Manual Bio(1)

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1. Matrizes e determinantes 
 
1.1 Matrizes 
Em todas as áreas da Ciência usam-se modelos matemáticos para estudar um determinado fenómeno. Assim, o 
modelo matemático representa ou interpreta a realidade de uma forma mais simplificada de um segmento de um 
todo. As relações do fenómeno podem ser representadas por gráficos, equações, funções, tabelas, entre outros. 
Na área de Biologia pode-se citar o modelo de crescimento de uma determinada população, como mostra o 
exemplo a seguir, retirado de: 
http://harkonnen.iplantcollaborative.org/sites/default/files/Applying%20Matrices%20to%20Explore%20Plant%
20Life%20Histories.pdf. 
As sementes e plantas adultas representam as duas principais fases da vida de um arbusto e todas as sementes 
que germinam transformam-se em uma planta adulta após um ano. 
Considere-se as seguintes variáveis 
tx
 e 
ty
, respectivamente, o número de sementes e de arbustos num 
determinado ano t , tendo em conta as condições: 
 Anualmente, 2% das sementes germinaram com sucesso e se transformam numa adulta (Germinação 
anual do arbusto = 0,02); 
 No mesmo período de tempo, 5% das sementes sobrevive sem germinar (Sobrevivência anual da 
semente = 0,05); 
 Cada arbusto adulto produz em média 80 sementes cada ano (Fecundidade anual do arbusto = 80); 
 Em média, 10% desses arbustos morrem a cada ano (sobrevivência anual do arbusto = 0,9) 
 
A questão que se coloca é saber qual o número de sementes vivas e arbustos no ano seguinte. Para modelar o 
fenómeno descrito responda as seguintes questões: 
1. Se 
tx representa o número de sementes num determinado ano t , como será representada a quantidade 
de sementes no ano seguinte? 
2. Se 
tx representa o número de arbustos num determinado ano t , como será representada a quantidade de 
arbustos no ano seguinte? 
3. Das condições mencionadas anteriormente, quais é que influenciam na quantidade de sementes no ano 
seguinte? 
4. Escreva uma equação matemática que reflicta a quantidade de sementes no ano seguinte? 
5. Das condições mencionadas anteriormente, quais é que influenciam na quantidade de arbustos no ano 
seguinte? 
6. Escreva uma equação matemática que reflicta a quantidade de arbustos no ano seguinte? 
 
Para determinar o número de sementes e de plantas construimos o seguinte sistema de duas equações a duas 
incógnitas seguinte: 








t
y
t
x
t
y
t
y
t
x
t
x
%90%2
1
80%5
1 
Este objecto matemático pode ser representado também da seguinte forma: 





















t
y
t
x
t
y
t
x
t
y
t
x
%90%2
80%5
1
1 
Mais adiante retomaremos o problema que está sendo analisado. Mas primeiro vamos estudar a ferramenta a ser 
usada para a resolução do problema. 
Matriz é uma tabela rectangular de números, contendo m linhas (na horizontal) e n colunas (na vertical). Uma 
matriz designa-se por  
nmijnm
aA

 , e diz-se de dimensão, ordem ou do tipo nm . 
Cada elemento de uma matriz ocupa uma determinada posição. Assim, o elemento que está na i-ésima linha e 
na j-ésima coluna é chamado de (i,j)-ésimo elemento da matriz, e denota-se por 
ija
, onde os índices i e j são as 
coordenadas do elemento. 
Quando uma matriz possui apenas um elemento ou possui apenas uma linha e uma coluna, dizemos que essa 
matriz é de ordem 1. Exemplos  10A ,  25B . 
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Se uma das suas dimensões é igual a 1 a matriz é chamada de vector. Assim, tem-se o vector linha ou matriz 
linha se a matriz tem uma linha (
nA 1
) e o vector coluna ou matriz coluna se a matriz tem uma coluna (
1mA
) 
Matriz linha  2531 A 
Matriz coluna 












1
2
4
A 
 
1.1.1 Representação de uma matriz 
 





 

02
31
A
 









4113
2521
A
 
631
053
412


A 
 
No geral a matriz é representada como se segue 
 



















mnmm
ij
n
n
aaa
a
aaa
aaa
A
21
22221
11211
 
 
1.1.2 Definições 
A matriz transposta  
nmijnm
aA

 é a matriz  
mnjimn
aA

 e denota-se por nmtA  . As linhas da matriz dada 
passam a constituir as colunas correspondentes da sua transposta e as colunas passam a linhas. 









4113
2521
A
 
















42
15
12
31
tA 
Duas matrizes dizem-se iguais se e só se forem da mesma dimensão e os elementos que ocupam a mesma 
posição na matriz forem iguais. Simbolicamente tem-se 
ijijqpnm baqnpmBA  
. 
 
Matriz quadrada é aquela que tem o mesmo número e linhas e colunas, sendo por isso uma matriz de ordem 
nn . Na matriz quadrada podem se distinguir duas diagonais. A principal que contem elementos com índices 
iguais, isto é, diagonal constituída pelos elementos 
ija
 tal que ji  e a secundária é constituída pelos 
elementos 
  nnn aaa 1211 ,......,, 
 
 



















nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
 
 
A matriz quadrada diz-se diagonal se todos os elementos da matriz que estejam fora da diagonal principal 
forem iguais a zero. alguns elementos da diagonal principal podem ser iguais a zero. 
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  


















nn
nn
a
a
a
a
A
0000
0.........
...............
0......0
0......0
11
22
11
 
 
Se 
   nnnn aaaa   112211 ....
 a matriz diagonal chama-se escalar. 
 
Matriz identidade é uma matriz escalar onde 111 a e denota-se por nI , sendo n a ordem da matriz. 
 
 11 I
 







10
01
2I
 











100
010
001
3I
 ............... 

















10000
01.........
...............
0......10
0......01
nI
 
Uma matriz quadradas é simétrica se tAA  . 
Matriz nula é aquela que possui todos os elementos iguais a zero e denota-se por 0. 
 
Exemplo 












725
243
531
A 












725
243
531
tA tAA  então a matriz A é simétrica. 
 
 
2 Operações sobre matrizes 
2.1 Adição 
Dadas duas matrizes da mesma ordem  
nmijnm
aA

 e  
nmijnm
bB

 , a sua soma será uma matriz da mesma 
ordem  
nmijnm
cC

 tal que ijijij bac  
 
Exemplo 
 
 







dc
ba
A
 







zw
yx
B
 









zdwc
ybxa
BAC
 
 
2.1.1 Propriedades 
 Associativa – para quaisquer três matrizes da mesma ordem 
nmA 
, 
nmB 
 e 
nmC 
 é válida a igualdade 
   CBACBA  
 Comutativa – para quaisquer duas matrizes da mesma ordem 
nmA 
, 
nmB 
 é válida a igualdade 
ABBA  
 Elemento neutro – Existe uma matriz nula, tal que adição desta com uma matriz A, da mesma ordem, é 
igual a matriz 
nmA 
. AA  0 
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 Elemento oposto – para cada matriz 
nmA 
, existe uma matriz oposta 
nmA 
, tal que a somade ambas as 
matrizes é uma matriz nula de mesma ordem. 
 
2.2 Multiplicação 
2.2.1 Por um escalar 
Dada a matriz  
nmijnm
aA

 e o escalar k é válida a igualdade  
nmijnm
kakA

 
2.2.2 Propriedades 
 Seja dada a matiz 
nmA 
 e os escalares k e t é válida a igualdade   ktAtAk  
 Sejam dadas as matizes da mesma ordem 
nmA 
 e 
nmB 
 então é válida a igualdade 
  ijij kbkakBkABAk 
 
 
2.2.3 De duas matrizes 
 
2.2.3.1 Matriz vector 
mA 1 pela matriz nmB  
Dada uma matriz linha 
mA 1
 e a matriz 
nmB 
, o produto 
nmm BA  1
 é uma matriz 
nC 1
 tal que 
kj
p
k
kj bac 
1
11
. 
 
   n
mnm
n
n
mnmm cc
bb
bb
bb
aaBA 111
1
221
111
1111 .....
...
.........
...
....
...... 














  
 
Por exemplo .... 112112111111 mmbababac  
 
Dada uma matriz 
mxnA e a matriz coluna 1nB , o produto 1  nnm BA é uma matriz 1mxC tal que 
kj
p
k
kj bac 
1
11
. 
































































 
1
21
11
1212111
1221221121
1121121111
1
21
11
21
22221
11211
1
...
...
.........................................................
...
...
.....
...
............
.............
...
...
mnmnmm
nn
nn
n
mnmm
n
n
nmxn
c
c
c
bababa
bababa
bababa
b
b
b
aaa
aaa
aaa
BA
 
 
Por exemplo 
122122112121 ... nn bababac  
2.2.3.2 Duas matrizes quaisquer 
A multiplicação de duas matrizes só é possível se o número de colunas da matriz do primeiro factor 
(multiplicando) é o mesmo número de linhas da matriz do segundo factor (multiplicador). Seja A uma matriz 
de ordem nm e B de ordem pn . O produto BA é uma matriz 
pmC 
 tal que 
kj
p
k
ikij bac 
1
 































 
mpm
p
npn
p
mnm
n
pnnm
cc
cc
bb
bb
aa
aa
BA
...
.........
...
...
.........
...
...
.........
...
1
111
1
111
1
111
 
 
Compilado por B. Mutemba Página 5 de31 
 
Por exemplo .... 112112111111 nnbababac  
 
2.2.4 Propriedades 
 Não é validada a propriedade comutativa 
 Distributiva da soma à direita   ACABCBA  
 Distributiva da soma à esquerda   BCACCBA  
 Associativa    BCACAB  
 Elemento neutro – matriz identidade 
 Elemento absorvente - matriz nula 
 Idempotência 2AA  
 Associativa produto de escalar pelo produto de matrizes    BkAABk  
 
2.2.5 Propriedades da matriz transposta 
 
  AA tt 
 
 
  ttt BABA 
 
 
  ttt ABAB 
 
 
  tt kAkA 
 
 
Uma matriz quadrada é simétrica se AAt  , por outras palavras, se 
jiij aa 
 
Uma matriz quadrada é anti-simétrica se AAt  , isto é, se 0 iijiij aaa 
 
2.3 Matriz triangular (superior, inferior) 
Uma matriz triangular superior (inferior) é uma matriz quadrada que tem todos os elementos acima (a baixo) da 
diagonal principal nulos i.e. A é uma matriz triangular superior se 0ija para quaisquer  .,...,3,2,1, nji  com 
ji  (A é uma matriz triangular inferior se 0ija para quaisquer  .,...,3,2,1, nji  com ji  ) 
 











700
240
531
 

















5217
0312
0029
0001
 
2.4 Matriz escalonada 
Uma matriz diz-se escalonada quando o primeiro elemento não nulo numa linha está mais à direita do que o da 
linha anterior. 
 
Exemplos: 
 











700
240
531
 
















0000
2300
7120
0031
 



















00000
00000
20500
02310
04121
 
 
Qualquer matriz pode ser escalonada co recurso às o Operações elementares. 
 
Compilado por B. Mutemba Página 6 de31 
 
2.4.1 Operações elementares com linhas 
 
Podem-se transformar matrizes em matrizes equivalents por linhas usando os seguintes princípios: 
 Pemutaçâo da i-ésima pela j-ésima linha 
 Multiplicaçâo da i-ésima por um escalar k 
 Soma de uma linha com o múltiplo de outra 
 
A matriz A é equivalente por linhas a B , se B resultar de uma sucessão finita de operações elementares da 
matriz A . 
 
 
 



















































































23000
4100
5210
1311
 
1600
4100
5210
1311
 
6410
6520
5210
1311
 
9523
4142
3432
1311
 
181046
4142
1311
3432
 
 A 
1A
 
2A
 
3A
 
4A
 
 
Vamos de seguida indicar as transformaçôes realizadas, considerando as fases A , 
1A
, 
2A
, 
3A
 e 
4A
 
 
1AA
 
 Permutaçao das duas primeiras linhas de modo a ter 111 a . 21 LL  
 Multiplicaçâo da quarta linha pelo escalar 
2
1 
44
2
1
LL 
 
 
21 AA 
 (o objectivo é anular 
413121 e , aaa
) 
 Adiçâo da segunda linha pelo dobro da primeira linha 
122 2LLL 
 
 Adiçâo da terceira linha com dobro da primeira linha 
133 2LLL 
 
 Adiçâo da quarta linha com triplo da primeira linha 
144 3LLL 
 
 
32 AA 
 (o objectivo é anular 
4232 e aa
) 
 Multiplicação da segunda linha pelo escalar 1 
22 LL 
 
 Adiçâo da terceira linha com dobro da segunda linha 
233 2LLL 
 
 Adiçâo da quarta linha com o produto da segunda linha por 1 
244 LLL 
 
 
43 AA 
 (o objectivo é anular 
43a
) 
 Adiçâo da quarta linha com o sextuplo da terceira linha 
344 6LLL 
 
 
A matriz representada na quarta fase  4A diz-se escalonada porque em qualquer uma das linhas o primeiro 
elemento não nulo está mais à direita do que o da linha anterior. 
 
2.4.2 Característica de uma matriz 
 
Característica ou rank de uma matriz é igual ao número de linhas não nulas de uma matriz escalonada, e denota-
se por  Ac 
As ccaracterísticas de matrizes equivalentes por linha são iguais. 
Compilado por B. Mutemba Página 7 de31 
 
Seja 
181046
4142
1311
3432
















A e 


















23000
4100
5210
1311
 B 
A matriz B está escalonada e o número de linhas nao nulas é quatro, assim a sua característica é   4Ac 
A matriz B resulta de uma sucessão finita de operações elementares da matriz A , por isso as duas matrizes têm 
a mesma característica é     4 AcBc 
2.4.2.1 Propriedades de características 
A característica de uma matriz não se altera se: 
 trocamos entre si duas filas paralelas 
 trocarmos ordenadamente linhas por colunas 
 multiplicamos uma fila por uma constante k diferente de 0 
 acrescentarmos ou eliminarmos filas nulas 
acrescentamos ou eliminamos uma fila que seja combinação linear de outras filas paralelas 
 somamos à uma fila uma combinação linear de outras filas paralelas. 
 
3 Determinantes 
O determinante de uma matriz quadrada é uma função que associa cada matriz a um escalar. Este é portanto um 
operador matemático que transforma uma matriz num número real. O determinante de uma matriz denota-se 
por 
A
 ou  Adet 
 
Propriedades 
 o determinante da matriz identidade é 1   1det I 
   0det A se a matriz tem uma fila (linha ou coluna) de zeros 
   0det A se a matriz tem duas filas iguais 
 se a matriz é triangular o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal 
      BAAB detdetdet  
 se a matriz quadrada B resulta 
o da multiplicação de uma fila de A por um escalar k então    AkB detdet  
o da troca de duas filas    AB detdet  
o substituição de uma fila por essa mesma fila adicionada de um múltiplo de uma fila de A à outra 
   AB detdet  
    AAt detdet  
  
 A
A
det
1
det 1 
 
 
3.1 Determinante de ordem 1 e 2 
Dada a matriz de ordem 1,  11aA  , o seu determinante será   1111det aaA  . 
Assim, se  10A e  15B , então os seus determinantes serão   1010det A e   1515det B 
O valor numérico de um determinante de ordem 1 é igual ao seu elemento. 
Se a matriz for de ordem 2, 







2221
2111
aa
aa
A
, o seu determinante é igual à diferença entre o produto dos 
elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. 
 
Compilado por B. Mutemba Página 8 de31 
 
  12212211
2221
1211
det aaaa
aa
aa
A 
 
 
 
3.2 Determinante de ordem 3 
 
3.2.1 Regra de Sarrus 
 
Dada a matriz 











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A , o seu determinante pode ser calculado pela regra de Sarrus. Para isso, 
colocam-se numa tabela os elementos da matriz e acrescentam-se as suas duas primeiras colunas. Por definição, 
atribui-se sinal positivo a soma dos produtos da diagonal principal e das duas diagonais paralelas à esta, e sinal 
negativo que o produto dos elementos da diagonal secundária e das duas diagonais paralelas à esta. 
 
 
Assim,   )()(det 122133112332132231322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaA  
O determinante é a diferença entre a soma dos produtos dos elementos da diagonal principal e dos elementos 
das diagonais paralelas à esta e a soma dos produtos dos elementos da diagonal secundária e dos elementos das 
diagonais paralelas à esta. 
 
3.2.2 Regra do triângulo 
A regra do triângulo é baseada em triângulos cujos vértices são elementos da matriz, com uma base paralela a 
uma das diagonais. 
• Os triângulos com uma base paralela à diagonal principal têm os vértices 
312312 ,, aaa
 e 
133221 ,, aaa
 respectivamente. 
• Os triângulos com uma base paralela à diagonal secundária têm os vértices 
332112 ,, aaa
 e 
322311 ,, aaa
 respectivamente. 
• O determinante é a diferença entre a soma dos produtos dos elementos da diagonal principal e dos 
elementos dos triângulos com um lado paralelo à esta e a soma dos produtos dos elementos da diagonal 
secundária e dos elementos dos triângulos com um lado paralelo à esta, 
 
)()( 122133112332132231322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
A 
 
 
3.2.3 Desenvolvimento de Laplace 
Menor do elemento 
ija
 da matriz A é o determinante de ordem 1n que se obtém eliminando a linha e a 
coluna que contém o elemento 
ija
 e denota-se por 
ijM
. O complemento algébrico ou co-factor do elemento 
ija
 
Compilado por B. Mutemba Página 9 de31 
 
da matriz A denota-se por 
ijA
 e é igual ao menor do elemento 
ija
 precedido de sinal positivo ou negativo 
segundo a fórmula 
 







impar se ,
par se ,
jiM
jiM
A
ij
ij
ij
 
 
Dado o determinante de terceira ordem 
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A  . O menor do elemento 31a , que se encontra na 
terceira linha e primeira coluna, é o determinante de ordem 2 que se obtém eliminando essa linha e coluna. 
 
2322
1312
31
aa
aa
M 
 
Para o elemento 
31a
 a soma dos índices 413  ji é par. O complemento algébrico ou co-factor deste 
elemento será positivo 
3131 MA 
. 
A soma dos índices do elemento 
23a
 532  ji é impar, então o seu complemento algébrico terá sinal 
negativo 
3231
1211
2323
aa
aa
MA 
 
 
Teorema de Laplace 
O determinante de uma matriz A é igual à soma dos produtos dos elementos de uma linha ou coluna pelos 
respectivos co-factores. 
313121211111
333231
232221
131211
AaAaAa
aaa
aaa
aaa
A  
 
 
Demonstração: 
Pretende-se mostrar que 
313121211111
333231
232221
131211
AaAaAa
aaa
aaa
aaa
A  
Para isso, basta mostrar que 
313121211111 AaAaAa 
 é igual ao resultado já obtido usando os métodos 
anteriores 
)()( 122133112332132231322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa 
. 
O co-factor é igual ao menor do elemento precedido do sinal positivo ou negativo, assim tem-se 
 
313121211111313121211111
333231
232221
131211
MaMaMaAaAaAa
aaa
aaa
aaa
A  
 
Calculando os determinantes de segunda ordem vem: 
 
  221331231231321321331221322311332211313121211111 aaaaaaaaaaaaaaaaaaMaMaMa 
 
 
Finalmente, simplificando a expressão obtém-se 
 
Compilado por B. Mutemba Página 10 de31 
 
)()( 122133112332132231322113312312332211
221331331221322311231231321321332211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaA

 
 
4 Matriz adjunta 
É dada a matriz A de ordem n . A matriz adjunta de A, de ordem 1n e designada por *A , é uma matriz 
transposta da matriz cujos elementos são os co-factores dos elementos correspondentes da matriz A. 
 
 



















mnmm
ij
n
n
aaa
a
aaa
aaa
A
21
22221
11211
 



















mnmm
ij
n
n
AAA
A
AAA
AAA
X
21
22221
11211
 
 
5 Matriz inversa 
Dada a matriz quadrada A , de ordem nm , se existir uma matriz B da mesma ordem tal que se verifique a 
igualdade IBAAB  , onde I é a matriz identidade, diz-se que a matriz B é inversa de A e representa-se 
por 1A . 
Uma matriz A é invertível se e somente se   0det A 
 
Exemplo 
Se 





 

31
42
A
 a sua inversa será 














5
1
10
1
5
2
10
3
1A porque 
























 

10
01
5
1
10
1
5
2
10
3
31
42
1AA 
5.1 Cálculo da matriz inversa 
5.1.1 Pela aplicação da definição 
IAA 1 
Seja 





 

31
42
A
 e a matriz inversa 







zw
yx
A 1
, aplicando a definição vem 

















 

10
01
31
42
1
zw
yx
IAA
 
Resolvendo a equação determinam-se os valores das incógnitas. 

























13
042
03
142
10
01
334242
zy
zy
wx
wx
zywx
zywx
 
Formam-se sistemas de duas equações a duas incógnitas 













10
3
10
1
03
142
x
w
wx
wx
 e 













5
1
5
2
13
042
z
y
zy
zy
 
Compilado por B. Mutemba Página 11 de31 
 
De onde 














5
1
10
1
5
2
10
3
1A 
5.2 Pelo método de Gauss-Jordan 
O método de Gauss consiste procurar uma matriz equivalente por linhas usando as operações elementares 
Escreve-se uma matriz na forma  IA / , usando as transformações lineares obtém-se na forma  BI / onde B é 
a matriz inversa. 







 
10
01
31
42








 01
10
42
31








 21
10
100
31










10
2
10
1
10
10
31













10
2
10
1
5
2
10
3
10
01
 
1F
 
2F
 
3F
 
4F
 
5F
 
21 FF 
 
Permutação das linhas 
21 LL 
 
32 FF 
 
Adição da segunda linha pelo produto da primeira linha pelo escalar 2 
122 2LLL 
 
 
43 FF 
 
Multiplicação da segunda linha pelo escalar 
10
1

 
22
10
1
LL 
 
 
54 FF 
 
Adição da primeira linha pelo produto da segunda linha pelo escalar 3 
211 3LLL 
 
 
A matriz inversa é 














5
1
10
1
5
2
10
3
1A 
 
5.3 Com ajuda da matriz adjunta 
 
Pode-se também determinar a matriz inversa usando a fórmula   A
A
A
11 , onde A é a matriz adjunta de A . 
 
Seja 





 

31
42
A
 
10
31
42


A
   331 211 A   111 312 A 
    4411 321 A
   221 422 A 








21
43
*A
 




















 
5
1
10
1
5
2
10
3
21
43
10
111 A
A
A 
6 Sistemas de equações lineares 
 
Compilado por B. Mutemba Página 12 de31 
 
Retomemos o problema da determinação do número de sementes e das plantas. Reescrevemos o sistema de 
duas equações a duas incógnitas na forma matricial: 





















t
y
t
x
t
y
t
x
t
y
t
x
%90%2
80%5
1
1 
Observe a matriz 










t
y
t
x
t
y
t
x
%90%2
80%5 e reescreva-a como uma multiplicação de duas matrizes. Então o sistema 
pode ser escrito na forma: 

























t
y
t
x
t
y
t
x
%90%2
80%5
1
1 
 
Num tabuleta de uma loja podia-se ler: 
Dois bolos e cinco refresco custam 61,00 Mt; 3 bolos e 2 refrescos custam 53,00 Mt. Um cliente comprou nove 
bolos e dois refrescos. O comerciante cobrou-lhe 150,00 Mt pela compra. Será que o homem foi honesto? 
 
Se considerarmos x e y a quantidade de bolos e refrescos respectivamente, podemos traduzir o problema 
matematicamente 





5323
6152
yx
yx . Está-se perante um sistema de duas equações a duas incógnitas. 
 


















53
61
23
52
y
x 
 
Nos dois exemplos podemos considerar os sistemas dados como uma igualdade entre duas matrizes, sendo a 
matriz do primeiro membro igual ao produto de duas matrizes. 
Vamos generalizar os exemplos acima retratados acima. 
São dadas as matrizes de ordem A , x e b 
 
 















mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
 















nx
x
x
x
...
2
1
 















mb
b
b
b
...
2
1
 
 
Pode-se formar um sistema de equações bxA  , onde A , de ordem nm , é a matriz dos coeficientes das 
variáveis do sistema, x , de ordem 1n , a matriz das variáveis e b , de ordem 1m , a matriz dos termos 
independentes. 
 
De bxA  vem 












































mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
......
...
............
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
 de onde resulta o sistema de m equações a n 
incógnitas 
 










mnmmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
32211
22222121
11212111
.....
................................................
.....
.....
 
 
Compilado por B. Mutemba Página 13 de31 
 
6.1 Solução de um sistema de equações lineares 
6.1.1 duas equações a duas variáveis 
Dado um sistema de duas equações (I e II) com duas variáveis 





2222121
1212111
bxaxa
bxaxa , a sua solução é um par 
ordenado  21 , xx de números reais que satisfaz as duas equações ( I e II ) 
 
Cada uma das equações (I e II) podem ser representadas por duas rectas no plano cartesiano que podem ser 
concorrentes, estritamente paralelas ou coincidentes. Assim, pode-se estabelecer uma relação entre a posição 
relativa das rectas e a solução do sistema formado por essas equações: 
1. Rectas concorrentes: o sistema admite uma única solução que é o ponto de intersecção das duas rectas; 
2. Rectas paralelas: o sistema não admite solução; 
3. Rectas coincidentes: o sistema admite uma infinidade de soluções 
 
6.1.2 m equações a n variáveis 
Dado um sistema de três equações (I, II e III) a três variáveis 








3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
, a sua solução é um 
terno ordenado  321 ,, xxx de números reais que satisfaz as três equações (I, II e III) 
A solução de um sistema de m equações a n variáveis 










mnmmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
32211
22222121
11212111
.....
................................................
.....
.....
 é  nxxx ,...,, 21 , 
formado por números reais que satisfazem as m equações. 
 
 
6.1.3 Resolução de sistemas 
Resolver um sistema é encontrar a sua solução. 
6.1.3.1 Matrizes associadas a um sistema 
 
 
 
Uma matriz básica ou incompleta é a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas. A matriz alargada ou 
completa é a matriz básica a qual se acrescenta uma coluna dos termos independentes das equações do sistema 














mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
...
...............
...
...
21
222221
111211
 
Compilado por B. Mutemba Página 14 de31 
 
Diz-se que um dado sistema está na forma escalonada se a sua matriz alargada está na forma escalonada. 
 
Teorema – Se as matrizes alargadas de dois sistemas são equivalentes por linhas, então os sistemas são 
equivalentes, isto é, tem o mesmo conjunto de soluções. 








74
15325
832
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 




















































383800
201730
7411
6710
201730
7411
8132
15325
7411
7411
15325
8132
 
Da última matriz se obtém o sistema 








3838
20173
74
3
32
321
x
xx
xxx
 , que é equivalente por linhas ao sistema 
dado, e têm por isso as mesmas soluções. A solução deste sistema é )1,1,2(  que é a mesma que a do sistema 
dado. 
 
6.1.3.2 Discussão de um sistema 
De acordo com a existência ou não de soluções, um sistema pode ser classificado de possível ou impossível, 
como mostra o diagrama. 
 
 
 
Diagrama 1 
 
 
Para se determinar o número de soluções de um sistema pode-se usar o Teorema de Kronecker-Capelli, que 
compara as características das matrizes básica e alargada depois de escalonadas e o número de equações e 
incógnitas do sistema. 
1. Se as características das matrizes básica e alargada são iguais ao número de equações do sistema, o 
sistema é compatível, isto é tem solução, podendo a solução ser determinada (uma única solução) ou 
indeterminada (um conjunto infinito e soluções) 
2. se as características das matrizes básica e alargada são diferentes o sistema é incompatível. 
 
Sistema de equações lineares 
 
Possível 
(Tem solução) 
 
Impossível 
(Não tem solução) 
 
Determinado 
(Uma única solução) 
 Indeterminado 
(Uma infinidade de soluções) 
Compilado por B. Mutemba Página 15 de31 
 
 
 
Diagrama 2 
 
 
)(Br - a característica da matriz básica 
)(Ar - a característica da matriz alargada 
m - número de equações do sistema 
n - número de equações do sistema 
 
Exemplos: 
 
Discutir o seguinte sistema em função de um parâmetro, isto é, determinar os valores do parâmetro para cada 
classificação possível. 





1
1
kyx
ykx 
 
 
1. Escreve-se a matriz alargada 
 






11
11
k
k 
 
r(A) = r(B) = m? 
 
 
Sim 
 
Não 
 
Compatível – tem soluções 
Incompatível – não tem 
solução 
 
 
 
m = n? 
 
Sim 
 
Não 
Possível definido 
uma única solução 
 
 m < n 
Possível indeterminado 
infinidade de soluções 
 
Compilado por B. Mutemba Página 16 de31 
 
 
2. Escalona-se a matriz alargada 
 













 110
11
~
11
11
2 kk
k
k
k 
 
3. Análise das características 
 
1012  kk
 
Se 1k o sistema é impossível 
Se 1k o sistema é possível e indeterminado 
Se 1k o sistema é possível e determinado 
 
 
6.2 Métodos de resolução de sistemas de equações lineares 
Pode-se resolver um sistema pelo método gráfico ou analítico usando um dos métodos que se apresentam no 
diagrama. 
 
 
 
 
Diagrama 3 
 
6.2.1 Adição ordenada 
 
No método de adição ordenada adiciona-se ordenadamente uma das equações do sistema com equações 
equivalentes das restantes e modo a eliminar-se uma das incógnitas, reduzindo-se também o número de 
equações. O processo repete-se até se reduzir à uma equação de uma incógnita. 
 
Exemplo 
 
Equações lineares de 
duas variáveis 
 
 
 
Resolução analítica 
 
 
Resolução gráfica 
 
 
 
Método de adição ordenada 
 
 
Método de substituição 
 
 
Método de comparação 
 
 
Método misto 
 
 
Regra de Cramer 
 
 
Método de Gauss 
 
 
Matriz inversa 
Compilado por B. Mutemba Página 17 de31 
 











63
53332
1054
622
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
 
 
Passo 1: Para eliminar a variável 
1x
 adiciona-se a primeira equação com equações equivalentes às restantes. 
413
312
211
2
EEE
EEE
EEE



 








12523
757
4326
432
432
432
xxx
xxx
xxx
 
 
Passo 2: Para eliminar a variável 
4x
 adiciona-se a segunda equação com equações equivalentes às restantes. 
322
211
5
3
EEE
EEE

 





232332
171727
42
32
xx
xx 
 
Passo 3: Para eliminar a variável 
4x
 adiciona-se a segunda equação com uma equação equivalente à primeira 
 
211 1723 EEE 
 
0
077
2
2


x
x 
 
Passo 4: A partir do Passo 2, pode-se eliminar a variável 
2x
 para determinar 
4x
. 
Passo 5: A variável 
3x
 pode ser determinada eliminando uma variável diferente desta no Passo 2. 
Passo 6: Para determinar a variável 
1x
 anula-se uma variável diferente desta no Passo 1 e Passo 2. 
 
De notar que a ordem de determinação das incógnitas é arbitrária. 
 
6.2.2 Substituição 
Escreve-se uma das variáveis em função das outras a partir de um das equações e substitui-se a expressão de 
uma das variáveis nas restantes equações. 
 
 
 
 
 










63622
53622332
1056224
622
442121
442121
442121
4213
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxx
 
Simplificam-se as equações obtendo-se um sistema de três equações a três incógnitas. 
 











02
23935
16722
22
421
421
421
4213
xxx
xxx
xxx
xxxx
 
Escolhe-se uma equação procede-se da mesma forma. 
 
 











214
2121
2121
4213
2
1162335
1062522
22
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
 
Compilado por B. Mutemba Página 18 de31 
 











214
21
21
4213
2
231223
16516
22
xxx
xx
xx
xxxx
 
















214
1
1
1
2
4213
2
23
5
1616
1223
16
5
1616
22
xxx
x
x
x
x
xxxx
 
 
111519219211523
5
1616
1223 111
1
1 

 xxx
x
x
 
Determinado o valor de uma das incógnitas vai-se substituindo no sentido contrário os valores das incógnita nas 
expressões usadas até chegar à primeira substituição para calcular o valor da última incógnita. 
 
6.2.3 Comparação 
É dado o sistema 





5323
6152
yx
yx . Pelo método de compração expressasse uma variável em função da outra em 
cada uma das equações 










2
253
2
561
y
x
y
x
 
Igualam-se as expressões obtidas e resolve-se a equação linear. 
 
8
3
249
2
562




y
yy 
Para determinar x expressasse y em função desta variável, igualam-se as expressões obtidas e resolve-se a 
equação linear. 
 
6.2.4 Misto 
Neste método usa-se mais do que um dos métodos acima mencionados. 
 
6.2.5 Cramer 
Este método só é válido se o determinante da matriz dos coeficientes não for nula. 
 











63
53332
1054
622
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
 
Para resolver o sistema forma-se a matriz dos coeficientes e calcula-se o seu determinante. 
 
077
2332
1727
02332
157
01727
523
157
326
5230
1570
3260
2121
3111
3332
5141
2121





















 
Compilado por B. Mutemba Página 19 de31 
 
77 
 
Parao cálculo do determinante relativo a cada variável forma-se uma matriz dos coeficientes e substitui-se a 
coluna dos coeficientes dessa variável pela coluna dos termos independentes. 
Para 
1x
, substituindo a primeira coluna pelos termos independentes tem-se 
77
1223
516
100
91223
7516
110
9323
7216
1010
90323
70216
2126
3116
3335
51410
2126

















 
 
771 x
 
Assim, 
1
77
771
1 



x
x
 
Procede-se de forma análoga para determinar as outras incógnitas. 
 
6.2.6 Gauss 
Este método consiste em transformar por etapas sucessivas a matriz alargada do sistema numa matriz triangular 
superior. 






























































































154
63
12
6
77000
32100
5230
2121
28
63
12
6
13200
32100
5230
2121
4
7
12
6
3260
1570
5230
2121
12
7
4
6
5230
1570
3260
2121
6
5
10
6
3111
3332
5141
2121
 
Após obtenção da matriz transformada (matriz triangular superior) o sistema pode ser resolvido por substituição 
ascendente. 
 


























2
1
0
1
154
63
12
6
77000
3200
5230
22
4
3
2
1
4
43
432
4321
x
x
x
x
x
xx
xxx
xxxx
 
 
Uma vez que a matriz obtida é equivalente por linhas à matriz dada os sistemas têm as mesmas soluções. 
 
6.2.7 Com ajuda da matriz inversa 
 
Seja dado o sistema bxA  , onde A , x e b são a matriz dos coeficientes das incógnitas, a matiz das 
incógnitas e a matriz dos termos independentes receptivamente. Multiplicando ambos os membros da equação 
pela inversa da matriz A tem-se bAxAA 11   como o produto de uma matriz pela sua inversa é igual a 
matriz identidade vem bAxI 1 . O produto de uma matriz pela matriz identidade é igual a si mesma, assim 
bAx 1 . Podemos então encontrar a solução do sistema multiplicando a inversa da matriz básica pelo vector 
dos termos independentes. 
É dado o sistema 
Compilado por B. Mutemba Página 20 de31 
 








223
153
225
zyx
zyx
zyx
 
Determinando a inversa da matriz básica tem-se 
 




















49
14
49
13
49
11
49
7
49
11
49
2
49
7
49
3
49
5
1A
 
Aplicando a fórmula obtém-se 








































 
5
3
1
2
15
2
49
14
49
13
49
11
49
7
49
11
49
2
49
7
49
3
49
5
1 xbAx
 
A solução do sistema é o terno  5,3,1 
 
6.3 Cálculo de matrizes no Excel 
6.3.1 Introdução e designação da matriz A 
Ao introduzir uma matriz na folha do Excel cada elemento da matriz corresponderá a uma entrada numa célula, 
como o exemplo a seguir: 
 








23
52
A
 
2 5
-3 2 
 
Para introduzir fracções insira a numerador seguido de / e do denominador. Quando o resultado da divisão é um 
número decimal o Excel apresenta-lo-á nesta forma. Se quiser manter os números em forma de fracção proceda 
da seguinte maneira: 
1. Seleccione a tabela 
2. No menu escolha Format/Cells 
3. No Number escolha Cateogy/Costum 
4. Escolha também Number/Type e digite ?????/????? 
5. Pressione “Enter” 
 
Compilado por B. Mutemba Página 21 de31 
 
 
Para dar o nome a matriz seleccione a tabela e no espaço à esquerda do menu da função fx digite o nome da 
matriz, como mostra a figura, e pressione “Enter”. 
 
 
 
 
 
Se pretende alterar o nome da matriz seleccione a matriz e escolha no menu Insert/Name/Define 
 
Pressione Add. Para apagar o nome original seleccione o nome nesta janela e a alternativa Delete. 
 
 
 
Compilado por B. Mutemba Página 22 de31 
 
6.4 Operações sobre matrizes 
Para operar com matrizes é importante conhecer a dimensão da matriz que se vai obter, pintar correctamente o 
número de células dessa matiz e usar sempre os botões Control-Shft-Enter em simultâneo para obter o 
resultado. 
6.4.1 Adição e subtracção 
Na adição de matrizes estas e o resultado são da mesma dimensão. Assim, para adicionar ou subtrair matrizes 
proceda da seguinte forma: 
1. Seleccione o número de células da matriz resultado (esta depende da dimensão das matrizes dadas) 
2. Insira a fórmula (Note a fórmula pode incluir somas de produtos das matrizes por escalares. Por 
exemplo 
CBA  *
3
1
*4
) 
3. Pressione em simultâneo Control-Shift-Enter 
 
6.4.2 Multiplicação de matrizes 
Só é possível multiplicar matrizes se o número de colunas do multiplicando for igual ao número de linhas do 
multiplicador. A matiz produto é uma matriz com o mesmo número de linhas do multiplicando e igual número 
de colunas que o multiplicador. Para multiplicar matrizes proceda da seguinte forma: 
1. Seleccione o número de células da matriz resultado tendo em conta o que foi dito anteriormente 
2. Insira a fórmula. Por exemplo ),*4( BAMMULT 
3. Pressione em simultâneo Control-Shift-Enter 
 
6.4.3 Matriz inversa 
De forma análogo se determina a matriz inversa de A, usando a fórmula )(AMINVERSE . 
 
Cálculo do determinante 
Para calcular o determinante de uma matriz proceda da seguinte forma: 
1. Introduza a matriz. No exemplo, 2:1 BA 
2. Coloque o cursor na célula 4A e digite a fórmula )2:1( BAMDETERM e pressione Enter 
 
 
6.5 Método de Gauss-Jordan 
Com o Excel pode também se transformar uma matriz noutra equivalente por linhas, procedendo da seguinte 
forma: 
1. Introduza a matriz. No exemplo 3:1 DA 
2. Deixe uma linha de separação entre as matrizes (linha 4) . 
3. Coloque o cursor na célula 5A e digite a fórmula 1A e pressione Enter 
4. Para anular o -5, multiplica-se a primeira linha por 5 e adiciona-se a segunda. Assim, insere-se na célula 
6A a fórmula 21*5 AA  
5. Na célula 7A insira a fórmula 21*2 AA  
6. Seleccione 5A , 6A e 7A , coloque o cursor no quadradinho e desloque o cursor para a direita até a 
coluna D, ficando assim preenchidas as restantes células da matriz. 
7. Deixe uma linha de separação entre as matrizes (linha 8) . 
Compilado por B. Mutemba Página 23 de31 
 
8. Coloque o cursor na célula 9A e digite a fórmula 5A e pressione Enter 
9. Coloque o cursor na célula 10A e digite a fórmula 6A e pressione Enter 
10. Na célula 11A insira a fórmula 23*3 AA  
11. Seleccione 9A , 10A e 11A , coloque o cursor no quadradinho e desloque o cursor para a direita até a 
coluna D, ficando assim preenchidas as restantes células da matriz. 
 
Obtém-se assim uma matriz equivalente por linhas à matriz dada. 
 
 
 
 
 







































383800
201730
7411
6710
201730
7411
8132
15325
7411
 
 
 
 
Exercícios 
 
1. Explique por palavras suas os conceitos: 
a) Matriz quadradab) Matriz diagonal 
c) Matriz linha 
d) Matriz coluna 
e) Diagonal principal de uma matriz 
f) Diagonal secundária 
g) Matriz simétrica e matriz anti-simétrica 
h) Matriz escalar 
i) Matriz identidade 
2. Escreva a matriz quadrada de dimensão 3x3 onde os elementos aij satisfazem a relação aij = 2i + j 
3. Seja 
141
521
111











A e 











2541
521
111
B , determine BAa ) ABb ) BAc
2
1
3) 
 
 BAd  2)  Ae 2
4
3
) 
  ABf )   ,) Ag   com  , constantes 
4. Qual é o valor de x para o qual tAA  sabendo que 










012
2 2
x
x
A
 
5. Escreva a matriz quadrada de dimensão 3x3 onde os elementos aij satisfazem a relação aij = 2i + j 
6. Dadas as matrizes 
 tA 124   tB 202  tA 123  
a) Calcule A + B - C 
b) Encontre a matriz X tal que X + A - B = 0 
7. Sendo











100
010
001
A e 











2541
521
111
B 
a) Determinar a matriz X tal que 3X + A - 2B = 0 
b) Determinar AB 
Compilado por B. Mutemba Página 24 de31 
 
c) determinar 3BA 
8. Sendo 







13
20
A
 e 









114
241
B
 
Calcule os produtos AB e BA 
 
9. Sejam dadas as matrizes  012A e 













27
54
31
B , determine o produto BA 
10. Dadas as matrizes  31A e 









1532
4321
B
, calcule o produto BA 
11. Dadas as matrizes 





 

423
121
A
 e 














1234
2112
3121
B qual será o produto BA ? 
12. Se 
ijcCBA e 
 são elementos de C. Determina o valor do elemento 
34 c
? 
13. Se 
5443 e  BA
 qual é a dimensão de BA ? 
14. Qual será a dimensão de AB considerando as matrizes do exercício anterior? 
15. Determine X se CBAX  2 





 

423
121
A
 









1025
713
B
 








473
951
C
 
16. Calcule os determinantes das matrizes 
 












700
260
732
)a 


















5123
9363
2532
3121
)b 

















9514
4211
1132
3123
)c 





















12752
43225
21341
12432
25123
)d
 


















4132
5271
2452
3121
)e 





















15742
53218
21431
31257
14332
)f
 
 
17. Calcule a característica das matrizes 












604
264
732
)a 


















421
321
142
6105
)b 


















4421
3142
106105
1321
)c 





















3251
2132
2342
1121
2112
)d
 


















23101367
25423
25312
32211
)d 





















76532
31624
17351
24123
25312
)d
 
 
18. Dadas as matrizes determine BA 
 
Compilado por B. Mutemba Página 25 de31 
 


















122
231
312
221
)Aa 














22412
32223
54132
B
 
 
 














10962
3711
5012
)Ab 


















14
25
37
12
B 



















41239
81327
614312
75213
)Ac 



















531
417
259
138
512
B
 
 
19. É dada a matriz 
44A
. Sabendo que 
10A
, qual será o determinante da matriz B, se B resultar das 
seguintes transformações da matriz A: 
a) trocando a primeira e a última linha entre si 
b) trocando os elementos da linha 3 pelos seus quíntuplos 
c) trocando a linha 2 pela soma do dobro da linha 1 e a linha 4 
d) trocando a linha 4 pela soma da linha 4 e o dobro da linha 1 
e) acrescentando uma coluna e uma linha de zeros 
f) acrescentando uma linha e uma coluna igual a coluna 3 
 
20. Determinar a matriz X na equação: 





















13
4
6
.
211
012
101
X 
 
 
 
21. Determinar a matriz transposta de 




















 ihg
fed
cba
ba ) 
141
521
111
) 
 
22. Determinar a matriz inversa das matrizes 
 






45
12
)a
 
123
012
001
)











b 
141
521
111
)











c 
261
753
412
)












d 


















0121
0234
1012
3521
)e 
 
326134
37253
31432
43532
51323
)





















f
 
23. Calcular o determinante das matrizes abaixo: 
Compilado por B. Mutemba Página 26 de31 
 





















































0121
0234
1012
3521
) 
491
512
003
) 
261
753
412
) 
141
521
111
) dcba 
24. Calcular o produto das matrizes abaixo 
 
  











 






















































































4
3
25
37
) 
51
14
32
.
251
231
) 32.
3
1
2
)
2
3
1
2
.3211) 
12
30
.
12
41
32
) 
20
31
21
.
141
521
111
)
fed
cba
 
25. Sabe-se que 
32
53
21











z
y
x
A ,   ijbB  é uma matriz diagonal e 
2094
25126
1032










AB . Determine os 
valores das incógnitas zyx e , . 
26. Sendo 
nmA 
 e 
1nB
, para 0AB qualquer que seja B , a matriz A tem que ser igual a zero? 
27. Sejam 
nmB 
 e 
1nC
 duas matrizes, tais que CABA  , onde A é um vector 1n . Mostre que CB  . 
28. Sejam A e B duasmatrizes tais que 0AB . Pode-se concluir daqui que 0A ou 0B ? Justifique. 
29. Se AB = 0, então BA = 0? Justifique. 
30. Para que 
02 A
 é preciso que 0A ? Justifique. 
31. Ache todas as matrizes quadradas de ordem dois, tais que AA 2 . 
32. A matriz B foi obtida a partir da matriz 
44A
 pelas seguintes operações elementares: 
 Multiplicação da linha 
1L
 por 2. 
 Troca da linha 
2L
 pela linha 
3L
. 
 Substituição da linha 
4L
 por 
14 2LL 
 
Sabendo que 
2A
, calcule 
B
. 
 
33. Dada a matriz 


















0012
2135
0020
0103 2
a
a
A 
 Determine todos os valores de Ra para que 
0A
. 
 
34. Os elementos aij de uma matriz inteira Anxn representam os custos de transporte da cidade i para a cidade 
j. Dados n itinerários, cada um com k cidades, calcular o custo total para cada itinerário. 
 
 
Exemplo: 
 
O custo do itinerário 0 3 1 3 3 2 1 0 é 
Compilado por B. Mutemba Página 27 de31 
 
41751254001310213233133103  aaaaaaa
 
 
35. Considere n cidades numeradas de 0 a 1n que estão interligadas por uma série de estradas de sentido 
único. As ligações entre as cidades são representadas pelos elementos de uma matriz quadrada Lnxn, 
cujos elementos lij assumem o valor 1 ou 0, conforme exista ou não estrada directa que saia da cidade i e 
chegue à cidade j. Assim, os elementos da linha i indicam as estradas que saem da cidade i, e os 
elementos da coluna j indicam as estradas que chegam à cidade j. 
Por convenção lii = 1. Na figura pode-se ver um diagrama para n = 4. 
 
a) Represente a matriz L 
b) Com base na matriz como é que pode determinar quantas estradas saem e quantas chegam à 
cidade k, k=0, 1, 2, 3. 
c) A qual das cidades chega o maior número de estradas? 
d) Dado k, verificar se todas as ligações directas entre a cidade k e outras são de duplo sentido. 
e) Indicar as cidades que possuem saídas directas para a cidade k. 
f) Indicar, se existirem: 
 i. as cidades isoladas, isto é, as que não têm ligação com nenhuma outra; 
ii. as cidades das quais não há saída, apesar de haver entrada; 
iii. as cidades das quais há saída sem haver entrada. 
g) Dada uma sequência de m inteiros cujos valores estão entre 0 e n-1, verificar se é possível 
realizar o roteiro correspondente. No exemplo dado, o roteiro representado pela sequência (m=5) 
2 3 2 1 0 é impossível. 
h) Dados k e p, determinar se é possível ir da cidade k para a cidade p pelas estradas existentes. 
Encontrar o menor caminho entre as duas cidades? 
i) Dado k, determinar se é possível, partindo de k, passar por todas as outras cidades apenas uma 
vez e retornar a k. 
 
36. Uma indústria constrói uma certa máquina em dois modelos diferentes A e B. O modelo A utiliza, entre 
outros componentes, 40 resistores, 30 capacitores e 70 diodos, enquanto o modelo B utiliza 30 
resistores, 20 capacitores e 90 diodos. A indústria pretende fabricar no mês de Setembro, 120 máquinas 
do modelo A e 180 máquinas do modelo B e no mês de Outubro, 200 máquinas do modelo A e 100 
máquinas do modelo B. Calcule apresentado todos os cálculos: 
 
a) das quantidades de componentes de cada tipo necessárias para a produção dos modelos A e B 
nos dois meses. 
b) do custo total de fabricação dos dois modelos, relativo a esses componentes nos dois meses, 
sabendo-se que cada resistor custa $ 5, cada capacitor custa $ 8 e cada diodo custa $10. 
 
37. Encontrar a matriz A, tal que 
Compilado por B. Mutemba Página 28 de31 
 
 
32xij
aA 
 e 
 se ,2
 se ,1
 se ,2
2










ji
jii
ji
a
ji
ij
n 
 
38. Escrever a matriz 
 
33xij
bB 
 e 
 
 se ,
 se ,






jii
jii
b
j
ij
 
39. Dada a matriz determine a média aritmética dos elementos que possuem ji  
 
23xij
cC  e 
 se ,1
 se ,2







jij
jij
b
ji
ij
 
40. Cacular a soma dos elementos da diagonal principal da matriz
22)( xijaA 
, tal que 
 
 
 se ,
 se ,2
1






 jii
jiji
a
jij
 
41. Encontrar AAt  , sendo 
22)( xijaA 
, tal que 






jiji
jiji
aij
 se ,
 se , 
 
42. Calcular os valores de x e y para os quais a matriz 









yx
yx
A
1
0 é idempotente. 
 
43. Encontrar o valor de x + y – z, sabendo- se que: 













120
010
01
yx
xzyx
A 
é uma matriz identidade. 
 
44. Um construtor tem contracto para construir três estilos de casa: moderno, mediterrâneo, e colonial. A 
quantidade de material empregue em cada tipo de casa é dada pela tabela: 
 
 
 Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo 
Moderno 5 20 16 7 17 
Mediterrâneo 7 18 12 9 21 
colonial 6 25 8 5 13 
 
a) Se ele pretende construir 5, 7, e 12 casas do tipo moderno, mediterrâneo e colonial respectivamente, 
quantas unidades de cada material serão empregues? 
b) Supondo que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 
15, 8, 5, 1 e 10, qual é o preço unitário de cada tipo de casa? 
c) Qual é o custo total do material empregue? 
 
45. Dada a matriz 









14
32
B
, determine: 
a) B b) tB c) 1B 
d) Compare o resultado das alíneas a) e b) 
e) Compare o resultado dasalíneas a) e c) 
Compilado por B. Mutemba Página 29 de31 
 
46. Dada a matriz 













223
012
222
C
, determine: 
f) C g) tC h) 1C 
i) Compare o resultado dasalíneas a) e b) 
j) Compare o resultado dasalíneas a) e c) 
47. Relacione o determinante de uma matriz A com o determinante da sua matriz transposta. 
48. Relacione o determinante de uma matriz A com o determinante da sua matriz transposta. 
49. As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At é a matriz transposta de A. 
Se o determinante de B é igual a 40 , qual será o valor do o determinante da matriz inversa de A? 
 
50. Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz 
33)(  ijaA
, onde 
jijiaij  se 
 
ou 
jijiaij  se 
. Qual o determinante de A? 
 
51. Seja a matriz A de ordem n onde 
2ija
 para ji  e 0ija para ji  . De que ordem é a matriz 
A se det (3A) = 1296. 
 
52. Se  
ijaA 
 é uma matriz quadrada de ordem 3 tal quejiaij 
, qual será o valor do determinante da 
matriz A5 ? 
 
53. Demonstre que a matriz 



















0100
5132
1300
0420
A 
tem característica 4 
. 
54. Para que valoresde K a característica da matriz é: 
a) igual a 4 
 
b) igual a 3 c) igual 2 


















1000
0200
320
5321
k
k
k
B 
55. Determine K por forma que a característica da matriz 

















399
222
0111
1344
k
k
E 
seja inferior a 4. 
 
56. Resolva graficamente o sistema 





62
0
yx
yx 
 
 
57. Encontre todas as matrizes X de tipo 3x4 tais que 0AX , com 
Compilado por B. Mutemba Página 30 de31 
 














632
652
321
A 
 
 
58. Estabeleça uma relação entre a, b e c de modo que o sistema 








062
224
12
czyx
bzyx
azyx
 
a) seja possível e determinado. 
b) seja impossível. 
 
59. Considere o sistema de equações lineares 








czy
bwz x
awzyx
8w 84 
43 
2 12 32
 
a) Estabeleça uma relação entre a, e c para que o sistema seja possível. 
b) Determine a solução geral do sistema indicado, sabendo que 
 
t
x 





 00
3
1
11
 
é uma solução particular. 
 
60. Encontre os valores do parâmetro k para os quais o sistema 
 






033
66 2
13 2
zkyx
zkyx
zyx
 
tem: 
a) uma solução; 
b) nenhuma solução; 
c) uma infinidade de soluções. 
 
 
 
 
61. Resolva o sistema BAX  , com 







13
14
A
 








31
21
B
 
62. Considere o seguinte sistema de equações lineares 








baxxx
axaxx
xxx
321
321
321
122
1
 
Discuta o sistema para diferentes valores de a e de b. 
 
63. Determine R de modo que o sistema 








0
022
0
zyx
zy
zyx



 
admita somente a solução trivial. 
 
Compilado por B. Mutemba Página 31 de31 
 
64. Estabeleça uma relação entre a, b e c de modo que o sistema 








062
224
12
czyx
bzyx
azyx
 
a) seja possível e determinado. 
b) seja impossível. 
 
65. Discuta, segundo os valores do parâmetro real p, os sistemas 
a) 
 
 








22
1
1
ppypx
zpyx
pzyx
 
 
b) 
 
 








232
021
11
pzpyx
zyxp
pzpyx
 
66. Discuta, em função dos parâmetros reais e o seguinte sistema de equações: 








abazyx
bbzyax
azyx
 
67. Classifique em função do parâmetro real a o seguinte sistema: 
 






24
2
4
2 aza
z
zyx
 
68. Resolva os sistemas 
 








1124
8432
2
)
zyx
zyx
zyx
a 











423
10473
2342
13
)
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
b 











54321
4321
4321
4321
0253
52384
223
3573
)
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
c 
 













16253
62232
15452
0332
123
)
54321
54321
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
d
 
 
 
http://www.mat.ufmg.br/gaal/exercicios/exercicios.html 
http://www.ime.usp.br/~macmulti/exercicios/extra/index.html