Prova 3 Variáveis complexas

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Universidade Federal do Parana´
2a prova (P3) - CM068 Varia´veis Complexas
Prof. Cleber 24/06/2015
Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GRR: . . . . . . . . . . . . . . . . . .
“Expresse de maneira clara seu racioc´ınio, caso contra´rio perdera´ pontos”.
1. [ /2,0] Responda as seguintes questo˜es:
(a) A partir da se´rie de Laurent, defina singularidade remov´ıvel, polo e singularidade es-
sencial.
(b) Enuncie o Teorema dos Res´ıduos.
2. [ /2,0] Considere a func¸a˜o
f(z) =
1
z(z + i)2
.
Determine a se´rie de Laurent em torno de cada uma das singularidades e especifique a regia˜o
anular onde ela e´ va´lida.
3. [ /2,0] Mostre que as singularidades da func¸a˜o a seguir sa˜o polos, determine a ordem e
calcule o res´ıduo de f em cada polo.
f(z) =
sen z
z3(z2 + 1)
.
4. [ /2,0] Escolha e resolva apenas duas das questo˜es a seguir.
• Seja a um zero de multiplicidade m ≥ 1 da func¸a˜o f . Calcule o res´ıduo da func¸a˜o f
′
f
.
• Mostre que ∫
γ
f(z)
z2 + 1
dz = pi(f(i)− f(−i)),
sendo γ(t) = 2eit, t ∈ [0, 2pi] e f uma func¸a˜o anal´ıtica que na˜o se anula em nenhum
ponto do disco D(0, 2). (Sugesta˜o: Use o Teorema dos Res´ıduos)
• Calcule a integral ∫
γ
z − 1
z2 − 2z dz
onde γ(t) = eit, t ∈ [0, 2pi].
5. [ /2,0] Use o Teorema dos Res´ıduos para calcular uma das seguintes integrais.∫ 2pi
0
dt
sen t+ 5
4
∫ ∞
−∞
t2
(t2 + 1)2
dt