Apostila Completa de Cálculo II 2016

Prévia do material em texto

Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Cálculo II 
Carga Horária: 80h 
Conteúdo: Somas de Riemann; Integral Definida e 
Suas Aplicações (Área e Volume); Técnicas de 
Integração; Integrais Impróprias; Funções Reais de 
Várias Variáveis Reais; Derivadas Parciais; Máximos, 
Mínimos e Pontos de Sela de Funções de Mais de Uma 
Variável Independente 
 
Professora: Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro 
 
dmaa@iff.edu.br 
 
 
 
Engenharia Ambiental 
 
2º Período 
 
 
 
 
2016 
 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
2 
A Notação Sigma Para Somatórios 
 
Para tornar clara a discussão sobre integrais definidas, é importante introduzir aqui uma 
notação matemática padrão usada para abreviar grandes somas. Esta é chamada "notação 
sigma" ou somatórios, porque utiliza a letra grega (sigma). Assim, se 
naaa ,...,, 21
são números 
dados, sua soma é denotada por 


n
i
ia
1
. Esse símbolo lê-se "a soma de
ia
, de i = 1 a i = n 
", ou seja, 
n
n
i
i aaaa 

...21
1
 . O número 1 é chamado o limite inferior da soma e n é o 
limite superior. O símbolo i é chamado o índice da soma. Ele é um símbolo arbitrário, pois 
qualquer outra letra pode ser usada. 
As seguintes propriedades para somatórios são úteis e facilmente demonstradas. Considere c 
uma constante qualquer. 
1) 



n
i
cnc
1
 2) 



n
i
i
n
i
i acca
11
 
 
3) 



n
i
i
n
i
i
n
i
ii baba
111
)(
 4) 
0
1
1 aaaa n
n
i
ii 


 
 
 
5) Seja 
nm
, então 




1
11
m
i
i
n
i
i
n
mi
i aaa
 
 
 
As fórmulas seguintes são úteis também. 
 
1) 2) 
 
3)  
4
1
22
1
3 

nn
i
n
i
 4)   
30
1961 23
1
4 

nnnnn
i
n
i
 
 
 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
3 
Exercícios 
1) Calcule os somatórios abaixo: 
 
a) 
 


6
1
23
k
k
 b) 



6
1
)23(
i
i
 c) 
1
5
2 

 i
i
i
 
 
d) 

3
2
2
i
i e)  
k
k
k
14
1
1



 
2) Calcule . 
3) Calcule a soma indicada, usando propriedades e fórmulas: 
 a)  


15
2
2 1
k
k b)  


50
20
24
k
k 
c)  


25
1
12
i
ii d)  

 
n
i
ii
1
1 1010 
e)  


n
i
ii
1
2 24 
4) Determine o valor de k para que cada igualdade seja verdadeira: 
a) ∑ (5 + 𝑖) = 10 𝑘 + ∑ 𝑖50𝑖=5
50
𝑖=1 
b) ∑ 𝑖2. = ∑ 𝑖2 + 𝑘18𝑖=10
20
𝑖=10 
Respostas: 1)a) 75; b) 51; c) 
12
73 ; d) 
4
63 ; e) 
12
7 ; 2) 
2
1 ; 3)a)1225; b) 4402; 
c) 10400; d) 
 11010 n
; e) 
nnnn
3
4
3
3
2 234 
, 4)a) 26, b) 761 
 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
4 
Sugestão: Assistir à vídeo-aula, que pode ser acessada no link: 
http://eaulas.usp.br/portal/video?idItem=2752 
Somas de Riemann 
Em matemática, uma soma de Riemann é um método para aproximação da área total 
inferior à curva em um gráfico, de outro modo conhecida como uma integral. Pode também ser 
usada para definir a operação integração. O método é nomeado em relação ao matemático 
alemão Bernhard Riemann. 
Definição: Considere uma função 
RDf :
, onde D é um subconjunto dos números reais 
R e I = [a, b] um intervalo fechado contido em D. Dividimos este intervalo em n subintervalos 
escolhendo (n – 1) pontos intermediários quaisquer entre a e b. Dizemos que um conjunto finito de 
pontos 
 nxxxx ,...,,, 210
 com os pontos intermediários tais que 
bxxxxa n  ...210
 é uma 
partição 
 ],[),...,,[),,[ 12110 nn xxxxxxouP 
 de I. Devemos notar que a definição de partição 
não implica em intervalos iguais entre o conjunto finito de pontos, ou seja, os pontos não são 
necessariamente equidistantes. A partição 

 contém n subintervalos. O comprimento do maior 
subintervalo da partição 

, chamado a norma da partição, é denotado por 

. 
Definimos a soma de Riemann de f em I com a partição 

 como 



n
i
ii xyfS
1
)(
, onde 
 iii xxy ,1
 e 
1 iii xxx
. 
Uma função é definida ser integrável pela integral de Riemann se as somas de Riemann se 
tornarem mais próximas à medida que a partição se torne mais fina (ou seja, conforme se 
aumente o número de pontos na partição P de I, que é o mesmo que dizer que a amplitude da 
partição é diminuída), ou seja, se as somas convergirem para o mesmo valor. 
Teorema: Seja 
  Rbaf ,:
 uma função contínua em [a, b]. Então f é integrável no intervalo 
[a, b] se o limite dxxfxyfS
b
a
n
i
ii  


)()(limlim
1
00
 existe. 
Exercícios 
1- Use o Método da Soma de Riemann para encontrar a área da região dada. Faça um 
gráfico, mostrando a região. Também determine a área da região, através de fórmulas de 
Geometria, quando possível e por Integral Definida. 
 
a) A região limitada por y = x2, o eixo x e a reta x = 2. 
b) A região limitada por y = 2x, o eixo x e as retas x = 1 e x = 4. 
c) A região limitada por f(x) = x, o eixo x e a reta x = b, com 
Rb
. 
 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
5 
2- Use o Método da Soma de Riemann para encontrar a área da região acima do eixo x e à 
direita da reta x = 1 limitada pelo eixo x, a reta x = 1 e a curva 𝑦 = 4 − 𝑥2. Faça um gráfico, 
mostrando a região. 
Respostas: 1-a) 8/3 u. a., b) 15 u. a., c) 
𝑏2
2
 u. a. 
 
Teorema fundamental do cálculo 
 
 O teorema fundamental do cálculo é base das duas operações centrais do cálculo, 
diferenciação e integração, que são consideradas como inversas uma da outra. Este teorema é de 
importância central no cálculo tanto que recebe o nome teorema fundamental para todo o campo 
de estudo. Uma consequência importante disto, às vezes chamada de segundo teorema 
fundamental do cálculo, permite computar integrais utilizando a antiderivada da função a ser 
integrada. Este teorema estabelece a importante conexão entre o Cálculo Diferencial e o Cálculo 
Integral. O primeiro surgiu a partir do problema de se determinar a reta tangente a uma curva em 
um ponto, enquanto o segundo surgiu a partir do problema de se encontrar a área de uma figura 
plana. Os dois problemas estão intimamente relacionados, percebendo que os processos de 
diferenciação e integração são inversos. O Teorema Fundamental permite encontrar a área de 
uma figura plana de uma forma muito fácil, sem a necessidade de se calcular a soma de áreas de 
um número indefinidamente grande de retângulos, mas sim usando a primitiva da função 
envolvida. 
O teorema afirma que se I for um intervalo de R com mais do que um ponto e se f for uma 
função contínua de I em R, então, para cada ∈ a função F de I em R definida por 
dxxfxF
x
a
 )()(
 é derivável e a sua derivada é precisamente a função f. Por outras palavras, 
F é uma primitiva de f. 
Formalmente: Considere f uma função contínua de valores reais, definida num intervalo 
fechado [a, b]. Se F for a função definida para x em [a, b] por dxxfxF
x
a
 )()(
 então 
)()(' xfxF 
 para todo x em [a, b] e 
)()()( aFbFdxxf
b
a

 . 
Exemplo: Calcular ∫ 𝒙𝟐𝒅𝒙
𝟓
𝟐
 . 
Aqui, 𝑓(𝑥) = 𝑥2 e podemos usar 
3
)(
3x
xF
como a antiderivada. Logo: ∫ 𝒙𝟐𝒅𝒙
𝟓
𝟐
= 𝐹(5) −
𝐹(2) =
125
3
−
8
3
=
117
3
= 39. 
 
 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
6 
INTEGRAL DEFINIDA 
Se uma função f for definida e contínua no intervalo fechado [a,b] e se F for uma 
antiderivada de f em [a,b], então a integral definida de f(x), de a até b, é o número real F(b) – F(a). 
Em símbolos: 
 


n
i
ii
b
a
xyfdxxf
1
0
)(lim)( )()()( aFbFdxxf
b
a

, onde: ∫ 𝑑𝑥 é o sinal 
de integração, a é o limite inferior, b é o limite superior e f(x) é o integrando. 
Exemplos: 1) 

1
0
xdx
 2) 

b
xdx
0
 3) 

2
1
2dxx
 4) 
4
0
cos

xdx 
Respostas: 1) 
1
2
, 2) 
𝑏2
2
, 3) 
7
3
, 4) 
√2
2
 
Note que a integral definida independe do valor de c, onde c

R. Há uma diferença 
importante entre a integral definida e a integral indefinida: a integral definida é representada por 
um número, enquanto que a integral indefinida por uma função (ou uma família de funções). 
Pão Integral 
 
 
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA 
Se f e g são funções contínuas no intervalo [a, b], então: 
1) Se 
 )(af 0)()()(  aFaFdxxf
a
a
 
2) 
 
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
 
3) 
 
b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()(
, onde k é uma constante 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
7 
4) 
 
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
 , onde 𝑎 ≤ 𝑐 ≤ 𝑏 . 
5) 
   
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
 
6) 
0)(],[,0)(  
b
a
dxxfbaxxf
 
7) 
 
b
a
b
a
dxxgdxxfbaxxgxf )()(],[),()(
 
EXERCÍCIOS 
 
Calcule as integrais definidas indicadas: 
1) 

10
1
4dx
 2) 

1
0
2
1
xdx
 3) 


1
1
2dxx
 4) 


0
1
3dxx
 5) 
 
2
0
2 )3( dxx
 
6) 
 
1
0
2 )15
4
1
( dxxx
 7) 


10
0
dxe x
 8) 

2
1
4 dxe x
 9) 
 
5
0
4
4
dx
x
 10) 
 
1
0
2 4
dx
x
x
 
11) 

16
1
dxx
 12) 

8
1
1
dx
x
 13) 
 
2
0
334 )1( dxxx
 14) 


1
0
2 3 dxex x
 15) 



1
1
2 1dxxx
 
16) 

1
0
32 dxx
 17) 


1
0
2
2
dxxe
x 18) 
 

0
)1( dxsenx
 
19) 


3
3
sec4


xtgxdx
 20) 

4
0
3
4
cos

dx
x 21) ∫ (𝑥4 + 1)5 𝑥3𝑑𝑥
1
0
 
22)∫ 
3 𝑥2+2𝑥
𝑥3+ 𝑥2
𝑑𝑥
2
1
 
23) Se ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑏
𝑎
, sendo F a primitiva de f, então: 
I) ∫
𝑥
𝑥2+1
 𝑑𝑥 = 2 𝑙𝑛2
1
0
 
II) ∫
𝑑𝑥
𝑥
= 1
𝑒
1
 
III) ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 − 1
1
0
 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
8 
Marque: a. ( ) se todas as afirmativas são verdadeiras. 
 b. ( ) se todas as afirmativas são falsas. 
 c. ( ) se apenas I é verdadeira. 
 d. ( ) se apenas I e III são verdadeiras. 
 e. ( ) se apenas II e III são verdadeiras. 
24) Calcule as integrais definidas, fazendo uma substituição apropriada: 
 
a) ∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝜋𝑥) cos(𝜋𝑥)𝑑𝑥
1
0
 b)∫
𝑑𝑥
√𝑒𝑥
1
0
 
 
 
RESPOSTAS: 1) 36 2) ¼ 3) 2/3 4) – ¼ 5) 26/3 6) 43/12 7) 1- e-10 
8) ¼ (e8 - e4 ) 9) 4 ln(9/4) 10) ½ ln (5/4) 11) 42 12) ln8 13)
16
1
 (154 -1) 
14) 







e
1
1
3
1
 15) 0 16) 
2ln3
7
 17) 
e
1
1
 18) 
2
 19) 0 , 20) 
8
33 , 22) 
8
33
, 23) e, 
24)a)0, b) 
−2+2√𝑒
√𝑒
 
ÁREA E INTEGRAIS DEFINIDAS 
 Pelo estudo da geometria, sabemos que a área é um número que sugere o tamanho de 
uma região limitada. Para regiões simples, como retângulos, triângulos e círculos, a área pode ser 
determinada por uma fórmula geométrica. 
 A seguir, veremos como aplicar o cálculo para determinar a área de regiões mais gerais. 
 Calcule a área de cada região hachurada: 
 1º) 2º) 
 
 
        








x
y
        








x
y
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
9 
 3º) 4º) 
 
Calcule as integrais definidas e compare-as com as áreas anteriores: 
a) 
4
0
3dx b) c) d)  
2
0
)2( dxx
 e) 
 
0
2
)2( dxx
 
Respostas: a) 12, b) 8, c) 16, d) -2, e) 2 
 
Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b]. A área da região delimitada pelo 
gráfico de f, pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b é representada por: 
 
Área= 

b
a
dxxf )(
 Área = 
b
a
dxxf )( = 
a
b
dxxf )(
= 
b
a
dxxf )( 
 
 
        








x
y
        








x
y

4
0
xdx  dxx 
4
0
2
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
10 
 
Área = 

a
b
dxxf )( 
c
b
dxxf )( 
c
d
dxxf )(
 
 
 
 
 
ÁREA DE UMA REGIÃO DELIMITADA POR DOIS GRÁFICOS 
 
Com poucas modificações, podemos generalizar o uso das integrais definidas do 
cálculo da área sob um gráfico para o cálculo da área de uma região delimitada por dois 
gráficos. Para isto, consideremos a área da região definida pelos gráficos de f, g, x = a e x 
= b. Se os gráficos de f e g estão ambos acima do eixo x, podemos interpretar a área da 
região entre os dois gráficos como a área da região sob o gráfico de g subtraída da área da 
região sob o gráfico de f. 
 
 
 
(Área entre f e g) = (Área da região sob f) - (Área da região sob g) 
 
b
a
dxxgxf )]()([
 = 

b
a
dxxf )(
 - 

b
a
dxxg )(
 
 
 
 
 
 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
11 
EXERCÍCIOS 
 
1) Calcule as áreas das regiões hachuradas: 
a) b) 
c) d) 
 
 
 
e) f) 
 
            












x
y
y = 6 - x/2
  



x
y
y = e^x
  



x
y
y = e^x - 1
x
y
y = 25 - x^2
y = 9
x
y
y = - x^2 + 22
y = x^2 + 4
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
12 
 
 
g) h) 
i) j) 
 
2) Determine o valor da área da região limitada pela (s): 
a) Curva 
xxy 42 
, o eixo x e as retas x = 1 e x = 3. 
b) Curva 
652 23  xxxy
, o eixo dos x e as retas x = -1 e x = 2. 
c) Curvas 
2xy 
 e 
xxy 42 
. 
d) Parábola 
222  xy
 e a reta 
5 xy
. 
 
3) Na figura seguinte, a reta r é tangente ao gráfico da função dada por 𝑦 = 𝑥2, no ponto (2, 
4). Determine o valor da área hachurada da figura. 
 
x
y
y = 10
y = x^3 + 2
x
y
y = 1 + 1/x
(x,y) = (1,2)
(x,y) = (3,4/3)
         










x
y
 
 
DayseMaria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
13 
 
4) Calcule a área da região assinalada limitada pela curva da função definida por 𝑦 =
 
𝑥
𝑥2+1
. 
 
5) Construa um gráfico para ajudar a determinar o valor da seguinte integral 
definida∫ |3𝑥| 𝑑𝑥
2
−2
. 
 
6) Sendo A a área da região do plano Oxy limitada pela parábola 𝑦 = 𝑥2 e pela reta y = 1, 
pode-se afirmar que: 
 
a) 𝐴 <
1
2
 b) 𝐴 =
1
2
 c) 
1
2
 < 𝐴 < 1 d) 𝐴 = 1 e) 1 < 𝐴 < 2 
 
 
Respostas: 1)a) 12 u. a., b) 6 u. a., c) e – 1 u. a., d) e – 2 u. a., e) 128/3 u. a., f) 36 u. a., 
g) 12 u. a., h) ln 3 u. a., i) 1 u. a., j) 32 u. a., 2)a) 22/3 u. a., b) 157/12 u. a., c) 8/3 u. a., d) 18 u. 
a., 3) 2/3 u. a. , 4) ln 2 unidades de área, 5) 12 u. a., 6)e 
 
 

x
y
 


x
y
y = x/(x^2 + 1)
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
14 
TEOREMA DO VALOR MÉDIO PARA INTEGRAIS 
Outra aplicaç ão da Integral Definida é o Teorema do Valor Médio para Integrais. 
Se f é uma função contínua no intervalo fechado [a, b], então existe um número X tal que 
bXa 
 e 
))(()( abXfdxxf
b
a

 . 
O valor f(X) é chamado valor médio de f no intervalo [a,b] e é dado por 
ab
dxxf
XfVM
b
a


 )(
)( . Este teorema tem aplicações importantes na Física, Engenharia, 
Economia e outras áreas do conhecimento. 
Existem duas interpretações para o valor médio: 
(1) Interpretação como taxa: o valor médio de uma função f(x), contínua em um intervalo a ≤ 
x ≤ b é igual à taxa média de variação de qualquer primitiva F(x) de f(x) no mesmo 
intervalo. 
(2) Interpretação geométrica: Considerando 
0)( xf
 para todo valor de x em [a, b], então 

b
a
dxxf )(
 é a medida da área da região limitada pelas curvas y = f(x), o eixo x e as retas x 
= a e x = b, que é igual à área do retângulo de lados (b – a) e f(X). 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Determine o valor de X, que satisfaça o teorema do valor médio para integrais: 
a)

3
1
2dxx
 b) 

2
1
3dxx
 c) 
  
4
1
2 54 dxxx
 d) 
 


2
2
3 1 dxx
 
2) Determine o valor médio da função f definida por 
2)( xxf 
, no intervalo [1, 3]. 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
15 
3) Um pesquisador estima que t horas depois da meia-noite, em um período típico de 24 horas, a 
temperatura em certa cidade é dada por 
 213
3
2
3)(  ttT
, 
240  t
 graus Celsius. Qual é a 
temperatura média na cidade entre 6 da manhã e 4 da tarde? 
4) Encontre o valor médio de 
13)(  xxf
 no intervalo [-1,8] e determine o valor de x que 
corresponde ao valor médio de f. 
5) Um fabricante estima que t meses após lançar um produto no mercado, a receita da empresa com 
a venda desse produto será dada pela função 
254
750
)(
2 

t
t
tS
milhares de reais. Qual será a 
receita média da empresa com a venda do produto nos seis primeiros meses? 
6) Um copo de limonada a uma temperatura de 40° F é deixado numa sala cuja temperatura 
constante é de 70° F. Usando um princípio da Física denominado Lei do Resfriamento de Newton, 
pode-se mostrar que, se a temperatura da limonada atingir os 52° F em uma hora, então sua 
temperatura T como função do tempo decorrido pode ser modelada pela equação 𝑇 = 70 −
30 𝑒−0,5𝑡 em que T está em graus Fahrenheit e t, em horas. Determine a temperatura média 𝑇𝑚 da 
limonada ao longo das primeiras 5 horas. 
7) Suponha que f seja integrável em [-4, 7]. Se o valor médio de f no intervalo [-4, 7] é 
17
4
, determine 
o valor da integral definida ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
7
−4
. 
 
Respostas: 1)a) 𝑥 = 
√39
3
, b) 𝑥 = 
√30
3
2
, c) 𝑥 = −2 + √21, d) x = 0, 2) 13/3, 3) −5,22°𝐶, 4) 6, x = 3, 5) 
250 mil reais, 6) 𝑇𝑚 ≈ 59°𝐹. 
 
VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO 
 
Obtém-se um sólido de revolução fazendo-se uma região plana revolver em torno de uma 
reta. A reta é chamada de eixo de revolução. 
Calcule, em cada item, o volume do sólido gerado pela rotação da região plana em torno do 
eixo x: 
 
1) 2) 
 
        








x
yy = 3
        








x
yy = - 2x + 3
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
16 
3) 4) 
 
Calcule as integrais definidas e compare-as com as medidas dos volumes anteriores: 
1) 
 

4
1
23 dx
 2)   
2
3
0
232 dxx 3) 











2
2
2
24 dxx
 
 
4)  


0
2
22 dxx
 +   


 
3
0
2222 dxx
 
 
Respostas: 1) 45𝜋, 2) 4,5𝜋, 3) 
32𝜋
3
, 4) 
89𝜋
3
 
 
As integrais são iguais aos volumes anteriores, respectivamente. Logo, podemos calcular 
alguns volumes de sólidos por fórmulas da Geometria Espacial ou por Integral Definida. 
 
 
Métodos para Cálculo de Volume de Sólidos de Revolução 
 Método do Disco Circular 
De modo geral, o volume do sólido formado pela revolução, em torno do eixo x, da região 
delimitada pelo gráfico da função 𝑓(𝑥) ≥ 0 e contínua no intervalo fechado [a, b] e pelo eixo x ( 
bxa 
 ), é Volume = 
  dxxf
b
a
2)(
. Este resultado é chamado o Método do Disco. 
 Método do Anel Circular ou da Arruela 
Podemos ampliar o Método do Disco para calcular o volume de um sólido de revolução que 
apresente um buraco. Consideremos uma região delimitada pelos gráficos das funções contínuas f 
e g, no intervalo fechado [a, b] e admitamos que 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) ≥ 0 para todo x em [a, b]. Se a 
região revolve em torno do eixo x, podemos achar o volume do sólido resultante aplicando o 
Método do Disco a f e a g e subtraindo os resultados. 
        








x
yy = (4 - x^2) ^(1/2)
        








x
yy = x + 2
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
17 
Volume = 
  dxxf
b
a
2)(
 - 
  dxxg
b
a
2)(
 
Escrevendo esta expressão como uma única integral, obtemos o Método da Arruela. 
Volume =     dxxg
b
a
xf )2)(2)(( 
. 
 Método do Invólucro Cilíndrico ou Camadas Cilíndricas 
Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a, b], onde
0a
. Admitamos que 
0)( xf
, 
para todo x em [a, b]. Se R for a região limitada pelas curvas y = f(x), o eixo x e as retas x = a e x = 
b, se S for o sólido de revolução obtido por rotação de R em torno do eixo y e se V unidades 
cúbicas for o volume de S, então 
dxxfxV
b
a
)(2  
. 
Este método usa cascas cilíndricas ao invés de discos. 
Se a área plana de revolução estiver limitada pelas funções y= f(x) e y = g(x), no intervalo 
bxa 
, o volume do sólido de revolução em torno de y será igual a 
 dxxgxfxV
b
a
)()(2  
. 
EXERCÍCIOS 
 
1) Determine o volume do sólido formado pela revolução, em torno do eixo x, da região 
delimitada pelo gráfico de f(x) = - x2 + x e pelo eixo x. 
 
2) Calcule o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo x, da região limitada 
pelos gráficos de f(x) = 
225 x
 e g(x) = 3 . 
 
 
 
       








x
yy = 3
y = (25-xx)^(1/2)
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
18 
3) De acordo com o regulamentouma bola de rugby (futebol americano) pode ter como 
modelo um sólido formado pela revolução, em torno do eixo x, do gráfico de f(x) = - 0,0944 
x2 + 3,4, com 
5,55,5  x
. Os valores de x e y são dados em polegadas. Determine o 
volume da bola. 
 
 
4) Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região hachurada na figura 
quando esta gira em torno do eixo x. 
 
 
5) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da área plana delimitada por 𝑦 = 2𝑥2, y = 0, x = 0 
e x = 5 ao redor do eixo y. 
6) Área e Volume 
a) Determine o valor da área da região limitada pela curva 𝑦 = 
𝑥2−4
𝑥2
, o eixo x e a reta x = 4. 
Represente graficamente a região. 
b) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da mesma região anterior 
delimitada pela curva 𝑦 = 
𝑥2−4
𝑥2
 em torno do eixo x, com 𝑥 ∈ [0,4]. Visualize o sólido. 
 
Respostas: 1) 
𝜋
30
u. c., 2) 
256𝜋
3
 u. c., 3) aproximadamente 74𝜋 u. c., 4) 36𝜋u. c., 5) 625𝜋 𝑢. 𝑐. 
x
y
        








x
y
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
19 
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS REFERENTE À 
INTEGRAL DEFINIDA E SUAS APLICAÇÕES 
 
1- Trace uma figura mostrando a região limitada pelas curvas 
012  yx
, 
01 yx
 e calcule a 
área desta região, utilizando integral definida. 
 
2- Represente graficamente a região limitada pelas curvas e 
xxy 42 2 
. 
Calculando integral definida mediante o teorema fundamental do cálculo, determine a área desta 
região. 
 
3- Encontre mediante integração a área com vértices em (-1, -1), (2, 2), (6, 2) e (7, -1). 
 
4- Encontre o volume do sólido gerado pela revolução em torno do eixo dos y da região limitada pela 
curva 
3xy 
, pelo eixo dos x e pela reta x = 2. 
 
5- Encontre o volume do sólido gerado pela revolução em torno do eixo dos x da região limitada pelo 
gráfico de curva 
3 xy
 e pelas retas x = 1, x = 4 e y = 0. 
 
6- A região limitada por um pentágono com vértices em (-4, 4), (-2, 0), (0, 8), (2, 0) e (4, 4) é rodada 
em torno do eixo dos x. Encontre o volume do sólido gerado. 
7- Encontre a área da região limitada pelo gráfico de xy 3 e pelas retas x = 1 e y = 1. 
8- Trace um esboço dos gráficos de xy 2 e xy  2 sobre o mesmo conjunto de eixos. 
Encontre a área da região limitada por estes dois gráficos e a reta x = 2. 
 
9- Determine o valor médio da função definida por 
28)( xxxf 
 no intervalo [a, b] = [0, 4]. 
Determine também o valor de x em que o valor médio de f ocorre e trace um esboço. 
 
10- Determine a área da região limitada pela curva 
1 xy
, as retas, y = 0, x = 0 e x = 8. 
Esboce uma figura, mostrando a região. 
 
11- Considere a região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de 
xy 
 , para 
20  x
, sendo 
girada primeiro ao redor do eixo x e depois ao redor do eixo y. Calcule o volume dos dois sólidos 
gerados. 
 
xxxy 23 23 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
20 
 
12- Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre os gráficos de
3xy 
 e y = x, para 
10  x
, ao redor do eixo y. 
 
13- Calcule o volume de um sólido de revolução obtido pela rotação ao redor do eixo x da região 
compreendida pelo gráfico de 
xy 
e 
x
y
1

, no intervalo 






3,
2
1
. Calcule também o volume do 
sólido obtido ao girar a mesma região ao redor do eixo y. 
 
14- Calcule as seguintes integrais definidas: 
 
 a)
 
1
0
23 )14( dxxx
 b) 
 
1
0
2 1x
dxx 
 
c) 


2
1
12 dxxe x d)  

0
)1cos32( dxxxsen
 
 
15- Faça um esboço da região limitada pelas curvas 
xy 
 e 3xy  . Calcule o valor da área 
dessa região. 
16- Calcule a área hachurada: 
 
  



x
y
x
y
z
        
x
y
y = 5x-x^2
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
21 
17- Determine o volume do sólido gerado pela região delimitada pela curva
x
y
1

, pelas retas 
4
1
y
, 
4y
 e pelo eixo y, em torno do eixo y. Faça um esboço da região. 
 
18- Mostre, através do cálculo de integral definida, que o volume de uma esfera de raio r é igual a 
4
3
𝜋𝑟3. Observe o gráfico da função 𝑓(𝑥) = √𝑟2 − 𝑥2. 
 
 
19- Determine o volume do tronco de cone gerado pela rotação do segmento de reta AB, em torno do 
eixo dos x, sendo A = (1, 1) e B = (2, 3). 
 
20- O volume do sólido resultante da rotação da região delimitada por 𝑦 = 𝑥2 e 𝑦 = √𝑥 ao redor do 
eixo x pode ser expresso como uma fração 
𝑎
𝑏
 𝜋, onde a e b são inteiros positivos primos entre si. 
Qual é o par ordenado (a, b)? 
 
21- Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva 𝑦 = |𝑥 − 2|, o 
eixo x e as retas x = 1 e x = 4 em torno do eixo x. 
 
RESPOSTAS:1) 1/6 u. a.; 2) 35/12 u. a.; 3) 18 u. a.; 4) 
64𝜋
5
 𝑢. 𝑐.; 5) 3𝜋 𝑢. 𝑐.; 6) 
832𝜋
3
 𝑢. 𝑐.; 7) 
2
𝑙𝑛3
− 1 unidades quadradas; 8) aproximadamente 3,25 u. a.; 9) 32/3 ; x é aproximadamente igual a 
x
y
   



x
y
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
22 
1,69 ; 10) 52/3 u. q.; 11) 
2𝜋 ~ 6,28319 𝑢. 𝑐. ; 
16√2𝜋
5
 ~ 14, 2172 𝑢. 𝑐.; 12) 
4𝜋
15
 𝑢. 𝑐.; 13) 
95𝜋
24
 𝑢. 𝑣. ; 2𝜋 (−
23
10
+
1
10√2
+
18√3
5
) 𝑢. 𝑐.; 
14)a)-1/12; b) 
ln 2
2
; c) 
−1+𝑒3
2𝑒3
; d) 4 + 𝜋; 15) 5/12 u. a.; 16) 9/2 u. a.; 17) 
15𝜋
4
 𝑢. 𝑣. ; 19) 
13𝜋
3
 𝑢. 𝑣.; 20) (3, 
10); 21) 3𝜋 𝑢. 𝑐. 
Para descontrair... 
 
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
 Integração por Partes 
A principal dificuldade que enfrentamos ao aplicar as técnicas de integração é encontrar, para 
cada situação, a técnica mais indicada. A experiência levará ao reconhecimento de certos indícios 
que facilitam a escolha. A prática fará o resto. 
Um método de integração que é muito útil é a integração por partes. Este depende da fórmula 
para o diferencial de um produto. 
Dedução da Fórmula para a Integração por Partes: 
Se f e g são funções diferenciáveis, então, pela regra de diferenciação do 
produto, 
)()(')(')()]()([ xgxfxgxfxgxf
dx
d

. Integrando ambos os lados, obtemos 
dxxgxfdxxgxfdxxgxf
dx
d
  )()(')(')()]()([
 ou 
dxxgxfdxxgxfCxgxf   )()(')(')()()(
 ou 
Cdxxfxgxgxfdxxgxf   )(')()()()(')(
. 
                   




















x
y
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
23 
Uma vez que a integral à direita irá produzir uma outra constante de integração, não há 
necessidade de manter o C nesta última equação; assim sendo, obtemos
dxxfxgxgxfdxxgxf   )(')()()()(')(
, a qual é chamada de fórmula de integração 
por partes. Usando esta fórmula, podemos tornar um problema de integração mais simples. Na 
prática, é usual reescrever u=f(x), du=f '(x)dx, v = g(x) e dv = g’(x)dx. Isso dá lugar à seguinte 
fórmula escrita: d(uv) = u dv + v du ou u dv = d(uv) – v du. 
Integrando em ambos os membros, temos
  duvuvdvu
. Esta é a fórmula para integração 
por partes, que expressa a integral 
 dvu
 em termos de outra integral, 
 duv
. Para uma escolha 
apropriada de u e dv pode ser mais fácil integrar a segundaintegral do que a primeira. Este 
método será mostrado no exemplo seguinte. 
Exemplo: Compare as duas integrais: 
 dxxxI
2
1 cos
 e 
 dxxxI cos2
. Em
1I
, utilizando a 
substituição de variáveis, resolvemos facilmente. Já em 
2I
, não há uma substituição tão evidente. 
Isto é, precisamos de outra estratégia para atacar a questão. Uma segunda observação nos leva a 
perceber que a função f(x) = x cosx é uma parcela da derivada da função G(x) = x sen x: 
(x sen x)’ = sen x + x cosx. 
Como a primeira parcela é fácil de ser integrada, podemos fazer: 
    dxxxdxsenxdxsenxx cos'
. 
Note que essa é uma igualdade de famílias de primitivas. Isto é, faremos ajustes das 
constantes sempre que for conveniente. Assim, integrando
  dxsenxx '
 e
 dxsenx
, obtemos
 dxxxxCxsenx coscos
. Finalmente, podemos escrever
Cxxsenxdxxx  coscos
. 
Há situações nas quais a técnica precisa ser usada vezes seguidas. 
EXERCÍCIOS 
1) Calcule: 
 
a) dxxx cos 
b) dxxe x 
c) dxxx ln 
d) dxxsenx 
e) dxex x 2 
f) dxxsenex 
g) dxx ln 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
24 
h) dxxex cos 
2) Calcule as integrais definidas: 
a)
dxxxsen
3
0
cos3

 
b) 
dxxe x
2
0
2
 
c) 
dxxsene x
4
0
3 4

 
3) Esboce o gráfico da região limitada pela curva y = ln x, o eixo x e a reta 
𝑥 = 𝑒2 e calcule a área correspondente. 
 
4) Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região do exercício 12 em torno do 
eixo y. 
 
5) Resolva as integrais trigonométricas, através de substituição de variáveis: 
 
a) ∫(sin 𝑥)2𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 b) ∫ csc 𝑥 cot 𝑥 𝑑𝑥 
 
6) Em certo experimento, o número de bactérias presentes em uma cultura após t minutos 
foi 𝑄(𝑡) = 2000 𝑒0,05𝑡 . Qual foi o número médio de bactérias presentes na 
cultura durante os primeiros 5 minutos do experimento? 
7) Fórmula de Integração por partes ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 
Para a escolha de u e dv, a sugestão divulgada na revista American Mathematical Monthly 
funciona bem. No esquema das funções elementares, u deve caracterizar-se pela letra 
mais próxima de L e dv pela mais próxima de E. 
 
L I A/P T E 
Logarítmicas Inversas de 
Trigonométricas 
Algébricas/ 
Polinomiais 
Trigonométricas Exponenciais 
 
Seguindo a sugestão anterior, integre por partes: 
 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
25 
a) ∫(3 𝑥 + 7) cos 𝑥 𝑑𝑥 b) ∫(2𝑥 − 3) 𝑒1−3𝑥 𝑑𝑥 
 
c) ∫(2𝑥 − 1) 𝑒𝑥 𝑑𝑥 d) ∫ 𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥
2
0
 e) ∫ 𝑥 𝑒−𝑥𝑑𝑥
1
0
 
8) Resolva a integral definida ∫ 𝑥3 ln 𝑥 𝑑𝑥
𝑒
1
 e marque a resposta correta. 
 
a) 
3𝑒4
16
+
1
16
 b) 
5e4
16
− 
1
16
 
 
c) 
2e4
9
+ 
1
9
 d) 
2e3
9
+ 
1
9
 
9) Utilizando a fórmula de integração por partes ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢, calculamos: 
I) ∫ 𝑥 . 2−𝑥 𝑑𝑥 = 
−𝑥𝑙𝑛 2−1
(ln 2) 2 . 2𝑥
+ 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅 
II) ∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 = 
𝑥2 ln 𝑥−𝑥2
2
+ 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅 
III) ∫ 𝑥 𝑒3𝑥 𝑑𝑥 = 
𝑥𝑒3𝑥
3
− 
𝑒3𝑥
9
 + 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅 
Marque: a. ( ) se todas as afirmativas são verdadeiras. 
 b. ( ) se todas as afirmativas são falsas. 
 c. ( ) se apenas I é verdadeira. 
 d. ( ) se apenas I e III são verdadeiras. 
 e. ( ) se apenas II e III são verdadeiras. 
 
10) Calcule a integral definida ∫ 𝑥3𝑒−𝑥
2𝑑𝑥
1
0
, através da integração por partes. 
CANTINHO DA SABEDORIA: 1) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 2) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = −𝒄𝒐𝒔 𝒙 
3) 𝒄𝒔𝒄 𝒙 =
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝒙
 4) 𝒄𝒐𝒕 𝒙 =
𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒔𝒊𝒏 𝒙
 5)𝑽𝑴 =
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒃
𝒂
𝒃−𝒂
 
RESPOSTAS: 1)a) 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅 , b)𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅, c) 
𝑥2
2
 𝑙𝑛 𝑥 −
𝑥2
4
+ 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅 , d) 
−𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅 , e) 𝑒𝑥( 𝑥2 − 2𝑥 + 2) + 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅 , f) 
𝑒𝑥
2
( 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥) + 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅, g) 
𝑥 (𝑙𝑛 𝑥 − 1) + 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅, h) 
𝑒𝑥
2
( 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥) + 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅, 2)a) 
9
16
, b) 
3𝑒4+1
4
 , c) 
4
25
(𝑒
3𝜋
4 + 1), 3)𝑒2 + 1 
unidades quadradas; 4)
(3𝑒4+1)𝜋
2
 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑎𝑠; 5)a) 
𝑠𝑖𝑛3𝑥
3
+ 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅; b) − csc 𝑥 + 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅 ; 6) 
aproximadamente 2272 bactérias; 7) a) (3𝑥 + 7)𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅, b) (−
2
3
𝑥 +
7
9
) 𝑒1−3𝑥 +
𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅, c) (2𝑥 − 3)𝑒𝑥 + 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅, d) 
3𝑒4+1
4
, e) 1 −
2
𝑒
, 8)a; 9) d 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
26 
 
 Integrais de Funções Trigonométricas 
 Duas funções trigonométricas já nos são bem familiares. São as definidas por: y = sen x e y 
= cos x. As funções tangente, cotangente, secante e cossecante são definidas em termos de seno 
e cosseno. 
 Razões e Identidades Trigonométricas Importantes: 
x
xsen
xtg
cos

, 
xsen
x
xg
cos
cot 
, 
x
x
cos
1
sec 
, 
xsen
xec
1
cos 
, 
1cos 22  xsenx
 
Dividindo ambos os membros da identidade 
1cos 22  xsenx
por cos2x, obtemos:
xxtg 22 sec1 
. E por sen2x, obtemos outra identidade: 
xecxg 22 cos1cot 
. Outras fórmulas importantes: 
1cos  xecxsen
, 
1seccos  xx
, 
1cot  xgxtg
, 
btgatg
btgatg
batg



1
)(
, 
btgatg
btgatg
batg



1
)(
, 
btgbtg  )(
 
 As integrais das funções seno e cosseno são: 
  Cxdxxsen cos
 e 
  Cxsendxxcos
. As demais fórmulas das integrais trigonométricas podem ser deduzidas 
com base nas anteriores. 
EXERCÍCIOS 
Calcule: 
 
 
1) 
dx
x
x)cos(ln
 2)  
dx
x
xsen
cos1 3) 
 

0
)1( dxxsen
 
 
4) 
 dxx
3cos
 5) 
 dxxsen
5
 6) 
  dxxxsen )cos23(
 
 
7) 
  dxexsen
xcos 8) 
  dxxsenxsen )(cos
 9)
 dxxsen
3
 
 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
27 
10) 
2
0
2

dxxsen 11) 
2
0
3cos

dxx 12) 
 dxxtg
 
 
 
13) 
 dxxgcot
 14) 
 dxxsec
 15) 
 dxxeccos
 
16) Num circuito elétrico, suponha que E volts é a força eletromotriz em t seg e E = 2 sen 3t. 
Encontre o valor médio de E de t = 0 a 
3

t
. 
17) As fórmulas de integral indefinida a seguir são decorrentes das fórmulas correspondentes de 
derivação. 
 CCxtgdxx ,sec
2
 
 CCxdxxtgx ,secsec
 
 CCxgdxxec ,cotcos
2
 
 CCxecdxxgxec ,coscotcos
 
Verifique, usando a derivação. 
18) Calcule as integrais definidas: 
 
a) ∫
𝑑𝑥
𝑥(ln 𝑥)
𝑒2
𝑒
 ∫ 𝑡𝑔 4𝑥 𝑑𝑥
𝜋
12
𝜋
16
 
 
19) Considerando a função tangente, 
a) Demonstre a fórmula ∫ 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = ln|sec 𝑥| + 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅. 
b) Calcule a integral indefinida ∫ 𝑡𝑔 2𝑥 𝑑𝑥. 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
28 
c) Comprove que a área limitada pela curva y = tg x e pelas retas x = 0, 𝑥 =
𝜋
4
 e o eixo x é igual 
a 
ln 2
2
 unidades quadradas. 
 
 
d) Calcule o volume do sólido de revolução da mesma região anterior, em torno do eixo x. 
 
Fórmulas de Integrais de Funções Trigonométricas 
1)
 CCxdxxsen ,cos
 
2)
 CCxsendxx ,cos
 
3)
 CCxdxxtg ,secln
 
4)
 CCxsendxxg ,lncot
 



x
y
y = tan(x)
x
zDayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
29 
5)
 CCxtgxdxx ,seclnsec
 
6)
 CCxgxecdxxec ,cotcoslncos
 
7) 
 CCxtgdxx ,sec
2
 
8) ∫ csc2 𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝐶, 𝐶 ∈ 𝑅 
9) 
 CCxdxxtgx ,secsec
 
10) 
 CCxecdxxgxec ,coscotcos
 
 
RESPOSTAS: 1) sen (ln x) + c, 𝑐 ∈ 𝑅, 2) ln|1 − cos 𝑥| + 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅, 3) 𝜋 + 2, 4) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 −
𝑠𝑒𝑛3 𝑥
3
+
𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅, 5) − cos 𝑥 +
2 cos3 𝑥
3
− 
cos5 𝑥
5
+ 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅, 6) −3 cos x + 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅, 7) −𝑒cos 𝑥 +
𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅, 8) cos (𝑐𝑜𝑠𝑥) + 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅, 9) − cos 𝑥 +
𝑐𝑜𝑠3 𝑥
3
+ 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅, 10) 1, 11) 2/3, 12) 𝑙𝑛|sec 𝑥| + 𝑐, 𝑐 ∈
𝑅, 13) ln|𝑠𝑒𝑛 𝑥| + 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅, 14) 𝑙𝑛|sec 𝑥 + 𝑡𝑔 𝑥| + 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅, 15) 𝑙𝑛|𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥| + 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅, 16) 
4
𝜋
 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠, 18)a) ln 2, b) 
𝑙𝑛2
8
, 19)b) 
ln|sec 2𝑥|
2
+ 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅 
 Integração por Substituição Trigonométrica 
 Em muitas integrais, o integrando contém uma expressão da forma 22 ua  , 
22 ua  ou 22 au  , onde 0a . O artifício usado para o cálculo destas integrais é 
chamado de Substituição Trigonométrica, que resulta numa integral envolvendo funções 
trigonométricas. Para cada um dos três casos, existe uma substituição trigonométrica conveniente. 
1º Caso: O integrando envolve uma expressão da forma 22 ua  . 
 Para este caso, devemos usar sempre a substituição 
senau 
. Assim, 
 dadu cos e considerando 
22




, temos: 
 cos1 222222 asenasenaaua  . 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
30 
O triângulo retângulo nos dá uma interpretação 
geométrica deste artifício. 
2º Caso: O integrando envolve uma expressão da forma 22 ua  . 
 Para este caso, devemos usar sempre a substituição 
tgau 
. Assim, 
 dadu 2sec e considerando 
22




, temos: 
 sec1 222222 atgatgaaua  . 
O triângulo retângulo nos dá uma interpretação 
geométrica deste artifício. 
 
3º Caso: O integrando envolve uma expressão da forma 22 au  . 
 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
31 
Para este caso, devemos usar sempre a substituição 
secau 
. Assim, 
 datgdu sec e considerando 
2
0

 
ou 
2
3
 
, temos: 
 tgaaaaau  1secsec 222222 . 
 
O triângulo retângulo nos dá uma interpretação 
geométrica deste artifício. 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Aplicando uma conveniente substituição trigonométrica, calcule as seguintes integrais indefinidas: 
a)


dx
x
x
2
29 b)   dxx 5
2
 c)

923 xx
dx 
 
d)

 252x
dx e)   dxxa
22
 f)

 22 4 xx
dx 
 
g)

 29 x
dx h)

 225 xx
dx i) 

 22 ax
dx 
 
j) 

 29 x
dx k) 
 92x
dx l) 

 25
2
4tt
dt 
 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
32 
m) 

 24 xx
dx n) 
   2
3
2
2
4
sec
xtg
xdx o) 

 22 xa
dx 
 
p) 

 22 16 xx
dx q) ∫
2
𝑥2−1
 𝑑𝑥 
 
g)

 42xx
dx j) 
   22
2
4x
dxx k) 
   2
3
2 94x
dx 
o) 

 4ln
ln
ww
wdw 
 
2) Calcule as integrais definidas: 
 
a) ∫
𝑑𝑥
(6−𝑥2)
3
2
2
1
 
 
b) ∫
𝑥3𝑑𝑥
√16−𝑥2
2
0
 
 
 
c) ∫
𝑑𝑥
𝑥2√𝑥2+9
3√3
√3
 
 
3) Calcule o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas y = 
1
√4+x2
, x = -2, 
x = 2 e y = 0, gira em torno do eixo x. 
4) Calcule 

 22 16 xx
dx , pela técnica de integração por substituição trigonométrica. 
 
Cantinho da Sabedoria: 
∫ csc2 𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝐶, 𝐶 ∈ 𝑅 
Expressão no Integrando Substituição Trigonométrica 
√𝑎2 − 𝑥2 𝑥 = 𝑎 sin 𝜃 
√𝑎2 + 𝑥2 𝑥 = 𝑎 tan 𝜃 
√𝑥2 − 𝑎2 𝑥 = 𝑎 sec 𝜃 
 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
33 
RESPOSTAS: 1)a) − 
√9−𝑥2
𝑥
− 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
3
) + 𝑐, 𝑐𝑜𝑚 𝑐 ∈ 𝑅, b) 
√𝑥2+5 ∙ 𝑥
2
+
5
2
 𝑙𝑛(√𝑥2 + 5 + 𝑥) +
𝑐, 𝑐𝑜𝑚 𝑐 ∈ 𝑅, c) {
1
54
𝑎𝑟𝑐 sec
𝑥
3
 + 𝑐, 𝑐𝑜𝑚 𝑐 ∈ 𝑅 2) a) 
2√5−√2
6√10
, b) 
128
3
− 24√3, b) 
6−2√3
27
; 3) 
𝜋2
4
 𝑢. 𝑣. 
 
 
 
 Integração de Funções Racionais Por Frações Parciais 
 
Já vimos vários exemplos de integrais cujo integrando consistia em uma função racional, ou 
seja, uma função dada por 𝑓(𝑥) =
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
, onde p(x) e q(x) são polinômios reais, com q(x)≠0. Quando 
não podemos integrar esta função f, por nenhuma das técnicas estudadas anteriormente, a 
solução pode ser obtida através de um resultado algébrico conhecido, que é a decomposição da 
fração que define a função integrando em frações parciais. 
O método consiste em escrever a fração que aparece no integrando como uma soma de 
outras frações mais simples, cuja integração é necessariamente mais simples. A decomposição é 
feita a partir do polinômio q(x) (denominador) e associa a cada fator linear ou quadrático irredutível 
(que não possua raízes) que este possuir uma ou mais frações parciais, conforme a multiplicidade 
do referido fator. 
Para a decomposição em frações parciais: 
 A fração a ser decomposta deve ser própria, ou seja, o grau de p(x) deve ser menor 
do que o de q(x). Caso isto não ocorra, devemos antes dividir p(x) por q(x). 
 O coeficiente do termo de maior grau de p(x) deve ser igual a 1. Se o mesmo não 
ocorrer, basta dividir ambos os termos da fração por este coeficiente. 
A determinação das frações parciais dependerá da fatoração do denominador. Quatro 
casos são considerados: 
 
1. Os fatores de q(x) são lineares e distintos. 
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
=
𝐴1
𝑎1𝑥+𝑏1
+ 
𝐴2
𝑎2𝑥+𝑏2
+ ⋯ + 
𝐴𝑛
𝑎𝑛𝑥+𝑏𝑛
 , onde 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 são constantes a serem 
determinadas. 
 
2. Os fatores de q(x) são lineares, porém um ou mais deles se repetem. 
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
=
𝐴1
𝑎1𝑥+𝑏1
+ 
𝐵1
𝑎2𝑥+𝑏2
+
𝐵2
(𝑎2𝑥+𝑏2)2
+ ⋯ +
𝐵𝑝
(𝑎2𝑥+𝑏2)𝑝
+ 
𝐶1
𝑎3𝑥+𝑏3
 , onde 
𝐴1, 𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵𝑝, 𝐶1 são constantes a serem determinadas. 
 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
34 
3. O denominador q(x) contém fatores lineares e quadráticos irredutíveis, porém todos 
os fatores quadráticos são distintos. 
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
=
𝐴1
𝑚1𝑥+𝑛1
+ 
𝐴2
𝑚2𝑥+𝑛2
+ ⋯ +
𝐴𝑟
𝑚𝑟𝑥+𝑛𝑟
+
𝐵1𝑥+𝐶1
𝑎1𝑥2+𝑏1𝑥+𝑐1
+ +
𝐵2𝑥+𝐶2
𝑎2𝑥2+𝑏2𝑥+𝑐2
+ ⋯ +
 
𝐵𝑠𝑥+𝐶𝑠
𝑎𝑠𝑥2+𝑏𝑠𝑥+𝑐𝑠
 e as constantes A B e C são determinadas. 
 
4. O denominador q(x) contém fatores lineares e quadráticos irredutíveis, e um ou mais 
fatores quadráticos se repetem. 
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
=
𝐴1
𝑚1𝑥+𝑛1
+ 
𝐴2
𝑚2𝑥+𝑛2
+ ⋯ +
𝐴𝑟
𝑚𝑟𝑥+𝑛𝑟
+
𝐵1𝑥+𝐶1
𝑎1𝑥2+𝑏1𝑥+𝑐1
+ ⋯ +
𝐵𝑖1𝑥+𝐶𝑖1
𝑎𝑖𝑥2+𝑏𝑖𝑥+𝑐𝑖
+
𝐵𝑖2𝑥+𝐶𝑖2
(𝑎𝑖𝑥2+𝑏𝑖𝑥+𝑐𝑖)2
+ ⋯ +
𝐵𝑖𝑝𝑥+𝐶𝑖𝑝
(𝑎𝑖𝑥2+𝑏𝑖𝑥+𝑐𝑖)𝑝
+ ⋯ +
𝐵𝑠𝑥+𝐶𝑠
𝑎𝑠𝑥2+𝑏𝑠𝑥+𝑐𝑠
 
 
Exercícios 
 
Calcule as integrais: 
 
1) ∫
𝑥−1
𝑥3−𝑥2−2𝑥
 𝑑𝑥 
 
2) ∫
𝑥3+3𝑥−1
𝑥4−4𝑥2
𝑑𝑥 
 
3) ∫
𝑥2−2𝑥−3
(𝑥−1)(𝑥2+2𝑥+2)
𝑑𝑥 
 
4) ∫
𝑥−2
𝑥(𝑥2−4𝑥+5)2
𝑑𝑥 
 
5) ∫
𝑥2+𝑥−5
𝑥2−1
 𝑑𝑥 
 
6) ∫
𝑥−5
−2𝑥+2
 𝑑𝑥 
 
7) ∫
3𝑥+1
𝑥2+𝑥
 𝑑𝑥 
 
8) ∫
2𝑥3+4𝑥2−5
𝑥+3
 𝑑𝑥 
 
9) ∫
𝑥−1
2𝑥+4𝑑𝑥 
 
10) ∫
3𝑥3−5𝑥2+10 𝑥−3
3𝑥+1
 𝑑𝑥 
 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
35 
11) Expanda 
4𝑥+12
𝑥2−4
, usando frações parciais. 
 
12) Se 𝑓(𝑥) = 
𝑥
𝑥2−2𝑥−3 
, calcule a área da região delimitada pelo gráfico de f, pelo eixo x e pela reta x = 
2. 
 
. 
RESPOSTAS: 5) 𝑥 +
5
2
𝑙𝑛|𝑥 + 1| −
3
2
𝑙𝑛|𝑥 − 1| + 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅, 6) −
1
2
𝑥 + 2𝑙𝑛|𝑥 − 1| + 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅, 7) 𝑙𝑛|𝑥| +
2𝑙𝑛|𝑥 + 1| + 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅, 8) 
2𝑥3
3
− 𝑥2 + 6𝑥 − 23𝑙𝑛|𝑥 + 3| + 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅, 9) 
1
2
𝑥 −
3
2
𝑙𝑛|𝑥 + 2| + 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅, 10) 
𝑥3
3
− 𝑥2 + 4𝑥 −
7
3
𝑙𝑛|3𝑥 + 1| + 𝑐, 𝑐 ∈ 𝑅, 11) −
1
𝑥+2
+
5
𝑥−2
 
 
 

x
y
y = x/(xx-2x-3)
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
36 
 
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 
 
 Na definição da Integral Definida de uma função f(x) num intervalo [a, b], esta função 
sempre é suposta contínua neste intervalo. Estenderemos este conceito de integral em 
intervalos infinitos, nos quais estas integrais receberão a nomenclatura de Integrais 
Impróprias. 
 Determinar a área da região limitada pela curva 𝑦 = 𝑒−𝑥, pelo eixo x, pelo eixo y e 
pela reta x = b. 
 
 
𝐴 = ∫ 𝑒−𝑥𝑑𝑥 = −𝑒−𝑥]0
𝑏 = 1 − 𝑒−𝑏
𝑏
0
 
 Se fizermos b crescer ilimitadamente, então 
 
lim𝑏→ +∞ ∫ 𝑒
−𝑥𝑑𝑥 = lim𝑏→ +∞ 1 − 𝑒
−𝑏 = 1
𝑏
0
. 
Concluímos que independentemente do valor que tomamos para b, a área da 
região mostrada será sempre menor do que 1 unidade quadrada. 
 
Definições: 
1) Se f é contínua ∀ 𝑥 ≥ 𝑎, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim𝑏→ +∞ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
+∞
𝑎
. 
2) Se f é contínua ∀ 𝑥 ≤ 𝑏, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim𝑎→−∞ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
−∞
. 
3) Se f é contínua ∀ 𝑥, 
 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim𝑎→ −∞ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
𝑎
+ lim𝑏→ +∞ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
0
+∞
−∞
. 
 Se os limites existirem, dizemos que a integral imprópria é convergente; se não 
existirem, a integral é divergente. 
 
    




x
y
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
37 
EXERCÍCIOS 
 
1- Calcule as integrais impróprias se convergirem: 
a) 



0
21 x
dx b)



0
dxe x c) 


1
dxe x 
 
d) 


0
2x
dx e) 
  
2
2
4 x
dx f) 
  
2
2
4
8
x
dx 
g) 



0
dxxe x h) 

1
x
dx i) 



1
x
dx
 
 
j) 
xdx

 k) 
 

1
3
1 x
dx l) 


1
2x
dx 
m) 



0
2 dxxe x 
 
 
2- Calcule ∫
𝑑𝑥
(4−𝑥)2
2
−∞
 se convergir. 
3- Calcule a integral imprópria ∫ e−px f(x)
+∞
0
dx, com f(x) = λ e−λx, x ≥ 0, λ >
0 e p ≥ 0 . 
 
Respostas: 1)a) 
𝜋
2
, b) 1, c) 
1
𝑒
, d) 
1
𝑙𝑛2
, e) 
1
2
, f) 4, g) 1, nos itens h), i) e j) integrais divergentes, k) 
1
8
, l) 1, m) 
1
4
, 2) 1/2 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
38 
Integrais cujos Integrandos têm Descontinuidades Infinitas
 
 
A figura mostra a região limitada pela curva cuja equação é 𝑦 =
1
√𝑥
, pelos eixos x e y 
e pela reta x = 4. Se é possível encontrar um número finito para representar a medida da 
área desta região, este será dado por ∫
𝑑𝑥
√𝑥
4
0
. Entretanto, o integrando é descontínuo no 
limite inferior zero. Além disso, lim𝑥→0+
1
√𝑥
= +∞. Assim, afirmamos que o integrando tem 
uma descontinuidade infinita no limite inferior. Tal integral é imprópria e sua existência 
pode ser determinada da forma seguinte. 
Definições: 
1. Se f é contínua em todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏], então 
 
 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim𝜖 → 0+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎+ 𝜖
𝑏
𝑎
 se este limite existir. 
 
Quando ocorrer descontinuidade no extremo esquerdo, calcularemos lim𝑡→𝑎+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑡
. 
 
2. Se f é contínua em todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏), então 
 
 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim𝜖 → 0+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏− 𝜖
𝑎
𝑏
𝑎
 se este limite existir. 
Quando ocorrer descontinuidade no extremo direito, calcularemos lim𝑡→𝑏− ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑡
𝑎
. 
3. Se existe uma descontinuidade infinita num ponto interior do intervalo de integração, a 
existência da integral imprópria é determinada pela definição abaixo. 
Se f é contínua em todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] exceto c quando a < c < b, então 
        








x
y
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
39 
 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim𝜖 → 0+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + lim𝛿 → 0+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑐+ 𝛿
𝑐− 𝜖
𝑎
𝑏
𝑎
 
 se estes limites existirem. 
Se ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 é uma integral imprópria, esta será convergente se o limite 
correspondente existir; caso contrário, ela será divergente. 
EXERCÍCIOS 
1- Determine se é possível encontrar um número finito para representar a medida da área da 
região mostrada anteriormente. 
 
2- Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Calcule a integral se ela for 
convergente: 
 
a) ∫
𝑑𝑥
(𝑥−1)2
2
0
 b) ∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥
1
0
 
 
c) ∫
𝑑𝑥
𝑥 √𝑥2−1
+ ∞
1
 d) ∫
𝑑𝑥
√1−𝑥
1
0
 
 
e) ∫ sec 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
2
𝜋
4
 f) ∫
𝑑𝑥
𝑥3
+ ∞
0
 
 
 
g) ∫
𝑑𝑥
𝑥2−2𝑥−3
4
0
 h) ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥
+ ∞
0
 
 
 
i) ∫
𝑑𝑡
(𝑡 + 1)
1
3⁄
0
−2
 j) ∫
𝑑𝑥
𝑥3
2
−2
 
 
 
k) ∫
𝑑𝑥
𝑥 √𝑥2−1
2
1
 l) ∫
𝑑𝑥
2𝑥+3
0
−2
 m) ∫
𝑑𝑥
(𝑥−2)2
0
− ∞
 
 
 
n) ∫
𝑑𝑥
𝑥3+ 𝑥
1
0
 o) ∫
𝑑𝑦
√𝑦−2
3
3
1
 p) ∫
3−√𝑥
√𝑥
+∞
0
 𝑑𝑥 
 
Respostas: 1) 4 unidades de área, 2) a)diverge, b) -1/4, c) 
𝜋
2
, d) 2, e) diverge, f) diverge, g) 
diverge, h) diverge, i) 0, j) diverge, k) 
𝜋
3
, l) diverge, m) ½, n) diverge 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
40 
 
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS 
 
Como no Cálculo de uma variável, uma das noções centrais da Matemática é o conceito de 
função. Uma função de várias variáveis reais é uma regra que descreve como uma quantidade é 
determinada por outras quantidades, de maneira única. Através das funções de várias variáveis 
poderemos modelar uma grande quantidade de fenômenos dos mais diversos ramos da Ciência. 
Definição de Função: Seja 𝐴 ⊂ 𝑅𝑛. A lei de uma função f definida no subconjunto A com 
valores em R é uma regra que associa a cada u ∈ A um único número real f(u). 
Os elementos de u ∈ A são as variáveis independentes da função e os elementos w = f(u) 
são as variáveis dependentes da função. A notação que utilizaremos é: 𝑓: 𝐴 ⊂ 𝑅𝑛 → 𝑅. O domínio 
de f é A e o contradomínio é R. 
Se n = 3, denotamos a variável independente por u = (x,y,z) e a função por: w = f(x,y,z); se 
n = 2, u = (x,y) e a função z = f(x,y). 
De forma análoga ao Cálculo de uma variável, os conjuntos Domínio e Imagem de uma 
função são relevantes para o estudo das funções de várias variáveis. O conjunto de todas as 
variáveis independentes é o domínio de f, denotado por Dom(f). O conjunto dos z ∈ R tais que f(u) 
= z e u ∈ Dom(f) é chamado imagem de f, denotado por Im(f). 
EXERCÍCIOS 
1- Determine e represente geometricamente os domínios das seguintes funções. 
𝑎) 𝑧 = √25 − 𝑥2 − 𝑦2 b) 𝑧 =
√𝑥2+ 𝑦2−25 
𝑦
 
𝑐) 𝑧 = 𝑦√ 𝑥2 + 𝑦2 − 25d) 𝑧 =
𝑦
√𝑥2+ 𝑦2−25
 
𝑒) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4 𝑥2 − 1 f) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 
3𝑦2−1
𝑥2+ 𝑦2+1
 
𝑔) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 
𝑥3+3𝑦
𝑥2+ 𝑦2
 ℎ) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥3
𝑥−𝑦
 
𝑖) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln (
𝑥−𝑦
𝑦−1
) j) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
3𝑥+𝑦
√ 𝑥2− 𝑦
 
2- Considerando a lei de formação de cada função, determine as imagens pedidas: 
 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √25 − 𝑥2 − 𝑦2 
𝑓(3, −4) 𝑓(−2,1) 𝑓(𝑢, 3𝑣) 
 
b) 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 − 5𝑥𝑧 + 𝑦𝑧2 
g (1,4, −2) 𝑔(2𝑎, −𝑏, 3𝑐) 𝑔(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) 𝑔( 𝑦, 𝑧, −𝑥) 
 
 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 
3𝑥2
𝑥+2𝑦
 𝑓(0, 2) 𝑓(−2, 3) 𝑓(𝑘𝑥, 𝑘𝑦) 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
41 
 
Mostre que 𝑓(𝑘𝑥, 𝑘𝑦) = 𝑘 𝑓(𝑥, 𝑦) 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = − 𝑥2 + 2 𝑦2 + 𝑧2 
𝑓(0, 0, 0) 𝑓(2, 1, 3) 𝑓(𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧) 
Mostre que 𝑓(𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧) = 𝑘2 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 
 
3- Dada 𝑓(𝑡) = ln 𝑡 , 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦 , encontre ℎ(𝑥, 𝑦) se ℎ = 𝑓𝑜𝑔 e o domínio de h. 
4- Dada F(𝑥) = arc sen 𝑥 𝑒 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 4 , encontre a função 𝐹𝑜𝐺 e o seu 
domínio. 
 
5- Determine o conjunto domínio e o conjunto imagem da função f. Trace um esboço mostrando uma 
região sombreada em R2, como o conjunto de pontos no domínio de f. 
𝑎)𝑓(𝑥, 𝑦) = 
√25− 𝑥2−𝑦2
𝑥
 b) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥
√25− 𝑥2− 𝑦2
 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥2− 𝑦2
𝑥−𝑦
 d) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥
|𝑦|
 
e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥𝑦 − 1) 
6- Considerando a função g definida por 𝑔(𝑥, 𝑦) = 
√𝑥2+ 𝑦2−25
𝑦
, escreva o seu conjunto 
domínio e esboce-o no plano. 
7- Determine: 
 
a) f(x(t), y(t)) f(x(0), y(0)) f(x(2), y(2)) considerando 
 
as funções definidas por f(x, y) = 𝑥 + 3 𝑥2𝑦2, x (𝑡) = 𝑡2, y(𝑡) = 𝑡3. 
 
b) F(f(𝑥), g(𝑦), h(z)), 
 
se F(x, y, z) = 𝑦𝑒𝑥𝑦𝑧, f(x) = 𝑥2, g( y) = 𝑦 + 1 e h(𝑧) = 𝑧2. 
 
8- Escreva e esboce o conjunto domínio de f. Utilize linhas sólidas para as porções da fronteira que 
estão incluídas no domínio e linhas tracejadas para as porções que não estão incluídas. 
 
a) f(x, y) = ln(1 − x2 − y2) b) f(x, y) = 
1
x− y2
 
9- Seja a função definida por 𝑓(𝑥, 𝑦) =
1
√𝑥2−𝑦
. 
a) Calcule f(1, 0), f(3, -7) e f(1, -1). 
b) Escreva o conjunto domínio da função f. 
c) Faça um esboço mostrando como região sombreada em R2 o conjunto de pontos no domínio de f. 
 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
42 
Respostas: 1)a) 𝐷𝑜𝑚𝑧 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅
2; 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 25}, b) 𝐷𝑜𝑚𝑧 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅
2; 𝑥2 + 𝑦2 ≥ 25 𝑒 𝑦 ≠
0}, c) 𝐷𝑜𝑚𝑧 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅
2; 𝑥2 + 𝑦2 ≥ 25}, d) 𝐷𝑜𝑚𝑧 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅
2; 𝑥2 + 𝑦2 > 25}, e) 𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑅
2, f) 
𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑅
2, g) 𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑅
2 − {(0, 0)}, 2) a) 0, 2√5 e √25 − 𝑢2 − 9𝑣2, b) 27, 4𝑎2 − 30𝑎𝑐 − 9𝑏𝑐2, 
𝑥4 − 5𝑥2𝑧2 + 𝑦2𝑧4, 𝑦2 + 5𝑥𝑦 + 𝑥2𝑧, c) 0, 3, kf(x, y), d) 0, 7, 𝑓(𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧) = 𝑘2𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧), 7) a) 
𝑡2(1 + 3𝑡8), 0, 3076, b) (𝑦 + 1)𝑒𝑥
2𝑧2(𝑦+1) 
 
Limites de Funções de Mais de Uma Variável e Continuidade 
 
O limite da função de duas variáveis f(x,y), quando (x,y) tende a um valor (x0,y0), é o 
número L (se existir) e é representado por Lyxf yxyx  ),(),( 00 ),(lim . Se o limite existir (resultar em 
um valor finito e real) no ponto (x0, y0), dizemos que a função é contínua neste ponto. 
Caso contrário a função será descontínua no ponto. O mesmo é válido para um intervalo, 
isto é, a função é contínua num intervalo quando o limite existe em todos os pontos desse 
intervalo. Em geral é fácil verificar a continuidade das funções, por simples inspeção da 
mesma. Nas funções abaixo o limite existirá sempre, com exceção nas restrições. 
Exemplos: 
1) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥𝑦 é contínua para todo par (x, y). 
 
2) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3𝑦2 − 𝑥𝑦 + 𝑦3 + 6 é contínua ∀ 𝑥 𝑒 𝑦. 
3) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 
𝑥2+ 𝑦2
𝑥𝑦−1
 é contínua ∀ 𝑥𝑦 ≠ 1, ou seja, 𝑦 ≠ 
1
𝑥
. 
 
 
x
y
   




x
y
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
43 
4) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 
𝑥+ 𝑦
𝑥− 𝑦
 é contínua ∀ 𝑥 ≠ 𝑦 
 
5) A função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 
3𝑦2−1
𝑥2+ 𝑦2+1
 é contínua em todo o seu domínio 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = 𝑅2. 
6) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √1 − 𝑥2 − 𝑦2 é contínua se 1 − 𝑥2 − 𝑦2 ≥ 0 , ou seja, 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1. A 
representação do domínio da função f é um círculo centrado na origem e de raio 1. 
 
7) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑦 −
1
𝑥
 é uma função contínua se 𝑦 − 
1
𝑥
 ≥ 0, ou seja, 𝑦 ≥
1
𝑥
. A representação 
do domínio é . 
 
 
O conceito de limite de funções ordinárias pode ser estendido para funções de várias 
variáveis. Assim, diz-se que f(x,y) tende para um valor definido L (ou que lim f(x,y) = L), quando o 
par (x,y) se aproxima de (xo,yo), se quanto mais perto (x,y) estiver de (xo,yo), mais perto f(x,y) 
estará de L. 
   




x
y
 


x
y
 


x
y
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
44 
Notação: 
Lyxf
ou
Lyxf
yxyx
yy
xx
o
o
o





),(lim
 
),(lim
),(),( 0
 
 
PROPRIEDADES DOS LIMITES 
Considerando f(x,y) e g(x,y) funções de duas variáveis, com lim (x,y)(xo,yo) f(x,y) = L e lim 
(x,y)(xo,yo) g(x,y) = M  0, são válidas as seguintes propriedades: 
1) lim (x,y)(xo,yo) L = L 
2) lim (x,y)(xo,yo) K.f(x,y) = k.lim (x,y)(xo,yo) f(x,y) = k.L 
3) lim (f + g) = lim f + lim g = L + M 
4) lim (f / g) = lim f / lim g = L / M 
5) 
Lyxfyxf
yxyx
yxyx 

 ),(lim),(lim
),(),(
),(),(
00
00
 
EXERCÍCIOS 
 
Determine o valor de cada limite, se existir: 
1- lim(𝑥,𝑦,𝑧)→(2,2,−1) (5 𝑥
3𝑦𝑧 + 7𝑥𝑦𝑧3 +
2𝑥𝑦2+ 𝑥2𝑦𝑧
𝑥−𝑦𝑧
) 
 
2- lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥3− 𝑦3
𝑥−𝑦
 
 
3- lim(𝑥,𝑦)→(0,1)
𝑥−𝑥𝑦+3
𝑥2+5𝑥𝑦 −𝑦3
 
 
4- lim(𝑥,𝑦)→(3,−4) √𝑥2 + 𝑦2 
 
5- lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2− 𝑥𝑦
√𝑥− √𝑦
 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
45 
 
6- lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2− 𝑦2
1+ 𝑥2+ 𝑦2
 
 
7- lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2− 𝑦2
𝑥−𝑦
 
 
8- lim(𝑥,𝑦)→(−1,1)
𝑥2+2𝑥𝑦2+ 𝑦4
𝑥+𝑦2
 
 
9- lim(𝑥,𝑦)→(4,𝜋) 𝑥
2 sin (
𝑦
𝑥
) 
 
10- lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
(1+ 𝑦2) sin 𝑥
𝑥
 
 
11- lim(𝑥,𝑦)→(1,0)
√𝑥−𝑦−√𝑥
𝑦
 
 
12- lim(𝑥,𝑦)→(−1,2)
𝑥𝑦−2𝑥
𝑥𝑦−2𝑥+3𝑦−6
 
 
13- lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥4− 𝑦4
𝑥2+ 𝑦2
 
 
14- lim(𝑥,𝑦,𝑧)→(2,−1,2) 
𝑥 𝑧2
√𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2
 
 
15- lim(𝑥,𝑦)→(1,−1)
3 𝑥2(𝑦2−1)
𝑥𝑦2(𝑦+1)
 
 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
46 
16- lim(𝑥,𝑦)→(0,1)
𝑥4−(𝑦−1)4
𝑥2+(𝑦−1)2
 
 
17- lim(𝑥,𝑦,𝑧)→(0,0,0)
(𝑒𝑥+𝑒𝑦+𝑒𝑧)2
𝑒2𝑥+𝑒2𝑦+𝑒2𝑧
 
 
Para o cálculo de limites de funções polinomiais e “funções lineares” é só substituir os valores 
para os quais x e y estão tendendo. Para funções racionais, quando ocorre indeterminação, 
precisamos tentar eliminá-la com recursos da álgebra ou usar a regra dos dois caminhos 
(caminhos diferentes). 
 
Regra dos Dois caminhos 
Podemos concluir a não existência de limites, se estudarmos os limites direcionais. A “regra dos 
dois caminhos” consiste em: se dois caminhos diferentes para um ponto (a, b) resultam em dois 
limites diferentes, então lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦)não existe. Esta regra só prova a não existência de 
limite. 
Seja 
2:  f S IR IR
. Se 
   
 
, ,
,
lim
x y a b
f x y L
, e se existirem os limites unidimensionais 
 ,

lim
x a
f x y L
 e 
 ,

lim
y b
f x y L
 então 
   , ,
   
    
    
lim lim lim lim
x a y b y b x a
f x y f x y L
. Os dois limites desta igualdade chamam-
se limites iterados. 
 
18- Determine se o limite existe. Se existir, determine o seu valor. Se não existir, justifique através de 
cálculos. 
a) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2−𝑦2
𝑥2+ 𝑦2
 
 
b) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦
3𝑥2+ 2𝑦2
 
 
c) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦
𝑥2+𝑦2
 
 
d) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
2𝑥𝑦2
𝑥2+𝑦4
 
 
e) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2
𝑥2+ 𝑦2
 
19- Analise a existência do limite da função f no ponto dado: 
a) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥4+3𝑥2𝑦2+2𝑥𝑦3
(𝑥2+𝑦2)2
 
 
b) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
√𝑥𝑦
𝑥+𝑦
 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
47 
 
c) lim(𝑥,𝑦)→(1,2)
𝑥𝑦−2𝑥−𝑦+2
𝑥2+𝑦2−2𝑥−4𝑦+5
 
 
20- Se uma função de duas variáveis é descontínua no ponto (𝑥0 , 𝑦0), mas o 
lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0) 𝑓(𝑥, 𝑦) existe, então dizemos que f tem uma descontinuidade removível em 
(𝑥0 , 𝑦0) porque se f for redefinida em (𝑥0 , 𝑦0), tal que 
𝑓(𝑥0 , 𝑦0) = lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0) 𝑓(𝑥, 𝑦), então f torna-se contínua em (𝑥0 , 𝑦0). Se a 
descontinuidade não for removível, ela é chamada de descontinuidade essencial. 
Para cada uma das seguintes funções, determine se a descontinuidade é removível ou essencial 
na origem: 
 
a) f(x, y) =
x2
x2+y2
 
 
b) g(x, y) =
3x2y
x2+y2
 
 
c) h(x, y) =
xy
x2+y2
 
 
Respostas: 1) -106, 2) 0, 3) -3, 4) 5, 5) 0, 6) 0, 7) 0, 8)0, 9) 8√2, 10)1, 11 e 12) -1/2, 13) 0, 14) 
8/3,15 e 16)Os limites não existem. 
 
GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS 
Dada uma função f: 𝐷 → 𝑅, 𝐷 ⊂ 𝑅𝑛, seu gráfico é o conjunto 𝑔𝑟𝑎𝑓 (𝑓) = {(𝑎, 𝑓(𝑎)); 𝑎 ∈ 𝐷}. 
Os gráficos de funções reais de uma variável (n = 1) são curvas do 𝑅2. Para uma função de 
duas variáveis reais (n = 2) o gráfico é uma superfície do 𝑅3. E a projeção do gráfico de f sobre o 
plano xy é exatamente o domínio de f. Para valores de n > 2, a representação gráfica, claramente, 
não é possível. 
A representação gráfica das funções de duas variáveis nem sempre é fácil de ser feita. Por 
esse motivo, costuma-se representar a função por meio de um gráfico planificado chamado mapa 
de curvas de nível ou conjunto de nível f com valor c real: {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓/𝑓 = 𝑐}. O conjunto de nível 
c é dito curva de nível c de f. As curvas de nível são obtidas pelas projeções no plano xy, das 
curvas obtidas pela interseção do plano z = c com a superfície do gráfico de f. As curvas de nível 
nunca se interceptam. Caso contrário, a função assumiria dois valores diferentes para o mesmo 
elemento (x, y) do domínio, o que é impossível pela definição de função. Quando cada curva de 
nível é elevada à altura do nível correspondente, são obtidas curvas de contorno da função. 
Para o traçado preciso de gráficos de funções de duas variáveis é conveniente o uso de um 
recurso gráfico computacional. Mas, para um esboço devemos analisar: 
 Domínio e Imagem da função; 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
48 
 Interseções com os planos coordenados, ou seja, os traços das superfícies nos planos 
coordenados. A curva resultante da superfície cortada por um plano é chamada de traço da 
superfície no plano; 
 As interseções com os eixos coordenados; 
 Curvas de nível; 
 Curvas de contorno. 
Quando uma função é definida com 3 variáveis independentes, o máximo que conseguimos é 
o traçado das superfícies de nível da função. 
 
EXERCÍCIOS 
 
1- Faça as curvas de nível das funções: 
a) z = 𝑥2 + 𝑦2 , (𝑧 = 0, 𝑧 = 1, 𝑧 = 4, 𝑧 = 9) 
b) z = 𝑦 − 𝑥2 , (𝑧 = 0, 𝑧 = 1, 𝑧 = 2) 
c) z = y − ln 𝑥 , (𝑧 = 0, 𝑧 = 1, 𝑧 = 2) 
d) z =
x
y
 , (𝑧 = 0, 𝑧 =
1
2
, 𝑧 = 1, 𝑧 = 2) 
 
2- Faça as curvas de nível das funções seguintes, para 𝑥 ≥ 0 𝑒 𝑦 ≥ 0: 
a) C = y𝑒𝑥 , (𝐶 = 2, 𝐶 = 4, 𝐶 = 6) 
b) P = 𝑥2𝑦 , (𝑃 = 20, 𝑃 = 36, 𝑃 = 50) 
c) P = 10x𝑦 , (𝑃 = 10, 𝑃 = 20, 𝑃 = 30) 
d) U = 𝑥2𝑦 + 𝑥2 , (𝑈 = 1, 𝑈 = 2, 𝑈 = 4) 
e) C = 𝑥2 + 𝑦2 + 20 , (𝐶 = 21, 𝐶 = 24, 𝐶 = 29) 
 
3- Esboce a curva de nível z = k para os valores especificados de k. 
a) z = 𝑥2 + 𝑦 , 𝑘 = −2, −1, 0, 1, 2 
b) z = −x − 𝑦 + 10 , 𝑘 = 0, 2, 4 
 
4- Esboce as curvas de nível de f, para os seguintes c: 
a) f(x, y) = √100 − 𝑥2 − 𝑦2 , 𝑐 = 0, 8, 10 
b) f(x, y) = √𝑥2 + 𝑦2 , 𝑐 = 0, 1, 2, 3, 4 
c) f(x, y) = 4x2 + 9y2 , 𝑐 = 0, 2, 4, 6 
d) f(x, y) = 3x − 7y , 𝑐 = 0, ±1, ±2 
 
5- Seja 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 2 𝑥3 + 3 𝑥𝑦. Determine uma equação da curva de nível que passa pelo ponto: 
 
a) (-1, 1) b) (0, 0) c) (2, -1) 
 
6- Seja 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧. Determine uma equação da superfície de nível que passa pelo ponto: 
a) (1, -2, 0) 
b) (1, 0, 3) 
c) (0, 0, 0) 
 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
49 
7- Represente graficamente a função definida por: 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2 − 𝑥2 
 
8- Esboce as seguintes superfícies quádricas: 
a) O elipsoide 
𝑥2
4
+
𝑦2
16
+
𝑧2
9
= 1; 
b) O hiperboloide de uma folha 𝑥2 + 𝑦2 −
𝑧2
4
= 1 
9- Se z = V(x, y) é o potencial elétrico em cada ponto (x, y) de uma região do plano, as curvas de 
nível correspondem a pontos de igual potencial elétrico. Neste caso, as curvas são chamadas 
equipotenciais. O potencial elétrico numa região do plano xy é dado por V(x, y) =
120
x2+y2
, em que V é 
medido em volts. 
 
a) Qual é o lugar geométrico (equação) dos pontos cujo potencial é 30 volts? 
 
b) Determine a equação da curva equipotencial que passa pelo ponto P=(1, 1). 
 
c) Desenhe, num mesmo plano xy, as curvas equipotenciais determinadas nos itens anteriores. 
10- Considere a função definida por f(x, y) =
y
x2
 e representada pela superfície. 
. 
a) Escreva o conjunto domínio da função f. 
b) Faça um esboço mostrando como região sombreada em R2 o conjunto de pontos no domínio de f. 
c) Escreva o conjunto imagem da função f. 
d) Desenhe o mapa das curvas de nível k da função (k ∈ R). Considere um valor de k positivo, 
um negativo e k nulo 
 
 
 
 
x
y
z
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
50 
11- Esboce o gráfico de f(x, y) = 4 − x2 − y2. 
 
Respostas: 1-a) b) 
c) d) 
       








x
y
       








x
y
       








x
y
        









x
y
(1)x + (0)y = 0
y = x
y = 2x
y = x/2
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
51 
2-a) b) 
 
c) d) 
       








x
y
            












x
y
       








x
y
    





x
y
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – CálculoII - Engenharia Ambiental – 2º Período 
52 
e) , 3) a) , 
b) , 4)a) , 
b) c) 
   




x
y
       









x
y
             














x
y
          






















x
y
       








x
y
xx+yy=1
xx+yy= 4
xx+yy= 9
xx+yy=16
 


x
y
4xx+9yy=2
4xx+9yy=4
4xx+9yy=6
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
53 
4)d) 5) a)𝑥2 − 2𝑥3 + 3𝑥𝑦 = 0, b) 𝑥2 − 2𝑥3 + 3𝑥𝑦 = 0, c) 𝑥2 − 2𝑥3 +
3𝑥𝑦 = −18, 
 6)a) 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧 = 5 , b)𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧 = −2 , 
c)𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧 todas são 
paraboloides circulares somente deslocadas para cima ou para baixo. 
 
 


x
y
x
y
x
y
z
x
y
z
x
y
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
54 
7)a)Paraboloide Circular b)Plano Paralelo ao Plano xy
c)Superfície Cilíndrica , d)Paraboloide Hiperbólico 
,8)a) , 
b) 
 
 
 
 
y
x y
z
x
y
z
x
y
x
y
z
x y
z
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
55 
Derivadas de Funções de 2 ou Mais Variáveis 
A definição de derivada parcial de uma função de 2 variáveis é a mesma que a de funções de 
uma variável. A única diferença aqui é que, como se tem duas variáveis, uma delas deve ser 
mantida fixa enquanto se dá acréscimos para a outra. Assim, seja a função f(x,y): 
 △ 𝑓 = 𝑓(𝑥 + △ 𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦) é o incremento da função 
△𝑓
△𝑥
=
𝑓(𝑥+ △𝑥,𝑦)−𝑓(𝑥,𝑦)
△𝑥
 é a taxa de variação da função em relação à variável x 
lim△𝑥→0
△𝑓
△𝑥
= 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 = 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) é sua derivada em relação a x ou derivada parcial em x 
lim△𝑦→0
△𝑓
△𝑦
= 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 = 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) é sua derivada em relação a y ou derivada parcial em y 
 O símbolo usado para indicar derivadas parciais é ∂ (“d rond”), no francês “d arredondado”. 
Para distinguir derivadas de funções de mais de uma variável das derivadas de funções de uma 
variável, chamamos as últimas derivadas de derivadas ordinárias. 
 Simbologia das Derivadas Parciais: 
lim△𝑥→0
𝑓(𝑥+△𝑥,𝑦)−𝑓(𝑥,𝑦)
△𝑥
= 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 = 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 𝐷1𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐷1𝑓 = 𝑓1(𝑥, 𝑦) =
 𝑓1 = 𝑓𝑥 = 𝐷𝑥 é a derivada parcial em x 
lim△𝑦→0
𝑓(𝑥,𝑦 +△ 𝑦)−𝑓(𝑥,𝑦)
△𝑦
= 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 = 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = 𝐷2𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐷2𝑓 =
 𝑓2(𝑥, 𝑦) = 𝑓2 = 𝑓𝑦 = 𝐷𝑦 é a derivada parcial em y 
DERIVADAS PARCIAIS 
 A derivada parcial em relação a x considera y como constante, enquanto que a derivada 
parcial em relação a y considera x como constante. As derivadas parciais de funções de várias 
variáveis têm a mesma definição já vista para duas variáveis e são representadas da mesma 
forma. 
EXERCÍCIOS 
1- Escreva as derivadas parciais das funções: 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥3𝑦2 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥
𝑥2+𝑦2
 
e) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦3 + 𝑧2𝑥 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
56 
f) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = ln(2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧2 + 𝑡2) 
g) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥 + 5𝑦 − 6𝑧 
h) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥𝑦 + 2𝑥𝑧 + 3𝑦𝑧 
i) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥+𝑦
𝑥−𝑧
 
j) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑥𝑦𝑧 
k) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥2 + 2𝑦 − 3𝑧)3 
l) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦2 + 2𝑥2 + 𝑥𝑦𝑧 
m) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 2𝑥 − 3𝑧𝑡 
n) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = ln( 3𝑥2 + 5𝑦2 − 𝑧𝑡3) 
o) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −3𝑥2𝑦2𝑧−3 + 4𝑥−2𝑦2𝑧 + 6𝑥𝑦3 
p) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 + 𝑦3)𝑠𝑒𝑛 𝑥 
q) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑡𝑔(𝑥2𝑧) + 𝑐𝑜𝑡𝑔(4𝑦2𝑧2) + 𝑠𝑒𝑛 (5𝑧𝑥𝑦3) 
 
2- Seja z = e2x sin y. Calcule as derivadas parciais e apresente a resposta da forma mais 
simplificada possível. 
 
a) 
∂z
∂x
 
 
b) 
∂z
∂y
 
 
c) 
∂z
∂x
|
(0,y)
 
 
d) 
∂z
∂y
|
(ln 2 ,0)
 
 
Respostas: 1-a) 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 9𝑥
2𝑦2 , 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 6𝑥
3𝑦 , b) 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 2𝑦, c) 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) =
6𝑥 − 2𝑦, 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = −2𝑥 + 2𝑦, d) 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) =
𝑦2−𝑥2
(𝑥2+𝑦2)2
 , 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) =
−𝑥2𝑦
(𝑥2+𝑦2)2
, e) 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥 + 𝑧
2, 
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑦
2, 𝑓𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑧𝑥, f) 𝑓𝑥 =
2
2𝑥+3𝑦−𝑧2+𝑡2
, 𝑓𝑦 =
3
2𝑥+3𝑦−𝑧2+𝑡2
, 𝑓𝑧 =
−2𝑧
2𝑥+3𝑦−𝑧2+𝑡2
, 𝑓𝑡 =
2𝑡
2𝑥+3𝑦−𝑧2+𝑡2
,g) 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3, 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 5, 𝑓𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −6, h) 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑦 + 2𝑧, 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
2𝑥 + 3𝑧, 𝑓𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥 + 3𝑦, i) 𝑓1 =
−𝑧−𝑦
(𝑥−𝑧)2
, 𝑓2 =
1
𝑥−𝑧
, 𝑓3 =
𝑥+𝑦
(𝑥−𝑧)2
, j) 𝑓1 =
𝑦𝑧
2√𝑥𝑦𝑧
, 𝑓2 =
𝑥𝑧
2√𝑥𝑦𝑧
, 𝑓3 =
𝑥𝑦
2√𝑥𝑦𝑧
, 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro – Cálculo II - Engenharia Ambiental – 2º Período 
57 
k) 𝑓1 = 6𝑥(𝑥
2 + 2𝑦 − 3𝑧)2, 𝑓2 = 6(𝑥
2 + 2𝑦 − 3𝑧)2, 𝑓3 = −9(𝑥
2 + 2𝑦 − 3𝑧)2, l) 𝑓1 = 𝑦
2 + 4𝑥 + 𝑦𝑧, 
𝑓2 = 2𝑥𝑦 + 𝑥𝑧, 𝑓3 = 𝑥𝑦, m) 𝑓1 = 2, 𝑓2 = 0, 𝑓3 = −3𝑡, 𝑓4 = −3𝑧, n) 𝑓1 =
6𝑥
3𝑥2+5𝑦2−𝑧𝑡3
, 𝑓2 =
10𝑦
3𝑥2+5𝑦2−𝑧𝑡3
, 
𝑓3 = −
𝑡3
3𝑥2+5𝑦2−𝑧𝑡3
, 𝑓4 = −
3𝑧𝑡2
3𝑥2+5𝑦2−𝑧𝑡3
,o) 𝑓1 = −6𝑥𝑦
2𝑧−3 − 8𝑥−3𝑦2𝑧 + 6𝑦3, 𝑓2 = −6𝑥
2𝑦𝑧−3 +
8𝑥−2𝑦𝑧 + 18𝑥𝑦2, 𝑓3 = 9𝑥
2𝑦2𝑧−4 + 4𝑥−2𝑦2 , p)
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 2𝑥 sin 𝑥 + (𝑥2 + 𝑦3) cos 𝑥, 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 3𝑦2 sin 𝑥, q) 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= sec2(𝑥2𝑧) ∙ 2𝑥𝑧 + cos(5𝑧𝑥𝑦3) ∙ 5𝑧𝑦3, 
 
DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM 
 
As funções de duas ou mais variáveis também podem ser derivadas sucessivamente. Em 
especial, as derivadas parciais de segunda ordem serão bastante utilizadas. Elas podem ser 
mistas, ou seja, derivadas em relação a variáveis diferentes. As derivadas parciais de segunda 
ordem mistas são iguais. O que sempre acontecerá para funções contínuas com derivadas 
parciais contínuas. 
DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÃO COMPOSTA (REGRA DA CADEIA) 
 
Considerando a função de duas variáveis z = f(u, v), onde u = g(x) e v = h(x), a função derivada de 
z em relação à variável x é 
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 
𝜕𝑧
𝜕𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 
𝜕𝑧
𝜕𝑣
∙
𝑑𝑣
𝑑𝑥
. 
DIFERENCIAL TOTAL DE UMA FUNÇÃO DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS 
 A condição para que uma função seja diferenciável é que suas derivadas parciais existam. 
Assim, dada a função z = f(x, y), sua diferencial total é 𝑑𝑧 = 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 𝑑𝑥 + 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 𝑑𝑦. A função de várias 
variáveis é diferenciável se suas derivadas parciais forem contínuas. A diferencial de uma função 
𝐹(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) de n variáveis é 𝑑𝐹 = 
𝜕𝐹
𝜕𝑥1
𝑑𝑥1 +
𝜕𝐹
𝜕𝑥2
𝑑𝑥2 + ⋯ +
𝜕𝐹
𝜕𝑥𝑛
𝑑𝑥𝑛 = ∑
𝜕𝐹
𝜕𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 𝑑𝑥𝑖 . 
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 
Ocorre analogamente ao processo de derivação implícita de funções de uma variável 
independente. 
EXERCÍCIOS 
1- Verifique, através do cálculo das derivadas parciais de segunda ordem, a afirmação a 
seguir. 
 
Se F(x, y, z) = 2 𝑧3 − 3 (𝑥2 + 𝑦2)𝑧, então F satisfaz a equação 𝐹𝑥𝑥 + 𝐹𝑦𝑦 + 𝐹𝑧𝑧 = 0. 
2- Mostre que a função satisfaz a equação de Laplace 
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
+ 
𝜕2𝑧
𝜕𝑦2
= 0. 
d) 𝑧 = 𝑥2 − 𝑦2 + 2𝑥𝑦 b) 𝑧 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 𝑒𝑦 cos 𝑥 
3- Diferencie a função: 
a) 𝑧 = 3𝑥3𝑦2 − 2𝑥𝑦3 + 𝑥𝑦 − 1 
b) F(x, y, z) = 2x + 3xy – 2zy 
 
 
Dayse Maria Alves de Andrade Ribeiro –