Lista de Modelos Probabilísticos Discretos

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3a Lista de Probabilidade e Estatística - Engenharia de Minas
Tema: Modelos probabilísticos discretos Data:
Aluno:
Questão 1 Uma moeda é lançada 20 vezes. Qual a probabilidade
de sair exatamente 8 caras? R:0.12013
Questão 2 Num teste tipo certo/errado, com 50 questões, qual é a
probabilidade de que um aluno acerte 80% das questões, supondo
que ele responda ao acaso? R: 9x10−6
Questão 3 Temos uma caixa com 200 fusíveis. A experiência
mostra que 2% deles são defeituosos. Qual a probabilidade de
encontrarmos 5 ou menos fusíveis defeituosos na caixa? [0.785]
Questão 4 Em um experimento binomial com três provas, a pro-
babilidade de exatamente dois sucessos é 12 vezes a probabilidade
de três sucessos. Encontre p.[p=0,2]
Questão 5 Uma prova do tipo teste tem 50 questões independen-
tes. Cada questão tem 5 alternativas. Apenas uma das alternativas
é a correta. Se um aluno resolve a prova respondendo a esmo as
questões, qual a probabilidade de tirar nota 5? R: 0.000002
Questão 6 Achar a média e a variância da variável aleatória
Y = 3X + 2, sendo X: B(20,0.3). R: E(Y)=20 e Var(Y)=37.8
Questão 7 A probabilidade de uma lâmpada se queimar ao ser
ligada é de 1/100. Numa instalação com 100 lâmpadas, qual a
probabilidade de 2 lâmpadas se queimarem ao serem ligadas?. Use
a aproximação da binomial pela poisson.R: 0.183940
Questão 8 Numa adutora de água, de 60 km de extensão, ocor-
rem 30 vazamentos no período de um mês. Qual a probabilidade de
ocorrer, durante o mês, pelo menos 3 vazamentos num certo setor
de 3km de extensão? R: 0.191154
Questão 9 Vinte por cento de peças produzidas por uma indústria
são defeituosos. As peças são vendidas em lotes com 50 unidades.
Um comprador adotou o seguinte procedimento: de cada lote ele
testa 20 aparelhos, e se houver pelo menos 2 defeituosos o lote é
rejeitado. Admitindo-se que o comprador tenha aceitado o lote,
qual a probabilidade de ter observado exatamente um aparelho de-
feituoso? R: 0.83333
Questão 10 A aplicação de um fundo anticorrosivo em chapas
de aço de 1m2 é feita mecanicamente e pode produzir defeitos (pe-
quenas bolhas na pintura), de acordo com uma variável aleatória
Poisson de parâmetros λ = 1 por m2. Uma chapa é sorteada ao
acaso para ser inspecionada, pergunta-se a probabilidade de:
a) Encontramos pelo menos 1 defeito; R:0.632
b) No máximo 2 defeitos serem encontrados;R:0.920
c) Encontrarmos de 2 a 4 defeitos;R: 0.261
e) Não mais de 1 defeito ser encontrado.R:0.736
Questão 11 Toda manhã, antes de iniciar a produção, o setor de
manutenção de uma indústria faz a verificação de todo o equipa-
mento. A experiência indica que em 95% dos dias tudo está bem
e a produção se inicia. Caso haja algum problema, uma revisão
completa será feita e a indústria só começará a trabalhar após o
almoço. Faça alguma suposição adicional que julgar necessária e
responda:
a) Qual é a probabilidade de demorar 10 dias para a primeira
revisão completa? R:0.030
b) E de demorar pelo menos 15 dias? R:0.463
c) Um esquema de manutenção, com revisão preventiva, está
sendo montado de modo a evitar a revisão completa num dia
aleatório. Determine um dia d, tal que a probabilidade de
que quebra além de d seja pelo menos igual a 0.6. Revisando
com intervalos de d dias, o que estaremos garantindo?R:
d=8, maior inteiro em 8.957
Questão 12 Um industrial fabrica peças, das quais 1/5 são defei-
tuosas. Dois compradores A e B, classificaram as partidas adquiri-
das em categorias I e II, pagando R$1,20 e R$0,80 respectivamente
do seguinte modo:
• O comprador A: retira uma amostra de cinco peças; se en-
contrar mais que uma defeituosa, classifica como II.
• O comprador B: retira uma amostra de dez peças; se encon-
trar mais do que duas defeituosas, classifica como II.
Em média, qual o comprador oferece maior lucro? [A, lu-
cro=R$1.095]
RESOLUÇÃO...
1. Seja X: número de caras obtidas em 20 lançamentos. Logo X∼b(20,0.5). AssimP(X = 8) =
(
20
8
)
(0.5)8 ·(0.5)12 = 0.12013.
2. Seja X: "número de questões acertadas"e n = 50 com p = 0.5. Logo X ∼ b(50,0.5). Assim, como ele quer acertar 80%
das questões, então ele deseja acertar 0.8 · 50 = 40 questões. Logo:
P(X = 40) =
(
50
40
)
(0.5)40(0.5)10 = 9x10−6
3. Seja X a v.a que denota o número de fusíveis defeituosos. Logo X ∼ b(200, 0.02). Assim:
P(X ≤ 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + . . . + P(X = 5) =
(
200
0
)
(0.02)0(0.98)200 + . . . +
(
200
5
)
(0.02)5(0.98)198 ≈ 0, 785.
Observe que o valor de n é grande e p é pequeno, logo temos a possibilidade de resolver esse exercício com a
aproximação da binomial pela Poisson. O valor esperado de uma distribuição binomial é dado por:
E(X) = np→ λ = np→ λ = 200 · 0, 02→ λ = 4. Assim, temos que:
P(X ≤ 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + . . . + P(X = 5) = e
−440
4!
+ . . . +
e−445
5!
≈ 0, 785
4. Conforme o enunciado do problema, temos que P(X = 2) = 12P(X = 3) considerando n = 3. Logo:
P(X = 2) = 12P(X = 3) =⇒
(
3
2
)
p2 · (1 − p)1 = 12
(
3
3
)
p3 · (1 − p)0 =⇒ 3p2 · (1 − p) = 12p3 =⇒ 3(1 − p) = 12pt =⇒
3 − 3p = 12p =⇒ p = 1
5
= 0, 2
5. Nessa questão temos algumas informações que deveremos levar em consideração. Tais como n = 50, k = 25 ( que
consiste em nota 5), p =
1
5
e q =
4
5
. Assim:
P(X = 25) =
(
50
25
) (1
5
)25
·
(4
5
)2
5 ≈ 0, 000002
6. Sabemos que Y = 3x + 2 e que X ∼ b(20,0.3). Logo o valor E(X) = np = 20 · 0.3 = 6 e Var(X)npq = 20 · 0.3 · 0.7 = 4.2.
Assim:
Y = 3x + 2→ E(Y) = E(3x) + E(2)→ E(Y) = 3E(X) + 2→ E(Y) = 3 · 6 + 2→ E(Y) = 20
e
Y = 3x + 2→ Var(Y) = Var(3x) + Var(2) = 9Var(x) + 0→ Var(Y) = 9 · 4.2→ Var(Y) = 37.8
7. Seja X: número de lâmpadas queimadas. Assim X ∼ b(100, 0, 01), logo :
P(X = 2) =
(
100
2
)
(0, 01)2 · (0, 99)98 ≈ 0, 183940. Usando a aproximação pela Poisson, temos:
λ = n · p =⇒ λ = 1. Assim:
P(X = 2) =
e−112
2!
= 0, 183940
8. Modificando a taxa λ, temos que: λ =
3 · 30
60
= 1, 5. Assim:
P(X ≥ 3) = 1 − P(X < 3) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)] = 1 −
[
e−1,51, 50
0!
+
e−1,51, 51
1!
+
e−1,51, 52
2!
]
≈ 0, 191
9. Se X é a variável aleatória, que conta o número de peças defeituosas de uma amostra de 2o unidades de um lote de
50. A probabilidade de que um defeito nas peças é de 20%. Assim X ∼ B(20;0,2). O comprador aceitou o lote e quer
saber a probabilidade de que foi observado exatamente um dispositivo defeituoso. Assim:
P(X ≥ 2) = 1 − P(X < 2) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1)] = 1 −
[(
20
0
)
(0, 2)0 · (0, 8)20 +
(
20
1
)
(0, 2)1 · (0, 8)19
]
≈ 0, 069.
Em seguida, usando a probabilidade condicional, temos:
P(X = 1/aceitar o lote) =
P(X = 1)
P(aceitar o lote)
=
0, 058
0, 069
≈ 0, 83
10. Sabemos que λ = 1/m2. Logo:
a) P(X = 1) =
e−110
0!
≈ 0, 632
b) P(X ≤ 2) = e
−110
0!
+
e−111
1!
+
e−112
2!
≈ 0, 920
c) P(2 ≤ X ≤ 4) = e
−112
2!
+
e−113
3!
+
e−114
4!
≈ 0, 261
d) P(X ≤ 1) = e
−110
0!
+
e−111
1!
≈ 0, 736
11.