GEX103_logica_aula_5

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GEX103 - INTRODUÇÃO À LÓGICA 
Turma: 15B 14B 24A 
Aula 5 – 23 e 28/01/2013 
 
Capítulo 5: Implicação lógica 
 
1 Definição de implicação lógica: 
 
Uma proposição P(p,q,r,...) implica logicamente, ou apenas implica, uma proposição Q(p,q,r,...) , se Q(p,q,r,...) é 
verdadeira (V) todas as vezes que P(p,q,r,...) é verdadeira (V). 
 
Em outras palavras, P(p,q,r,...) implica Q(p,q,r,...) todas as vezes que aparecer o valor lógico verdade (V), na 
última coluna das respectivas tabelas-verdade dessas duas proposições, para as mesmas linhas. 
 
Notação: A proposição P(p,q,r,...) implica logicamente, ou apenas implica, a proposição Q(p,q,r,...): 
P(p,q,r,...) => Q(p,q,r,...) 
 
Em particular: 
 Toda proposição implica uma tautologia; 
 Somente uma contradição implica uma contradição. 
 
2 Propriedades da implicação lógica: 
 
Reflexiva: 
 P(p,q,r,...) => P(p,q,r,...) 
Transitiva: 
 Se P(p,q,r,...) => Q(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...) => R(p,q,r,...) então P(p,q,r,...) => R(p,q,r,...) 
 
Exemplos: 
 
1) Veja as tabelas-verdade das proposições: 
p ˄ q, q ˅ p, p ↔ q 
 
P q p ˄ q q ˅ p p ↔ q 
V V V V V 
V F F V F 
F V F V F 
F F F F V 
 
Observe que a proposição “p ˄ q” é verdadeira somente na primeira linha. 
Nesta linha, as proposições “q ˅ p” e “p ↔ q” também são verdadeiras. 
Logo, a proposição “p ˄ q” implicada cada uma das outras duas, isto é: 
 
p ˄ q => q ˅ p e p ˄ q => p ↔ q 
 
As tabelas-verdade apresentadas no exemplo um, demonstram as seguintes Regras de Inferência: 
Adição: 
p => p ˅ q e q => p ˅ q 
Simplificação: 
p ˄ q => p e p ˄ q => q 
 
 
2 
 
2) Veja as tabelas-verdade das proposições: 
 p ↔ q, p → q, q → p, 
 
P q p ↔ q p → q q → p 
V V V V V 
V F F F V 
F V F V F 
F F V V V 
 
Observe que a proposição “q ↔ p” é verdadeira nas linhas 1 e 4. 
Nestas linhas, as proposições “p → q” e q → p” também são verdadeiras. 
Logo, a proposição “q ↔ p” implicada cada uma das outras duas, isto é: 
 
p ↔ q => p → q e p ↔ q => q → p, 
 
3) Veja as tabelas-verdade das proposições: (Regara do Silogismo disjunto) 
 (p ˅ q) ˄~ p 
 
P q p ˅ q ~p (p ˅ q) ˄~ p 
V V V F F 
V F V F F 
F V V V V 
F F F V F 
 
Observe que esta proposição é verdadeira na linha 3. 
Nesta linha, a proposição “q” também é verdadeira. 
Logo, a proposição “(p ˅ q) ˄~ p” implicada “q”, isto é: 
 
(p ˅ q) ˄~ p => q 
 
A partir do exemplo 3, verifique que a regra de inferência abaixo é válida: 
(p ˅ q) ˄~ q => p 
 
4) Veja as tabelas-verdade das proposições: (Regra de Modus ponens) 
 (p → q) ˄p 
 
p q p → q (p → q) ˄p 
V V V V 
V F F F 
F V V F 
F F V F 
 
Observe que esta proposição é verdadeira na linha 1. 
Nesta linha, a proposição “q” também é verdadeira. 
Logo, a proposição “(p ˅ q) ˄~ p” implicada “q”, isto é: 
 
(p → q) ˄p => q 
 
 
5) Veja as tabelas-verdade das proposições: 
 (p → q) ˄ ~q e ~p 
3 
 
 
 
p q p → q ~q (p → q) ˄ ~q ~p 
V V V F F F 
V F F V F F 
F V V F F V 
F F V V V V 
 
Observe que esta proposição é verdadeira na linha 4. 
Nesta linha, a proposição “~p” também é verdadeira. 
Logo, a proposição “(p → q) ˄ ~q” implicada “~p”, isto é: 
 
(p → q) ˄ ~q => ~p 
 
3 Tautologia e implicação lógica: 
 
Teorema: 
A proposição P(p, q, r, ...) implica a proposição Q(p, q, r, ...), se, e somente se a condicional: 
 P(p,q, r,...) → Q(p,q,r,...) (1) 
é tautológica. 
 
isto é: 
 P(p,q, r,...) => Q(p,q,r,...) se, e somente se a condicional P(p,q, r,...) → Q(p,q,r,...) é tautológica. 
Dem.: 
(i) Se a proposição P(p, q, r, ...) implica Q(p, q, r, ...) então não ocorre que os valores lógicos simultâneos 
destas duas proposições sejam respectivamente V e F. Por conseguinte, a última coluna da 
tabela-verdade da condicional (1) encerra somente com a letra V, isto é , a condicional 
P(p,q, r,...) → Q(p,q,r,...) é tautológica. 
 
(ii) Reciprocamente, se a condicional (1) é tautológica, então, não ocorre que os valores lógicos 
simultâneos destas duas proposições sejam respectivamente V e F. Por conseguinte a primeira 
proposição implica a segunda. 
 
Podemos concluir que toda implicação lógica corresponde a uma condicional tautológica, e vice-versa. 
 
Corolário: 
Se P(p,q, r,...) => Q(p,q,r,...) então, também tem-se: 
 
P(Po,Qo, Ro,...) => Q(Po,Qo, Ro,...) 
 
quaisquer que sejam as proposições P0,Q0, R0, ... 
 
Observação: Os símbolos → e => são distintos. 
→ é o símbolo de operação lógica condicional. 
 => é o símbolo que estabelece a relação de implicação. 
 
Exemplos: 
1) A condicional “p˄~p → q” é tautológica, pois a última coluna da sua tabela verdade encerra 
somente com a letra V: 
 
 
 
4 
 
p q ~p p ˄~ q p˄~p → q 
V V F F V 
V F F F V 
F V V F V 
F F V F V 
 
Logo 
p˄~p → q => q 
Princípio da inconsistência: 
De uma contradição p˄~p → q deduz-se qualquer proposição q. 
 
2) A proposição “(p ↔ q) ˄ p” implica a proposição “q”, pois a condicional “(p↔ q) ˄ p → q” é 
tautológica, conforme se verifica na sua tabela-verdade: 
 
p q P ↔ q (p ↔ q) ˄ p (p ↔ q) ˄ p → q 
V V V V V 
V F F F V 
F V F F V 
F F V F V 
 
Logo 
(p ↔ q) ˄ p => q