Integrais_Trigonometricas

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Universidade Estadual de Santa Cruz - UESC
Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas - DCET
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Prof.: Liliane X. Neves
Aluno(a):_________________________ ______________________
INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS
Usaremos as identidades trigonométricas para integrar certas combinações de funções trigonométricas.
sin2(x) + cos2(x) = 1
sec2(x) = 1 + tan2(x)
csc2(x) = 1 + cot2(x)
cot2(x) = csc2(x)− 1
ESTRATÉGIA 1: Avaliar
∫
sinm(x) cosn(x)dx
a) Se a potência do cosseno é ímpar, use cos2(x) = 1− sin2(x). Neste caso, substitua u = sin(x).
b) Se a potência do seno é ímpar, use sin2(x) = 1− cos2(x). Neste caso, substitua u = cos(x).
c) Se as potências de seno e cosseno são pares, utilizamos as identidades dos ângulos-metade:
sin2(x) =
1− cos(2x)
2
e cos2(x) =
1 + cos(2x)
2
.
Às vezes é útil usar sin(x) cos(x) =
1
2
sin(2x). Se ambos os fatores do seno e dos cosseno são ímpares, podemos utilizar
(a) ou (b).
Exemplo 1 Calcular
∫ pi/2
0
cos3(x)dx.
Exemplo 2 Calcular
∫
sin5(x) cos2(x)dx.
Exemplo 3 Calcular
∫ pi
0
sin2(x)dx.
Exemplo 4 Calcular
∫
sin4(x)dx.
ESTRATÉGIA 2: Avaliar
∫
tanm(x) secn(x)dx
a) Se a potência da secante é par (n = 2k, k ≥ 2), guarde um fator de sec2(x) e use sec2(x) = 1+tan2(x). Neste caso,
substitua u = tan(x).
b) Se a potência da tangente é ímpar (m = 2k + 1), guarde um fator de sec(x) tan(x) e use tan2(x) = sec2(x) − 1.
Neste caso, substitua u = sec(x).
Exemplo 5 Calcular
∫
tan6(x) sec4(x)dx.
Exemplo 6 Calcular
∫
tan5(θ) sec7(θ)dθ.
ESTRATÉGIA 3: Avaliar
∫
cotm(x) csc cscn(x)dx
a) Se a potência da cossecante é par (n = 2k, k ≥ 2), guarde um fator de csc2(x) e use csc2(x) = 1 + cot2(x). Neste
caso, substitua u = cot(x).
b) Se a potência da cotangente é ímpar (m = 2k + 1), guarde um fator de csc(x) cot(x) e use cot2(x) = csc2(x)− 1.
Neste caso, substitua u = csc(x).
Exemplo 7 Calcular
∫
cot3(x) csc3(x)dx.
OUTRAS IDENTIDADES:
Integrais Identidade Trigonométrica∫
sin(mx) cos(nx)dx sinA cosB = (1/2)[sin(A−B) + sin(A+B)]∫
sin(mx) sin(nx)dx sinA cosB = (1/2)[cos(A−B)− cos(A+B)]∫
cos(mx) cos(nx)dx cosA cosB = (1/2)[cos(A−B) + cos(A+B)]
Exemplo 8 Calcular
∫
sin(4x) cos(5x)dx.
Algumas vezes precisamos usar as definições das funções trigonométricas, integração por partes ou até mesmo um
pouco de engenhosidade.
Exemplo 9 Calcular
∫
tan(x)dx.
Exemplo 10 Calcular
∫
sec(x)dx.
Exemplo 11 Calcular
∫
tan3(x)dx.
Exemplo 12 Calcular
∫
sec3(x)dx.
2