Lista: Modelos discretos

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UEPB - CCT - DE
Curso de Bacharelado em Estat´ıstica
Componente Curricular: Probabilidade 2 Professora: Diana Maia
Lista de Exerc´ıcios
Alguns dos exerc´ıcios desta lista foram retirados dos livros que compo˜em a bibliografia
da disciplina apresentada no plano de curso.
1. Se X tiver uma distribuic¸a˜o de Poisson com paraˆmetro β, e se P (X = 0) = 0, 2, calcular
P (X > 2)
2. Suponha-se que a probabilidade de que uma pec¸a, produzida por determinada ma´quina,
seja defeituosa e´ 0, 2. Se 10 pec¸as produzidas por essa ma´quina forem escolhidas ao
acaso, qual e´ a probabilidade de que na˜o mais de uma defeituosa seja encontrada?
3. A probabilidade de um bem sucedido lanc¸amento de foguete e´ igual a 0, 8. Suponha
que tentativas de lanc¸amento sa˜o feitas ate´ que tenham ocorrido 3 lanc¸amentos bem
sucedidos. Qual e´ a probabilidade de que exatamente 6 tentativas sejam necessa´rias?
Qual e´ a probabilidade de que menos de 6 tentativas sejam necessa´rias?
4. Uma amostra de 3 itens e´ selecionada aleatoriamente de uma caixa contendo 20 itens, dos
quais 4 sa˜o defeituosos. Determine o nu´mero esperado de itens defeituosos na amostra.
5. Um jornaleiro compra jornais por 10 centavos e vende-os por 15 centavos. Entretanto,
ele na˜o pode retornar os jornais que na˜o tiver vendido. Se sua demanda dia´ria for uma
varia´vel aleato´ria binomial com n = 10 e p = 1/3, aproximadamente quantos jornais ele
deve comprar de forma a maximizar o seu lucro.
6. Um homem diz ter percepc¸a˜o extrassensorial. Como um teste, uma moeda honesta e´
jogada 10 vezes e pede-se ao homem que preveja o resultado. Ele acerta 7 vezes em 10.
Qual e´ a probabilidade de que ele consiga o mesmo ı´ndice de acertos mesmo na˜o tendo
percepc¸a˜o extrassensorial?
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7. Em um teste de mu´ltipla escolha com treˆs respostas poss´ıveis para cada uma das 5
questo˜es, qual e´ a probabilidade de que um estudante acerte quatro questo˜es ou mais
apenas chutando?
8. Um canal de comunicac¸o˜es transmite os algarismos 0 e 1. Entretanto, devido a` inter-
fereˆncia esta´tica, um algarismo transmitido tem probabilidade 0, 2 de ser incorretamente
recebido. Suponha que queiramos transmitir uma mensagem importante formada por
um u´nico algarismo bina´rio. Para reduzir as chances de erro, transmitimos 00000 em vez
de 0 e 11111 em vez de 1. Se o receptor da mensagem usa um decodificador de “maioria”,
qual e´ a probabilidade de que a mensagem na˜o esteja correta quando decodificada?
9. Sabe-se que os disquetes produzidos por certa companhia tem probabilidade de defeito
igual a 0, 01, independentemente uns dos outros. A companhia vende os disquetes em
embalagens com 10 e oferece uma garantia de devoluc¸a˜o se mais que 1 disquete em uma
embalagem com 10 disquetes apresentar defeito. Se algue´m compra treˆs embalagens,
qual e´ a probabilidade de que ele ou ela devolva exatamente 1 delas?
10. Suponha que o nu´mero me´dia de carros abandonados semanalmente em certa autoes-
trada seja igual a 2, 2. Obtenha uma aproximac¸a˜o para a probabilidade de que
(a) nenhum carro seja abandonado na semana que vem.
(b) pelo menos 2 carros sejam abandonados na semana que vem.
11. Sabe-se que os parafusos produzidos por uma certa companhia sa˜o defeituosos com
probabilidade 0, 01, independentemente uns dos outros. A companhia vende os parafusos
em pacotes de 10 unidades e oferece uma garantia de devoluc¸a˜o do dinheiro caso existam
dois ou mais parafusos defeitosos no pacote com 10 parafusos.
(a) Qual a proporc¸a˜o de pacotes vendidos para os quais a companhia deve efetuar
devoluc¸a˜o de dinheiro?
(b) Supondo que o nu´mero de parafusos defeituosos num determinado pacote e´ inde-
pendente dos demais pacotes, qual a probabilidade de que a pessoa que compra dez
pacotes de parafusos tenha que retornar a` companhia para devoluc¸a˜o do dinheiro?
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12. Suponha que o nu´mero de erros tipogra´ficos em uma u´nica pa´gina de um livro tem
distribuic¸a˜o Poisson com paraˆmetro λ = 1
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.
(a) Calcule a probabilidade de existir exatamente dois erros tipogra´ficos em uma pa´gina.
(b) Calcule a probabilidade de que exista pelo menos um erro em uma pa´gina.
13. Sabe-se que 90% dos pacientes submetidos a uma determinada cirurgia sobrevivem. Se 20
pacientes realizaram a cirurgia, qual a probabilidade de que todos sobrevivam? (Nesta
questa˜o, deve-se tambe´m dizer qual a varia´vel de interesse, definir sua distribuic¸a˜o e
justificar tal escolha)
14. Sabe-se que 90% dos pacientes submetidos a uma determinada cirurgia sobrevivem. Qual
o nu´mero me´dio de cirurgias ate´ que haja uma morte? (Nesta questa˜o, deve-se tambe´m
dizer qual a varia´vel de interesse, definir sua distribuic¸a˜o e justificar tal escolha)
15. Um produtor de sementes vende pacotes com 15 sementes cada um. Os pacotes que
apresentam mais de duas sementes sem germinar sa˜o indenizados. A probabilidade de
uma semente germinar e´ de 0, 95.
(a) Qual a probabilidade de um pacote na˜o ser indenizado?
(b) Se o produtor vende 2000 pacotes, qual o nu´mero esperado de pacotes que sera˜o
indenizados?
16. Se X ∼ Bin(n, p), com E(X) = 5 e V ar(X) = 4, encontre n e p.
17. Se X e´ uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o Poisson satisfazendo P (X = 0) = P (X =
1), quanto vale E(X)?
18. Seja X ∼ Bin(10, 2
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). Calcule
(a) P (X − 2 < 1)
(b) P (|X − 2| ≤ 1)
(c) E(X) e V ar(X).
19. Um estudo revelou que um em cada quatro motoristas de oˆnibus apresentavam algum
grau de lombalgia. Tomando para uma experieˆncia um grupo de 12 motoristas, quais
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sa˜o as chances de nenhum apresentar lombalgia? (Nesta questa˜o, deve-se tambe´m dizer
qual a varia´vel de interesse, definir sua distribuic¸a˜o e justificar tal escolha)
20. Um estudo revelou que um em cada quatro motoristas de oˆnibus apresentavam algum
grau de lombalgia. Qual a probabilidade de que o de´cimo motorista consultado fosse o
terceiro a apresentar lombalgia? (Nesta questa˜o, deve-se tambe´m dizer qual a varia´vel
de interesse, definir sua distribuic¸a˜o e justificar tal escolha)
21. A probabilidade de que uma pessoa, moradora de certa cidade, tenha um cachorro e´
estimada em 0,3. Determine a probabilidade de que a de´cima pessoa aleatoriamente
entrevistada na cidade seja a quinta a ter um cachorro.
22. Um cientista inocula o germe de certa doenc¸a em diversos ratos ate´ encontrar dois
que contra´ıram a doenc¸a. Se a probabilidade de contrair a doenc¸a e´ de 1/6, qual e´ a
probabilidade de que oito ratos sejam necessa´rios?
23. Um saco de balas tem 20 balas de morango e 40 de outros sabores.
(a) Qual a probabilidade de que a sexta bala retirada com reposic¸a˜o seja a primeira de
morango?
(b) Qual a probabilidade de que voceˆ tire 10 balas com reposic¸a˜o e 3 delas sejam de
morango?
(c) Qual a probabilidade de que voceˆ tire 10 balas sem reposic¸a˜o e 3 delas sejam de
morango?
(d) Se voceˆ quer encontrar 2 balas de morango, qual e´ o nu´mero me´dio de balas que
voceˆ tera´ que retirar do saco, considerando que cada vez que voceˆ tira uma bala,
devolve-a ao saco?
24. Com a finalidade de aumentar a arrecadac¸a˜o do seu sistema de apostas, a Caixa Econoˆmica
Federal implantou um novo jogo denominado Loto II, no qual o apostador escolhe seis
dezenas do conjunto {01, 02, . . . , 50}. Toda semana, a Caixa sorteia seis dezenas desse
mesmo conjunto e atribui preˆmios aos acertadores da:
(a) Sena - seis dezenas sorteadas;
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(b) Quina - cinco dezenas sorteadas;
(c) Quadra - quatro dezenas sorteadas.
Determine a probabilidade de que uma pessoa que aposta na Loto II ganhe algum dos
preˆmios oferecidos.
25. O estudo de um estoque mostra que, em me´dia, as demandas por um item em particular
do depo´sito sa˜o feitas cinco vezes por dia. Qual e´ a probabilidade de que,em determinado
dia, esse item
(a) seja pedido mais de 5 vezes?
(b) na˜o seja pedido nenhuma vez?
26. Determine a probabilidade de que uma pessoa, ao jogar uma moeda honesta, consiga
(a) a terceira cara na se´tima jogada;
(b) a primeira cara na quarta jogada.
27. Treˆs pessoas lanc¸am uma moeda na˜o adulterada e aquela que obtiver um resultado
diferente das outras duas paga o cafe´. Se os resultados forem os mesmos, elas lanc¸am a
moeda novamente. Determine a probabilidade de que menos de quatro lanc¸amentos da
moeda sejam necessa´rios.
28. A probabilidade de que um aluno de pilotagem passe no exame escrito para a licenc¸a de
piloto particular e´ 0,7. Determine a probabilidade de que o aluno passe no teste
(a) na terceira tentativa;
(b) antes da quarta tentativa.
29. Acidentes ocorrem em um dado cruzamento a uma taxa me´dia de 3 por meˆs. Qual e´ a
probabilidade de que em certo meˆs nesse cruzamento ocorram
(a) exatamente 5 acidentes?
(b) menos de 3 acidentes?
(c) pelo menos dois acidentes?
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30. A probabilidade de uma pessoa morrer de certa infecc¸a˜o respirato´ria e´ de 0,002. Deter-
mine a probabilidade de que menos de cinco dos pro´ximos 2000 infectados morram.
31. Durante um processo de fabricac¸a˜o, 15 unidades sa˜o selecionadas aleatoriamente da li-
nha de produc¸a˜o, a cada dia, para checagem de itens com defeitos. Sabe-se, de dados
histo´ricos, que a probabilidade de um item defeituoso e´ de 0,05. Quando dois ou mais
itens defeituosos sa˜o encontrados na amostra de 15, o processo e´ paralisado. Tal proce-
dimento e´ usado para fornecer um sinal no caso de a probabilidade de itens defeituosos
ter aumentado.
(a) Qual e´ a probabilidade de que, em um dia, o processo de produc¸a˜o seja paralisado?
(b) Suponha agora que a probabilidade de um defeito tenha aumentado para 0,07. Qual
e´ a probabilidade de que, em certo, dia, a produc¸a˜o na˜o seja paralisada?
32. Suponha que sejam vendidos 500 bilhetes de loteria. Dentre eles, 200 bilhetes pagam pelo
menos o custo do bilhete. Agora, suponha que voceˆ comprou cinco bilhetes. Determine
a probabilidade de voceˆ ganhar pelo menos o custo de treˆs bilhetes.
33. (ENADE) Um bio´logo deseja estimar o tamanho da populac¸a˜o de animais de um espe´cie
numa regia˜o. O Estat´ıstico consultado indicou o me´todo de Captura e Recaptura, e
explicou que o procedimento consiste em capturar r animais, da espe´cie desejada, sem
reposic¸a˜o, e marca´-los. Em sguida, os animais sera˜o soltos e espera-se um tempo para
permitir que se misturem aos demais. Uma segunda amostra de n animais e´ retirada, sem
reposic¸a˜o, e o nu´mero de animais marcados e´ contado. Supondo que o tamanho dessa
populac¸a˜o e´ N e considerando que o processo de marcac¸a˜o na˜o altera a aleatoriedade
da segunda amostra, o nu´mero de animais marcados encontrados na segunda amostra
comporta-se segundo uma distribuic¸a˜o
(a) Binomial com paraˆmetros n e p = r/N .
(b) Binomial Negativa com paraˆmetros n+ 1 e p = r/N .
(c) Geome´trica com paraˆmetro p = r/N .
(d) Hipergeome´trica com paraˆmetros N , r e n.
(e) Poisson com paraˆmetro nr/N .
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