Lista5 Vetores, retas e planos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
Campus Blumenau
Disciplina: BLU6005 – A´lgebra Linear
Professor: Bruno Tadeu Costa (b.t.costa@ufsc.br)
5a Lista de Exerc´ıcios
1. Calcule a norma dos vetores u1 = (2, 2, 2), u2 = (−7, 2,−1) e u3 = (0,−7, 0).
Calcule tambe´m:
(a) u1 · u2
(b) u1 × u2
(c) ‖3u3 − 5u1 + u2‖
(d) ‖u3 × u1‖
2. Explique com suas palavras a regra da ma˜o direita.
3. Calcule u · v e o aˆngulo θ entre u e v. Represente os vetores e indique o aˆngulo θ.
(a) u = (1,−5, 4) e v = (3, 3, 3) (b) u = (−2, 2, 3) e v = (1, 7,−4)
4. Verifique que:
(a) o vetor η = (2,−1) e´ perpendicular a` reta 2x− y + 3 = 0;
(b) o vetor η = (a, b), para todo a, b ∈ R, e´ perpendicular a` reta ax + by + c = 0, em
que c ∈ R.
5. Sejam u = (−3, 1, 2), v = (4, 0,−8) e w = (6,−1,−4). Calcule:
(a) u× (v × w); (b) u · (v × w); (c) ‖w × v‖.
6. (a) Calcule a a´rea do paralelogramo determinado pelos u = (1,−1, 2) e v = (0, 3, 1);
(b) Qual e´ a a´rea do triaˆngulo determinado por u, v e u− v?
(c) Calcule a a´rea do triaˆngulo determinado pelos pontos P = (2, 6,−1), Q = (1, 1, 1)
e R = (4, 6, 2)?
7. Mostre que se a, b e c sa˜o na˜o-nulos, enta˜o a reta
x = x0 + at
y = y0 + bt t ∈ R
z = z0 + ct
consiste dos pontos (x, y, z) ∈ R3 satisfazendo
x− x0
a
=
y − y0
b
=
z − z0
c
Estas sa˜o chamadas de equac¸o˜es sime´tricas da reta.
8. Encontre a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto P e e´ paralela ao vetor v:
(a) P = (−1, 2, 3) e v = (7,−1, 5)
(b) P = (2, 0,−1) e v = (1, 1, 1)
(c) P = (2,−4, 1) e v = (0, 0,−2)
9. Determine as equac¸o˜es sime´tricas para as retas dos itens (a) e (b) do Exerc´ıcio 8.
10. Determine a equac¸a˜o parame´trica da reta dada pela intersec¸a˜o dos seguintes planos:
(a) 7x− 2y + 3z = −2 e −3x+ y + 2z + 5 = 0;
(b) 2x+ 3y − 5z = 0 e y = 0
11. Sejam A e B dois pontos distintos em R3. O que a equac¸a˜o
s(t) = (1− t)A+ tB, t ∈ [0, 1],
representa geometricamente?
12. Encontre o aˆngulo formado entre a reta
x− 9 = −5t
y + 1 = −t t ∈ R
z − 3 = t
e o plano
2x− 3y + 4z + 7 = 0.
13. Determine as equac¸o˜es:
(a) da reta correspondente ao eixo x;
(b) da reta correspondente ao eixo y;
(c) da reta correspondente ao eixo z;
(d) do plano xy;
(e) do plano yz;
(f) do plano xz.
14. Mostre que a reta
x = 0
y = t t ∈ R
z = t
(a) pertence ao plano 6x+ 4y − 4z = 0;
(b) e´ paralela ao plano 5x− 3y + 3z = 1;
(c) e´ perpendicular ao plano y + z = 0.
15. Encontre a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto P e tem normal n:
(a) P = (−1, 2, 4) e n = (−2, 4, 1);
(b) P = (2, 0,−5) e n = (−1, 4, 3);
(c) P = (0, 0, 0) e n = (a, b, c)
16. Encontre a equac¸a˜o do plano que:
(a) passa pelo ponto (3,−6, 7) e e´ paralelo a 5x− 2y + z = 5;
(b) passa por (2, 4,−1) e conte´m a intersec¸a˜o de x− y − 4z = 2 e −2x+ y + 2z = 3;
17. Considere as retas
r : X = (2, 0,−1) + t(2, 1, 1), t ∈ R
s : X = (0,−1,−2) + t(1, 1, 1), t ∈ R
Calcule o aˆngulo e a distaˆncia entre as retas r e s.
18. Ache todas as retas que passam pelo ponto (1, 2, 3) e que formam aˆngulos de 45o e 60o
com os eixos x e y, respectivamente. Determine a distaˆncia destas retas a` origem.
19. Considere o ponto P = (3, 4,−2) e a reta r =

x = 1 + t
y = 2− t
z = 4 + t
, ∀t ∈ R.
Escreva a equac¸a˜o do plano pi perpendicular a` r e que passa por P
20. Verifique que a intersec¸a˜o de pi1 : x− y = 0, pi2 : x + z = 0 e pi3 : x− y + 3z + 3 = 0 e´
um u´nico ponto.
21. Determine a equac¸a˜o do plano pi que passa por A = (10/3, 1, 1), B = (1, 9/2, 1) e
C = (1, 1, 5/6).
22. Seja pi1 o plano que passa pelos pontos A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1), C = (1, 1, 0) e pi2 o
plano que passa pelos pontos P = (0, 0, 1), Q = (0, 0, 0) e e´ paralelo ao vetor (1, 1, 0).
Ache o aˆngulo entre pi1 e pi2.
Livro: Geometria Anal´ıtica um tratamento vetorial – Paulo Boulos & Ivan de Camargo –
3a edic¸a˜o
Cap´ıtulo 20:
20− 1, 20− 10 d), 20− 21