lista_improprias

Prévia do material em texto

Universidade Te
nológi
a Federal do Paraná
Câmpus Campo Mourão
Prof. Lilian Caroline Xavier Candido
CD3X2 - Cál
ulo Diferen
ial e Integral II
Integrais Impróprias
1. Cal
ule:
a)
∫ ∞
1
1
x3
dx R=1
2
b)
∫ ∞
0
e−xdx R=1
)
∫ ∞
0
e−sxdx, (s > 0) R=1
s
d)
∫ ∞
1
1√
x
dx R=∞
e)
∫ ∞
0
te−tdt R=1
f)
∫ ∞
0
te−stdt, (s > 0) R= 1
s2
g)
∫ −∞
0
xe−x
2
dx R=1
2
h)
∫ ∞
0
1
1 + x2
dx R=pi
2
i)
∫ ∞
0
1
s2 + x2
dx R= pi
2s
j)
∫ ∞
1
1
x4
dx R=1
3
k)
∫ ∞
2
1
x− 1dx R=∞
l)
∫ ∞
2
1
x2 − 1dx R=
ln 3
2
m)
∫ ∞
0
x
1 + x4
dx R=pi
4
n)
∫ ∞
1
1
3
√
x4
dx R=3
o)
∫ ∞
0
e−t sen tdt R=1
2
p)
∫ ∞
1
1
x3 + x
dx R= ln 2
2
2. Cal
ule
a)
∫
0
−∞
exdx R=1
b)
∫ −1
−∞
1
x5
dx R=−1
4
)
∫ −1
−∞
1
3
√
x
dx R=−∞
d)
∫
0
−∞
xe−x
2
dx R=−1
2
e)
∫ ∞
−∞
f(x)dx, onde f(x) =
{
1 se |x| ≤ 1
0se|x| > 1 R=2
f)
∫ ∞
−∞
e|x|dx R=∞
g)
∫ ∞
−∞
1
4 + x2
dx R=pi
2
h)
∫ ∞
−∞
f(x)dx, onde f(x) =
{
1 se |x| ≤ 1
1
x2
se |x| > 1 R=4
3. Determine m para que
∫ ∞
−∞
f(x)dx = 1, sendo
f(x) =
{
m se |x| ≤ 3
0 se |x| > 3
R: m = 1
6
4. Cal
ule:
a)
∫
1
0
1
3
√
x
dx R=3
2
b)
∫
1
0
1
x
dx R=∞
)
∫
3
1
x2√
x3 − 1dx R=
2
√
26
3
d)
∫
1
0
ln xdx R=−1
5. Cal
ule:
a)
∫
1
0
1√
1− x2dx R=
pi
2
b)
∫
2
0
1√
2− xdx R=2
√
2
)
∫
2
−1
1
4− x2dx R=∞
d)
∫
1
0
x√
1− x2dx R=1
6. Cal
ule:
a)
∫
2
0
1
3
√
x− 1dx R=0 b)
∫
1
−1
1
|x|dx R=∞
7. Mostre que:
a)
∫ ∞
0
e−x
2
dx é 
onvergente.
b)
∫ ∞
1
1 + e−x
x
dx é divergente.
8. Se f(t) é 
ontínua para t ≥ 0, a Transformada de Lapla
e de f é a função F de�nida por
F (s) =
∫ ∞
0
f(t)e−stdt
e o domínio de F é o 
onjunto de todos os números para os quais a integral 
onverge. Cal
ule a
Transformada de Lapla
e das seguintes funções:
a) f(t) = 1 R: F (s) = 1
s
, s > 0
b) f(t) = et R: F (s) = 1
s−1 , s > 1
) f(t) = t R: F (s) = 1
s2
, s > 0
9. Mostre que
∫ ∞
0
x2e−x
2
dx =
1
2
∫ ∞
0
e−x
2
dx.
10. Suponha que f seja 
ontínua em [0,∞) e que limx→∞ f(x) = 1. É possível que
∫∞
0
f(x)dx seja
onvergente?