Cap 5 POLIGONOS Teoria

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CAPÍTULO 5 – POLÍGONOS 
 
 
Definição 5.1: Sejam A1, A2, . . . , An n pontos coplanares dos quais três 
quaisquer deles não são colineares. A união dos segmentos 
21AA
, 
32AA
, 
43AA
,..., 
nn AA 1
 é denominada linha poligonal. 
 
 A3 D 
 B 
 A2 A4 
 
 A 
 A5 C 
 A1  
  E 
 An-1 
 
 
 An 
 
 Os pontos A1, A2, ..., An são os vértices da poligonal e os segmentos 
correspondentes são os seus lados. 
 
 
Definição 5.2: Um polígono é uma linha poligonal que satisfaz as 
seguintes condições: 
 
 i) O ponto A1 coincide com o ponto An; 
 ii) Dois lados quaisquer da poligonal ou não se interceptam ou se 
interceptam apenas em seus extremos. 
 C 
 C B 
 B 
 Polígono 
 Polígono D A ABCDEF 
 A ABCDE 
 
 E 
 E F 
 
 
 B 
Cap. 5: Polígonos Prof. Sinvaldo Gama 83 
 C D 
 
 
 B 
 D 
 A 
 C 
 A E 
 ABCD não é um polígono 
 Polígono ABCDCE 
 
 
 Um polígono com n vértices, tem n lados e n ângulos. 
 
 Chama-se perímetro de um polígono a soma dos comprimentos dos 
seus lados. 
 
 
Definição 5.3: Um polígono é dito convexo se o mesmo fica contido em 
um mesmo semi-plano com respeito a reta que contém qualquer um de 
seus lados. 
 
 
 
 
 
 Polígono convexo 
 
 Polígono não convexo 
 
 
 
 
 
 Os polígonos convexos recebem denominações especiais de acordo 
com o número de seus lados: 
 
 Um polígono com 3 lados chama-se triângulo. 
 Um polígono com 4 lados chama-se quadrilátero. 
 Um polígono com 5 lados chama-se pentágono. 
 Um polígono com 6 lados chama-se hexágono. 
 Um polígono com 7 lados chama-se heptágono. 
 Um polígono com 8 lados chama-se octógono. 
 Um polígono com 9 lados chama-se eneágono. 
 Um polígono com 10 lados chama-se decágono. 
Cap. 5: Polígonos Prof. Sinvaldo Gama 84 
 Um polígono com 11 lados chama-se undecágono. 
 Um polígono com 12 lados chama-se dodecágono. 
 Um polígono com 15 lados chama-se pentadecágono. 
 Um polígono com 20 lados chama-se icoságono. 
 
 Os demais polígonos não têm nomes especiais. São denominados 
apenas por polígono de 14 lados, de 17 lados, etc. 
 
 
Definição 5.4: Um polígono regular é aquele que tem os lados 
congruentes e os ângulos também congruentes. 
 
 
Definição 5.5: Diagonal de um polígono é o segmento que une dois 
vértices não consecutivos. 
 
 C 
 B 
 
BE
 e 
BD
 são diagonais do polígono ABCDE. 
 
 
 A 
 
 D 
 E 
 
Teorema 5.1: O número de diagonais de um polígono de n lados é dado 
pela fórmula: 
 
 
 
 C 
 B 
 
 D 
 A 
 
 
 E 
 
 Prova: De fato, observe que de cada vértice podemos traçar tantas 
diagonais quantos são os mesmos, menos três, pois não podemos traçar 
diagonal para o próprio vértice nem para os dois que lhes são contíguos, 
isto é, cada vértice dá origem a n - 3 diagonais. Os n vértices fornecerão 
d = 
2
)3( nn
 
Cap. 5: Polígonos Prof. Sinvaldo Gama 85 
Si = 180
o.(n – 2) 
ai = 
n
S i
 = 
n
n )2(1800 
 
portanto, n(n – 3) diagonais. Finalmente, observe que cada diagonal foi 
computada duplamente. Portanto, a expressão 
d = 
2
)3( nn
 
fornece o número de diagonais do polígono. 
 ■ 
 
 
Definição 5.6: Denominamos de ângulo externo de um polígono ao 
suplemento de qualquer um de seus ângulos internos. 
 
 
 m B 
 
 
 A C 
 
 D 
 (
mˆ
 é um ângulo externo do polígono ABCD) 
 
 
 
Teorema 5.2: A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é 
dada pela fórmula 
 
 
 
 
 
 Prova: As diagonais traçadas de um dos vértices de um polígono 
convexo dividem o mesmo em n - 2 triângulos. A soma dos ângulos 
internos desses triângulos fornece a soma dos ângulos internos do 
polígono. Assim, 
 
Si = 180
o(n – 2) 
 ■ 
 
 Se o polígono for regular, todos os ângulos internos são congruentes 
e cada um mede, por conseguinte, 
 
 
 
 
 
Cap. 5: Polígonos Prof. Sinvaldo Gama 86 
Se = 360
o
 
Teorema 5.3: A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é 
igual a 360o. 
 
 e1 Prova: Com efeito, a soma de um 
 i1 ângulo interno com o ângulo externo corres- 
 i2 pondente é igual a 180
o, isto é, 
 e2 
 i1 + e1 = 180
o 
 i3 i2 + e2 = 180
o 
 i3 + e3 = 180
o 
 e3 . . . . . . . . . . . . . . . . 
 in + en = 180
o 
 
 
 Somando membro a membro estas igualdades, obtemos: 
 
(i1 + i2 + i3 + . . . + in ) + (e1 + e2 + e3 + . . . + en) = 180
o.n 
 
Isto é, 
 Se = 180
o n – Si = 180
o n – 180o(n – 2) 
 
Portanto, 
 
 
 
onde Se indica a soma dos ângulos externos. 
 ■ 
 
 Se o polígono for regular, então cada ângulo externo vale 
 
 
 
 
 
 
 
 
e = 
n
0360