Notas_de_aula_da_Unidade_I

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UNIDADE I 46 páginas
1.0 SISTEMAS DE CONTROLE
O que é um sistema?
O que é um sistema de controle?
O termo sistema é usado para descrever uma série de componentes que interagem para
realizar uma determinada função. O aspecto importante de um sistema é a relação entre as
entradas e as saídas.
Fig. 1.1 - Blocos representativos de sistemas
As relações entre as saídas e as entradas de alguns sistemas podem ser similares:
Fig. 1.2 - Circuito elétrico RC
Fig. 1.3 - Sistema de aquecimento
a) b)
Fig. 1.4 - a) Tensão no capacitor b) temperatura no recipiente
Em alguns casos é conveniente dividir um sistema em vários subsistemas acoplados.
UNIDADE I 2
Fig. 1.5 - Vários subsistemas acoplados
Em um sistema de controle, a saída é controlada para ter um valor específico ou variar de
forma determinada pela entrada do sistema.
. sistemas em malha aberta
. sistemas em malha fechada
Em um sistema em malha aberta, a entrada é escolhida com base na experiência.
Fig. 1.6 - Sistema em malha aberta
Em um sistema em malha fechada, um sinal é realimentado da saída para a entrada, para
manter a saída constante, mesmo havendo modificações nas condições de operação.
Fig. 1.6a - Diagrama de blocos em malha fechada
Elementos básicos de um sistema em malha aberta
Elemento de controle: determina a ação que deve ser tomada visando a entrada do
sistema de controle;
UNIDADE I 3
Elemento de correção: responde ao sinal de saída do sinal de controle e age de forma a
levar a variável controlada ao valor desejado;
Processo ou planta: sistema no qual uma variável é controlada.
Fig. 1.7 - Diagrama de blocos de um sistema em malha aberta
Fig. 1.8 - Sistema de controle de temperatura em malha aberta
Fig. 1.9 - Diagrama de blocos de um sistema em malha fechada
UNIDADE I 4
Fig. 1.10 - Sistema de controle de temperatura em malha fechada
Controle de velocidade de um motor elétrico
Fig. 1.11 - Sistema de controle de um motor de CC em malha fechada
Controle de direção e velocidade de um automóvel
Fig. 1.12 - Sistema de controle de direção e velocidade de automóvel
UNIDADE I 5
2.0 TRANSFORMADA DE LAPLACE
A transformada de Laplace é um método de transformar equações diferenciais em
equações algébricas mais facilmente solucionáveis. Através da transformada de Laplace é
possível converter senóides, exponenciais, etc.., em funções algébricas de uma variável
complexa "S".
Definição:    o st )s(Fdte)t(f)]t(f[
Exemplo: Uma resistência elétrica é percorrida por uma corrente que varia no tempo:
logo: )t(Ri)t(v  (1.1)
    o o stst dte)t(Ridte)t(v )s(RI)s(V  (1.2)
Função degrau
1)t(f  para t>0 a)t(f  para t>0
0)t(f  para t<0 0)t(f  para t<0
então:  
s
1e
s
1dte.1)s(F
o o
stst   (1.3)
Se a função degrau tem amplitude "a" tem-se:
s
a
)s(F  (1.4)
Função exponencial
ate)t(f  (1.5)
 
as
1e
as
1dtee)s(F
o o
t)as(stat

  (1.6)
2.1 Regras básicas
)s(F)s(F)t(f)t(f 2121 
)s(F)s(F)t(f)t(f 2121 
UNIDADE I 6
)s(F.a)t(f.a 
)s(Fe)Tt(f sT
)0(f)s(F.s)t(f
dt
d 
dt
)0(df)0(sf)s(Fs
dt
)t(fd 2
2
2



n
1k
1kknn
n
n
)0(fs)s(Fs
dt
)t(fd
onde: 1k
1k
1k
dt
)t(fd
)t(f 


Tab. 1.1 - Transformadas de Laplace
Exemplo: Determinar a transformada de Laplace das seguintes funções:
a) at2et  b) )e1(t at2 
a) Consultando uma Tabela tem-se:
UNIDADE I 7
atnet  p/ (n=1,2,3...)
1n)as(
!n)s(F 

312 )as(
2
)as(
!2



 
b) at22at2 ett)e1(t  
Consultando uma Tabela Tem-se:
31n
2
s
2
s
!n
)s(Ft)t(f  
e
3
at2
)as(
2)s(Fet)t(f

 
33 )aS(
2
s
2)s(F


Transformada de Laplace de uma equação diferencial
4)t(x2
dt
)t(dx
3 
)]0(x)s(sX[3
dt
)t(dx
3 
)s(X2)t(x2  e
s
44
se 0)0(x 
s
4)s(X2]0)s(sX[3 
s2s3
4)s(X 2

Quando um termômetro é inserido em um líquido a uma temperatura Ti, a temperatura
lida na saída To é dada pela seguinte equação diferencial:
)t(TT
dt
)t(dTk oio  (1.7)
)s(sT
dt
)t(dT
o
o  com 0)0(To  e s
TT ii 
logo:
)1ks(s
1
T
)s(T
)s(T
s
T
)s(ksT
i
o
o
i
o  (1.8)
UNIDADE I 8
2.2 Transformada Inversa de Laplace
A transformada inversa de Laplace é definida por:
 
jc
jc
st1 0tpara,dse)s(F
2
1
)t(f)]s(F[ (1.9)
Esta equação é complicada, por isso, seu uso não é recomendado para obter a
transformada inversa.
Se a transformada não está na forma reconhecível na tabela, recorre-se às frações parciais.
Se F(s) for decomposta em componentes:
)s(F....)s(F)s(F)s(F n21  (1.10)
e se as transformadas inversas estiverem disponíveis, então:
)]s(F[.....)]s(F[)]s(F[)]s(F[ n
1
2
1
1
11   
)t(f....)t(f)t(f n21  (1.11)
Exemplo: A transformada inversa de Laplace para:
)2s(s
3
s2s
3
)s(X
2 

Consultando uma tabela tem-se:
)e1(
a
1
)as(s
1 at

onde a = 2
logo: )e1(
2
3
)t(x t2
O processo de converter uma expressão algébrica em frações simples é chamado de
decomposição em frações parciais.
Os três tipos básicos de frações parciais:
1. Fatores lineares no denominador;
Expressão:
)cs)(bs)(as(
)s(f

(1.12)
Fração parcial:
)cs(
C
)bs(
B
)as(
A
 (1.13)
UNIDADE I 9
2. Fatores lineares repetidos no denominador;
Expressão: n)as(
)s(f

(1.14)
Fração parcial: n2 )as(
N
....
)as(
B
)as(
A



 (1.15)
3. Fatores quadráticos no denominador, quando o fator tem raízes complexas conjugadas.
Expressão:
cbss
)s(f
2 
(1.16)
Fração parcial:
cbsas
BAs
2 

(1.17)
Se existe um fator linear no denominador:
Expressão:
)ds)(cbsas(
)t(f
2 
(1.18)
Fração parcial:
)ds(
C
cbsas
BAs
2 
 (1.19)
Exemplo:
2s
B
1s
A
)2s)(1s(
5s
2s3s
5s
2 







)2s)(1s(
)1s(B)2s(A


5s)1s(B)2s(A 
logo ss)BA(  e 5BA2 
3B  e 4A
logo:
2s
3
1s
4
2s3s
5s
2 


Exemplo:
Encontrar a solução da seguinte equação diferencial:
UNIDADE I 10
,3x5x2x   0)0(x  e 0)0(x 
A transformada de Laplace conduz a:
s
3)s(X5)s(sX2)s(Xs 2 
Resolvendo para X(s) tem-se:




 222 2)1s(
2
10
3
s5
3
)5s2s(s
3
)s(X 22 2)1s(
1s
5
3


A transformada de Laplace inversa é:
)]s(X[)t(x 1

















  22
1
22
11
2)1s(
1s
5
3
2)1s(
2
10
3
s
1
5
3

,t2cose
5
3t2sene
10
3
5
3 tt   para 0t 
Tab. 1.2 - Teoremas da transformada de Laplace
UNIDADE I 11
Expressões em frações parciais com o Matlab
Exemplo:
Converter em frações parciais a seguinte expressão:
6s11s6s
6s3s5s2
)s(A
)s(B
23
23


Comandos:
NUM=[2 5 3 6] e DEN=[1 6 11 6]
[r,p,k]=residue(NUM,DEN)
resultados
r = -6.00/-4.00/3.00; p = -3.00/-2.00/-1.00 k = 2
2
1s
3
2s
4
3s
6
)s(A
)s(B 






O comando [NUM,DEN]=residue(r,p,k) efetua o processo inverso.
3.0 MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS

 É um conjunto de equações que representam a dinâmica do sistema e que pode ser
descrito por equações diferenciais.
Sistemas Lineares - Quando é possível aplicar o princípio da superposição.
Sistemas não-lineares - não se aplica o princípio da superposição.
Fig. 1.13 - a) função linear; b) função não-linear
3.1 Modelagem matemática de um sistema massa-mola
Determinar o modelo matemático do sistema massa-mola mostrado na Figura (1.14).
UNIDADE I 12
Fig. 1.14 - Sistema massa-mola
A equação dinâmica dosistema é:
2
2
dt
xd
mcvkxfma  (1.20)
kx
dt
dxc
dt
xdmf
2
2
 (1.21)
Na ausência de amortecimento a massa "m" oscilará com uma frequência natural
m
k
n  .
E a razão de amortecimentoé:
mk2
c (1.22)
logo: k/fx
dt
dx2
dt
xd1
n
2
2
2
n



k/)s(F)s(X)s(sX2)s(Xs1
n
2
2
n




2
nn
2
2
n
n
2
n
2 s2s
k/)s(F
1s2s
k/)s(F)s(X





 (1.23)
Se f for respectivamente, um impulso e um degrau unitários tem-se:










  )1tsen(e
1k
1)t(x 2n
t
2
n n (1.24)










  )1tsen(e
1
1
k
1)t(x 2n
t
2
n n (1,24a)
UNIDADE I 13
3.2 Modelagem matemática de um motor de corrente contínua com o campo
constante
Fig.1.15 - Diagrama esquemático de um motor de CC
aa
a
aba iRdt
di
L)t(v)t(e  (1.25)
onde:
dt
)t(dk)t(v mbb
 (1.26)
ou )s(IR)s(sIL)s(V)s(E aaaaba  (1.27)
onde: )s(sk)s(V mbb  (1.28)
Substituindo (1.28) em (1.27), tem-se:
)s(IR)s(sIL)s(sk)s(E aaaamba  (1.29)
O torque no eixo do motor é dado por:
)t(ik)t(T atm  ou )s(Ik)s(T atm  (1.30)
onde k t é a constante de torque
A Figura (1.16) mostra um carregamento típico de um motor, onde Jm e Dm são a
inércia e o amortecimento viscoso equivalentes referidos ao eixo do motor.
Fig. 1.16 - Carregamento mecânico típico de um motor
logo:   )s(sDsJ)s(T mm2mm  (1.31)
UNIDADE I 14
Substituindo (1.30 e 1.31) em (1.29) resulta:
  
t
mm
2
maa
mba k
)s(sDsJsLR
)s(sk)s(E
 (1.32)
Admitindo que a indutância de armadura é muito menor que a resistência tem-se:
 
t
mmma
a k
)s(sDsJR)s(E  (1.33)
A função de transferência desejada é:
 









 

a
bt
m
m
mat
a
m
R
kkD
J
1ss
JRk
)s(E
)s(
(1.34)
ou
 ass
k
)s(E
)s(
a
m

 (1.35)
A Figura (1.17) mostra um motor de inércia Ja e de amortecimento Da acionando uma
carga de inércia JL e de amortecimento DL.
Fig. 1.17 - Motor mais carga
A inércia e o amortecimento referidos à armadura são:
2
2
1
Lam N
NJJJ 


 e
2
2
1
Lam N
NDDD 


 (1.36)
Substituindo (1.30) em (1.29) e fazendo La= 0 tem-se:
)s(sk)s(T
k
R
)s(E mbm
t
a
a  (1.37)
Aplicando a transformada de Laplace inversa resulta:
)t(k)t(T
k
R)t(e mbm
t
a
a  (1.38)
UNIDADE I 15
Para o motor operando em estado estacionário o torque Tm é dado por:
a
a
t
m
a
tb
m eR
k
R
kk
T  (1.39)
Estudo de caso
Fig. 1.18 - Sistema de controle de posicionamento de uma antena
Fig. 1.18 - Diagrama esquemático do sistema de controle
Fig. 1.19 - Diagrama de blocos do sistema de controle
UNIDADE I 16
Tab. 1.3 - Parâmetros do sistema
Potenciômetro de entrada
Desprezando a dinâmica do potenciômetro, a relação entre a tensão de saída e o
deslocamento angular de entrada é:

1
10
10
)s(
)s(V
i
i
Pré-amplificador
Supondo que não há saturação, e que a dinâmica é desprezada, a relação entre a tensão
de entrada e de saída é:
K
)s(V
)s(V
i
p 
Amplificador de potência
Considerando a dinâmica do amplificador de potência, devido este ser muito mais
lento do que o pré-amplificador tem-se:
100s
100
)s(V
)s(E
p
a

Motor mais carga
A inércia total com relação ao eixo do motor é:
03.0
100
1102.0
250
25JJJ
2
Lam 



O coeficiente de amortecimento Dm, equivalente ao eixo de armadura é:
02.0
100
1
101.0
250
25
DDD
2
Lam 



onde DL é o coeficiente de amortecimento viscoso referido a 0.
UNIDADE I 17
A função de transferência, que relaciona o deslocamento angular do eixo da armadura e a
tensão de armadura é dada por:
 71,1ss
083,2
R
KK
D
J
1
ss
)JR(K
E
a
bt
m
m
mat
a
m










 

onde Kt é a constante de torque; Ra a resistência de armadura e Kb a constante de velocidade.
Fig. 1.20 - Resposta do sistema para dois ganhos distintos do controlador
4.0 DIAGRAMA DE BLOCOS
Para mostrar as funções desempenhadas por cada componente de um sistema de
controle, costuma-se usar um diagrama chamado "Diagrama de blocos".
Elemento de um diagrama de blocos
Ponto de soma
UNIDADE I 18
Ponto de distribuição
Diagrama de blocos a malha aberta
Fig. 1.21 - a) blocos separados; b) bloco equivalente
Diagrama de blocos de um sistema a malha fechada
Fig. 1.22 - Sistema em malha fechada
Função de transferência de ação direta.
)s(G)s(G
)s(E
)s(C
32 FTAD (1.40)
Função de transferência a malha aberta
)s(H)s(H)s(G)s(G
)s(E
)s(B
2132 FTMA (1.41)
Função de transferência a malha fechada
)s(E)s(G)s(EG)s(G)s(C 32  (1.42)
)s(H)s(H)s(H 21 (1.43)
UNIDADE I 19
Fig. 1.23 - Diagrama de blocos equivalente
)s(C)s(H)s(R)s(B)s(R)s(E  (1.44)
Eliminando E(s) tem-se:
)]s(C)s(H)s(R)[s(G)s(C  (1.45)
)s(H)s(G1
)s(G
)s(R
)s(C
 FTMF (1.46)
Fig. 1.24 - Diagrama de blocos equivalente
Sistema a malha fechada sujeito a uma perturbação
Fig. 1.25 - Diagrama de blocos com perturbação
Neste caso, aplica-se o princípio de superposição.
Fazendo R(s) =0, tem-se:
)]s(C)s(H)s(G)s(D)[s(G)s(C D12D  (1.47)
)s(C)s(H)s(G)s(G)s(D)s(G D122 
)s(D)s(G)]s(H)s(G)s(G1)[s(C 212D 
)s(H)s(G)s(G1
)s(G
)s(D
)s(C
12
2D
 (1.48)
UNIDADE I 20
Fazendo D(s) = 0, tem-se:
)s(H)s(G)s(G1
)s(G)s(G
)s(R
)s(C
21
21R
 (1.49)
logo:
)s(C)s(C)s(C RD 
)]s(D)s(R)s(G[
)s(H)s(G)s(G1
)s(G
1
21
2 

 (1.50)
se 1)s(H)s(G1  e 1)s(H)s(G)s(G 21 
a FTMF
)s(D
)s(CD é quase zero e os efeitos do distúrbio podem ser suprimidos.
Esta é uma vantagem dos sistemas a malha fechada
Neste caso,
)s(H
1
)s(R
)s(CR  (1.51)
se )s(R)s(C1)s(H 
Exemplo: Simplificar o seguinte diagrama de blocos
Fig. 1.26 - Diagrama de blocos de um sistema
11121121 CGRGXGHGCHX 
1121211 RGCGCH)HGG1(X 
121
112
1 HGG1
RG)GH(C
X 

121
112
32132 HGG1
RG)GH(CGGXGGC


RGGG)]HG(GGHGG1[C 3212132121 
UNIDADE I 21
232321121
321
HGGGGGHGG1
GGG
R
C


Fig. 1.27 - Diagrama de blocos equivalente
Note-se que o numerador da FTMF é o produto das FT do percurso de ação direta e o
denominador é igual a:
 malha)cadadelongoaoFTdasproduto(1
5.0 REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADO
Estado: O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de valores de variáveis,
chamadas variáveis de estado.
Variáveis de estado: são as grandezas cujo conjunto de valores determina o estado do
sistema (descrevem completamente o comportamento dinâmico do mesmo).
Vetor de estado: são as variáveis de estado representadas por um vetor.
Espaço de estado: o espaço n-dimensional cujos eixos coordenados consistem nos eixos
x1,x2,...xn é chamado espaço de estados (qualquer estado pode ser representado por um ponto
no espaço de estados).
A análise no espaço de estado envolve três tipos de variáveis: variáveis de entrada, de
saída e de estado, conhecidas para t=to e ttº
O número de variáveis de estado necessárias na definição completa da dinâmica de um
sistema é igual ao número de integradores envolvidos.
Circuito RL
Fig. 1.28 - Circuito elétrico com uma indutância e uma resistência em série
Escrevendo a equação do circuito tem-se:
)t(vRi
dt
di
L  (1.52)
A transformada de Laplace é:
)s(V)s(RI)]0(i)s(sI[L  (1.53)
Admitindo que a entrada v(t) é um degrau unitário tem-se:
UNIDADE I 22
L
Rs
)0(i
L
Rs
1
s
1
R
1)s(I












 (1.54)
logo:
t
L
R
t
L
R
e)0(ie1
R
1)t(i









 (1.55)
onde i(t) é um subconjunto de todas as variáveis possíveis do circuito e pode ser determinada
se v(t) e i(0) forem conhecidos.
Neste caso, i(t) é uma variável de estado e (1.52) é uma equação de estado.
As outras variáveis são:
)t(Ri)t(vR  (1.56)
)t(Ri)t(v)t(vL  (1.57)
e
)]t(Ri)t(v[
L
1
dt
di  (1.58)
A Equação (1.52) combinada com (1.56 e 1.58) formam uma representação no espaço de
estados.
A Equação (1.52) não é única. Poderia ter sido escrita em termos de qualquer outra
variável do circuito.
Por exemplo: fazendo
R
vi R em (1.52) resulta:
)t(vv
dt
dv
R
L
R
R  (1.59)
que pode ser resolvida conhecendo-se a condição inicial:
)0(Ri)0(vR  e )t(v
Circuito RLC
Fig. 1.29 - Circuito RLC série
UNIDADE I 23
A equação do circuito é:
 )t(vidtC
1
Ri
dt
di
L (1.60)
Expressando em função da carga e usando
dt
dq
)t(i  tem-se:
)t(vq
C
1
dt
dq
R
dt
qd
L 2
2
 (1.61)
A Equação (1.61) pode ser representada por duas equações diferenciais de primeira
ordem, simultâneas, em termos de i(t) e q(t), escolhidas como variáveis de estado, que são as
seguintes:
)t(i
dt
)t(dq  (1.62)
)t(v
L
1
)t(i
L
R
)t(q
LC
1
dt
)t(di  (1.63)
As Equações (1.62 e 1.63) são as equações de estado e podem ser resolvidas para obter
q(t) e i(t) se q(0), i(0) e v(t) são conhecidas.
Com base em (1.62 e 1.63) pode-se calcular todas as outras variáveis do circuito:
)t(v)t(Ri)t(q
C
1
)t(vL  (1.64)
)t(Ri)t(vR  (1.65)
)t(q
C
1)t(vC  (1.66)
As Equações (1.62 e 1.63), combinadas e a equação de saída (1.64), constituem uma
representação no espaço de estados.
Uma outra escolha de variáveis de estado pode ser feita, por exemplo, com vR(t) e
vc(t).
Atenção! Nenhuma das variáveis de estado pode ser escrita como combinação linear
das outras variáveis de estado.
As variáveis de estado devem ser linearmente independentes.
Se o sistema for linear, as equações de estado (1.62) e 1.63) podem ser escritas na
forma matricial:
)t(Bu)t(Ax)t(x  (1.67)
onde













dt
di
dt
dq
)t(x ; 








LC
R-
LC
1-
10
A ;
UNIDADE I 24




i
q
)t(x ; 








L
1
0
B e )t(v)t(u 
A Equação de saída (1.64), pode ser escrita da seguinte forma:
)t(DuCxy  (1.68)
onde: ;R-
C
1
C 


 1D e )t(v)t(u 
O circuito analisado representa um sistema com uma única entrada e uma única saída,
nos quais y, D e u são grandezas escalares.
Análise de um sistema com múltiplas entradas, múltiplas saídas e n integradores:
)t(u),.......t(u),t(u r21 variáveis de entrada (1.69)
)t(y),........t(y),t(y m21 variáveis de saída (1.70)
Definindo as n variáveis do sistema dos integradores como variáveis de estado com
valores: x1(t),x2(t),....,xn(t).
O sistema pode ser descrito por:
)t;u,...,u,u;x,...,x,x(f)t(x r21n2111 
)t;u,...,u,u;x,...,x,x(f)t(x r21n2122 
: (1.71)
:
)t;u,...,u,u;x,...,x,x(f)t(x r21n21nn 
)t;u,...,u,u;x,...,x,x(g)t(y r21n2111 
)t;u,...,u,u;x,...,x,x(g)t(y r21n2122 
: (1.72)
:
)t;u,...,u,u;x,...,x,x(g)t(y r21n21mm 
Definindo-se:













)t(x
:
)t(x
)t(x
)t(x
n
2
1
,













t;u,...,u,u;x,...,x,x(f
)t;u,...,u,u;x,...,x,x(f
)t;u,...,u,u;x,...,x,x(f
)t,u,x(f
r21n21n
r21n212
r21n211
(1.73)
UNIDADE I 25













)t(y
:
)t(y
)t(y
)t(y
n
2
1
,













t;u,...,u,u;x,...,x,x(g
)t;u,...,u,u;x,...,x,x(g
)t;u,...,u,u;x,...,x,x(g
)t,u,x(g
r21n21n
r21n212
r21n211
(1.74)













)t(u
:
)t(u
)t(u
)t(u
n
2
1
(1.75)
)t,u,x(f)t(x  e )t,u,x(g)t(y 
)t(u)t(B)t(x)t(A)t(x  (1.76)
e
)t(u)t(D)t(x)t(C)t(y  (1.77)
onde )t(A é a matriz de estado, )t(B é a matriz de entrada, )t(C é a matriz de saída e )t(D é
a matriz de transição direta.
Se as matrizes A,B,C,D independem do tempo (constantes), o sistema é dito invariante
no tempo.
)t(Bu)t(Ax)t(x  (1.78)
)t(Du)t(Cx)t(y  (1.79)
Na Figura (1.30) tem-se a representação das Equações (1.76 e 1.77), sob a forma de
diagrama de blocos.
Fig. 1.30 - Diagrama de blocos na forma de espaço de estado
Exemplo: Admita-se que o sistema da Figura (1.31) seja linear e que a força u(t) seja
a entrada do sistema. O deslocamento y(t) é medido a partir da posição de equilíbrio, na
ausência da força externa.
UNIDADE I 26
Fig. 1.31 - Sistema mecânico
A equação do movimento é:
ukyybym  
Como o sistema é de Segunda ordem, o mesmo envolve dois integradores. Definindo-
se as variáveis de estado como x1(t) e x2(t), tem-se:
)t(y)t(x1 
e
)t(y)t(x2 
logo: 21 xx 
e
  u
m
1x
m
bx
m
ku
m
1ybky
m
1x 212  
Sob a forma matricial tem-se:
u
m
1
0
x
x
m
b-
m
k-
10
x
x
2
1
2
1


























e
  



2
1
x
x
01y
A Figura (1.32) mostra o diagrama de blocos do sistema mostrado na Figura (1.31).
Fig. 1.32 - Diagrama de blocos
UNIDADE I 27
Correlação entre função de transferência e equações no espaço de estados
Considere-se o sistema cuja função de transferência é dada por:
)s(G
)s(U
)s(Y  (1.80)
que pode ser representado no espaço de estados pelas seguintes equações:
)t(Bu)t(Ax)t(x  (1.81)
)t(Du)t(Cx)t(y  (1.82)
onde x(t) é o vetor de estado, u(t) é a entrada e y(t) é a saída.
A transformada de Laplace das Equações (1.81 e 1.82) é:
)s(BU)s(AX)0(x)s(sX  (1.83)
e
)s(DU)s(CX)s(Y  (1.84)
Admitindo que X(0)=0, tem-se:
)s(BU)s(AX)s(sX  (1.85)
)s(BU)s(X)AsI(  (1.86)
Multiplicando a esquerda de ambos os membros por 1)AsI(  :
)s(BU)AsI()s(X 1 (1.87)
Substituindo (1.87) em (1.84) resulta:
  )s(UDB)ASI(C)s(Y 1   (1.88)
onde DB)ASI(C)s(G 1  
AsI
)s(Q
)s(G  (1.89)
onde )s(Q é um polinômio em S e AsI é o polinômio característico de G(s).
Exemplo: Considere o sistema da Figura (1.31):
DB)ASI(C)s(G 1  
UNIDADE I 28
  0
m
1
0
m
b-
m
k
10
s0
0s
01
1




























  























m
1
0
m
b
s
m
k
1-s
01
1























s
m
k
-
1
m
bs
m
k
s
m
b
s
1
m
b
s
m
k
1-s
2
1
  




















m
1
0
s
m
k-
1
m
bs
m
ks
m
bs
1
01)s(G
2
kbsms
1
2 

Representação de sistemas dinâmicos no espaço de estados sem derivadas de
excitação
uyaya...yay n1n
1n
1
n
 

 (190)
)1n(
n21 yx........;;yx;yx

 
n1-n3221 xx;..........;xx;xx  
uxa.......xaxax n121n1nn  
onde:













n
2
1
x
:
x
x
x ;

















12-n1-nn a-...a-a-a-
0000
::::
0...100
0...010
A ;

















1
0
:
0
0
B
UNIDADEI 29
 













x
:
x
x
0...01y
n
2
1
A Figura (1.33) mostra a realização dessas equações na forma de diagrama de blocos.
Fig. 1.33 - Diagrama de blocos do sistema representado por (1.90)
Na forma de função de transferência
n1n
1n
1
n asa...sas
1
)s(U
)s(Y



 (1.91)
Representação de sistemas dinâmicos no espaço de estados com derivadas de
excitação
ubub..ububyaya..yay n1n
)1n(
1
n
on1n
1n
1
n
 



 (1.92)
n1-n3221 xx;..........;xx;xx  
  n121n1nn xa.......xaxax
ubub.....ubub n1n
)1n(
1
n
o  


Para eliminar as derivadas da excitação do segundo membro as n variáveis são
definidas da seguinte forma:
uyx o1 
uxuuyx 111o2  
uxuuuyx 2221o3  
uxuu..uuyx 1n1n1n2n
)2n(
1
)1n(
o
)1n(
n 

  (1.93)
Substituindo (1.93) em (1.92) tem-se:
UNIDADE I 30
oo b
o111 ab 
o21122 aab 
on11n1n1nn aa...ab   (1.94)
Solução das equações de estado no domínio do tempo
Admita-se, primeiramente, a equação de estado homogênea na forma:
)t(Ax)t(x  (1.95)
A solução pode ser dada pela seguinte série:
...tbtb....tbtbb)t(x 1k1k
k
k
2
21o   (1.96)
Substituindo (1.96 em 1.95), tem-se:
...tb)1k(tkb...tb2b k1k
1k
k21  
 ...tbtb...tbtbbA 1k1kkk221o   (1.97)
Igualando os coeficientes semelhantes resulta:
o1 Abb  (1.98)
o
2
12 bA2
1
Ab
2
1
b  (1.99)

o
k
k bA!k
1
b  (1.100)
  0
1k
1k bA!1k
1b  
 (1.101)
Substituindo (1.98, 1.99, 1.100 e 1.101 em (1.96) tem-se:
 kok2o2oo tbA!k
1
...tbA
2
1
tAbb)t(x
  ...tbA!1k
1 1k
o
1k 

  o
1k1kkk22 b...tA
!1k
1tA
!k
1...tA
2
1AtI 


 

  (1.102)
Da Equação (1.96) tem-se que ob)0(x  e:
UNIDADE I 31
  ...tA!1k
1
tA
!k
1
...tA
2
1
AtIe 1k1kkk22At 


 

  (1.103)
onde Ate é chamada de matriz de transição de estados e é simbolicamente representada por
)t( .
)0(xe)t(x At (1.104)
assim: Ate)t(  )0(x)t()t(x  (1.105)
Fazendo t=0 em (1.103) tem-se:
I)0(  primeira propriedade (1.06)
onde I é a matriz identidade.
Da Equação (1.105), com t=0 resulta;
)0(x)0()0(x  (1.107)
Derivando (1.105) e igualando a (1.95) tem-se:
)t(Ax)0(x)t()t(x 
)0(Ax)0(x)0(  
logo A)0(  segunda propriedade (1.108)
As Equações (1.106 e 1.108) são a solução do sistema homogêneo ou não forçado.
Para o sistema forçado ou não-homogêneo tem-se:
)t(Bu)t(Ax)t(x  (1.109)
Rearranjando e multiplicando ambos os membros por
Ate tem-se:
  )t(Bue)t(Ax)t(xe AtAt  
  )t(Bue)t(xe
dt
d AtAt  
Integrando ambos os membros resulta:
   t0 AAt
t
0
At d)(Bue)0(x)t(xe)t(xe (1.110)
UNIDADE I 32
Resolvendo (1.110) em termos de x(t) tem-se:
  t0 )t(AAt d)(Bue)0(xe)t(x
  t0 d)(Bu)t()0(x)t( (1.111)
A integral em (1.111) é chamada integral da convolução.
A primeira parcela em (1.111) é chamada resposta à entrada zero e a segunda,
resposta no estado zero.
Cálculo de )t(
Da Equação de estado:
)t(Ax)t(x  (1.112)
tem-se:
)s(AX)0(x)s(sX  (1.113)
Rearranjando (1.113) resulta:
)0(x)]s(AXsI[  (1.114)
Pré-multiplicando ambos os membros de (1.114) por 1)AsI(  :
)0(x)AsI()s(X 1 (1.115)
)0(x
)AsIdet(
)AsI(adj

 (1.116)
logo:   )t(
)AsIdet(
)AsI(adj)AsI( 111 




   (1.117)
Exemplo: Para a Equação de estado e o vetor inicial mostrado em (1.118a e 1.118b),
onde u(t) é um degrau unitário, determine a matriz de transição de estados e em seguida
calcule x(t).
u(t)
1
0
x(t)
6-8-
10
)t(x 





 (1.118a)




0
1
)0(x (1.118b)
Fazendo 0AsIdet  , obtém-se os pólos do sistema que são -2 e -4.
UNIDADE I 33
Como cada termo da função é a soma das respostas geradas pelos pólos, a matriz de
transição pode ser escrita da seguinte forma:












t4
8
t2
7
t4
6
t2
5
-4t
4
-2t
3
t4
2
t2
1
eke(k)eke(k
)eke(k)ekek(
)t(
Usando as propriedades da matriz de transição resulta:
I)0( 
1kk 21 
0kk 43 
0kk 65 
1kk 87 
uma vez que A)0( 
então: 0k4k2 21 
1k4k2 43 
8k4k2 65 
6k4k2 87 
Portanto:















 



)e2(-e)e4e4(
e
2
1
e
2
1
)ee2(
)t(
t42t-t4t2
t4t2t4t2



















)t(4)t(2
)t(4)t(2
e2e(
e
2
1
-e
2
1
B)t(
O primeiro termo de (1.111) é:












)e4e4(
)ee2(
)0(x)t(
t4t2
t4t2
e o último termo de (1.111) é:


















t
0 t4t2
t4t2
e4e
2
1
e
8
1
e
4
1
8
1
d)(Bu)t(
O resultado final é:
UNIDADE I 34


















t
0 t4t2
t4t2
e
2
7e
2
7
e
8
7
e
4
7
8
1
d)(Bu)t()0(x)t()t(x
A matriz de transição )t( pode também ser obtida utilizando a transformada de
Laplace usando (1.117), ou seja:
  )t(
)AsIdet(
)AsI(adj
)AsI( 111 




  
Para o exemplo acima: 


 
6-s8
1s
)AsI(






















 
8s6s
s
8s6s
8
8s6s
1
8s6s
6s
8s6s
s8-
16s
)AsI(
22
22
2
1
Aplicando a transformada de Laplace inversa a cada um dos termos tem-se:













 



)e2(-e)e4e4(
e
2
1
e
2
1
)ee2(
)t(
t42t-t4t2
t4t2t4t2
7.0 LINEARIZAÇÃO
A linearização de uma equação diferencial não-linear é feita para pequenos valores do
sinal de entrada em torno da solução de estado estacionário e é chamada de equilíbrio.
Fig. 1.34 - Linearização em torno de um ponta A
UNIDADE I 35
Se a inclinação do ponto A da Figura (1.34) for ma, uma pequena excursão da entrada
em torno deste ponto, x , acarreta pequenas variações na saída )x(f , relacionado pela
inclinação no ponto A:
)xx(m)]x(f)x(f[ 0a0  (1.119)
xm)x(f a
e
)xx(m)x(f)x(f 0a0  (1.120)
O novo conjunto de eixos x e )x(f é criado no ponto A e f(x) é aproximadamente
igual a f(x0).
Exemplo: Linearizar f(x) = 5 cos(x) em torno de x = 2 .
5
dx
)x(df
2x


e 0)x(f 2x0 
De acordo com (1.120), f(x) = -5 x , para pequenas excursões de x em torno de 2 .
Fig. 1.35 - Linearização de 5cos(x) em torno de 2
Aplicando a série de Taylor:
   
...
!2
xx
dx
fd
!1
xx
dx
df
)x(f)x(f
2
0
xx
2
2
0
xx
0
00


(1.121)
Desprezando os termos de ordem mais alta tem-se:
)xx(
dx
df)x(f)x(f 0
xx
0
0


(1.122)
UNIDADE I 36
xm)x(f
0xx
  (1.123)
Exemplo: Linearizar a Equação (1.124) para pequenas excursões em torno de x= 4 .
0)xcos(
dt
dx
2
dt
xd
2
2
 (1.124)
Fazendo 4xx  e substituindo em (1.124) tem-se:
0
4
xcos
dt
4
xd
2
dt
4
xd
2
2




 


 



 
(1.125)
mas
2
2
2
2
dt
xd
dt
4
xd 




 
e
dt
xd
dt
4
xd 


 
(1.126)
O temo 



 
4
xcos , pode ser linearizado por meio da série de Taylor truncada
(1.122):
x
4
senx
dt
xcosd
4
cos
4xcos
4
x






 

x
2
2
2
2x
4
sen
4
cos
4
xcos 











  (1.127)
Substituindo (1.126 e 1.127) em (1.125) tem-se a seguinte equação diferencial
linearizada:
2
2
x
2
2
dt
xd
2
dt
xd
2
2
 (1.128)
UNIDADE I 37
EXERCÍCIOS DA UNIDADE I
1.1- Obter a transformada de Laplace inversa de F(s)=10/[s(s+2)(s+3)2].
1.2 - Obtenha a expansão em frações parciais da seguinte função utilizando o
MATLAB:
2)5s)(3s)(1s(
)4s)(2s(10
)s(F 

Em seguida, obtenha a transformada inversa de Laplace de F(s).
1.3 - Considere a seguinte função:
30s46s21s6s
30s9s6s5s
)s(F 234
234


Utilizando o MATLAB obtenha a expansão em frações parciais de F(s) e em
seguida determine a transformada de Laplace inversa de F(s).
1.4 - Resolva a seguinte equação diferencial:
0xx2x 2nn  
onde b(0)xea)0(x   , com a e b constantes.
1.5 - Obter a FT, G(s) = X2(s)/F(s) para o sistema mecânico em translação mostrado
na Figura (1.1).
Fig. 1.1 - Sistema mecânico em translação
1.6 - Obter a FT )s(T/)s(2 para o sistema em rotação mostrado na Figura (1.2).
UNIDADE I 38
Fig. 1.2 - Sistema mecânico em rotação
1.7 - Escreva, por inspeção, a forma geral da resposta ao degrau para cada uma das
seguintes FT.
a)
400s12s
400)s(G 2 
 b)
900s90s
900)s(G 2 

c)
225s30s
225)s(G
2 
 d)
625s
625)s(G
2

1.8 - Obter a função de transferência, )s(E)s()s(G aL , de um motor e carga
mostrado na Figura (1.3). A curva torque-velocidade é dada por
2008T mm  , quando a tensão de entrada for 100 V.
Fig. 1.3 - Sistema eletromecânico
1.9 - Obter a função de transferência linearizada, )s(I)s(V)s(G  , para o circuito
elétrico mostrado na Figura (1.4). O circuito contém um resistor não linear, cuja
relação tensão-corrente é definida por rvr ei  . A fonte de corrente i(t) é um
gerador de pequeno sinal.
Fig. 1.4 - Circuito elétrico não-linear
UNIDADE I 39
1.10 - Simplifique o diagrama de blocos mostrado na Figura (1.5), e obtenha a FT de
malha fechada C(s)/R(s).
Fig. 1.5 - Diagrama de blocos de um sistema
1.11 - Obtenha a representação no espaço de estados do sistema mostrado na
Figura (1.6).
Fig. 1.6 - Sistema de controle
1.12 - Obtenha os modelos matemáticos dos sistemas mecânicos mostrados nas
Figuras (1.7 a e b).
a)
b)
Fig. 1.7 - Sistemas mecânicos
UNIDADE I 40
1.13 - Considere o sistema descrito por:
u
1
1
x
x
1-3
1-4
x
x
2
1
2
1
















e   



2
1
x
x
01y
Obtenha a função de transferência do sistema.
1.14 - Obtenha a matriz de transferência do sistema definido por:














































2
1
3
2
1
3
2
1
u
u
01
10
00
x
x
x
6-4-2-
100
010
x
x
x



e

















3
2
1
2
1
x
x
x
010
001
y
y
1.15 - Obtenha as FT )s(U)s(X1 , do sistema mecânico indicado na Figura (1.8).
Fig. 1.8 - Sistema mecânico
1.16 - Represente o circuito elétrico da Figura (1.9) no espaço de estados, onde vo(t)
é a saída.
Fig. 1.9 - Circuito RLC
1.17 - Obter a representação no espaço de estados do sistema mecânico mostrado
na Figura (1.10).
Fig. 1.10 - Sistema mecânico
1.18 - Representar o sistema mecânico em translação, mostrado na Figura (1.11),
no espaço de estados em torno do deslocamento de equilíbrio. A mola é não-
linear: a relação entre a força da mola, xs(t), e o seu deslocamento , xs(t) é
UNIDADE I 41
(t)2x(t)f 2ss  . A força aplicada é f(t)10f(t)  , onde f(t) é uma pequena
força em torno de um valor constante de 10N. Admita que a saída seja o
deslocamento da massa x(t).
FIG. 1.11 - Sistema mecânico
1.19 - Obtenha a representação no espaço de estados do sistema mecânico
mostrado na Figura (1.12), onde u1 e u2 são as entradas e y1 e y2 são as saídas.
Fig. 1.12 - Sistema mecânico
1.20 - A Figura (1.13) é o diagrama esquemático de um sistema do controle de leme
do profundor de uma aeronave. O sinal de entrada do sistema é o ângulo ,
de deflexão da alavanca de controle e o sinal de saída é o ângulo de elevação
. Suponha que os ângulos e sejam relativamente pequenos. Mostre que
para cada valor do ângulo da alavanca de controle, existe um valor (de
regime permanente), do ângulo de elevação do leme do profundor .
Fig. 1.13 - Sistema de controle do leme do profundor de uma aeronave
UNIDADE I 42
PROGRAMAS MATLAB
UNIDADE I
1. Operações básicas
'Título' % Exibe título.
-3.96 % Exibe o número real -3,96.
-4+7i % Exibe o número complexo -4+7i.
-5-6j % Exibe o número complexo -5-6i.
(-4+7i)+(-5-6i) % Adiciona os números complexos e
% Exibe a soma.
(-4+7j)*(-5-6j) % Multiplica dois num. complexos e
% Exibe o produto.
M=5 % Atribui o valor 5 a M e exibe o
% resultado.
N=6 % Atribui o valor 6 a N e exibe o
% resultado.
P=M+N % Atribui o valor M+N a P exibe o
% resultado.
pause
2. Operações com polinômios
'(Título)' % Exibe o título.
P1=[1 7 -3 23] % Armazena o polinômio s^3 + 7s^2 -3s + 23
% como P1 e exibe o resultado.
P2=[3 5 7 8]; % Atribui 3s^3 + 5s^2 +7s + 8 a P2 sem
% mostrar na tela.
P3=poly([-2 -5 -6]) % Armazena o polinômio
% (s+2)(s+5)(s+6) como P3 e
% exibe os coeficientes.
P4=[5 7 9 -3 2] % Forma 5s^4+7s^3+9s^2-3s+2 e
% exibe o resultado.
raizes_P4=roots(P4) % Acha as raízes de 5s^4+7s^3+9s^2-3s+2,
% atribui os valores a raizes_P4, e exibe
% o resultado.
P5=conv([1 7 10 9],[1 -3 6 2 1]) % Forma o produto
%(s^3+7s^2+10s+9)(s^4-3s^3+6s^2+2s+1)
%(3s^3+6s^2+2s+1), atribui a P5, e
% mostra o resultado.
Pause
3. Função de transferência
numf=[7 9 12]; % Define o num. de F(s).
denf=conv(poly([0 -7]),[1 10 100]); % Define o den. de F(s).
[K,p,k]=residue(numf,denf)% Acha os resíduos e os atribui a K;
% acha as raízes do denominador e as
% atribui a p; acha a
% constante e a atribui a k.
pause
UNIDADE I 43
numy=32; % Define o numerador.
deny=poly([0 -4 -8]); % Define o denominador.
[r,p,k] = residue(numy,deny)% Calcula os resíduos, os pólos, e
% o quociente.
Pause
4. Método vetorial
'Método Vetorial,Forma Polinomial,' % Exibe título.
numf=150*[1 2 7] % Armazena 150(s^2+2s+7) em numf e
% mostra o resultado.
denf=[1 5 4 0] % Armazena s(s+1)(s+4) em denf e
% mostra o resultado na tela.
'F(s)' % Exibe título.
F=tf(numf,denf) % Forma F(s) e mostra o resultado.
clear % Apaga valores anteriores armazenados
% na área de trabalho.
'Método Vetorial,Forma Fatorada' % Exibe título.
numg=[-2 -4] % Armazena (s+2)(s+4) em numg e
% mostra o resultado.
deng=[-7 -8 -9] % Armazena (s+7)(s+8)(s+9) em deng e
% mostra o resultado.
K=20 % Define K.
'G(s)' % Exibe título.
G=zpk(numg,deng,K) % Forma G(s) e mostra o resultado.
clear % Apaga valores anteriores armazenados
% na área de trabalho.
'Método da Expressão Racional,Forma Polinomial'% Exibe título.
s=tf('s') % Define 's' como um objeto LTI em
% forma polinomial.
F=150*(s^2+2*s+7)/[s*(s^2+5*s+4)] % Forma F(s)como uma função
% de transferência
% LTI em forma polinomial.
G=20*(s+2)*(s+4)/[(s+7)*(s+8)*(s+9)] % Forma G(s) como uma
% função de transferência
% LTI em forma polinomial.
clear % Apaga valores anteriores armazenados
% na área de trabalho.
'Método da Expressão Racional,Forma Fatorada' % Exibe título .
s=zpk('s') % Define 's' como um objeto LTI em
% forma fatorada.
F=150*(s^2+2*s+7)/[s*(s^2+5*s+4)] % Forma F(s)como uma
% função de transferência
% LTI em forma fatorada.G=20*(s+2)*(s+4)/[(s+7)*(s+8)*(s+9)] %Forma G(s)como uma
% função de transferência
% LTI em forma fatorada.
pause
UNIDADE I 44
numftf=[10 40 60] % Forma o numerador de F(s) =
% (10s^2+40s+60)/(s^3+4s^2+5s+7).
denftf=[1 4 5 7] % Forma o denominator de F(s) =
% (10s^2+40s+60)/(s^3+4s^2+5s+7).
'Raízes de F(s)' % Exibe título.
[numfzp,denfzp]=tf2zp(numftf,denftf) % Converte F(s) para a
% forma fatorada.
'Raízes de G(s)' % Exibe título.
numgzp=[-2 -4] % Forma o numerador de
K=10 % G(s) = 10(s+2)(s+4)/[s(s+3)(s+5)].
dengzp=[0 -3 -5] % Forma o denominador de
% G(s) = 10(s+2)(s+4)/[s(s+3)(s+5)].
'Coeficientes de G(s)' % Exibe título.
[numgtf,dengtf]=zp2tf(numgzp',dengzp',K) % Converte G(s)
% para a forma polinomial.
Pause
'Fzpk1(s)' % Exibe título.
Fzpk1=zpk([-2 -4],[0 -3 -5],10) % Forma Fzpk1(s)=
% 10(s+2)(s+4)/[s(s+3)(s+5)].
'Ftf1' % Exibe título.
Ftf1=tf(Fzpk1) % Converte Fzpk1(s) à
% forma de coeficientes .
'Ftf2' % Exibe título.
Ftf2=tf([10 40 60],[1 4 5 7]) % Forma Ftf2(s)=
% (10s^2+40s+60)/(s^3+4s^2+5s+7).
'Fzpk2' % Exibe título.
Fzpk2=zpk(Ftf2) % Converte Ftf2(s) à
% forma fatorada.
Pause
5. Transformada de Laplace inversa
syms s % Constrói objeto simbólico para
% a variável de Laplace 's'.
'Transformada de Laplace inversa' % Exibe título.
F=2/[(s+1)*(s+2)^2]; % Define F(s) no exemplo do Caso 2.
'F(s) do Caso 2' % Exibe título.
pretty(F) % Apresenta F(s) na forma "bonita".
f=ilaplace(F); % Obtém a transformada de Laplace inversa.
'f(t) do Caso 2' % Exibe título.
pretty(f) % Apresenta f(t),do Caso 2, na forma "bonita".
F=3/[s*(s^2+2*s+5)]; % Define F(s) no exemplo do Caso 3.
'F(s) do Caso 3' % Exibe título.
UNIDADE I 45
pretty(F) % Apresenta F(s) do Caso 3 na forma "bonita".
f=ilaplace(F); % Obtém a transformada de Laplace inversa.
'f(t) do Caso 3' % Exibe título.
pretty(f) % Apresenta f(t),do Caso 3, na forma "bonita".
Pause
6. Transformada de Laplace
syms t % Constrói objeto simbólico para
% time variable 't'.
'Transformada de Laplace' % Exibe título.
'f(t) do Caso 2' % Exibe título.
f=2*exp(-t)-2*t*exp(-2*t)-2*exp(-2*t); % Define f(t) do
% exemplo do Caso 2.
pretty(f) % Apresenta f(t) do Caso 2 na forma "bonita".
'F(s) do Caso 2' % Exibe título.
F=laplace(f); % Obtém a transformada de Laplace.
pretty(F) % Forma "bonita" das frações parciais de
% F(s) do Caso 2.
F=simplify(F); % Combina frações parciais.
pretty(F) % Forma "bonita" das frações parciais combinadas.
'f(t) do Caso 3' % Exibe título.
f=3/5-3/5*exp(-t)*[cos(2*t)+(1/2)*sin(2*t)];
% Define f(t) do exemplo do Case 3.
pretty(f) % Apresenta f(t) do Caso 3na forma "bonita" .
'F(s) do Caso 3 - Frações simbólicas'
% Exibe título.
F=laplace(f); % Obtém a transformada de Laplace.
pretty(F) % Forma "bonita" das frações parciais de
% F(s) do Caso 3.
'F(s) do Caso 3 - Representação decimal' % Exibe título.
F=vpa(F,3); % Converte frações numéricas simbólicas em
% representação decimal de F(s) com 3
% casas decimais.
pretty(F) % Forma "bonita" da representação decimal.
F=simplify(F); % Combina frações parciais.
pretty(F) % Forma "bonita" das frações parciais combinadas.
Pause
7. Conv. da representação numerador-denominador para espeço de estado
'Conv. da representação numerador-denominador'% Exibe título.
num=24; % Define o numerador de G(s)=C(s)/R(s).
den=[1 9 26 24]; % Define o denominador de G(s).
[A,B,C,D]=tf2ss(num,den) % Converte G(s)para a
% forma canônica
% do controlador,
UNIDADE I 46
% armazena as matrizes A, B, C, D, e
% mostra o resultado.
% Exibe título.
8. Conv. da representação espaço de estado para numerador-denominador
A=[0 1 0;0 0 1;-9 -8 -7]; % Representa da matriz A.
B=[7;8;9]; % Representa da matriz B.
C=[2 3 4]; % Representa da matriz C.
D=0; % Representa da matriz D.
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1) % Converte uma representação
% no espaço de estados
% em função de transferência
% representada por
% um numerador e um denominador,G(s)=num/den,
% em forma polinomial,
% e mostra num e den.
Tss=ss(A,B,C,D) % Form LTI state-space model.
Ttf=tf(Tss) % Transforma a representação no espaço de
% estados em função de transferência
% na forma polinomial.
'Forma fatorada, Tzpk(s)' % Exibe título.
Tzpk=zpk(Tss) % Transforma a representação no espaço de
% estados em função de transferência
% na forma fatorada.
Pause