AP3 metdet II 2016.2

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP3 – Me´todos Determin´ısticos II
Questa˜o 1 [1,5pts] Considere a func¸a˜o f(x) = 16−x
2
(x−2)2 . Calcule o dom´ınio e as suas assintotas.
Soluc¸a˜o: [0,8 pelo dom´ınio + 0,1 por cada um dos 6 limites envolvidos +0,2 se apontar quais sa˜o
as ass´ıntotas]
O denominador da frac¸a˜o precisa ser 6= 0. Enta˜o x 6= 2. Dai, Df = {x ∈ R : x 6= 2}.
Precisamos calcular 4 limites:
lim
x→2+
16− x2
(x− 2)2 , limx→2−
16− x2
(x− 2)2
Observe que estes dois limites tendem ambos para +∞, uma vez que o numerador tende para 12 e
o denominador sempre tende a zero com valores positivos. Ja´ os outros dois limites temos
lim
x→±∞
16− x2
(x− 2)2 = limx→+∞
x2
x2
16/x2 − 1
1− 4/x+ 4/x2 = −1.
Portanto, temos que x = 2 e´ uma ass´ıntota vertical e y = −1 uma ass´ıntota horizontal.
Questa˜o 2 [1,5pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Calcule e fac¸a a analise do sinal
de f ′(x) e f ′′(x).
Soluc¸a˜o: [0,5pt pela f ′+ 0,4 pelo estudo do sinal da f ′+ 0,4 pela f ′′ + 0,2 pelo estudo do sinal
da f ′′]
Derivando temos
f ′(x) =
−2x(x− 2)2 − (16− x2)× 2(x− 2)
(x− 2)4 =
−2x(x− 2)− 2(16− x2)
(x− 2)3
=
−2x2 + 4x− 32 + 2x2
(x− 2)3 =
4x− 32
(x− 2)3
Observe que f ′(x) = 0 ⇔ 4x − 32 = 0 ⇔ x = 8. Ale´m disso, tanto no numerador como no
denominador temos func¸o˜es que alternam o sinal. Fazendo a ana´lise do sinal obtemos
Logo, f e´ crescente em (−∞, 2) ∪ (8,∞) e tem m´ınimo relativo = f(8) = −4/3.
Derivando mais uma vez obtemos
f ′′(x) =
4(x− 2)3 − (4x− 32)× 3(x− 2)2
(x− 2)6 =
4(x− 2)− 3(4x− 32)
(x− 2)4
=
−8(x− 11)
(x− 2)4
Da´ı tiramos que a concavidade tem boca voltada para cima em (−∞, 11) e para baixo em (11,+∞).
Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 2
Questa˜o 3 [1,0pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico e
explique o comportamento de f(x).
Soluc¸a˜o: A partir destas informac¸o˜es estamos prontos para fazer um esboc¸o do gra´fico. Iniciamos
tracejando as retas x = 2 e y = −1. Feito isto, recordemos que em ambos os lados de x = 2 a
func¸a˜o vai para o mais infinito. A func¸a˜o deve se aproximar de −1 quando vai x → −∞ e ate´ 2
e´ crescente e tem boca voltada para cima. Para valores maiores que x = 2 deve recordar que em
x = 8 a func¸a˜o tem um m´ınimo e que a direita de x = 11 a boca volta para baixo.
Questa˜o 4 [2,0pts] A receita R em func¸a˜o da quantidade de dinheiro x investida em propaganda
e´ dada por
R(x) =
5x− 200
x− 5 ,
sendo tanto R quanto x sa˜o medidos em milhares de reais. Considerando os conceitos de limites,
determine:
a) a receita obtida, teoricamente, caso na˜o se investisse em propaganda;
b) o que ocorre quando se investe entre R$ 4 000, 00 e R$ 5 000, 00;
c) a partir de que valor valeria a pena investir em propaganda;
d) se existe um valor de saturac¸a˜o, ou seja, na˜o adiantaria investir mais pois a receita na˜o o ultra-
passaria
Soluc¸a˜o: [cada item vale 0,5pt] a) caso na˜o se investisse em propaganda a receita obtida seria o
valor de R para x = 0, ou seja, 40 mil reais.
b) se 4 < x < 5 o numerador da frac¸a˜o e´ um nu´mero negativo e o denominador e´ um nu´mero
negativo. Portanto, a receita e´ positiva. Ale´m disso, como lim
5x− 200
x− 5 = +∞. Podemos alcanc¸ar
qualquer receita basta aplicarmos um valor pro´ximo de 5 000, 00.
c) considerando o valor que se obteˆm se na˜o fizer propaganda, e´ de 40 000, resolvendo
R(x) > 40⇔ 5x− 200
x− 5 − 40 > 0⇔ −
35x
x− 5 > 0.
Como x ≥ 0, segue que −35x < 0, logo para que R(x) > 40 ocorra devemos ter x−5 < 0⇔ x < 5.
d) Veja que
lim
x→+∞
5x− 200
x− 5 = limx→+∞
(x
x
) 5− 200/x
1− 5/x = 5.
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Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 3
Portanto, na˜o se ganha mais do que 50 mil, na˜o importando quanto se invista em propaganda.
Questa˜o 5 [1,4pt] Resolva as seguintes integrais: a)
∫
x3 − 6x+ 1 dx, e b) ∫ 2t2−t1/2−1
t2
dt.
Soluc¸a˜o: [Cada item vale 0,7pt] a)∫
x3 − 6x+ 1 dx = x
4
4
− 3x2 + x.
b) ∫
2t2 − t1/2 − 1
t2
dt =
∫
2− t−3/2 − t−2 dt = 2t+ 2
t1/2
+
1
t
.
Questa˜o 6 [1,6pt] Fac¸a o esboc¸o da regia˜o entre as curvas y = x4 − 1 e y = x − x3 e calcule a
a´rea entre estas curvas.
Soluc¸a˜o: [0,6pt se encontrar os pontos de intersec¸a˜o e fazer o esboc¸o da regia˜o +0, 5pt se montar
a integral corretamente +0, 5pt se calcular corretamente a integral.] Veja que x4 − 1 = x− x3 =⇒
x4 + x3 − x − 1 = 0. E este polinoˆmio tem x = −1 e x = 1 como ra´ızes. Dividindo o polinoˆmio
x4 + x3 − x− 1 por (x− 1)(x+ 1) = x2 − 1 obtemos x4 + x3 − x− 1 = (x2 − 1)(x2 + x+ 1). O
polinoˆmio x2 + x+ 1 na˜o tem ra´ızes reais pois o discriminante e´ = 12 − 4× 1 = −3 < 0. Portanto,
os polinoˆmios iniciais so´ se encontram em x = −1 e x = 1. Fazendo o gra´ficos obtemos:
A´rea =
∫ 1
−1
x− x3 − (x4 − 1) dx
=
∫ 1
−1
−x4 − x3 + x+ 1 dx =
[
−x
5
5
− x
4
4
+
x2
2
+ x
]1
−1
=
(
−1
5
− 1
4
+
1
2
+ 1
)
−
(
1
5
− 1
4
+
1
2
− 1
)
=
8
5
Questa˜o 7 [1,0pt] Calcule a derivada de: a) g(x) =
√
1−x2
x
e b) h(t) =
(
t− 1
t
)3/2
.
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Me´todos Determin´ısticos 2 AP3 4
Soluc¸a˜o: [Cada item vale 0,5pt] a)
g′(x) =
(√
1− x2)′ x−√1− x2 × (x)′
x2
=
(
−2x
2
√
1−x2
)
x−√1− x2
x2
=
−x2 − (1− x2)
x2
√
1− x2 =
−x2 − 1 + x2
x2
√
1− x2
= − 1
x2
√
1− x2
b)
h′(t) =
3
2
(
1
t2
+ 1
)√
t− 1
t
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