experiência tem demonstrado que, no caso de escoamento dos fluidos reais, uma 
parte da energia mecânica é despendida em forma de calor e em mudança de energia 
interna, por causa das resistências ao escoamento (viscosidade, turbulências, atrito etc.). 
Na Hidráulica, esta parte da energia é considerada perdida porque não contribui mais 
para o movimento do fluido e por isso é chamada de perda de carga (Ah). 
Para os objetivos práticos da Hidráulica, a equação de energia aplicada a duas seções de 
um escoamento permanente onde não existe máquina, é denominada equação de Bernoulli 
para os fluidos reais, normalmente escrita da seguinte forma para os condutos forçados: 
Z, + P /y +a ,U//2g = Z2 + PJy +a:U//2g +Ah (2 .16) 
Na equação de Bernoulli, a soma das parcelas (Z + P/y) é denominada energia 
potencial e aU2/2y de energia cinética; sabe-se pela Física que é possível transformar a 
energia cinética em potencial e vice-versa. 
Determinar a perda de carga numa obra hidráulica executada é simples, pois os ter-
mos da expressão (2.16) são facilmente medidos. Entretanto, prever essa perda de energia 
tem sido um desafio para várias gerações de cientistas. Uma das maiores contribuições 
teóricas para a explicação desse fenômeno ocorreu em 1904 quando Ludwig Prandtl 
desenvolveu a teoria da Camada Limite. Segundo essa teoria, o líquido em escoamento 
adere à superfície sólida do conduto e consequentemente a velocidade varia desde um 
50 
Gènerated by (JamScanner trom intsig.com 
A Mecânica dos Fluidos na Hidráulica | Capítu lo 2 
valor zero jun to à superfície sólida, até um valor no qual as condições de contorno não são 
mais sentidas. Essa região é denominada camada limite. Prandtl mostrou que somente 
dentro da camada limite os efeitos da viscosidade são importantes e que fora dela os 
f luidos podem ser considerados não viscosos. Nos tubos ou canais os escoamentos são 
influenciados pelas superfícies de fronteira e por tanto pela camada limite. Esta teoria 
serviu para explicar por que as leis da Física, quando aplicadas ao escoamento dos fluidos, 
apresentavam bons resultados somente fora da camada limite. Para generalização destas 
leis, a Hidráulica passou a se valer de coeficientes e do empir ismo. O capítulo seguinte 
apresenta algumas maneiras de se prever a perda de carga para condutos forçados de 
seção constante. 
Como as parcelas dessa equação têm dimensão linear, estas podem ser representadas 
graf icamente, com relação a um sistema de referência datum. A Figura 2.8 mostra esta 
representação tanto para o caso de conduto forçado quanto para o de conduto livre. 
Neste úl t imo caso, a parcela correspondente à carga de pressão P/y pode ser substituída 
pela lâmina d ' águay , quando as pressões seguem uma distribuição hidrostática (P=yh). 
A soma (Z + P/y), correspondente à energia potencial, determina a linha piezométrica. 
Esta linha representa o nível que o líquido atingiria, caso em cada pon to da tubulação 
fosse instalado um piezômetro. 
Se fosse acrescentado à energia potencial a parcela aU 2 /2g , correspondente à energia 
cinética, ter-se-ia a linha de energia, simbolizando a energia hidráulica total possuída 
pelo l íquido. O abaixamento entre dois pontos da linhade energia corresponde à perda 
de carga entre esses dois pontos. 
Caso seja adotado para P o valor correspondente à pressão efetiva, 
Z+ P/y corresponde à linha piezométrica efetiva (L.P.E.) 
Z + P/y + aü2/2g à linha de carga efetiva (L.C.E.) 
Z + P/y + a U 2 / 2 g + Ah ao plano de carga efet ivo (P.C.E.) 
Não é mu i to usual, mas pode-se adotar para Po valor da pressão absoluta e neste 
caso tem-se a l inha piezométr ica absoluta (L.P.A.), a l inha de carga absoluta (L.C.A.), e 
o p lano de carga absoluto (P.C.A.). 
Nos escoamentos livres, a carga de pressão P/y no f u n d o do condu to corresponde 
à p ro fund idade ] / , con fo rme pode ser visto na Figura 2.8 (b). Neste caso, a equação de 
Bernoul l i apresenta-se da seguinte fo rma : 
Z, + y, +a,U,2/2g = Z2 + y2+a2U22/2g +A h (2.17) 
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Fundamentos dr I nyrnhnrln llldrAullcn 
(a) Conduto forçado 
P.C.E. 
(b) Conduto livre 
Figura 2.8 - Representação gráfica da equação de Bernoulli 
52 
Genèratea by GamScanner trom intsig.com 
A Mecânica dos Flu-dos na Hidráulica | / 
Exemplo 2.2 
A tubulação 1 de 1500 mm de diâmetro se bifurca em duas outras de 900 
mm e 1200 mm de diâmetro, formando ângulos de 30° e 45° com o eixo da 
tubulação 1. Desprezando as perdas de carga, determinar as componentes 
da força necessária para manter fixa essa bifurcação, sabendo-se que a 
pressão logo a montante da bifurcação é de 500 kPa e que as tubulações 
2 e 3 transportam 4,00 m3/s e 5,00 m3/s de água, respectivamente. 
A equação da quantidade de movimento aplicada ao volume de controle 
compreendido entre as seções 1, 2 e 3, para (3=7, permite determinar as 
componentes Fx e F. da força: 
direção x, segundo o eixo da tubulação 1: 
F, - PjA, + P A2 COS 30o + P3A3 COS 45o = pQ,U, - pQ2U2 cos 30' - pQ3U3 cos 45' 
(2.18) 
direção y, perpendicular ao eixo da tubulação 1, no plano horizontal: 
Fy - P2A sen30o + P3A3 sen45° = p02U2 sen30° - pQ3U3 sen45'-
D = 1500 mm 
- © 
© 
Solução 
(2.19) 
em que: 
T C D j _ = K - l 5 2 = 1 7 7 m ! 
A A 
7cDj_ = n • 0,9 = 0 Q4m2 
~ A A 4 4 
53 
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Fundamentos de Engenharia Hidráulica 
A, = — i = W m 2 
3 4 4 
U Ql = ^£2. - 5 08m/s 
A ' . 7 7 
U 2 ^ = í ° ° = 6 , 2 5 m , S 
2 A, 0.64 
U3=9L = í°° = 4,42m/S 
3 A3 1,13 
As pressões P2 e P3 podem ser calculadas pela equação de Bernoulli, des 
prezando as perdas de carga, como mostrado a seguir. 
A + Í £ = J 1 + ü í = - 0 L + < 1 
pg 2g pg 2g pg 2g 
P2 = P, + p(U?-Uí)/2 = 500000+1000(5.08: -6,25')/2= 493372Pa 
P3 = P, + p(U? -Uj)/2 = 500000+1000(5,082 -4,422)I2 = 503135Pa 
Substituindo os valores obtidos para A,, Ay Ay U,, U? Ur P2e P3 nas ex-
pressões (2.18) e (2.19) obtém-se: 
F =217967N 
F = -247268 N 
F= 329623 N 
Fx =217967 N 
F=329623 N 
2.5 Equação fundamental da Hidrostática 
A Hidrostática estuda o fluido em repouso, principalmente nos aspectos ligados aos 
esforços. Não havendo movimento do fluido, a resultante das forças tem origem nos 
esforços de compressão somente, uma vez que as tensões de cisalhamento provocariam 
a deformação no fluido, ou seja, o escoamento. Assim, a Hidrostática pode ser entendida 
como um caso particular da Hidrodinâmica em que a velocidade é nula Com efeito, 
a equação fundamental da Hidrostática, também denominada Lei de Stevin pode ser 
obtida da equação (2.16) fazendo U = 0 e Ah = 0, já que não há movimento! ou seja: 
54 
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A Mecàrvça dos Ru.dos na Hidráu >ca | Capitulo 2 
Zj + — = Z2 + ^-
y y 
( 2 . 2 0 ) 
•'.P,-P2=yh 
Pa (atmosfera) 
Figura 2.9 - Variação da pressão com a profundidade 
Portanto, a variação da pressão entre dois pontos (P, - P2) no interior de uma mas-
sa fluida em repouso é igual ao peso da coluna de base unitária desse fluido entre os 
pontos considerados (y/7). 
Pode-se ainda deduzir pela Lei de Stevin que num fluido em repouso a pressão é 
constante no mesmo plano horizontal, enquanto na direção vertical, a pressão diminui 
com a elevação a uma taxa igual a yh, sendo h a alteração da elevação. 
Através da equação (2.20) é possível se conhecer a pressão no ponto 1 a partir de 
uma referência (pressão no ponto 2), do peso específico do fluido e da diferença de nível 
entre os pontos 1 e 2. Adota-se, normalmente, duas escalas como referência, uma que 
utiliza a pressão atmosférica local e a outra, o zero absoluto ou o vácuo total (ver Figura 
2.10). A pressão obtida a partir da pressão atmosférica é denominada de pressão efetiva 
ou manométrica e na outra escala de pressão absoluta. A passagem de uma escala para 
a outra se obtém através da expressão: 
D absoluta — D efetrva , D 
1 ~ I c 
absoluta 
atm 
(2.21) 
.•a ra > 
ifí -g 
a ® 
Pressão atmosférica normal 
Pressão atmosférica local 
Pa = 1 atmosfera 
Pa/ti Ho = 760 mmHg 
Pa = 101 KPa 
Pa/ t i a = 10 m.c.a. 
8 
-O 
(0 
o 
cn 
£ 
CL 
Leitura 
local 
do 
barómetro 
Depressão] 
Sucção | Pressão efetiva negativa 
Vácuo ) 
í 1 
Pressão absoluta 
Zero absoluto (vácuo absoluto) 
Figura 2.10 - Escalas para medida da pressão 
55 
Gèrierated by (JamScanner trom IntsTg.com 
Fundamentos de Engenharia Hidráulica 
Assim, o valor da pressão atmosférica na escala efetiva é zero (P £= ^ n q u a n t o n a 
escala absoluta, embora dependa da coluna de ar acima a supe ' â S0, 
normalmente, o valor da pressão atmosfénca ao nível do mar ( P ^ ' - 1 0 1 kPa) como 
padrão, também denominada atmosfera normal. A maneira mais usua e expressar a 
pressão é na escala efetiva. Desta maneira, neste texto, quan o na no açao nao estiver 
explícito, por uma questão de facilidade, admite-se tratar de pressão e etiva, ao passo 
que nas pressões na escala absoluta serão destacadas {Pabs). 
2.5.1 Med idas de pressão 
A manometria trata das medidas de pressão e para tanto, utiliza dispositivos 
denominados manómetros. Alguns desses dispositivos, como os citados logo a seguir, 
se fundamentam na Lei de Stevin (P = y h), utilizando a coluna do líquido como meio 
indireto para a determinação da pressão. 
O piezômetro é o mais simples desses manómetros, sendo constituído por um tubo 
transparente colocado na posição vertical, conectado ao sistema, para medir a altura h 
de líquido (ver Figura 2.11 -a). 
O manómetro em "U" tem esse nome devido à forma do tubo de medida de pressão 
em "U" (ver Figura 2.11 -b). Essa forma possibilita tomada de pressão negativa (abaixo 
da pressão atmosférica ou vácuo parcial), além da positiva, obtida em medidor do tipo 
piezômetro. 
O manómetro diferencial difere dos anteriores por não possuir uma das extremida-
des em contato com a atmosfera, ou seja, tem as duas extremidades ligadas nos dois 
sistemas, nos quais deseja-se medir a diferença de pressão. 
Nesses tipos de manómetros, mencionados anteriormente, quando se deseja medir 
pressões muito elevadas, utiliza-se outro líquido, diferente daquele do sistema, chamado 
líquido manométrico, inerte e imiscível com a substância no interior do sistema, porém 
de peso específico elevado, como por exemplo o mercúrio, cujo peso específico é 13,6 
vezes o da água (ver Figura 2.11-c). O mesmo recurso é utilizado para pequenas pres-
sões, contudo adotando-se líquidos de peso específico baixo (Ex.: óleo). Para pequenas 
pressões emprega-se, também, o recurso de inclinar o medidor (ver Figura 2.11 -d), para 
melhorar a precisão da medida. 
Convém também citar o manómetro metálico tipo Bourdon, muito utilizado nos 
processos industriais, porem, com outro princípio de funcionamento Este aparelho 
é constituído por um tubo chato, curvo e selado em uma das extremidades, sendo a 
outra extremidade conectada ao sistema para se medir a pressão. Estando este sistema 
pressurizado,ha uma alteraçao na curvatura deste tubo. Esta deformação é proporcional 
à pressão do sistema que é transmitida por um ponteiro solidário ao tubo curvo a um 
mostrador, conforme apresentado na Figura 2.11-e. Este t ipo de aparelho requer uma 
calibraçao prévia para a sua utilização. 
56 
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A Md' . I l lM i|>r Illflil'i lio Hl<lr4!llM I ( rtplliilo 2 
pressão P 
Pp = 8h 
(a) Piezômetro 
pressão P 
P p = - 8 h 
(b) Manómetro em "U" 
JJ 
0 
• dh • 0,yt 
((.) MmiOmolio dlfniniiclfll 
pressão P 
P p = tfh = 8 L seno 
(d) Manómetro inclinado 
Figura 2.11 - Manómetros 
(o) Muriômolro do Bourdon 
Exemplo 2.3 
O manómetro de tubo em "U", contendo mercúrio, indicou os valores constan-
tes da figura abaixo quando conectado a um conduto forçado contendo água. 
Determinar a pressão do sistema. Caso seja utilizada a própria água no lugar do 
mercúrio, determinar a altura de água correspondente h. 
Dados: 
y = 9 , 8 1 x103 N/m3 
y = 1,33 x105 N/m3 
'm ' 
y = 0 , 5 0 m 
h = 1,00 m 
pressão P 
Í « I 
On 
57 
Generated by CamScanner trom intsig.com 
»>S> \ MM >» 
so lução 
v W V o n t t l v v vi.» interface entre os dois líquidos, será tomado como 
, u v r u - . v „ . n ,,s nu, dos dois lados do manometro. 
\sn \\ oo a ov iua^o de Stovin. obtém se. 
(2.22) 
•- • {{ v'-« N j»'\ 1.00 n>'9.81 xlO> N/m3x 0,50 m 
;$ \ v v \ " ' v P a 
i: .. v.> V.»piopn.» .kj im no lugar do mercúrio, a nova altura h pode ser 
o(Mio.< I* .1 v K t m de y . por y, na equação (2.22), ou seja: 
r Y (h y) 
,ys \ vv \ M' °*s> V ^ \ (h - 0,50m) 
%\ " ' ? '>(> v 
t \ e m p o -x -J 
\ ;>Wa 00 o v o mosttaoa ia ' oura a seguir, é um instrumento utilizado 
4 wa ;v \a aoomiond i tos 'orçados, pela medida da diferença de pressão 
o vo i -V m \ . v oo montante e usante da placa. Determinar a equação que 
iv to ov; -a i v- \a.ao C \ n conduto vertical em função dos diâmetros 
o o "os" a^ios v oi a da a tura h medida no manómetro e dos pesos 
omx\ vO> o. ao, a oN o oo iqi do nanométrico ( y j , assumindo as perdas 
oo ca toa ont e as >oçoos \ e / nulas. 
D 
R a ca do O n t i oi o 
A 
Tubulação •. V ^ r . * Manómetro diferencial 
m 
Generated by (Jambcanner trom intsig.com 
S8 
A Mecânica dos Fluidos na Hidráulica | Capitulo 2 
Solução 
Neste problema é importante distinguir a parte onde há escoamento, como 
na tubulação, na qual é possível utilizar as equações da continuidade, de 
Bernoulli e da quantidade de movimento, daquela em que o líquido per-
manece estático, como no manómetro, onde se utiliza o fundamento da 
Hidrostática. 
Assim, aplicando a equação de Bernoulli entre 1 e 2, com o datum pas-
sando por 1, tem-se: 
. P, U? . P2 U\ .» 
2 h 1- —— — Z p + —i - f Ah 
y 2g Y 2g 
(2.23) 
UÍ_Ui=Pi_P__ 
2g 2g Y Y y 
em que 
0 4Q 
A TID' 
u 2 = Q - = ^ 
2 A, Ttd2 
(2.24) 
A diferença de carga piezométrica ( P / y - PJy) pode ser determinada atra-
vés da leitura no manómetro, aplicando a Lei de Stevin, como demonstrado 
a seguir: 
P,+yx = P2+ymh+yz 
P,-P2=y„h+yz-yx 
P,-P2 =y(z-x)+ymh 
h+z=x+y 
(ver figura anterior) 
z-x = y-h 
Ge 
P,-P2=y(y-h)+ymh 
fj—!í=:y-h + ^ h 
Y V 
í - í ^ h t ^ — V + y 
Y Y 
59 
nerátèd by Gambcanner trom intsig.com 
Fundamento* do (ngonhrtilA fiUliAulK.» 
O termo entre p a r í n t , ^ da equa t fo .n te -- * d° 
m a n ó m e t r o que UMLM o l lq. ,DO v , v - v : - ^ P « O d ° 
liquido transportado, de peso espov i t ^T Portanto, « s e t e oeconstante 
para essa situação 
h*mhfa-V 
y 
p -p 
-i—•- = h*+y 
y 
C : s ) 
Levando (2.24) e (2 25) em C :3 ) obte v><? 
/6Q- 760 ^ 7 
2g n2d" ix :D4 
= h*+y-\ 
i6Q*( 1 n 
2gn*{d* D4) 
n2 2gh n • v -
7 6 
7 7 
yd4 D" 
o - 7 1 
7 2 g h ' u {*-'* 
= / / 
A equação anterior permite esti nar a v&rào escoaca, tendo em vista o 
diferencial de pressão causado pe a -o òca ce oi * cic Entretanto, devido à 
perda de carga aqui negligenc ada, a varão ea e normalmente, inferior 
ao valor obtido pela equação teo Co ac esentacia. 
6 0 
A Mu. Mlifl <!«»•• i luttí'no HftJrAullcd 1i .ipitiilo 2 
2.5.2 Forças exercidas sobre superfícies planas submersos 
A fim de se projetarem estruturas constituídas por superfícies planas imersas num 
liquido em repouso, é necessário se conhecer <\ força result«inte da ação do fluido sobre 
a superfície, bem como o seu ponto do aplicação Isto tom grande aplicação no cálculo 
de comportas planas, válvulas, paredes e lajes do reservatórios 
A força resultante da ação do fluido, também denominada de empuxo, pode ser 
calculada pela integração das forças devido á pressão distribuída sobre «i superfície plana 
mergulhada no líquido, qual seja: 
F = yh A (2.26) 
F = força resultante ou empuxo 
y = peso específico do líquido 
ho = distância vertical da superfície livre ao centro do gravidade da 
área A (ver Figura 2.12) 
A = área da superfície plana 
Portanto, a força resultante devida à pressão hidrostática em qualquer superfície 
plana submersa é igual ao produto da área da superfície pela pressão que atua no centro 
de gravidade (C.G.). 
— - A 
... F 
L, 
Figura 2.12 - Esforço em uma superfície plana imersa 
>v 
y0 
Scçflo A-A 
A posição da força resultante "F" pode ser determinada pela expressão (2.27), por 
onde se constata que o centro de empuxo (C.E.) está sempre localizado abaixo do centro 
de gravidade (C.G.) da superfície plana, já quey„ >y„. 
y . - y . + M ( 2 ' 2 7 ) 
61 
Generated by üamScanner trom intsig.com 
fundamentos de Engenharia Hidráulica 
Comportas retangulares (Canal de la Durance, França) 
yp = distância da linha de ação da força resultante à superfície livre, 
segundo o plano da superfície 
lQ = momento de inércia da superfície plana em relação ao eixo que 
passa pelo seu centro de gravidade (ver Quadro 2.6) 
yo = distância do centro de gravidade da superfície plana à superfície 
livre, segundo o plano da superfície. 
Quadro 2.6 - Momentos de inércia de algumas f iguras impor tantes 
Forma Figura I, 
Triangular 
Retangular 
Circular 
X 
62 
A Mi>c Anu ,i dos Fluidos na Hidráulica | Capitulo 2 
Exemplo 2.5 
Uma barragem de terra e enrocamento é projetada para uma lâmina d'água 
máxima de 9,0 m. Considerando a seção transversal mostrada na figura a 
seguir, pede-se determinar: 
a) O esforço exercido pela água armazenada por unidade de largura 
da barragem. 
b) A localização do esforço calculado no item anterior. 
Solução 
a) Utilizando a equação (2.26) para se determinar o esforço em 1,0 m 
da barragem, tem-se: 
F = yh0A 
y =7 000kgf/m3 
K - 9 i - 4 - 5 m 
A B = sen 40° ~14,0m 
A = ÃB-l,0 = 14,0m2 
F = 1000-4,5-14,0 = 63000kgf ou F = 618030N 
b) Pela equação (2.27) 
L 
yP = Yo + 
h- 4 , 5 = 7,Om O — 
y° sen 40" 0,64 
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I i indamento* de Engenharia Hidraulica 
O retângulo, de base igual a 1,0 m e altura de 14,0 m, tem para o m 
de inércia (IJ a expressão seguinte, mostrada no Qu 
= ^1,0-14,0' __ 228,7m* 
0 12 12 
228,7 n -p 
y =7,0 + 9,3m 
Yp 7,0-14,0 
2.1 Estabelecer a expressão matemática da relação entre o tempo percorrido (f) 
em queda livre de um corpo no vácuo, sujeito à gravidade (g), a uma altura {h), 
utilizando o princípio da homogeneidade dimensional. 
2.2 Utilizando o princípio da homogeneidade dimensional, estabelecer a relação 
matemática que existe entre a energia fornecida por uma bomba (P), o peso espe-
cífico do fluido (y), a vazão (Q) e a altura de carga fornecida pela bomba {Hm). 
2.3 Um bocal convergente de 100 mm x 50 mm é colocado num sistema para 
assegurar uma velocidade de 5,0 m/s na extremidade menor do bocal. Calcular a 
velocidade, a montantedo bocal e a vazão escoada. 
2.4 Calcular a força requerida para segurar um esguicho de mangueira de incêndio 
que tem 63 mm de diâmetro na entrada e 19 mm na saída, quando este está des-
pejando 4,0 l/s de água para atmosfera. Considerar desprezível a perda de carga 
no bocal. 
2.5 Um canal retangular com_5,0 m de largura transporta uma vazão de 10 mVs 
ao longo de 1 km de extensão. O canal tem início na cota 903 0 onde a lâmina 
dágua é de 1,0 m. Supondo que na seção final do canal a cota seja 890 O m e a 
velocidade média 3.0 m/s, pede-se calcular a perda de carga total entre o início e 
o término do canal. 
64 
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A Mecânica dos Fluidos na Hidr-i ,i ca | Cap tulO 2 
2.6 Por um canal retangular de 2,0 m de largura, posicionado a 20 m do nível de 
referência escoam 3,0 m3/s de água a uma profundidade de 1,8 m. Calcular a energia 
hidráulica total na superfície da água em relação ao nível de referência. 
2.7 Uma tubulação de 500 mm de diâmetro, assentada com uma inclinação de 1 % 
ao longo de 1 km do seu comprimento, transporta 250 l/s. Sabendo-se que a pressão 
ao longo da tubulação é constante, determinar a perda de carga neste trecho. 
2.8 Um tanque contém 0,50 m de água e 1,20 m de óleo cuja densidade relativa 
é 0,80. Calcular a pressão no fundo do tanque e num ponto do líquido situado 
na interface entre os dois líquidos. Expressar os resultados nos sistemas técnico e 
internacional. 
2.9 Uma vazão de 75 l/s está escoando numa curva de 90°, diâmetro de 300 mm, 
posicionada num plano horizontal, onde a carga de pressão é 40 m. Determine o 
valor e a direção da força que atua neste ponto da instalação. 
2.10 Uma redução com 1,5 m de diâmetro a montante e 1,0 m a jusante, assen-
tada no plano horizontal, apresentou 400 kPa de pressão na seção de montante 
quando transportava 1,8 m3/s de água. Desprezando-se a perda de carga, calcule 
a força horizontal que esta peça deve provocar no bloco para a sua ancoragem. 
65 
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Capítulo 3 
Escoamento em condutos forçados simples 
Este capitulo trata, essencialmente, de problemas relacionados aos con-
dutos forçados simples em regime permanente uniforme. Para tanto, são 
apresentados os métodos usuais para o cálculo da perda de carga e suas 
aplicações. Analisa-se, também, a influência do perfil das tubulações em 
relação às linhas de carga do escoamento. Finalmente, os problemas ligados 
à cavitação e aos escoamentos não permanentes são discutidos. 
3.1 Perda de carga 
O líquido ao escoar transforma parte de sua energia em calor. Essa energia não é 
mais recuperada na forma de energia cinética e/ou potencial e, por isso, denomina-se 
perda de carga. Para efeito de estudo, a perda de carga, denotada por Ah, é classificada em 
perda de carga contínua Ah' e perda de carga localizada Ah", sendo a primeira conside-
rada ao longo da tubulação e a outra, devido à presença de conexões, aparelhos etc., 
em pontos particulares do conduto, conforme pode ser visto na Figura 3.1. 
Figura 3.1 - Representação da perda de carga num tubo de seção constante 
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Fundamentos de Engenharia Hidráulica 
3.1.1 Perda de carga contínua 
A perda de carga contínua se deve, principalmente, ao atrito interno entre partículas 
escoando em diferentes velocidades. As causas dessas variações de velocidades são a 
viscosidade do líquido v e a rugosidade da tubulação e. A razão entre a perda de carga 
contínua Ah' e o comprimento do conduto L representa o gradiente ou a inclinação da 
linha de carga e é denominado por perda de carga unitária J: 
i 
Na Figura 3.1, entre os pontos 2 e 3 do conduto, onde não há nenhuma perda de 
carga localizada, a linha piezométrica é paralela à linha de carga, já que a seção do tubo 
é constante e consequentemente a carga de velocidade também o é. Assim, o abaixa-
mento da linha piezométrica representa também a perda de carga contínua, como pode 
ser demonstrado, aplicando a equação de Bernoulli entre as seções 2 e 3 consideradas: 
Z,+ PJ y + U22/2g =Z,+ P3/ y + U//2g +A h'23 
visto que 
U2= U3 => Ah'23 = (Z2+ PJ y) - (Z3+ PJ y) 
A análise dimensional pode ser utilizada para se obter uma relação entre a perda 
de carga contínua, parâmetros geométricos do escoamento no conduto e propriedades 
relevantes do fluido, resultando na equação Universal de perda de carga, que para con-
dutos de seção circular apresenta-se como: 
A/ j '= — — < 3 - 2 > 
D 2g 
Considerando as equações (3.1), (3.2) e a equação da continuidade, obtém-se a 
seguinte equação para a perda de carga unitária: 
J = ^ L 9 Í 
n '9 D5 (3.3) 
sendo: 
J = perda de carga unitária em m/m; 
U = velocidade média do escoamento em m/s; 
D = diâmetro do conduto em m; 
68 
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Escoamento em condutos forçados simples | Capitulo 3 
L = comprimento do conduto em m; 
0 = vazão em m3/s; 
g = aceleração da gravidade em m/s2; 
f= coeficiente de perda de carga. 
0 coeficiente de perda de carga fé um adimensional que depende basicamente 
do regime de escoamento. No escoamento laminar (Re < 2000), este coeficiente pode 
ser obtido através da equação racional de Hagen-Poiseuille (mostrada a seguir), em 
comparação com a formulação Universal para perda de carga (3.2). O resultado disso é 
a expressão (3.4), onde pode-se notar que f depende do número de Reynolds {Re = UDN) 
e portanto da viscosidade cinemática do fluido v, da velocidade média U e do diâmetro 
da tubulação D. 
j = 32 (Equação de Hagen-Poiseuille) 
gD2 
f - Ç í 
" Re (3-4) 
No escoamento turbulento (Re > 4000) o coeficiente de perda de carga f, quando 
avaliado experimentalmente, tem demonstrado também depender da viscosidade cine-
mática do fluido v, da velocidade média U, do diâmetro da tubulação D e para a maioria 
das situações da rugosidade interna da parede do tubo e. 
Blasius, em 1913, propôs a fórmula empírica (3.5) para avaliar este coeficiente em 
tubos lisos: 
, 0,316 
i - s p r e s 
Nikuradse, em 1932, por meio de várias experiências realizadas em tubos, com 
rugosidade obtida artificialmente através de grãos de areia, obteve para tubos lisos: 
1 ReJf 
—f= = 2log 
•Jf 2,51 (3.6) 
e para tubos rugosos na zona de completa turbulência: 
- l r = 2log3,7-
•Jf e (3.7) 
Mais tarde, em 1939, Colebrook e White, com base em considerações teóricas e 
empíricas, desenvolveram uma expressão para a faixa de transição (tubos hidraulicamente 
lisos e rugosos) em tubos comerciais: 
Í f = ~ 2 l 0 9 ( ^ J + ^ j f > ( 3 8 ) 
A expressão anterior, combinada com a equação (3.2) permite o cálculo da veloci-
dade no escoamento: 
2,51 v 
U = -2j2gD • J. log( + —'•?=) 
v y * 3,7D DpgDJ (3 9) 
69 
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Fundamentos de Engenharia Hidráulica 
A expressão de Colebrook-White, embora, inicialmente, estabelecida somente para 
a faixa de transição, apresenta bons resultados nas outras faixas, pois a expressão (3.8) 
é a composição das equações (3.6) e (3.7) para tubos lisos e rugosos, respectivamente, 
e por isso é a expressão mais recomendada para a determinação de f em escoamentos 
turbulentos. Contudo, devido à dificuldade do cálculo de f que se encontra na forma 
implícita na expressão (3.8), o engenheiro americano Moody, em 1944, criou um diagrama 
fundamentado nas expressões (3.4) e (3.8), para os regimes laminar e turbulento, res-
pectivamente, que durante muitos anos foi de grande utilidade. Atualmente, entretanto, 
devido aos recursos disponíveis em termos de calculadora, ficou muito mais fácil o uso 
das expressões matemáticas em que o valor de f aparece explícito. As equações (3.10) 
e (3.11), mostradas a seguir, são exemplos de expressões desse tipo, sendo a primeira 
delas desenvolvida por Swamee e Jain e a outrapor Barr. As equações (3.10) e (3.11), 
quando resguardadas as limitações de validade, diferem em menos de 1 % dos valores 
de f dados pela equação (3.8). 
/ = 1,325 
Un(e/3,7D + 5,74/Re°-9)12 
válida para 5x103 < Re < 108 e 10 6 < e/D < 10 2 
(3.10) 
' m-2log(°!D+VL) 
Jf y 3,7 Re0 89' 
(3.11) 
válida para Re > 105 
O Quadro 3.1 contém valores extremos e usual para as alturas médias das asperezas 
ou rugosidades internas de tubos comerciais. 
Quadro 3.1 - Valores das rugosidades internas de tubos 
(Continua) 
Características da tubulação 
1. Tubos de aço, juntas soldadas, interior contínuo 
Grandes incrustações ou tuberculizações 
Tuberculização geral de 1 a 3 mm 
Pintura à brocha, com asfalto, esmalte ou betume 
Leve enferrujamento 
Revestimento obtido por imersão em asfalto quente 
Revestimento com argamassa de cimento obtida por 
centrifugação 
Tubo revestido de esmalte 
2. Tubos de concreto 
Superfície obtida por centrifugação 
Superfície interna bastante lisa, executada com for-
mas metálicas 
3.Tubos de cimento amianto 
Rugosidade e (mm) 
Mínima Usual Máxima 
2,4 7,0 12,2 
0,9 1,5 2,4 
0,3 0,6 0,9 
0,15 0,2 0,3 
0,06 0,1 0,15 
0,05 0,1 0,15 
0,01 0,06 0,3 
0,15 0,3 0,5 
0,06 0,1 0,18 
- 0,015 0,025 
70 
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Escoamento em condutos (orçados simples | Capitulo 3 
(Conclusão) 
Características da tubulação Rugosidade e (mm) 
Mínima Usual Máxima 
4. Ferro galvanizado, fundido revestido 0,06 0,15 0,3 
Ferro fundido, não revestido, novo 0,25 0,5 1,0 
Ferro fundido com corrosão 1,0 1,5 3,0 
Ferro fundido com depósito 1,0 2,0 4,0 
5.Latão, cobre, chumbo 0,04 0,007 0,010 
6.Tubos de plástico - PVC 0,0015 0,06 -
Fonte - Adaptado de Lencastre, 1996. 
Até aqui, a ênfase foi dada ao método racional, utilizando a fórmula Universal, com 
coeficiente de perda de carga /"obtido por meio da equação de Colebrook-White. Entre-
tanto, para sistemas mais complexos, do tipo rede de condutos, torna-se praticamente 
inviável o seu cálculo através deste método, sem o uso de computador. Por essa razão, 
as fórmulas práticas estabelecidas por pesquisadores em laboratórios ainda são muito 
utilizadas, embora sejam mais restritas do que o método anterior, pois só podem ser 
empregadas dentro das condições limites estabelecidas nas suas experiências. Algumas 
destas formulas apresentam coeficientes de perda de carga empíricos que devem ser 
escolhidos com muito critério para não gerar grandes erros. As fórmulas empíricas para 
a perda de carga contínua unitária mais utilizadas entre os projetistas de tubulação são 
apresentadas a seguir. O significado dos termos e as unidades aqui empregados são os 
mesmos já apresentados para equação (3.3). 
Fórmula de Hazen-Wil l iams 
10,64 Q1,ei 
~ C1,85 04.87 (3 1 2 ) 
Essa fórmula tem sido largamente empregada, sendo aplicável a condutos de seção 
circular com diâmetro superior a 50 mm, conduzindo água somente. C é um coeficiente 
de perda de carga que depende da natureza e das condições do material empregado nas 
paredes dos tubos, bem como da água transportada. O Quadro 3.2 mostra os valores 
de C normalmente encontrados na prática. 
Quadro 3.2 - Coeficiente de perda de carga C da fórmula de Hazen-Williams 
(Continua) 
Material C 
Aço corrugado (chapa ondulada) 60 
Aço galvanizado 125 
Aço rebitado novo 110 
Aço rebitado em uso 85 
Aço soldado novo 130 
Aço soldado em uso 90 
Aço soldado com revestimento especial 130 
Chumbo 130 
Cimento amianto 140 
Cobre 130 
71 
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fundamento» de Engenharia Hidráulica 
(Conclusão) 
Material C 
Concreto com acabamento comum 120 
Ferro fundido novo 130 
Ferro fundido de 15 a 20 anos de uso 100 
Ferro fundido usado 90 
Ferro fundido revestido de cimento 130 
Latão 130 
Manilha cerâmica vidrada 110 
Plástico 140 
Tijolos bem executados 100 
Vidro 140 
Fonte - Adaptado de Azevedo Netto. Alvarez. 1988 
Fórmula de Flamant 
A fórmula de Flamant foi originalmente testada para tubos de parede lisa de uma 
maneira geral; postenormente mostrou ajustar-se bem aos tubos de plástico de pequenos 
d ámetros, como os empregados em instalações hidráulicas prediais de água fria. 
Q1.7S 
J = 0,000824 
D (3.13) 
Fórmula de Scobey 
/ 
~ 245D4 9 (314) 
Essa fórmula é ,nd,cada para o cálculo de perda de carga em redes de irrigação por 
aspersão e gotejamentoi que utihzam tubos leves. Os valores do coeficiente de perda de 
carga K da fórmula de Scobey estào indicados no Quadro 3 3 
Quadro 3.3 - Coeficiente de perda de carga K da fórmnl , ^ S c o b 
Material j~ 
K 
Plástico e cimento amianto 
0,32 
Alumínio com engates rápidos a cada 6m Q 
Aço galvanizado com engates rápidos a cada 6m n / 1 c 
Fonte - Adaptado de Gomes, 1994 ~ — 
72 
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Escoamento em condutos forçados simples | Capitulo 3 
Fórmulas de Fair-Whipple-Hsiao 
As fórmulas apresentadas a seguir são recomendadas pela norma brasileira, para 
projetos de instalações hidráulicas prediais, nos seguintes casos: 
• tubos de aço galvanizado e ferro fundido, conduzindo água fria: 
nl88 J = °'002021~m (3.15) 
• tubos de cobre ou plástico, conduzindo água fria: 
J = 0 . 0 0 0 5 5 9 ° ^ ( 3 1 6 ) 
D 
• tubos de cobre ou latão, conduzindo água quente: 
J = 0,000692^-1 (317) 
D 
Não há fórmula específica para tubos de aço galvanizado, conduzindo água quente; 
entretanto, a fórmula (3.15) tem sido empregada nesses casos, pois apresenta resultados 
a favor da segurança. 
As equações de perda de carga unitária vistas anteriormente demonstram certa 
similaridade, diferindo, basicamente, no fator que multiplica a relação entre a vazão e 
o diâmetro e os expoentes destes. Desta maneira, para representar genericamente uma 
equação de perda de carga unitária, será utilizada neste livro a expressão: 
; = B — (3.18) 
Dm 
em que p, n e m são parâmetros próprios da equação utilizada, isto é, no caso da for-
mulação Universal (equação 3.3) estes parâmetros assumem os seguintes valores: 
8f 
[3 = —r- / n = 2 • m = 5 
71 g 
para a equação (3.12) de Hazen-Williams, P = W.64C , n = 7,85 e m =4,87, assim 
por diante. 
73 
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Fundamento* de Engenharia Hidráulica 
Exemplo 3.1 
Uma adutora fornece a vazão de 150 l/s, através de uma tubulação de aço 
soldado, revestida com esmalte, diâmetro de 400 mm e 2 km de exten-
são. Determinar a perda de carga na tubulação, por meio da equação de 
Hazen-Williams, e comparar com a fórmula universal de perda de carga. 
Solução 
Pela equação de Hazen-Williams com C =130 (ver Quadro 3.2, para tubos 
de aço com revestimento especial), tem-se: 
j = - 7064 0 ,7 5 ' e s j - 0 0Q34 mim =» Ah'=JL = 0,0034 x 2000 =6,8 m 
130 0.4Cf'B7 
Para a utilização da fórmula universal é necessário conhecer, inicialmente, o 
regime de escoamento, dado pelo número de Reynolds (Re = UDN), tendo 
sido adotada a temperatura de 20°C para a determinação da viscosidade 
cinemática da água (v = 1,01x106 m2/s) e 
A kD' Ti 0,40 
, R e = ^ = H l i M o = 4 7 x l0s 
v 7 , 0 7 x 7 0 " ° 
Corno o número de Reynolds é superior a 4000, o escoamento é turbu-
lento. Neste caso, o coeficiente de perda de carga f depende também da 
rugosidade das paredes do tubo. Este valor pode ser obt ido no Quadro 
3.1, para tubos de aço revestido de esmalte, ou seja: 
emh =0,01 mm e « „ = 0,06 mm = 0,3 mm 
2 , 5 x 1 0 e / C U t o = 15x1 O* 210^ = 7,5x10* 
Utilizando as equações (3.10) ou (3.11), com Re - 4 7VINS Q 
e/D anteriormente mencionados, obtém-se f =0014 f n m t 
f =0,019. wln ' ' = 0,015 e 
, 8f Q? 8xf 0,152 
J = — — = Z77TZ-,--^rzr = 0,18l55f ti g D k 9,81 0,40 
74 
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- u ' u u ^ 4 Jmédn = 0i00272 = 0,00345 
Ah'=•"•=> &h'mln = 5,08m Ah'médl0 = S,44m Ah^=6.90m 
Nota-Se, neste caso, que a perda de carga calculada pela fórmula de Hazen-
-Williams (A/V = 6,8 m) apresentou um resultado dentro da faixa verificada 
pela fórmula universal (5,08 m<Ah'<690m) 
3.1 .2 Perda de carga com distr ibuição de água ao longo do percurso 
As tubulações destinadas à distribuição de água são dotadas de várias derivações e, 
por isso, é possível, na maioria dos casos, considerar a vazão distribuída uniformemente 
ao longo do conduto, também chamada vazão de distribuição em marcha q. Para o 
cálculo da perda de carga contínua neste tipo de escoamento, considere a tubulação 
mostrada na figura a seguir, onde: 
0 
Qj 
Q 
M = vazão de montante 
= vazão de jusante 
= vazão de distribuição em marcha (q = (Q.„-Q)/ L) 
K " 
i 
Linha Piezométrica 
Q M 
Ah' 
Q. 
: d x : 
Figura 3.2 - Perda de carga em conduto com distribuição em marcha 
Assim, 
Qm=Q,+ Vl 
Num trecho elementar dx. distante x da extremidade, a vazão pode ser considerada 
constante. Sendo 0 essa vazão tem-se, consequentemente: 
Q = Qj + qx ( 3 - 1 9 ) 
Levando (3.19) em (3.18) e (3.1), obtém-se a perda de carga no trecho dx e por 
integração, em todo o percurso L, como demostrado a seguir. 
75 
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v j* | Q ' ü \ 
Vi f ÍO • qxFdx 
D í 
. ^ m (Q:;'-Q7r 
" • in ' 1)D'\ 0K, - Q / J 
Oiui u1o U v a a va.ão o consumida no percurso, a vazão de u>a -te e n a (Q Cs 
t > :o^ 
=s \h' & W & 
( f H W 
Ah'= JL 
n + 1 ks 2\) 
Tendo o n vista a equação (3.21) e os valores usuais de n (n S ias v mulas de 
perda de ^arqa para condutos forçados em regime turbulento, cc< \ u se o,.e a perda 
de cai oa é r+ 4 (aproximadamente 1/3) da perda de carga que se cb te-n com a vazão 
constante distribuição. 
Nas edes de disti ibuição dos sistemas públicos de abastecimento de aoi.a e ^ o t a n t o 
poi uma questão de facilidade somente, calcula-se essa perda de ca oa e.e maneira 
apro\ mada utilizando se as formulas de perda de carga vistas v tem > 1 i com 
uma vazão fictícia (Q,) dada pela expressão: 
3 f Q 
^ ' 2 
(3 
O ' ' 
A/>'= P p L ( 3 : 3 ) 
Quando as denvaçòes são espaçadas de maneira regular como tos ss te^as de 
irrigação por aspersão, a perda de carga pode ser calculada, cons dera íoo ti hulaçào 
formada por vários trechos interligados, onde as vazões são diferentes em cada t reJ io 
porem constantes ao longo de um dado trecho. 
Assim, supondo o sistema dotado de N derivações, espaçadas o.e „ na d stânc a s 
conforme mostrado na Figura 3.3, obtém-se para a perda de carga e n cada t e o o o 
seguinte: 
Linha Piezométnca 
\h 
1 2 3 
i ; ! t T T . 
.s ' s • S 
Figura 3 ; Peida de carga em conduto com N derivações 
76 
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Escoamento em condutos forçados simp es | Capitulo 3 
Trecho 1: A » , - p ( M 0 / w " 
' Dm 
Trecho 2: « w - w / w 
2 I D „ 
Penúltimo trecho: 
Últ imo trecho: 
Ah '= A W , + A t f í + . . . . + A h V , + ^ ' , = Í [ * l X ° ! N ] ' 
x«l LJ 
^ D m J N n S 
Utilizando a expressão (3.18) e substituindo s por /./A/ na expressão anterior, 
tem-se: 
Fazendo 
/Vn 
A h'=JLR 
(3.24) 
(3.25) 
O quadro a seguir apresenta os valores do termo R na expressão anterior, em função 
do número de derivações. 
Quadro 3.4 - Fator de redução R da expressão (3.25) 
Número de Hazen-Wil l iams Scobey Universal 
derivações N n = 1,85 n = 1.9 n = 2,0 
1 1,00 1,00 1,00 
2 0,64 0,63 0,63 
4 0,49 0,48 0,47 
6 0,44 0,43 0,42 
8 0,42 0,41 0,40 
10 0,40 0,40 0,39 
(Continua) 
77 
y CamScanner írom intsig.com 
Fundamento» iln lnu*nl t«t la Hl<li*iillca 
(Conclusão) 
N ú m e r o de 
der ivações N 
Hazen-Wi l l iams Scobey 
n = 1,9 
Un ive rsa l 
20 
30 
40 
50-99 
>100 
n a 1,85 
0,38 
0,37 
0,36 
0,36 
0,35 
0,37 
0,36 
0,36 
0,36 
0,35 
n = 2,0 
0,36 
0,35 
0,35 
0,34 
0,34 
Fonte Adaptado de Gomes, 1994. 
3.1.3 Perda de carga localizada 
Adicionalmente às perdas de carga contínuas que ocorrem ao longo das tubulações, 
têm-se perturbações localizadas, denominadas perdas de carga localizadas, causadas 
por singularidades do tipo curva, junção, válvula, medidor etc. que também provocam 
dissipação de energia. Algumas vezes, como acontece nas instalações hidráulicas pre-
diais, a perda de carga localizada é mais importante do que a perda de carga continua, 
devido ao grande número de conexões e aparelhos, relativamente ao compr imento de 
tubulação. Entretanto, no caso de tubulações muito longas, com vários quilômetros de 
extensão, como nas adutoras, a perda de carga localizada pode ser desprezada. 
Experiências mostram que a perda de carga localizada Ah" para uma determinada 
peça pode ser calculada pela expressão geral: 
A h"= KU?/2g (3.26) 
Sendo U a velocidade média de uma seção tomada como referência e K um coeficiente 
que depende da geometria da singularidade e do número de Reynolds. Os valores de K 
normalmente são obtidos experimentalmente, mostrando-se praticamente constantes 
(citado por Miller, 1984) para uma mesma peça e número de Reynolds acima de 500000. 
Borda (1733-1799) determinou teoricamente o coeficiente K para o caso de um 
alargamento brusco de tubulação, conforme mostrado na Figura 3.4. 
- T r i 
L.C 
U , ? / 2 g 
L P 
SL 
2 
Figura 3.4 - A largamento brusco de tubulação 
78 
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Escoane-ts er condutos foiçados arroles | Cap t Jo 3 
Equação de Bernoulli: H + : ^ L = Ül ^ 
Y 2g y 2 g * 
(3.27) 
Fazendo 
K = a-—y 
A- (3.28) 
Tem-se 
(3.29) 
A expressão 3 29 mostra aue a perda de carga localizada no alargamento brusco 
de uma tubu ação é proporciona! a U '2g. ta como proposto na expressão geral (3.26), 
para perda de carga oca zada 
Vê-se ainda peia expressão >3.27) que quando a area da seção transversal A, é 
muito menor que a area A. A . « A . , como na passagem de uma tubulação para um 
reservatório, o coeficiente de perda de carga aprox ma-se da unidade (K=1). Quando a 
concordância entre a tubu ação é feita por meio de uma transição arredondada ou uma 
curva o valor de K reduz acentuadamente. 
Os Quadros 3.5 a 3.9 contêm va ores exper mentais dos coeficientes de perda de car-
ga oca zada K de a g u n s : pos de válvulas O Quadro 3.10 mostra valores aproximados 
do coeficiente de peroa de carga das peças norma mente empregadas nas instalações 
hidráulicas. 
Quadro 3.5 - Valores do coeficiente K para válvula de gaveta 
Válvula de gaveta 
1—fe M O 01 02 0.3 04 05 06 0.7 08 OS 10 
M -
* * K c 1S3 445 17* 812 4 02 2.06 095 0 39 0 09 0 
Fonte - IDELCIK. 1969 
Quadro 3.6 - Valores do coeficiente K para válvula borboleta 
Válvula borboleta 
K O® K K 6° K 
5 0 2 4 20 1.54 40 10.8 65 256 
10 0.52 25 2.51 50 32.6 70 751 
15 0.90 30 3.91 60 118 90 * 
Fonte - IDELCIK. 1969 
Quadro 3.7 - Valores do coeficiente K para válvula esférica 
Válvula esférica 
K K K »>• K 
5 0.05 20 1.84 35 1 1 2 50 95.3 
10 0.31 25 3 45 40 20.7 55 275 
15 0 88 30 6.15 45 41.0 67 * 
Fonte - IDELCIK. 1969 
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Fundamentos de Engenharia Hidráulica 
Q u a d r o 3.8 - Valores do m p f i r i p n t e K para vá l vu la de re te ç~ 
Válvula de retenção 
5 
o° 
15 
20 
2 5 
K 
90 
6 2 
42 
I Io K 0
o K 0
o 
6 0 
30 30 4 5 
9 . 5 
0 o 
6 0 
35 2 0 5 0 
6 . 6 6 5 
4 0 14 55 
4 . 6 7 0 
K 
3 . 2 
2 . 3 
1 .7 
Fonte - IDELCIK, 1969. 
do ~ ° f i r i » n t P de pe rda de carga local izada K 
v^uaaro 3 . y - va iores aprux i r 
Peçar iduua uu 
K Peça 
K 
Ampliação gradual 0,30* Medidor Venturi 
2,50* 
Comporta aberta 1,00 Pequena derivação 
0,03 
Controlador de vazão 2,50 Redução gradual 
0,15* 
Cotovelo ou joelho de 45° 0,40 Saída de canalização 1,00 
Cotovelo ou joelho de 90° 0,90 Tê de passagem direta 0,60 
Crivo 0,75 Tê de saída bilateral 1,80 
Curva de 22,5° 0,10 Tê de saída de lado 1,30 
Curva de 45° 0,20 Válvula borboleta aberta 0,30 
Curva de 90° 0,40 Válvula de ângulo aberta 5,00 
Entrada de Borda 1,00 Válvula de gaveta aberta 0,20 
Entrada normal 0,50 Válvula de pé 1.75 
Junção 0,40 Válvula de retenção 2,50 
Válvula globo aberta 10,00 
•Re la t ivo à ma io r ve loc idade " R e l a t i v o à velocidade na tubu lação 
Fonte - A d a p t a d o de Azevedo Net to ; Alvarez, 1988 
O p e r a ç ã o d e v á l v u l a d e g a v e t a - F o t o : C o p a s a 
8 0 
i «*n\ «xuHtutui ltw<,«dm tlftt|il#9 | (' 
Válvula esférica semifechada e «ibert.i 
Para o cálculo da perda de carga localizada utiliza se, alem da expressão geral, outro 
processo denominado Método dos Comprimentos \ 'irtuais l ste processo consisto, para 
efeito de cálculo somente, na substituição das singularidades presentes, geradoras das 
perdas de carga localizadas, por um tubo de diâmetro, rugosidade o comprimento tal 
que proporciona a mesma perda de carga original das singularidades A soma dos com-
primentos equivalentes L das peças de um determinado trecho de tubulação, a< resc ida 
do comprimento real desta é chamada de comprimento virtual L . que multiplicado 
pela perda de carga unitária J proporciona a perda de carga total na tubulação A/r O'. 
comprimentos equivalentes (Lt) correspondentes às peças mais frequentes f i a s instalações 
hidráulicas são mostrados no Quadro 3.10 para tubos rugosos, tais como, tubos de aço-
-carbono, galvanizado ou não, e no Quadro 3 11 para tubos lisos, tais como, plástico, 
cobre ou ligas de cobre. 
Quadro 3.10 - Compr imen to equivalente {L ) para tubo rugoso (m) 
Diâmetro Joel ti ti Joelho ' " 'v . i < niv.> I<> '.M l<• ' l«- «»i» I ntt.»il.» l V.»K iv '• •' • Vitlv Kry Mii() 
90° 45° 90° 45 pus Mkl . i *atda Nornat muda canal c r tMu i * l w i d m globo unvotn Anuulo 
Nominal direta Inteial tut.it | ,0 N M |a atwito aboliu «Imito 
^ pç ç? f t õ i 1 5 
15 1/2- 0.5 0,2 0.3 0.2 0.1 0.7 0.8 0 2 0 4 0 4 3.8 1.1 1.0 4.8 0.1 2,0 
20 3/4" 0.7 0.3 0.5 0.3 0.1 1.0 1.3 0 2 0.5 0 5 5 0 1.6 2.4 «V I I 1 3.0 
25 1" 0.9 0.4 0.7 0 4 0.2 1.4 1.7 0,3 0,7 0,7 7.» 2.1 3.2 8,2 0.2 4 0 
32 1 1/4" 1.2 0,5 0.8 0,5 0.2 1.7 2.1 0 4 0 9 OU 100 2.7 4 0 11,3 0,2 5.0 
40 1 1/2" 1.4 0.7 1.0 0.6 0,3 2.1 2.5 o.s 1.0 1.0 11.6 3.2 4.8 13 4 0 t <i / 
50 2m 1.9 0.9 1.4 0.8 0.3 2.7 3.3 0.7 1.5 1.5 140 4.2 0.4 17.4 0.4 8,9 
65 2 1/2" 2,4 1,1 1.7 1.0 0 4 34 •1.2 0.8 1.8 1 9 170 5.2 8.1 •n 0 0.4 100 
80 3" 2.8 1.3 2.0 1.2 0.5 4.1 5.0 1.1 2.2 2.2 20 0 6.3 9.7 20 0 0.5 t t o 
100 4- 3.8 1.7 2.7 0.7 5.5 8,7 1.6 3.2 3 2 23.0 8 4 17 tl 14.0 0 / 17.0 
125 5* 4.7 2,2 0.8 6,9 8 3 2.0 4 0 4 0 30.0 10 4 10 1 4!l 0 o u 21.0 
150 6* 5.6 2.6 4.0 1.0 8.2 100 2.5 5 0 5,0 38 0 t a s 18,3 51 0 1.1 20 0 
Fonte - A d a p t a d o da Norma Brasileira de Instalações Prediais de Agua Fn.i NBR 5626/98 
81 
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Fundamento* da I nganharla Hidráulica 
Quadro 3.11 
Diâmetro 
Nominal 
Joftlho 
90° 
Joolho 
45° 
Curva Curva jo 90" 
90° 45" pae. 
dirotn 
To 9 t f 
snliln 
Intoral 
Ti- 0( f 
«ald« 
bilnt 
Entrada t nlnnt<iSaht« VrtK |<«> 
Nornal Bordu omwl «» oitvo 
VAIv A*t) | 
•ptoivinton ukitio , 
Nivo i»r»• aborto , 
mm pol (? Cr (? <P> 11- t ê n Ô A 
15 1/2" 1.1 0.4 0,4 0,2 0.7 2.3 2.3 0.3 0.9 0.8 8.1 a .5 3,8 11,1 
20 3/4" 1,2 0.5 0.5 0.3 0.8 2.4 2.4 0,4 1.0 0.9 9.5 2.7 4 t 11.4 
25 1" 1.5 0.7 0.6 0.4 0.9 3.1 3.1 0.5 1.2 1.3 13.3 3,8 5.8 15 0 
32 1 1/4" 2.0 1.0 0.7 0.5 1.5 4.6 4.6 0.6 i a 1.4 15.5 4.9 7.4 o 
40 1 1/2" 3.2 1.0 1.2 0.6 2.2 7.3 7.3 1.0 2.3 3,2 18,3 8 8 9.1 35,8 
50 2" 3,4 1.3 1.3 0,7 2.3 7.6 7.6 1.5 2.8 3.3 23.7 7.1 10.8 37,0 
65 2 1/2" 3.7 1.7 1.4 0.8 2.4 7.8 7.8 1.6 3.3 3.5 28.0 8,2 12,5 0 
80 3" 3.9 1.8 1.5 0.9 2.5 8.0 8.0 2.0 3.7 3.7 28,8 9.3 14,2 40.0 
100 4" 4.3 1.9 1.6 1.0 2,6 8.3 8.3 2.2 4.0 3.9 28.8 10.4 10,0 42,3 
125 5" 4.9 2.4 1.9 1.1 3.3 10,0 10.0 2.5 5.0 4.9 27.4 17,5 10.2 50.9 
150 6" 5.4 2.6 2.1 1.2 3.8 11,1 11.1 2.8 5.6 5.5 43.4 13.9 21.4 88,7 
"»t l Rey 
UavoU Altuuki 
aboitn 
. 1 Ò 
0 . 1 
0.2 
o.i 
0 4 
0.7 
oa 
oo 
oo 
1.0 
1.1 
1.2 
5o 
e.i 
1.4 
10,t. 
17.0 
1ê.6 
100 
20.0 
22.1 
25,a 
Fonte - Adaptado da Norma Brasileira de Instalações Prediais de Agua Frui NUR 5t>.*6/W 
Exemplo 3.2 
Uma tubulação de PVC, com 200 m de compr imento o 100 mm de dul 
metro, transporta para um reservatório a vazão de 12,0 l/s. No conduto 
há algumas conexões e aparelhos que estão mostrados na f igura a seguir, 
pede-se calcular: 
a) a perda de carga contínua; 
b) a soma das perdas de carga locais e sua percentagem em relação à 
perda de carga contínua; 
c) a perda de carga total. 
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Escoamento em condutos forçados simples | Capitulo 3 
Solução 
a) Perda de carga contínua 
Utilizando as equações da continuidade e de Flamant, com D=0,10 m e 
Q=0,012 m3/s, obtém-se: 
U = 1 ,53 m/s e J = 0,0202 m/m 
A perda de carga contínua será, para L = 200,0 m: 
A/)'= 0,0202 x 200,0 
Ah'= 4,04 m 
b) Perda de carga localizada 
U2/2g=1,532l(2x9,81) = 0,12 m 
A partir do Quadro 3.9 obtém-se: 
Entrada de Borda K=1,0 
Curva de 90° (R/D=1 Vi) K=0,4 
Joelho de 45° K=0,4 
Registro de gaveta (aberto) K4-0,2 
Saída de canalização Ks =1,0 
Para a soma tem-se: 
1K=K7+2K2+2K3+2K4+K5 
1K=1,0 + 2x0,4+2x0,4+2x0,2+1,0 
Z K= 4,0 
logo 
A h"= ZKU2/2g = 4,0x0,12 
Ah"= 0,48 m 
Comparando a soma das perdas de carga locais (Ah"= 0,48m), com a 
perda de carga contínua (Ah'= 4,04 m), conclui-se que, neste caso, aquela 
representa 12% desta. 
GenêraêTO^uãmScãnnêr trom intsic^õm 
Fundamentos de Engenharia Hidráulica 
c) Perda de carga total 
Ah = Ah' + Ah" 
Ah = 4,04 + 0,48 = 4,52 m 
Exemplo 3.3 
Resolver o problema anterior pelo método dos comprimentos equivalentes. 
Solução 
O Quadro 3.11, para tubos lisos e diâmetro de 100 mm, obtém-se: 
Entrada de Borda 1x4,7 = 4,7 m 
Curva de 90° (R/D=1 Vi) 2x1,6 = 3,2 m 
Joelho de 45° 2x1,9 = 3,8 m 
Registro de gaveta (aberto) 2x1,0 = 2,0 m 
Saída de canalização 1x3.9 - 3.9 m 
1L= 17,6 m 
e 
Como Lv =L + I.Le => Lv = 200 + 17,6 = 217,6m 
No item (a), do exemplo anterior, foi determinado que 
J = 0,0202 m/m 
.-.Ah = 0,0202 x 217,6 
Ah = 4,40 m 
A diferença entre este valor e o obtido pela expressão geral (ver exemplo 
anterior) é de 3%, aproximadamente. 
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84 J 
Escoamento em condutos foiçados simples | Capitulo 3 
3.2 Velocidades recomendadas 
Muitos problemas em tubulações estão associados às velocidades dos escoamentos 
dos iquidos nos condutos. A deposição de sedimentos na parede do tubo, por exemplo, 
ocorre a ve ocidades inferiores a 0,60 m/s. Esta desposição pode provocar incrustações de 
partículasna P^ede do tubo, reduzindo sua seção de escoamento e consequentemente 
a sua capacidade de vazao. Neste caso, uma limpeza periódica da tubulação, através de 
escoamentos a altas velocidades, pode aumentar a vida útil do conduto. 
Outro problema relacionado à velocidade baixa é a retenção de ar na tubulação que 
provoca um efeito semelhante ao do aumento das perdas de carga, reduzindo a eficiência 
do escoamento. A velocidade média de escoamento, recomendada para a remoção do 
ar, está compreendida entre 0,60 e 0,90 m/s, dependendo da inclinação da tubulação. 
Por outro lado, ao se adotarem velocidades muito elevadas, pode haver um aumento 
considerável