7ª Aula Resolução de Sistemas Lineares

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Álgebra Linear
Assunto: Resolução de Sistemas Lineares
Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA
Campus Pau dos Ferros-RN
10 de março de 2016
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 1 / 24
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES
Conhecendo a forma escalonada de uma matriz podemos determinar um
método mais eficiente de encontrar soluções de sistemas lineares, pois:
Teorema 1:
Sejam Ax = b e Cx = d dois sistemas lineares, cada um com m
equações e n incógnitas. Se as matrizes aumentadas[
A b
]
e
[
C d
]
são equivalente por linha, então os sistemas lineares são equivalentes,
isto é, têm as mesmas soluções.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 1 / 24
Por exemplo,
Os sistemas lineares
x+ 2y + 3z = 9
2x− y + z = 8
3x− z = 3
e
x+ 2y + 3z = 9
y + z = 2
z = 3
têm matrizes aumentadas equivalentes por linha e são equivalentes.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 2 / 24
O mesmo acontece com os sistemas homogêneos:
Corolário 1:
Se A e C são matrizes m× n equivalentes por linhas, então os sistemas
Ax = 0 e Cx = 0 são equivalentes.
Dessa forma, se temos a matriz aumentada de qualquer sistema linear e
obtemos uma forma escalonada ou a forma escalonada reduzida
dela, o sistema associado a esta é equivalente ao inicial e mais simples
de resolver.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 3 / 24
O mesmo acontece com os sistemas homogêneos:
Corolário 1:
Se A e C são matrizes m× n equivalentes por linhas, então os sistemas
Ax = 0 e Cx = 0 são equivalentes.
Dessa forma, se temos a matriz aumentada de qualquer sistema linear e
obtemos uma forma escalonada ou a forma escalonada reduzida
dela, o sistema associado a esta é equivalente ao inicial e mais simples
de resolver.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 3 / 24
Por exemplo,
o sistema do exemplo anterior,
x+ 2y + 3z = 9
2x− y + z = 8
3x− z = 3
tem matriz aumentada
[
A b
]
=

1 2 3 p 9
2 −1 1 p 8
3 0 −1 p 3
 .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 4 / 24
Por exemplo,
o sistema do exemplo anterior,
x+ 2y + 3z = 9
2x− y + z = 8
3x− z = 3
tem matriz aumentada
[
A b
]
=

1 2 3 p 9
2 −1 1 p 8
3 0 −1 p 3
 .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 4 / 24
Encontrando uma forma escalonada por linhas temos:

1 2 3 p 9
2 −1 1 p 8
3 0 −1 p 3
−2r1 + r2 → r2−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 −5 −5 p −10
3 0 −1 p 3

−3r1 + r3 → r3−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 −5 −5 p −10
0 −6 −10 p −24
−15r2 → r2−−−−−−−→
1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 −6 −10 p −24
−16r3 → r3−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 1 53 p 4
 r3 − r2 → r3−−−−−−−−→
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 5 / 24
Encontrando uma forma escalonada por linhas temos:
1 2 3 p 9
2 −1 1 p 8
3 0 −1 p 3

−2r1 + r2 → r2−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 −5 −5 p −10
3 0 −1 p 3

−3r1 + r3 → r3−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 −5 −5 p −10
0 −6 −10 p −24
−15r2 → r2−−−−−−−→
1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 −6 −10 p −24
−16r3 → r3−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 1 53 p 4
 r3 − r2 → r3−−−−−−−−→
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 5 / 24
Encontrando uma forma escalonada por linhas temos:
1 2 3 p 9
2 −1 1 p 8
3 0 −1 p 3
−2r1 + r2 → r2−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 −5 −5 p −10
3 0 −1 p 3

−3r1 + r3 → r3−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 −5 −5 p −10
0 −6 −10 p −24
−15r2 → r2−−−−−−−→
1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 −6 −10 p −24
−16r3 → r3−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 1 53 p 4
 r3 − r2 → r3−−−−−−−−→
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 5 / 24
Encontrando uma forma escalonada por linhas temos:
1 2 3 p 9
2 −1 1 p 8
3 0 −1 p 3
−2r1 + r2 → r2−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 −5 −5 p −10
3 0 −1 p 3

−3r1 + r3 → r3−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 −5 −5 p −10
0 −6 −10 p −24
−15r2 → r2−−−−−−−→
1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 −6 −10 p −24
−16r3 → r3−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 1 53 p 4
 r3 − r2 → r3−−−−−−−−→
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Encontrando uma forma escalonada por linhas temos:
1 2 3 p 9
2 −1 1 p 8
3 0 −1 p 3
−2r1 + r2 → r2−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 −5 −5 p −10
3 0 −1 p 3

−3r1 + r3 → r3−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 −5 −5 p −10
0 −6 −10 p −24
−15r2 → r2−−−−−−−→
1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 −6 −10 p −24
−16r3 → r3−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 1 53 p 4
 r3 − r2 → r3−−−−−−−−→
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Encontrando uma forma escalonada por linhas temos:
1 2 3 p 9
2 −1 1 p 8
3 0 −1 p 3
−2r1 + r2 → r2−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 −5 −5 p −10
3 0 −1 p 3

−3r1 + r3 → r3−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 −5 −5 p −10
0 −6 −10 p −24

−15r2 → r2−−−−−−−→
1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 −6 −10 p −24
−16r3 → r3−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 1 53 p 4
 r3 − r2 → r3−−−−−−−−→
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Encontrando uma forma escalonada por linhas temos:
1 2 3 p 9
2 −1 1 p 8
3 0 −1 p 3
−2r1 + r2 → r2−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 −5 −5 p −10
3 0 −1 p 3

−3r1 + r3 → r3−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 −5 −5 p −10
0 −6 −10 p −24
−15r2 → r2−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 −6 −10 p −24
−16r3 → r3−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 1 53 p 4
 r3 − r2 → r3−−−−−−−−→
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 5 / 24
Encontrando uma forma escalonada por linhas temos:
1 2 3 p 9
2 −1 1 p 8
3 0 −1 p 3
−2r1 + r2 → r2−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 −5 −5 p −10
3 0 −1 p 3

−3r1 + r3 → r3−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 −5 −5 p −10
0 −6 −10 p −24
−15r2 → r2−−−−−−−→
1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 −6 −10 p −24

−16r3 → r3−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 1 53 p 4
 r3 − r2 → r3−−−−−−−−→
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Encontrando uma forma escalonada por linhas temos:
1 2 3 p 9
2 −1 1 p 8
3 0 −1 p 3
−2r1 + r2 → r2−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 −5 −5 p −10
3 0 −1 p 3

−3r1 + r3 → r3−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 −5 −5 p −10
0 −6 −10 p −24
−15r2 → r2−−−−−−−→
1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 −6 −10 p −24
−16r3 → r3−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 1 53 p 4
 r3 − r2 → r3−−−−−−−−→
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 5 / 24
Encontrando uma forma escalonada por linhas temos:
1 2 3 p 9
2 −1 1 p 8
3 0 −1 p 3
−2r1 + r2 → r2−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 −5 −5 p −10
3 0 −1 p 3

−3r1 + r3 → r3−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 −5 −5 p −10
0 −6 −10 p −24
−15r2 → r2−−−−−−−→
1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 −6 −10 p −24
−16r3 → r3−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 1 53 p 4

r3 − r2 → r3−−−−−−−−→
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 5 / 24
Encontrando uma forma escalonada por linhas temos:
1 2 3 p 9
2 −1 1 p 8
3 0 −1 p 3
−2r1 + r2 → r2−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 −5 −5 p −10
3 0 −1 p 3

−3r1 + r3 → r3−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 −5 −5 p −10
0 −6 −10 p −24
−15r2 → r2−−−−−−−→
1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 −6 −10 p −24
−16r3 → r3−−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 1 53 p 4
 r3 − r2 → r3−−−−−−−−→
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 5 / 24

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 0 23 p 2

3
2r3 → r3−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 0 1 p 3
 = [ C d ]
Daí,
x+ 2y + 3z = 9
y + z = 2
z = 3
⇒ y + 3 = 2
y = −1
⇒
x+ 2(−1) + 3(3)= 9
x− 2 + 9 = 9
x = 2
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 6 / 24

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 0 23 p 2
 32r3 → r3−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 0 1 p 3
 = [ C d ]
Daí,
x+ 2y + 3z = 9
y + z = 2
z = 3
⇒ y + 3 = 2
y = −1
⇒
x+ 2(−1) + 3(3) = 9
x− 2 + 9 = 9
x = 2
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 6 / 24

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 0 23 p 2
 32r3 → r3−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 0 1 p 3

=
[
C d
]
Daí,
x+ 2y + 3z = 9
y + z = 2
z = 3
⇒ y + 3 = 2
y = −1
⇒
x+ 2(−1) + 3(3) = 9
x− 2 + 9 = 9
x = 2
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 6 / 24

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 0 23 p 2
 32r3 → r3−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 0 1 p 3
 = [ C d ]
Daí,
x+ 2y + 3z = 9
y + z = 2
z = 3
⇒ y + 3 = 2
y = −1
⇒
x+ 2(−1) + 3(3) = 9
x− 2 + 9 = 9
x = 2
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 6 / 24

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 0 23 p 2
 32r3 → r3−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 0 1 p 3
 = [ C d ]
Daí,
x+ 2y + 3z = 9
y + z = 2
z = 3
⇒ y + 3 = 2
y = −1
⇒
x+ 2(−1) + 3(3) = 9
x− 2 + 9 = 9
x = 2
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 6 / 24

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 0 23 p 2
 32r3 → r3−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 0 1 p 3
 = [ C d ]
Daí,
x+ 2y + 3z = 9
y + z = 2
z = 3
⇒ y + 3 = 2
y = −1
⇒
x+ 2(−1) + 3(3) = 9
x− 2 + 9 = 9
x = 2
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 6 / 24

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 0 23 p 2
 32r3 → r3−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 0 1 p 3
 = [ C d ]
Daí,
x+ 2y + 3z = 9
y + z = 2
z = 3
⇒ y + 3 = 2
y = −1
⇒
x+ 2(−1) + 3(3) = 9
x− 2 + 9 = 9
x = 2
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 6 / 24

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 0 23 p 2
 32r3 → r3−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 0 1 p 3
 = [ C d ]
Daí,
x+ 2y + 3z = 9
y + z = 2
z = 3
⇒ y + 3 = 2
y = −1
⇒
x+ 2(−1) + 3(3) = 9
x− 2 + 9 = 9
x = 2
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 6 / 24

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 0 23 p 2
 32r3 → r3−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 0 1 p 3
 = [ C d ]
Daí,
x+ 2y + 3z = 9
y + z = 2
z = 3
⇒ y + 3 = 2
y = −1
⇒
x+ 2(−1) + 3(3) = 9
x− 2 + 9 = 9
x = 2
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 6 / 24

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 0 23 p 2
 32r3 → r3−−−−−−→

1 2 3 p 9
0 1 1 p 2
0 0 1 p 3
 = [ C d ]
Daí,
x+ 2y + 3z = 9
y + z = 2
z = 3
⇒ y + 3 = 2
y = −1
⇒
x+ 2(−1) + 3(3) = 9
x− 2 + 9 = 9
x = 2
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Assim, temos dois métodos de resolução de sistemas lineares:
1 ELIMINAÇÃO GAUSSIANA, que é quando
[
C d
]
está na
forma escalonada por linhas;
2 REDUÇÃO DE GAUSS-JORDAN, quando
[
C d
]
está na
forma escalonada reduzida por linhas.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 7 / 24
Assim, temos dois métodos de resolução de sistemas lineares:
1 ELIMINAÇÃO GAUSSIANA, que é quando
[
C d
]
está na
forma escalonada por linhas;
2 REDUÇÃO DE GAUSS-JORDAN, quando
[
C d
]
está na
forma escalonada reduzida por linhas.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 7 / 24
A eliminação gaussiana consiste em:
1a Transformar a matriz aumentada
[
A b
]
para
[
C d
]
na
forma escalonada por linhas usando as operações elementares nas
linhas;
2a Resolver o sistema
[
C d
]
por substituição de baixo para cima.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 8 / 24
A eliminação gaussiana consiste em:
1a Transformar a matriz aumentada
[
A b
]
para
[
C d
]
na
forma escalonada por linhas usando as operações elementares nas
linhas;
2a Resolver o sistema
[
C d
]
por substituição de baixo para cima.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 8 / 24
A eliminação gaussiana consiste em:
1a Transformar a matriz aumentada
[
A b
]
para
[
C d
]
na
forma escalonada por linhas usando as operações elementares nas
linhas;
2a Resolver o sistema
[
C d
]
por substituição de baixo para cima.
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Já a redução de Gauss-Jordan tem as mesmas etapas, sendo que na
primeira transformamos
[
A b
]
em
[
C d
]
na forma escalonada
reduzida por linha.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 9 / 24
Por exemplo,
Consideremos o sistema
x+ 2y + 3z = 6
2x− 3y + 2z = 14
3x+ y − z = −2.
Formamos a matriz aumentada
[
A b
]
=

1 2 3 p 6
2 −3 2 p 14
3 1 −1 p −2

E transformamos para forma escalonada, se desejamos resolver o
sistema usando a eliminação gaussiana.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 10 / 24
Por exemplo,
Consideremos o sistema
x+ 2y + 3z = 6
2x− 3y + 2z = 14
3x+ y − z = −2.
Formamos a matriz aumentada
[
A b
]
=

1 2 3 p 6
2 −3 2 p 14
3 1 −1 p −2

E transformamos para forma escalonada, se desejamos resolver o
sistema usando a eliminação gaussiana.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 10 / 24
Por exemplo,
Consideremos o sistema
x+ 2y + 3z = 6
2x− 3y + 2z = 14
3x+ y − z = −2.
Formamos a matriz aumentada
[
A b
]
=

1 2 3 p 6
2 −3 2 p 14
3 1 −1 p −2

E transformamos para forma escalonada, se desejamos resolver o
sistema usando a eliminação gaussiana.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 10 / 24
Por exemplo,
Consideremos o sistema
x+ 2y + 3z = 6
2x− 3y + 2z = 14
3x+ y − z = −2.
Formamos a matriz aumentada
[
A b
]
=

1 2 3 p 6
2 −3 2 p 14
3 1 −1 p −2

E transformamos para forma escalonada, se desejamos resolver o
sistema usando a eliminação gaussiana.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 10 / 24

1 2 3 p 6
2 −3 2 p 14
3 1 −1 p −2

−2r1 + r2 → r2−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 −7 −4 p 2
3 1 −1 p −2

−3r1 + r3 → r3−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 −7 −4 p 2
0 −5 −10 p −20
−17r2 → r2−−−−−−−→
1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 −5 −10 p −20
 5r2 + r3 → r3−−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 0 −507 p −1507

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 11 / 24

1 2 3 p 6
2 −3 2 p 14
3 1 −1 p −2
−2r1 + r2 → r2−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 −7 −4 p 2
3 1 −1 p −2

−3r1 + r3 → r3−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 −7 −4 p 2
0 −5 −10 p −20
−17r2 → r2−−−−−−−→
1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 −5 −10 p −20
 5r2 + r3 → r3−−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 0 −507 p −1507

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 11 / 24

1 2 3 p 6
2 −3 2 p 14
3 1 −1 p −2
−2r1 + r2 → r2−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 −7 −4 p 2
3 1 −1 p −2

−3r1 + r3 → r3−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 −7 −4 p 2
0 −5 −10 p −20
−17r2 → r2−−−−−−−→
1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 −5 −10 p −20
 5r2 + r3 → r3−−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 0 −507 p −1507

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 11 / 24

1 2 3 p 6
2 −3 2 p 14
3 1 −1 p −2
−2r1 + r2 → r2−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 −7 −4 p 2
3 1 −1 p −2

−3r1 + r3 → r3−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 −7 −4 p 2
0 −5 −10 p −20
−17r2 → r2−−−−−−−→
1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 −5 −10 p −20
 5r2 + r3 → r3−−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 0 −507 p −1507

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 11 / 24

1 2 3 p 6
2 −3 2 p 14
3 1 −1 p −2
−2r1 + r2 → r2−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 60 −7 −4 p 2
3 1 −1 p −2

−3r1 + r3 → r3−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 −7 −4 p 2
0 −5 −10 p −20

−17r2 → r2−−−−−−−→
1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 −5 −10 p −20
 5r2 + r3 → r3−−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 0 −507 p −1507

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 11 / 24

1 2 3 p 6
2 −3 2 p 14
3 1 −1 p −2
−2r1 + r2 → r2−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 −7 −4 p 2
3 1 −1 p −2

−3r1 + r3 → r3−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 −7 −4 p 2
0 −5 −10 p −20
−17r2 → r2−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 −5 −10 p −20
 5r2 + r3 → r3−−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 0 −507 p −1507

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 11 / 24

1 2 3 p 6
2 −3 2 p 14
3 1 −1 p −2
−2r1 + r2 → r2−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 −7 −4 p 2
3 1 −1 p −2

−3r1 + r3 → r3−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 −7 −4 p 2
0 −5 −10 p −20
−17r2 → r2−−−−−−−→
1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 −5 −10 p −20

5r2 + r3 → r3−−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 0 −507 p −1507

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 11 / 24

1 2 3 p 6
2 −3 2 p 14
3 1 −1 p −2
−2r1 + r2 → r2−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 −7 −4 p 2
3 1 −1 p −2

−3r1 + r3 → r3−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 −7 −4 p 2
0 −5 −10 p −20
−17r2 → r2−−−−−−−→
1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 −5 −10 p −20
 5r2 + r3 → r3−−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 0 −507 p −1507

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 11 / 24

1 2 3 p 6
2 −3 2 p 14
3 1 −1 p −2
−2r1 + r2 → r2−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 −7 −4 p 2
3 1 −1 p −2

−3r1 + r3 → r3−−−−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 −7 −4 p 2
0 −5 −10 p −20
−17r2 → r2−−−−−−−→
1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 −5 −10 p −20
 5r2 + r3 → r3−−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 0 −507 p −1507

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 11 / 24
− 750r3 → r3−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 0 1 p 3
,
daí
x+ 2y + 3z = 6
y + 47z = −27
z = 3
⇒ y +
4
7(3) = −27
y = −2
⇒
x+ 2(−2) + 3(3) = 6
x− 4 + 9 = 6
x = 1
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 12 / 24
− 750r3 → r3−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 0 1 p 3
,
daí
x+ 2y + 3z = 6
y + 47z = −27
z = 3
⇒ y +
4
7(3) = −27
y = −2
⇒
x+ 2(−2) + 3(3) = 6
x− 4 + 9 = 6
x = 1
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 12 / 24
− 750r3 → r3−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 0 1 p 3
,
daí
x+ 2y + 3z = 6
y + 47z = −27
z = 3
⇒ y +
4
7(3) = −27
y = −2
⇒
x+ 2(−2) + 3(3) = 6
x− 4 + 9 = 6
x = 1
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 12 / 24
− 750r3 → r3−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 0 1 p 3
,
daí
x+ 2y + 3z = 6
y + 47z = −27
z = 3
⇒ y +
4
7(3) = −27
y = −2
⇒
x+ 2(−2) + 3(3) = 6
x− 4 + 9 = 6
x = 1
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 12 / 24
− 750r3 → r3−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 0 1 p 3
,
daí
x+ 2y + 3z = 6
y + 47z = −27
z = 3
⇒ y +
4
7(3) = −27
y = −2
⇒
x+ 2(−2) + 3(3) = 6
x− 4 + 9 = 6
x = 1
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 12 / 24
− 750r3 → r3−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 0 1 p 3
,
daí
x+ 2y + 3z = 6
y + 47z = −27
z = 3
⇒ y +
4
7(3) = −27
y = −2
⇒
x+ 2(−2) + 3(3) = 6
x− 4 + 9 = 6
x = 1
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 12 / 24
− 750r3 → r3−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 0 1 p 3
,
daí
x+ 2y + 3z = 6
y + 47z = −27
z = 3
⇒ y +
4
7(3) = −27
y = −2
⇒
x+ 2(−2) + 3(3) = 6
x− 4 + 9 = 6
x = 1
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 12 / 24
− 750r3 → r3−−−−−−−−→

1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 0 1 p 3
,
daí
x+ 2y + 3z = 6
y + 47z = −27
z = 3
⇒ y +
4
7(3) = −27
y = −2
⇒
x+ 2(−2) + 3(3) = 6
x− 4 + 9 = 6
x = 1
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 12 / 24
Agora, se desejamos resolver o sistema usando a redução de
Gauss-Jordan, então transformamos para a forma escalonada
reduzida:
1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 0 1 p 3

−2r2 + r1 → r1−−−−−−−−−−−→

1 0 137 p
46
7
0 1 47 p −27
0 0 1 p 3

− 137 r3+r1→r1
− 47 r3+r2→r2−−−−−−−−−→

1 0 0 p 1
0 1 0 p −2
0 0 1 p 3

Logo,
x = 1, y = −2 e z = 3,
como no método anterior.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 13 / 24
Agora, se desejamos resolver o sistema usando a redução de
Gauss-Jordan, então transformamos para a forma escalonada
reduzida:
1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 0 1 p 3
−2r2 + r1 → r1−−−−−−−−−−−→

1 0 137 p
46
7
0 1 47 p −27
0 0 1 p 3

− 137 r3+r1→r1
− 47 r3+r2→r2−−−−−−−−−→

1 0 0 p 1
0 1 0 p −2
0 0 1 p 3

Logo,
x = 1, y = −2 e z = 3,
como no método anterior.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 13 / 24
Agora, se desejamos resolver o sistema usando a redução de
Gauss-Jordan, então transformamos para a forma escalonada
reduzida:
1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 0 1 p 3
−2r2 + r1 → r1−−−−−−−−−−−→

1 0 137 p
46
7
0 1 47 p −27
0 0 1 p 3

− 137 r3+r1→r1
− 47 r3+r2→r2−−−−−−−−−→

1 0 0 p 1
0 1 0 p −2
0 0 1 p 3

Logo,
x = 1, y = −2 e z = 3,
como no método anterior.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 13 / 24
Agora, se desejamos resolver o sistema usando a redução de
Gauss-Jordan, então transformamos para a forma escalonada
reduzida:
1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 0 1 p 3
−2r2 + r1 → r1−−−−−−−−−−−→

1 0 137 p
46
7
0 1 47 p −27
0 0 1 p 3

− 137 r3+r1→r1
− 47 r3+r2→r2−−−−−−−−−→

1 0 0 p 1
0 1 0 p −2
0 0 1 p 3

Logo,
x = 1, y = −2 e z = 3,
como no método anterior.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 13 / 24
Agora, se desejamos resolver o sistema usando a redução de
Gauss-Jordan, então transformamos para a forma escalonada
reduzida:
1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 0 1 p 3
−2r2 + r1 → r1−−−−−−−−−−−→

1 0 137 p
46
7
0 1 47 p −27
0 0 1 p 3

− 137 r3+r1→r1
− 47 r3+r2→r2−−−−−−−−−→

1 0 0 p 1
0 1 0 p −2
0 0 1 p 3

Logo,
x = 1, y = −2 e z = 3,
como no método anterior.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 13 / 24
Agora, se desejamos resolver o sistema usando a redução de
Gauss-Jordan, então transformamos para a forma escalonada
reduzida:
1 2 3 p 6
0 1 47 p −27
0 0 1 p 3
−2r2 + r1 → r1−−−−−−−−−−−→

1 0 137 p
46
7
0 1 47 p −27
0 0 1 p 3

− 137 r3+r1→r1
− 47 r3+r2→r2−−−−−−−−−→

1 0 0 p 1
0 1 0 p −2
0 0 1 p 3

Logo,
x = 1, y = −2 e z = 3,
como no método anterior.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 13 / 24
Observação
Se depois que obtemos
[
C d
]
,
1 alguma das incógnitas forem expressas em função de outras, então
o sistema tem infinitas soluções;
2 pelo menos uma das equações não é satisfeita, então o sistema não
tem solução;
3 assumir cada incógnita um único valor, então o sistema tem
solução única.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 14 / 24
Observação
Se depois que obtemos
[
C d
]
,
1 alguma das incógnitas forem expressas em função de outras, então
o sistema tem infinitas soluções;
2 pelo menos uma das equações não é satisfeita, então o sistema não
tem solução;
3 assumir cada incógnita um único valor, então o sistema tem
solução única.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 14 / 24
Observação
Se depois que obtemos
[
C d]
,
1 alguma das incógnitas forem expressas em função de outras, então
o sistema tem infinitas soluções;
2 pelo menos uma das equações não é satisfeita, então o sistema não
tem solução;
3 assumir cada incógnita um único valor, então o sistema tem
solução única.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 14 / 24
Por exemplo,
Se [
C d
]
=

1 1 2 0 −52 p 23
0 0 0 1 12 p
1
2
0 0 0 0 0 p 0
 ,
então
x1 =
2
3
− x2 − 2x3 + 5
2
x5
x4 =
1
2
− 1
2
x5
x2 = r
x3 = s
x5 = t, onde r, s e t são quaisquer números reais.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 15 / 24
Por exemplo,
Se [
C d
]
=

1 1 2 0 −52 p 23
0 0 0 1 12 p
1
2
0 0 0 0 0 p 0
 ,
então
x1 =
2
3
− x2 − 2x3 + 5
2
x5
x4 =
1
2
− 1
2
x5
x2 = r
x3 = s
x5 = t, onde r, s e t são quaisquer números reais.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 15 / 24
Se [
C d
]
=

1 2 3 4 p 5
0 1 2 3 p 6
0 0 0 0 p 1
 ,
então a última equação é
0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 1
⇒ 0 = 1, que é um absurdo.
e nunca pode ser satisfeita.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 16 / 24
Se [
C d
]
=

1 2 3 4 p 5
0 1 2 3 p 6
0 0 0 0 p 1
 ,
então a última equação é
0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 1
⇒ 0 = 1, que é um absurdo.
e nunca pode ser satisfeita.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 16 / 24
E se
[
C d
]
=

1 0 0 0 p 5
0 1 0 0 p 6
0 0 1 0 p 7
0 0 0 1 p 8
 ,
então
x1 = 5
x2 = 6
x3 = 7
x4 = 8
donde a solução é única.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 17 / 24
E se
[
C d
]
=

1 0 0 0 p 5
0 1 0 0 p 6
0 0 1 0 p 7
0 0 0 1 p 8
 ,
então
x1 = 5
x2 = 6
x3 = 7
x4 = 8
donde a solução é única.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 17 / 24
Observação
Tanto na eliminação gaussiana quanto na redução de Gauss-Jordan, só
podemos usar operações elementares nas linhas.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 18 / 24
SISTEMAS HOMOGÊNEOS
Nos restringindo aos sistemas homogêneos, temos o seguinte resultado:
Teorema 2:
Se m < n, então um sistema homogêneo de m equações com n
incógnita, Ax = 0, sempre tem uma solução não trivial.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 19 / 24
Por exemplo,
o sistema homogêneo
x+ y + z + w = 0
x+ w = 0
x+ 2y + z = 0
tem matriz aumentada
[
A b
]
=

1 1 1 1 p 0
1 0 0 1 p 0
1 2 1 0 p 0

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 20 / 24
Por exemplo,
o sistema homogêneo
x+ y + z + w = 0
x+ w = 0
x+ 2y + z = 0
tem matriz aumentada
[
A b
]
=

1 1 1 1 p 0
1 0 0 1 p 0
1 2 1 0 p 0

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 20 / 24
E matriz escalonada
[
C d
]
=

1 0 0 1 p 0
0 1 0 −1 p 0
0 0 1 1 p 0

então
x = −w
y = w
z = −w
w = r, onde r é qualquer número real.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 21 / 24
E matriz escalonada
[
C d
]
=

1 0 0 1 p 0
0 1 0 −1 p 0
0 0 1 1 p 0

então
x = −w
y = w
z = −w
w = r, onde r é qualquer número real.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 21 / 24
RELAÇÃO ENTRE SISTEMAS HOMOGÊNEOS E
SISTEMAS NÃO HOMOGÊNEOS
Sempre que temos um sistema não homogêneo Ax = b, podemos
associar a ele um sistema homogêneo da forma
Ax = 0.
Assim,
Se conhecemos uma solução particular, xp, de Ax = b e uma solução xh
do sistema Ax = 0 associado a ele, então xp + xh é uma solução do
sistema não homogêneo Ax = b.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 22 / 24
RELAÇÃO ENTRE SISTEMAS HOMOGÊNEOS E
SISTEMAS NÃO HOMOGÊNEOS
Sempre que temos um sistema não homogêneo Ax = b, podemos
associar a ele um sistema homogêneo da forma
Ax = 0.
Assim,
Se conhecemos uma solução particular, xp, de Ax = b e uma solução xh
do sistema Ax = 0 associado a ele, então xp + xh é uma solução do
sistema não homogêneo Ax = b.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 22 / 24
Observação
Se temos sistema lineares com coeficientes complexos, também usamos
a eliminação gaussiana e a redução de Gauss-Jordan para resolvê-los.
Por exemplo,
o sistema linear
(1− i)x+ (2 + i)y = 2 + 2i
2x+ (1− 2i)y = 1 + 3i
tem matriz aumentada[
A b
]
=
[
1− i 2 + i p 2 + 2i
2 1− 2i p 1 + 3i
]
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 23 / 24
Observação
Se temos sistema lineares com coeficientes complexos, também usamos
a eliminação gaussiana e a redução de Gauss-Jordan para resolvê-los.
Por exemplo,
o sistema linear
(1− i)x+ (2 + i)y = 2 + 2i
2x+ (1− 2i)y = 1 + 3i
tem matriz aumentada
[
A b
]
=
[
1− i 2 + i p 2 + 2i
2 1− 2i p 1 + 3i
]
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 23 / 24
Observação
Se temos sistema lineares com coeficientes complexos, também usamos
a eliminação gaussiana e a redução de Gauss-Jordan para resolvê-los.
Por exemplo,
o sistema linear
(1− i)x+ (2 + i)y = 2 + 2i
2x+ (1− 2i)y = 1 + 3i
tem matriz aumentada[
A b
]
=
[
1− i 2 + i p 2 + 2i
2 1− 2i p 1 + 3i
]
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 23 / 24
E matriz escalonada[
C d
]
=
[
1 1−2i2 p
1+3i
2
0 1 p 2i5+5i
]
então
y =
2i
5 + 5i
x =
1 + 3i
2
− 1− 2i
2
y =
1 + 8i
5
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 24 / 24
E matriz escalonada[
C d
]
=
[
1 1−2i2 p
1+3i
2
0 1 p 2i5+5i
]
então
y =
2i
5 + 5i
x =
1 + 3i
2
− 1− 2i
2
y =
1 + 8i
5
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 10 de março de 2016 24 / 24