métodos determinísticos 1 EP5 2016 2 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP5 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2016-2
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 6 do Caderno Dida´tico.
Exerc´ıcio 1 Escreva a expressa˜o decimal associada ao nu´mero racional dado pela frac¸a˜o:
a)
12
5
b) −27
18
c)
2
6
d)
1998
6000
Soluc¸a˜o:
a) Efetuando, a divisa˜o obtemos 12/5 = 2, 4.
b) Efetuando, a divisa˜o obtemos −27/18 = −1, 5.
c) Efetuando, a divisa˜o obtemos 2/6 = 0, 33333 . . . .
d) Efetuando, a divisa˜o obtemos 1998/6000 = 0, 333.
Exerc´ıcio 2 Escreva a expressa˜o decimal associada ao nu´mero racional dado pela frac¸a˜o:
a)
7
9
b)
4
33
c)
44
3
d)
16
11
e)
20
7
Soluc¸a˜o:
a) Efetuando a divisa˜o, obtemos 7/9 = 0, 77777 . . . .
b) Efetuando a divisa˜o, obtemos 4/33 = 0, 121212 . . . .
c) Efetuando a divisa˜o, obtemos 44/3 = 14, 66666 . . . .
d) Efetuando a divisa˜o, obtemos 16/11 = 1, 454545 . . . .
e) Efetuando a divisa˜o, obtemos 20/7 = 2, 857148571485714 . . . .
Exerc´ıcio 3 Converta cada uma das d´ızimas dadas a seguir num nu´mero racional.
a) 14, 66666 . . . b) 1, 454545 . . . c) 2, 857142857142857142 . . .
Soluc¸a˜o:
a) Seja x = 14, 66666 . . . , enta˜o 10x = 146, 66666 . . . . Assim,
10x− x = 146, 66666 · · · − 14, 66666 . . .
9x = 132
x = 132/9
x = 44/3 .
Me´todos Determin´ısticos I EP5 2
b) Seja x = 1, 454545 . . . enta˜o 100x = 145, 454545 . . . . Assim,
100x− x = 145, 454545 · · · − 1, 454545 . . .
99x = 144.
x = 144/99
x = 16/11.
c) Seja x = 2, 857142857142857142 . . . enta˜o 1.000.000x = 2.857.142, 857142857142 . . . e
1.000.000x− x = 2.857.142, 857142857142 · · · − 2, 857142857142857142 . . .
999.999x = 2.857.140
x = 2.857.140/999.999 (Simplifique dividindo o numerador e o denominador por 142.857)
x = 20/7.
Exerc´ıcio 4 (SEFAZ – AM –2005) A frac¸a˜o que representa a d´ızima 3, 0121212 . . . e´:
(A)
3012
99
(B)
3012
999
(C)
3012
9999
(D)
2982
990
(E)
2982
999
Soluc¸a˜o: Seja x a frac¸a˜o que representa a d´ızima 3, 0121212 . . . . Isto e´,
x = 3, 0121212 . . . ,
enta˜o
100x = 301, 212121 . . . .
Efetuando a diferenc¸a entre 100x e x, temos que
100x− x = 301, 212121 · · · − 3, 012121 . . .
99x = 298, 2
99x = 2982/10
x = 2982/990.
Logo, a alternativa correta e´ aquela dada pela letra (D).
Exerc´ıcio 5 (ANTT-2005) Ao fazer uma divisa˜o entre dois nu´meros inteiros, numa calculadora,
Josimar obteve, no visor, como resultado, 0,1234123412341234. Assinale o item que pode indicar a
divisa˜o feita por Josimar.
(A) 999/1234
(B) 1000/1234
(C) 12/34
(D) 12341234/9000000
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Me´todos Determin´ısticos I EP5 3
(E) 1234/9999
Soluc¸a˜o: Chamando de x o quociente da divisa˜o entre os dois nu´meros inteiros, temos que
x = 0, 123412341234 . . . .
Logo,
10000x = 1234, 123412341234 . . . .
Fazendo a diferenca entre 10000x e x, obtemos que
10000x− x = 1234, 123412341234 · · · − 0, 123412341234 . . .
9999x = 1234
x = 1234/9999.
Portanto, x =
1234
9999
. Logo, a alternativa correta e´ aquela dada pela letra (E).
Exerc´ıcio 6 Calcule o valor de cada uma das expresso˜es nume´ricas.
a)
4
5
(
3 + 0, 4
)− 3, 21
b) 4 + 2
[
1− 1
4
(
4
6
− 1
3
)
+ 2
]
− 61
25
(
1
2
− 1
)
÷ (0, 22 + 1)
Soluc¸a˜o:
a)
4
5
(
3 + 0, 4
)− 3, 21 = 0, 8(3, 4)− 3, 21 = 2, 72− 3, 21 = −0, 49 = − 49
100
b) Chamando y de 4 + 2
[
1− 1
4
(
4
6
− 1
3
)
+ 2
]
− 61
25
(
1
2
− 1
)
÷ (0, 22 + 1), temos que
y = 4 + 2
[
1− 1
4
(
4
6
− 1
3
)
+ 2
]
− 61
25
(
1
2
− 1
)
÷ (0, 22 + 1)
= 4 + 2
[
1− 1
4
(
2
3
− 1
3
)
+ 2
]
− 61
25
(
−1
2
)
÷
(
22
100
+ 1
)
= 4 + 2
[
1− 1
4
(
2
3
− 1
3
)
+ 2
]
− 61
25
(
−1
2
)
÷
(
22
100
+ 1
)
= 4 + 2
[
1− 1
4
(
1
3
)
+ 2
]
+
61
50
÷
(
11
50
+ 1
)
= 4 + 2
[
1− 1
12
+ 2
]
+
61
50
÷
(
11
50
+
50
50
)
= 4 + 2
[
12
12
− 1
12
+
24
12
]
+
61
50
÷ 61
50
= 4 + 2
[
35
12
]
+
61
50
· 50
61
= 4 +
35
6
+ 1 =
24
6
+
35
6
+
6
6
=
65
6
Portanto, y =
65
6
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP5 4
Exerc´ıcio 7 Numa situac¸a˜o idealizada de um estabelecimento comercial sabe-se que para a venda
de x unidades de um produto, o lucro L deste estabelecimento e´ medido por
L = 0, 2 x+ 4
0, 5
− 5.
Sabendo disso, determine a quantidade que deve ser vendida por este estabelecimento, para que ele
obtenha um lucro de 125 reais.
Soluc¸a˜o: A fim de determinar a quantidade x vendida pelo estabelecimento, quando L e´ igual a
125 reais, temos de resolver a equac¸a˜o
125 =
0, 2 x+ 4
0, 5
− 5 ⇐⇒ 125 =
2x
10
+ 4
5
10
− 5
(
pois 0, 2 =
2
10
e 0, 5 =
5
10
)
⇐⇒ 125 + 5 =
x
5
+ 4
1
2
⇐⇒ 130 =
(
x
5
+ 4
)
2
⇐⇒ 130
2
=
(
x
5
+ 4
)
2
2
⇐⇒ 65 = x
5
+ 4
⇐⇒ 65− 4 = x
5
⇐⇒ 61 = x
5
⇐⇒ 61× 5 = x
5
× 5
⇐⇒ 305 = x ⇐⇒ x = 305 .
Portanto, o estabelecimento vende uma quantidade de 305 unidades do produto, quando o
lucro deste estabelecimento e´ de 125 reais.
Exerc´ıcio 8 (FCC) Em 2001 a fa´brica ABC exportou 44% de sua produc¸a˜o. Em 2002 esse ı´ndice
passou para 55%. Nessas condic¸o˜es, o acre´scimo percentual nas exportac¸o˜es da fa´brica ABC foi de:
(A) 11% (B) 20% (C) 25% (D) 30% (E) 50%
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de P a quantidade produzida. Enta˜o antes a fa´brica exportava 44P/100,
e em 2002 passou a exportar 55P/100. A diferenc¸a e´ de 11P/100, quantos porcento de 44P/100
isso representa? Temos que calcular:
11P
100
÷ 44P
100
=
11P
100
× 100
44P
=
25
100
Portanto, a resposta e´ 25%.
Uma forma alternativa de resolver este tipo de questa˜o, onde se deseja encontrar um acre´scimo/de-
cre´scimo (aumento/diminuic¸a˜o) percentual seria utilizando a regra de treˆs. Neste caso, temos que
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Me´todos Determin´ısticos I EP5 5
100% corresponde a` quantidade que era exportada antes, ou seja,
44P
100
, e queremos descobrir quanto
porcento de
44P
100
o acre´scimo
11P
100
representa. Desta forma, montamos a seguinte regra de treˆs.
100% −−− 44P
100
x% −−− 11P
100
Exerc´ıcio 9 (FCC) Um terreno foi vendido por R$ 27.500,00, com lucro de 10%. Em seguida foi
revendido por R$ 33.000,00. O lucro total das duas transac¸o˜es representa sobre o custo inicial do
terreno um percentual de
(A) 20% (B) 22% (C) 26% (D) 30% (E) 32%
Soluc¸a˜o: Primeiro vamos calcular o valor inicial do terreno. Vamos chamar este valor de V . Se ele
foi vendido com lucro de 10%, enta˜o foi vendido por V +0, 1V , isto e´, 1, 1V = 27500. Enta˜o o valor
do terreno seria V = 27500/1, 1. Deste valor para 33000, qual o aumento percentual? Chamando
de x este aumento, temos:
33000 =
27500
1, 1
+
x
100
27500
1, 1
ou, multiplicando tudo por 1, 1,
36300 = 27500 +
x
100
27500.
Ou seja,
36300− 27500 = x
100
27500
8800 =
x
100
27500
8800
27500
=
x
100
Isto e´,
x
100
=
8800
27500
=
32
100
Logo o lucro total foi de 32%.
Exerc´ıcio 10 (CESPE-94) Um trabalhador gastava 30% de seu sala´rio com aluguel. Apo´s certo
per´ıodo seu aluguel havia aumentado 700%, enquanto seu sala´rio foi reajustado em 500%. Enta˜o, a
porcentagem do sala´rio que ele passou a gastar com aluguel foi:
(A) 34% (B) 38% (C) 40% (D) 52% (E) 45%
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Me´todos Determin´ısticos I EP5 6
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de s o sala´rio inicial. Enta˜o o trabalhador gastava 0, 3s com aluguel. Se
o aluguel teve um aumento de 700%, enta˜o o aluguel passou ao valor de 8× 0, 3s, isto e´, 2, 4s. Por
outro lado, o sala´rio foi reajustado em 500%, isto e´, o trabalhador passou a receber 6s. Precisamos
ver que porcentagem deste novo sala´rio e´ gasta com o aluguel. Chamando esta porcentagem de x
temos:
2, 4s =
x
100
6s
x
100
=
2, 4s
6s
x
100
= 0, 4 =
40
100
Portanto, o aluguel representa agora 40% do sala´rio do trabalhador.
Outra soluc¸a˜o: Vamos chamar de s o sala´rio inicial, de S o sala´rio final, de a o aluguel inicial e de
A o aluguel final. Enta˜o, de acordo com o enunciado, temos
a = 0, 3s
(pois o trabalhador gastava 0, 3s com aluguel). Temos tambe´m
A = a+ 7a = 8a
e
S = s+ 5s = 6s
(pois o aluguel aumentou 700% e o sala´rio foi reajustado em 500%).
Queremos saber qual a porcentagem do novo sala´rio que e´ gasta com o novo aluguel, logo devemos
descobrir quanto vale A/S:
A
S
=
8a
6s
=
8× 0, 3s
6s
=
2, 4
0, 6
= 0, 4
Portanto, o trabalhador passou a gastar com aluguel 40% de seu sala´rio.
Exerc´ıcio 11 Foi publicada no Globo de 12/08/09 uma not´ıcia sobre a variac¸a˜o das taxas de juros
na qual podemos ler as seguintes frase:
“Cinco das seis principais linhas de cre´dito do pa´ıs reduziram suas taxas mensais
para pessoas f´ısicas de junho para julho, segundo pesquisa divulgada nesta quarta-feira
pela Associac¸a˜o Nacional dos Executivos de Financ¸as, Administrac¸a˜o e Contabilidade
(Anefac). O cheque especial foi a linha de cre´dito em que houve a maior reduc¸a˜o de
juros no per´ıodo: a taxa mensal caiu 1,33%, passando de 7,54%(139,24% ao ano)
para 7,44% (136,59% ao ano), menor patamar da se´rie histo´rica iniciada em janeiro
de 1995.” (O Globo, 12/08/09)
Explique como foi calculada a queda percentual de 1,33% relativa a` variac¸a˜o da taxa de juros do
cheque especial.
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Me´todos Determin´ısticos I EP5 7
Soluc¸a˜o: A not´ıcia diz: “ a taxa mensal caiu 1,33%, passando de 7,54%(139,24% ao ano) para
7,44% (136,59% ao ano)”.
Se passou de 7,54% para 7,44%, recuou em 0,1%. Mas isso significa uma queda de quantos porcento
da taxa anterior? Temos que calcular quantos porcento de 7,54 e´ 0,1. Por regra de treˆs, dir´ıamos
que 7,54 esta´ para 100% assim como 0,1 esta´ para x%. Ficamos com:
x = (0, 1× 100)/7, 54 ≈ 1, 326
Assim foi calculada a queda de 1,33% relativa a` variac¸a˜o da taxa de juros do cheque especial.
Exerc´ıcio 12 Um gerente forneceu um desconto de 20% sobre o prec¸o de venda de uma televisa˜o
e, mesmo assim, conseguiu para a loja um lucro de 15% sobre o prec¸o de custo da televisa˜o. Ao ver
um outro cliente muito interessado no mesmo televisor, ele resolveu na˜o dar mais desconto algum.
Apo´s realizar esta venda nestas condic¸o˜es (sem desconto), seu lucro, em porcentagem, foi de quanto?
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de V o prec¸o de venda da televisa˜o e de P o prec¸o custo da televisa˜o.
Vamos listar as informac¸o˜es que temos:
• na primeira transac¸a˜o comercial, como o gerente forneceu um desconto de 20% sobre o prec¸o
de venda da TV, ela foi vendida por 0.8 V ;
• na segunda transac¸a˜o comercial, como o gerente na˜o forneceu desconto sobre o prec¸o de venda
da TV, ela foi vendida por V .
Para resolver o exerc´ıcio, temos que encontrar o lucro na segunda transac¸a˜o comercial, ou seja,
precisamos escrever V como o produto entre um nu´mero centesimal e P .
Como sabemos que na primeira transac¸a˜o comercial, houve um lucro de 15% sobre o prec¸o custo da
TV, temos a seguinte uma relac¸a˜o entre V e P
0.8 V = 1.15 P .
Desta forma, encontramos que
V = 1.15
0.8
P = 115
80
P = 1, 4375 P = 143, 75
100
P .
Descobrimos portanto que
V = 143, 75% P .
Conclu´ımos, assim, que houve um lucro de 43, 75% na segunda transac¸a˜o comercial.
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Me´todos Determin´ısticos I EP5 8
Exerc´ıcio 13 Numa certa localidade foi introduzida uma quantidade inicial de coelhos. No primeiro
ano, a populac¸a˜o de coelhos aumentou de 90% em relac¸a˜o a quantidade inicial. No segundo ano
essa populac¸a˜o sofreu um decre´scimo de 70% em relac¸a˜o ao primeiro ano.
(a) Determine, em termos percentuais, o quanto diminuiu a populac¸a˜o de coelhos nos dois primeiros
anos em relac¸a˜o a quantidade inicial.
(b) Considerando que inicialmente havia 100 coelhos. Determine qual a quantidade atual de coelhos.
Soluc¸a˜o:
(a) O primeiro passo e´ identificar a quantidade inicial de coelhos. Como essa quantidade na˜o foi
mencionada, vamos supor que Q e´ essa quantidade.
O segundo passo e´ aplicar os acre´scimos e os decre´scimos percentuais a quantidade de coelhos
conforme descrito no enunciado da questa˜o. Desta forma, temos:
• acre´scimo de 90% em relac¸a˜o a quantidade Q de coelhos. Isto significa que o acre´scimo e´
calculado por
90% de Q =
90
100
· Q = 9Q
10
= 0.9M
assim, a nova quantidade de coelhos e´: Q + 0.9Q = 1.9Q
• descre´scimo de 70% em relac¸a˜o a quantidade 1.9Q. Isto significa que o decre´scimo e´ cal-
culado por
70% de 1.9Q =
70
100
· 1.9Q = 7
10
· 1.9Q = 1.33Q
assim, a nova quantidade de coelhos e´: 1.9Q - 1.33Q = 0.57Q
Desta forma, para determinar o decre´scimo percentual em relac¸a˜o a quantidade inicial de coelhos,
faz-se:
quantidade inicial−quantidade final = Q− 0.57Q = 0.43Q = 43
100
Q = 43%Q
Resposta: A populac¸a˜o de coelhos teve uma diminuic¸a˜o de 43% nos dois primeiros anos em
relac¸a˜o a quantidade inicial.
(b) Como a quantidade inicial de coelhos e´ Q= 100, temos que a quantidade atual de coelhos e´
igual a 0.57Q, ou seja, 0.57·(100) = 57 coelhos.
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