Lista1_GALA1_TMA3_2013_Santinho

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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
PROFESSOR SANTINHO 
LISTA DE EXERCÍCIOS -1 
VETORES, BASES E PRODUTOS 
 
OPERAÇÕES COM VETORES 
1 ) O paralelepípedo ABCDEFGH é dado na figura abaixo. 
Escreva , , e em função de , e 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 ) Seja o hexágono regular dado na figura. Determine: 
a ) 
 
 
 
 
 
 
b ) 
c ) 
d ) 
 
 
 
 
3 ) Quais são a origem e a extremidade de um represen-
tante do vetor ? 
 
4 ) Sendo , e representados na figura, represente : 
 , por um vetor de origem O. 
 
 
 
 
 
5 ) Utilizando a figura do exercício 2, determine Z, sendo 
 
 
 
 
 
 
 . 
BASES 
6 ) Sendo , determine: 
a ) b ) 
c ) 
 
 
 
 
 
 d ) 
 
7 ) Verifique se é combinação linear de 
 . 
 
8 ) Escreva = (5,-3,2) como combinação linear de 
 e . 
 
9 ) pode ser escrito como combinação linear 
de e ? 
 
10 ) Sejam os vetores e 
 . Determine se eles são 2 a 2 LD ou LI. 
 
11 ) Verifique se os vetores abaixo são LD ou LI. 
a ) e 
b ) e 
c ) e 
 
12 ) Qual o valor de x para que os vetores abaixo sejam 
LD? 
a ) 
b ) 
c ) e 
 
13 ) Sabendo que E = ( é base e que = 2 - , 
 = - + 2 e = +2 . 
a ) Mostre que ( é base. 
b ) Calcule as coordenadas de = (1,1,1)E na base F. 
 
14 ) Sabendo que E = ( é base e que = + 
+ , = + e = , verifique se ( é base. 
 
15 ) Seja E = ( uma base e = + + , = 
2 + e = +b +2 , escreva a em função de b pa-
ra que ( seja base. 
 
16 ) Sejam E = ( uma base, = + , = -
3 + 2 e = +4 , determine o valor de x para que 
( seja base. Sendo E, determine o 
valor de x para que F 
 
17 ) Sejam E = ( uma base, = - , = 
 4 - 3 e = + , prove que ( é base. A-
lém disso, determine o valor de x para que 
 F sejam LI. 
 
18 ) Seja E uma base ortonormal e = (-3, 2, 0)E. Calcule 
 . 
 
A B 
C 
D 
F 
G 
E 
H 
A 
E 
C 
B 
D 
F 
O 
 
 
 
19 ) Seja E = ( uma base ortonormal e 
= 2 + - . Calcule . 
MUDANÇA DE BASE 
20 ) Calcule os valores de x, y e z sendo (1,2,3)E = 
(9,8,7)F, e a matriz de mudança de base de E para F da-
da por 
 
 
 
 
 
21 ) Escreva a matriz mudança de base E = ( pa-
ra a base F = ( e exprima o vetor = -4 + - 
em função de , sabendo que = (-3,1,1)E, = 
 E e = E. 
 
22 ) Refaça o exercício anterior, partindo da matriz dada e 
das coordenadas do vetor na base E para a base F. 
PRODUTO ESCALAR 
23 ) Sendo ABCD um tetraedro regular de aresta unitária, 
calcule . 
 
23 ) Os lados de um triângulo equilátero ABC tem medida 
2. calcule + + 
 
24 ) São dadas as bases ortonormais E e F. Determine a 
e b, sabendo que 
 . 
 
25 ) Em relação a uma base ortonormal, são dados os 
pares de vetores abaixo. Determine a medida do ângulo 
entre os vetores. 
a ) 
b ) 
c ) 
 
26 ) Calcule o valor de a para os pares de vetores abaixo 
sejam ortogonais. 
a ) 
b ) 
c ) 
 
27 ) Quais são os valores de a, b e c tais que 
seja ortogonal a (3,1,-5), .(2,1,0) = 3 e .(2,0,0) =4. 
 
28 ) Determine , ortogonal a (0,-1,1) e (1,-2,-1), 
cuja norma é . 
PROJEÇÃO ORTOGONAL 
29 ) Dada a base ortonormal ( , sejam 
 e = 3 - . Obtenha a projeção ortogonal de sobre . 
 
30 ) Dada a base ortonormal ( , obtenha a projeção 
ortogonal de sobre em cada caso: 
a ) 
b ) 
c ) 
 
31 ) Dada a base ortonormal ( , decomponha = (-
1,2,7 )como soma de dois vetores e , de modo que 
seja paralelo e seja ortogonal a = (1,0,3). 
 
32 ) Dada a base ortonormal ( , determine os vetores 
unitários , tais que a projeção ortogonal de 
sobre seja 
 
 
 e a medida angular entre e é 
60
0
. 
PRODUTO VETORIAL 
33 ) Calcule , sabendo que a medida angular entre 
 e é 300, e suas normas 1 e 4. 
 
34 ) Calcule , sabendo que a medida angular 
entre e é 300, e suas normas 1 e 4. 
 
35 ) Determine a tripla de coordenadas de ,de mesmo 
sentido que (4,2,4), numa base ortonormal E, sabendo 
que ambos vetores são unitários e formam um ângulo de 
30
0
 entre si. 
 
36 ) Dada a base ortonormal ( e os pares de vetores 
abaixo. determine e . 
a ) 
b ) 
c ) 
 
37 ) Dada a base ortonormal ( , calcule ( 
 ^ . 
PRODUTO MISTO 
38 ) Sendo ( uma base positiva e o vetor unitário 
 , calcule , sendo 300 a medida angular entre e 
 e suas normas 1 e 4. 
 
39 ) Dada a base ortonormal ( e o paralelepípedo 
ABCDEFGH na figura abaixo. Se =(0,2,1), = (1,1,1) 
e =(1,2,0), determine o volume do paralelepípedo. 
 
 
 
 
 
 
 
40 ) Dada a base ortonormal ( e as ternas de veto-
res nessa base abaixo. Determine . 
a ) e 
b ) e 
c ) e 
A D 
C 
B 
F 
G 
E 
H