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Disciplina: Álgebra Vetorial e Geometria Analítica Turma: ________________________ Professor: ___________________________ Data: _______________ Aluno: _____________________________________________________________ Lista 2 - Retas e planos 1. Dados A (1,2,3) e )1,2,3(v , escreva equações da reta que contém A e é paralela a v , nas formas vetorial, paramétrica e simétrica. Supondo que o sistema de coordenadas seja ortogonal, obtenha dois vetores diretores unitários dessa reta. 2. Obtenha dois pontos e dois vetores diretores da reta de equações paramétricas R z y x , 24 1 . Verifique se os pontos )3,3,1( P e 12,4,3Q pertencem à reta. 3. Obtenha equações paramétricas da reta que contém o ponto 7,4,1 e é paralela à reta de equações paramétricas R z y x , 0 33 200 4. Escreva equações nas formas paramétricas e simétricas da reta que contém o ponto 3,0,2 A e é paralela à reta descrita pelas equações 6 3 4 3 5 1 zyx 5. Sejam 5,2,1A e B(0,1,0). Determine o ponto P da reta AB tal que PAPB 3 . 6. Sejam 1,1,1A , B(0,0,1) e r: 1,1,10,0,1 X . Determine os pontos de r eqüidistantes de A e B. 7. Obtenha equações paramétricas do plano que contém o ponto A(1,1,2) e é paralelo ao plano z y x 2 21 : . 8. Obtenha equações paramétricas e gerais dos planos coordenados. 9. Decomponha )4,2,1(v como soma de um vetor paralelo à reta 0,1,218,9,1: Xr com outro paralelo ao plano z y x 1 1 : 10. Obtenha uma equação geral do plano π em cada caso: a. π contém 0,1,1A e B(1,-1,-1) e é paralelo a 0,1,2v . b. π contém 1,0,1A , B(2,1,-1) e C(1,-1,0). c. π contém 1,0,1 P e z yx r 2 32 1 : d. π contém 1,1,1P e 1,1,12,2,0: Xr 11. Dadas as equações paramétricas, obtenha uma equação geral do plano: a. 3 2 1 z y x b. z y x 22 2 12. Dada uma equação geral, obtenha equações paramétricas do plano. a. 4x + 2y – z + 5 = 0 b. 5x – y – 1 = 0 c. z – 3 = 0 d. y – z – 2 = 0 13. .092 plano o com 26 reta da interseção a Determine zyxz yx 14. Determine a equação do plano que passa pelo ponto ),-, (A 211 e é perpendicular à reta ).313( , , t r: X 15. a é 0 plano o com traçocujo e 121por passa que plano do equação a Obtenha z),,P( 0 23 : reta z xy r 16. plano aolar perpendicu é e 2 : reta pela passa que plano do equação a Obtenha tz ty tx r 0.1: z2yx 17. . 23 1 reta à paralelo é e reta pela passa que plano do equação a Obtenha z - y zx s: - z y r: x 18. Dado o triedro cujas arestas são as retas x = 2y = z, – x = y = z e x = – 3y =2z, determine a equação dos planos das faces. 19. Determine as equações da reta que passa pelo ponto 1,1,2 P e é perpendicular ao plano .523112 ,,,,X 20. Determine as equações da reta que passa pela origem, é paralela ao plano 0223 zyx e intercepta a reta z y x 3 2 1 . 21. 1 2 5 1 2 3 reta a Dada zyx , determine as coordenadas dos pontos de intersecção com os planos coordenados. 22. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto 1,2,1 P e intercepta as retas reversas . 1 2 32 1 zy zx s: e zy zx r: 23. Determine as equações paramétricas da reta perpendicular comum às retas reversas z y x s: zy r: x 22 12 1 1 24. .coplanares são 312111 e 5 6 23 4 retas as se Verifique ,,λ,,X zyx 25. 121 de simétrico ponto o Determine ,-,P a) zyx 1 reta à relação em b) 012 plano ao relação em zyx 26. ),3,1,2(413 : e 1,0,1110 : reversas retas duas Dadas ,,Xs,,Xrdetermine o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos que se apóiam em r e s. 27. planos trêsaos comum ponto pelo e 2 3 3 2 :r reta pela passa que plano o Determine z yx 0224 013 012 zyx zyx zyx . 28. ABpor passa quer reta a e 4,2,11,1,10,0,1X: plano um Dado , sendo 1,1,1B e 0,0,0A , r reta a onde ponto pelo passa que plano do equação a determine intercepta o plano π e é paralelo ao plano .03:1 x 29. plano ao paralelo seja u que modo de , e u vetoresdois em 3,1,2v vetor oDecompor w . plano ao ortogonal w e 03-zy-2x : 30. isósceles. é triânguloo que mostre ,5,11,3 e 4,1,2,1,-3,4- pontos os doConsideran ABCCBA 31. :casos seguintes nos r, reta a e P ponto o entre distância a Determine 3 2 2 1- :r e P(1,2,-1) a) z y x ; 012z-y3x 0zy-2x :r e P(1,-1,0) b) 32. :casos seguintes nos , plano o e P ponto o entre distância a Determine 21 2x : e P(0,0,-1) b) 0,0,11,2,31,2,1: e 2,1,-3P a) z y X 33. :dados planos dois dos tesequidistan pontos dos geométricolugar o Determine 02: 012: 2 1 zyx zyx 34. ).1,1,2((1,0,0) X:s e 2 1-x :r retas as entre ângulo o Determine zy 35. Determine 0.1-z-y-2x: plano o com z-yx:r reta da ângulo o 36. Determine .2,1,12,1,3(1,1,1)X: e 0z-y-2x: planos dos ângulo o 21 37. Obtenha reta a intercepta P(1,0,1), ponto pelo passa que reta da equações as 1 zyt: x formando um ângulo de 3 radianos. 38. 3 de ângulo um faz que plano oconduzir ,Q(0,-2,-1) P(1,-1,0), PQ, reta Pela radianos com o plano 0.23z-2yx 39. Dado o tetraedro de vértices A(1, 2, 1), B(2, -1, 1), C(0, -1, -1) e D(3, 1, 0), calcule a medida da altura do vértice D ao plano ABC. 40. Do paralelepípedo a seguir, temos os seguintes dados: i. O plano ABC: x +y –z + 6 = 0 e a reta DG: X = t(1, 2, -3), t real. ii. O plano ABF é perpendicular ao Plano ABC e F(0, 2, 0). Determine: a. As equações simétricas da reta AF. b. As equações paramétricas do plano ABF. c. As coordenadas do ponto D. d. A equação geral doplano EFG. Respostas 1. X = (1,2,3) + Rtt ),1,2,3( , tz ty tx 3 22 31 , 3 2 2 3 1 z yx , 14 1 , 14 2 , 14 3 v 2. 4,0,1A , 6,1,0B , 2,1,1u e 4,2,2 v . rP e rQ . 3. R z y x r , 7 34 1 : 4. 18 3 415 2 , 63 3 4 52 : zyx eR z y x r 5. P= 2 15 , 2 5 , 2 3 ou P= 4 15 , 4 7 , 4 3 6. P= 0,0,1 7. R z y x ,, 2 21 21 : . 8. Plano x0y: z = 0 e 0z y x . Plano xoz: y = 0 e z y x 0 . Plano yoz: x = 0 e z y x 0 . 9. 4,7,110,5,10)4,2,1( 10. a) 0142 zyx ; b) 043 zyx ; c) 0323 yx ; d) 02 zx 11. a) 0732 zyx ; b) 02 zy 12. a) 245z y x ; b) z y x 15 ; c) 3z y x ; d) 2z y x , ., R 13. 1,2,6 P . 14. 0833: zyx 15. 0233: zyx 16. 02: zx 17. 02: zyx 18. 034:1 zyx , 0495:2 zyx , 01067:3 zyx 19. .1137112 ,,t,,X 20. .7179 ,,tX 21. 0,9,71 P , 5 9 ,0, 5 17 2P e 2 7 , 2 17 ,03P 22. tz ty tx 21 2 1 23. tz y tx 0 24. Não 25. a) 3 5 , 3 4 , 3 5 'P ; b) 3 1 , 3 4 , 3 7 'P 26. O lugar geométrico é o plano de equações R z y x ,, 2 3 22 3 2 22 3 : . 27. 2 1 5 8 4 4 :16 5 38 47 0. 28. : 4 3 0 29. , , , , 3 3 3 3 3 3 x y z x v 69 3 14 30. ( , ) ( , ) 9 e ( , ) 5 10. 31. ) b) 14 5 3 d A B d A C d B C a : 2 2 1 2 1 2 1 2 2 0 2 32. a) 5 b) 33. Os planos : 2 2 1 2 1 2 1 2 2 0 21 x y z x y z 2 210 34. 0. // coincidentes. 35. 36. arccos 3 15 r s arcsen 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 37. : (1,0,1) , , ou ' : 1,0,1 , , 3 3 3 3 3 3 r X t r X t 1 238. : 2 3 5 0, :3 2 4 0x y z x y z 8 19 39. 19 2 40. a) : b) : 2 2 2 3 3 ) ( 1, 2,3) d) : 2 0 x y z AF x ABF y z c D EFG x y z
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