aula 02 derivada1

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DERIVADA
Aula 02 – Matemática I – Agronomia
Prof. Danilene Donin Berticelli
Para que uma volta de montanha-russa seja tranquila, as retas do trilho devem estar conectadas aos segmentos da curva de modo que não haja alterações bruscas na direção. 
A Matemática permite projetar a primeira ascensão e queda de uma nova montanha-russa para uma volta tranquila.
Veremos que as derivadas são interpretadas como inclinações e taxas de variação. 
Aprenderemos a fazer gráficos de derivadas de funções definidas graficamente. 
 usaremos a definição de derivadas para calcular as derivadas de funções definidas por fórmulas.
Trabalharemos com as regras de derivação para minimizar o tédio...
Usaremos as regras para resolver problemas envolvendo taxas de variação e aproximação de funções. 
“ No instante que o cavalo atravessou a reta de chegada, ele estava correndo a 42 mph”.
Como pode ser provada tal afirmação?
Uma fotografia tirada naquele instante mostrará o cavalo parado – não ajudará em nada. 
Existe certo paradoxo em tentar estudar o movimento do cavalo em um instante de tempo específico, pois, ao focar em um único instante de tempo, interrompemos o movimento!
É supreendentemente difícil definir com precisão o que é a velocidade de um objeto em algum instante de tempo. 
Problemas de movimento foram de central importância para os filósofos no século cinco a.C. A abordagem moderna, que se tornou famosa através do cálculo de Newton, consiste em deixar de procurar um conceito simples para o valor da velocidade em um dado instante e, em vez disso, olhar o valor da velocidade durante pequenos intervalos de tempo contendo o instante em questão.
A Derivada
O cálculo é a matemática das variações e o instrumento principal para estudar as taxas de variações é um método conhecido como derivação.
As taxas de variações são aplicadas em diversos ramos da Ciência.
Taxa de Variação nas Ciências Naturais e Sociais
Aplicações
Na Física
Usamos o conceito de derivada para estudar a velocidade instantânea de uma partícula a partir do seu deslocamento. Ou ainda para encontrar a aceleração instantânea a partir da variação da velocidade.
A taxa instantânea da variação da velocidade com relação ao tempo é a aceleração.
A taxa instantânea da variação do espaço com relação ao tempo é a velocidade.
Na Química
Os químicos têm interesse em calcular a taxa de reação instantânea de uma reação química.
A taxa de reação instantânea é calculada pelo quociente entre a concentração de um reagente em função do tempo, quando o intervalo de tempo tende para zero. 
Na Biologia
Os biólogos buscam calcular a taxa de crescimento instantâneo de indivíduos de uma população animal ou de plantas. 
Na Economia
Costuma-se calcular o custo marginal (taxa de variação instantânea de variação do custo em relação ao número de itens produzidos).
Outras Ciências
Geólogo  pode estar interessado em saber a taxa na qual uma massa de rocha fundida resfria pela condução de calor para o meio rochoso que a envolve.
Engenheiro
Saber a taxa segundo a qual a água escoa para dentro ou para fora de um reservatório.
Agrônomo
Calcular a produção de uma cultura por hectare com a adição de nitrogênio.
Calcular a produção de matéria seca em função da quantidade de luz absorvida em diferentes densidades de plantas.
Geógrafo urbano
Tem interesse na taxa de variação da densidade da população numa cidade à medida que a distância do centro aumenta. 
Meteorologista
Busca calcular a taxa de variação da pressão atmosférica em relação à altura.
Psicologia
Interessados na teoria de aprendizagem estudam a chamada curva de aprendizado, que é o gráfico de desempenho de alguém aprendendo alguma coisa como função do tempo de treinamento. 
Sociologia
O cálculo diferencial é usado na análise da divulgação do boato (ou invocações, ou modismo, ou padrões). 
Denota-se p(t) a proporção de uma população que fica sabendo de um boato no tempo t, e a derivada dessa função representa a taxa de divulgação do boato. 
A Derivada
Derivação  método utilizado para estudar taxas de variação.
x
0
10
20
30
40
50
60
70
80
f(x)
1451
1651,8
1816,6
1945,4
2038,2
2095,4
2115,8
2100,6
2049,4
Com base nesses dados, qual será a produção quando forem adicionados 22 kg/ha?
Derivada
x
0
5
10
15
20
25
30
35
40
f(x)
1451
1555,9
1651,8
1738,7
1816,6
1885,5
1945,4
1996,3
2038,2
Podemos calcular uma nova taxa de variação entre 20 e 25 para encontrar o f(22).
Derivada - Definição
Derivada de uma Função
Exemplo
Taxa de Variação instantânea como uma Derivada
Significado do sinal da Derivada f’(x)
Notação de Derivada
a x 
t
P
Q Q
 Q
A reta tangente
Exemplo
Inclinação como uma derivada
Exemplo 2
Calcule a derivada de f(x) = x³ e use-a para determinar a inclinação da reta tangente à curva y = x³ no ponto x = -1. 
Qual a equação da reta tangente neste ponto?
Exercícios:
Descansando a mente
Retire três palitos e obtenha apenas três quadrados.
Técnicas de Derivação
Regra da Constante
Esta regra é comprovada pela regra da potência.
Regra da Potência
Regra da multiplicação por uma constante
Regra da soma
Regra da subtração
Derivada da função exponencial
Derivada da função exponencial natural
Calcule a derivada das funções:
Problemas