Aulas de 1 à 10 de Resistência dos Materiais 2.docx

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Resistência dos Materiais 2 | Douglas Villy da Silva dos Santos
Resistência dos Materiais 2 | Douglas Villy da Silva dos Santos
Aula 1 - Propriedades Geométricas de Áreas Planas (parte 1)
Introdução
Este curso é delimitado pelo estudo de elementos estruturais retos, comumente conhecidos como elementos de barras. Apesar de serem tridimensionais, as barras possuem uma de suas dimensões muito maior do que as outras duas, sendo, por esta razão, muitas vezes representadas por um segmento de reta.
Em Resistência dos Materiais I foram estudadas as barras sujeitas à tração, compressão e corte. Agora este estudo terá continuidade com as mesmas barras, só que submetidas a outras situações: torção, flexão simples e flexão composta. Também será estudado o fenômeno da flambagem, quando as barras, sujeitas a compressões excessivas, podem entrar em um processo de instabilidade estrutural.
No processo de projeto de Engenharia Estrutural, um dos maiores desafios é especificar a geometria adequada para a seção transversal da barra estudada, sendo ela uma viga, um pilar, uma barra de treliça ou um componente mecânico de um equipamento.
A forma genérica da estrutura e o material são decisão de projeto que se refina ao longo do processo. As solicitações dependem do contexto do projeto. Em alguns casos, como nos elementos de aço ou madeira, o último passo é especificar a seção transversal adequada para cada barra.
Nas estruturas de concreto armado e protendido o processo continua além da determinação da seção, pois há a necessidade de se calcular a armação.
Para que se decida tanto a forma quanto as dimensões adequadas a uma barra, torna-se necessário conhecer a influência das propriedades geométricas da seção no seu comportamento.
Caso se chegue à conclusão de que as dimensões inicialmente consideradas para um elemento não estão adequadas, seja por falta ou por excesso de resistência, o que fazer? Aumentar a altura, a largura, os dois ou alterar a forma? Qual a melhor solução considerando resistência, custo e eventualmente até a estética?
O passo inicial para responder a esses questionamentos passa pelo estudo das propriedades geométricas das áreas. Por isso, esta aula se concentra na determinação das seguintes propriedades de uma área plana:
Momento estático;
Centro geométrico (centroide);
Momento de inércia.
Momento Estático
Você já sabe que o momento de uma força, em relação a um ponto ou eixo, é calculado através do produto da força pelo braço de alavanca, que é a distância da linha de ação da força até o ponto ou eixo considerado.
De forma similar, podemos entender o momento estático de uma área como o produto entre o valor da área e a distância do centroide da área considerada até o eixo de referência que escolhemos para determinar o momento estático.
O produto de uma área por uma distância nos leva a uma unidade para o momento estático que é o cubo do comprimento, embora não se trate de um volume!
Como as formas nem sempre são bem-comportadas, vamos, agora, pensar de maneira genérica. Como calcular o momento estático de uma área infinitesimal ?
Agora vamos generalizar.
O momento estático da área infinitesimal , em relação aos eixos e , são obtidos através do produto entre a área e a distância medida entre o centroide da referida área e o eixo de referência. Assim, os momentos estáticos podem ser obtidos da seguinte forma:
Portanto, para contabilizarmos o momento estático da figura genérica, devemos somar as contribuições de cada área pertencente à área considerada.
Para isso, temos que usar os recursos desenvolvidos em cálculo integral.
Observação: Supondo que as medidas de comprimento utilizadas estejam especificadas em cm, o momento estático calculado estaria em cm3, embora não se trate de um volume, conforme já foi comentado.
Como primeira prática, será escolhida uma área em forma de retângulo para facilitar o entendimento e as ideias fluírem com mais facilidade.
Seja um retângulo genérico de base b e altura h. O objetivo da prática é determinar os momentos estáticos do retângulo em relação ao eixo x e em relação ao eixo y. Como já está apresentado na figura, optou-se por utilizar a área para o cálculo de e a área para o cálculo de 
Iniciando pelo cálculo de :
Agora o cálculo de :
Evoluindo para o caso de uma seção não retangular, as determinações dos momentos estáticos seguem exatamente o mesmo raciocínio, apenas recaindo em cálculos mais elaborados.
Uma nova prática proposta é o cálculo do Momento Estático () para o caso de uma seção trapezoidal, com uma base b1 e outra b2, conforme a figura.
Evoluindo para o caso de uma seção não retangular, a determinação dos momentos estáticos segue exatamente o mesmo raciocínio, apenas recaindo em cálculos mais elaborados.
Uma nova prática proposta é o cálculo do Momento Estático (Msx) para o caso de uma seção trapezoidal, com uma base b1 e outra b2, conforme a figura.
Como a base b varia ao longo da altura de um valor b1 até um valor b2, é preciso construir matematicamente esta variação.
Para , e para , 
A função que representa a largura do trapézio ao longo de sua altura será:
A variação ao longo da altura vale a diferença entre b1 e b2 para a altura h. Portanto, ela poderá ser avaliada como 
Assim, a largura do trapézio em qualquer ponto será:
Por último, uma seção em forma de I composta por 3 retângulos:
Da mesma forma que utilizamos o recurso da integral para somar as contribuições dos elementos infinitesimais, podemos somar os momentos das figuras conhecidas, que são os 3 retângulos.
A posição do eixo de referência influencia no cálculo do momento estático.
O esquema mostra que:
Figuras ou trechos de figuras posicionadas no 1º quadrante terão momentos estáticos positivos porque as distâncias medidas até as áreas serão positivas;
Figuras ou trechos de figuras posicionadas no 2º quadrante terão valores positivos para distâncias verticais e negativos para as horizontais, gerando momentos estáticos positivos em relação ao eixo X e negativos em relação ao eixo Y;
Figuras ou trechos de figuras posicionadas no 3º quadrante terão valores negativos para distâncias verticais e horizontais causando momentos estáticos negativos em relação aos eixos X e Y;
Figuras ou trechos de figuras posicionadas no 4º quadrante terão valores negativos para distâncias verticais e positivos para os horizontais causando momentos estáticos negativos em relação ao eixo X e positivos em relação ao eixo Y.
A simetria leva a momento estático nulo!
Centro Geométrico (Centroide)
Na seção anterior, foi vista a forma de se determinar o momento estático de uma figura plana genérica, em relação a eixos referenciais, que podem ser posicionados em qualquer lugar.
Também foi visto que o momento estático, em relação a um eixo, é calculado pelo produto de uma área pela distância dela até o eixo.
Agora, vamos pensar um pouco!
O que aconteceria se houvesse 2 áreas posicionadas de forma simétrica, em relação ao eixo de referência, conforme a figura a seguir?
Resposta:
O momento estático de cada área , em relação ao eixo de referência, pode ser obtido pelo produto de por . Mas, se entendermos que a distância superior é positiva e a inferior é negativa, o momento de uma anula o da outra.
Portanto, o momento estático seria nulo.
Essa ideia leva ao entendimento do que representa o centro geométrico de uma figura plana:
Cada figura plana possui um único centro geométrico;
O momento estático da figura, se calculado em relação a eixos referenciais posicionados neste ponto, será nulo.
Portanto, para se determinar o local exato onde o momento estático será nulo, deve-se primeiramente posicionar os eixos em qualquer lugar, e determinar o momento estático em relação a ele. Com isso, teremos a soma das áreas de cada elemento infinitesimal multiplicada pela distância de cada uma delas até o eixo de referência, o que equivale dizer que:
O momento estático de uma figura geométrica, em relação a um eixo referencial, é igual aoproduto da área total da figura pela distância de seu centro geométrico até o eixo referencial.
Dessa forma, calculando o momento estático de uma figura, em relação a um eixo de referência, pode-se facilmente determinar seu centro geométrico.
Foi visto, no item anterior, que o momento estático pode ser calculado da seguinte forma:
Assim, o momento estático representa o valor da área da figura multiplicado pela distância de seu centro geométrico até o eixo de referência utilizado na determinação do momento estático.
Portanto, podemos igualar os momentos estáticos calculados ao produto da área pelo centro geométrico conforme a seguir:
Uma vez que esse item tem como objetivo a determinação da localização do centro geométrico de uma figura genérica, pode-se dizer que:
Portanto, o centro geométrico de uma figura pode ser obtido dividindo-se o momento estático pela área da figura.
Prática: Verificar que o centro geométrico de um triângulo fica realmente posicionado a 1/3 da altura.
A solução do problema parte da definição da função que determina a largura de ao longo da altura do triângulo. A largura varia de b até zero ao longo da altura h.
Portanto, a função será:
Cálculo do momento estático em relação ao eixo X:
Cálculo de (y):
Para situações onde a figura geométrica é formada pela composição de figuras conhecidas, pode-se utilizar o mesmo raciocínio, somando os efeitos de cada figura que participa da composição.
Prática: Localize o centroide da figura:
Organização dos dados em tabela:
	
	Área
	x
	y
	xA
	yA
	Xcg
	Ycg
	mesa
	24
	0
	11,5
	0
	276
	
	
	alma
	20
	0
	5
	0
	100
	
	
	Total
	44
	
	
	0
	376
	0
	8,545 cm
Momento de Inércia
O momento de inércia representa a inércia (resistência) associada à tentativa de giro de uma área, em torno de um eixo, e pode ser representado numericamente através do produto da área pelo quadrado da distância entre a área e o eixo de referência.
Portanto, a diferença entre o momento estático e o momento de inércia é que, no momento de inércia, a área é multiplicada pelo quadrado da distância e não simplesmente pela distância como já vimos.
Destaque: Quanto mais distante a área estiver do eixo de rotação, maior resistência ela oferece ao giro. Por essa razão, a patinadora, ao encolher os braços, durante o movimento de giro, aumenta a velocidade de rotação.
Na Engenharia, podemos exemplificar através do comportamento das vigas sob flexão. Quanto mais área afastada do centro, mais rígida será a viga e, como consequência, menos ela se deformará. Por isso, os perfis metálicos em forma de I são tão utilizados.
Dessa forma, podemos escrever diretamente as equações para o momento de inércia:
Como já temos certa experiência, podemos ir direto a mais uma Prática. Determinação do momento de inércia de um retângulo:
Teorema de Steiner ou eixos paralelos
O teorema dos Eixos Paralelos determina que o momento de inércia I, de uma área relativamente a um eixo arbitrário AA’, é igual ao momento de inércia I, segundo o eixo que passa no centroide da área (BB’) mais o produto da área pelo quadrado da distância entre eixos.
O uso deste teorema permite facilitar a determinação do momento de inércia de áreas compostas formadas por figuras conhecidas, como na prática seguinte:
Vamos começar determinando a altura do centroide já que a figura é simétrica se considerarmos um eixo vertical no centro da peça.
Nesta aula, você:
Determinou o momento estático de uma área plana;
Determinou o centroide de uma área plana;
Determinou o momento de inércia de uma área plana.
Na próxima aula, você estudará:
Produto de Inércia e Momento Polar de Inércia;
Momentos Principais de Inércia;
Raio de Giração.
Aula 2 - Propriedades Geométricas de Áreas Planas (parte 2)
Introdução
Esta aula é continuação da anterior e encerra o tema Propriedades Geométricas das Áreas no contexto da Resistência dos Materiais.
Como já foi dito, essas propriedades serão importantes no desenvolvimento da disciplina, pois o estudo do comportamento estrutural dos elementos de barra sujeitos a diversas solicitações, principal objeto deste curso, tem forte dependência da forma e das dimensões da seção transversal adotada para cada elemento.
Nos cálculos relativos ao modelo matemático, que representa o comportamento das barras, a seção transversal é representada pelas suas propriedades geométricas.
Produto de Inércia
De uma forma geral, como já foi visto na aula anterior, o momento de inércia de uma área pode assumir valores diferentes para cada sistema de eixos de referência que venha a ser adotado no cálculo.
Será visto mais tarde que, em algumas situações de projeto estrutural ou mecânico, torna-se necessário reconhecer os valores máximos e mínimos do momento de inércia das áreas das seções transversais das barras analisadas.
Veremos ainda, nesta aula, que o procedimento para a determinação dos máximos e mínimos passa pela determinação dos momentos de inércia, em relação aos eixos x e y, estudada na aula anterior, e por outra propriedade da área denominada Produto de Inércia.
Fica claro que o produto de inércia possui a mesma dimensão do momento de inércia, ou seja, comprimento elevado à quarta potência (m⁴, cm⁴, mm⁴ etc.).
Vale observar que, dependendo do quadrante em que o elemento diferencial de área estiver posicionado, o sinal do produto de inércia poderá se alternar. No 1º e no 3º quadrante, o produto de inércia é positivo, pois as duas distâncias possuem o mesmo sinal.
Já no 2º e no 4º quadrante, o produto de inércia assume valores negativos dado que as distâncias possuem sinais diferentes.
Teorema dos Eixos Paralelos
Vamos considerar agora um sistema de eixos que denominaremos X’Y’, paralelo a XY, mas estrategicamente posicionado no centroide da área.
Chamaremos de e as distâncias entre os dois sistemas de eixos X’Y’ e XY, como mostra a figura.
Considerando os dois referenciais pode-se montar a expressão do cálculo do produto de inércia como sendo:
Onde (𝑥′ +𝑑𝑥) representa o valor de x e (𝑦′+𝑑𝑦) representa o valor de y. Desenvolvendo a integral...
A 1ª integral é o produto de inércia em relação ao centroide, a 2ª e a 3ª são nulas, como visto na aula anterior, e a última representa a área.
Resumindo...
Ou...
Momento de Inércia de uma área em relação a um sistema de referência inclinado
A figura mostra os eixos girados e as transformações que fazem com que o momento de inércia seja calculado, em relação ao sistema x’ y’, girado de θ em relação ao sistema .
Com isso, as coordenadas x’ e y’, referenciadas ao sistema , podem ser obtidas com as seguintes relações evidenciadas na figura:
Para desenvolver as propriedades da área A, em relação aos eixos inclinados, basta substituir essas relações como será feito a seguir:
O desenvolvimento algébrico de cada uma das equações anteriores nos leva às seguintes equações:
Atenção:
Observe que, se somarmos as duas primeiras equações, o resultado é , denominado Momento Polar de Inércia.
Momentos principais de Inércia
Conforme pode ser visto no quadro resumo apresentado, as expressões para a determinação dos momentos de inércia e do produto de inércia para eixos inclinados, como não poderia deixar de ser, depende da inclinação representada nas expressões pelo ângulo θ.
Obviamente, para cada valor de θ, teremos um valor diferente para as propriedades da seção, passando por um ponto de máximo e por um ponto de mínimo, que são os momentos principais de inércia. Os eixos dessas direções também são denominados de eixos principais.
Como você estudou em Cálculo Diferencial e Integral, para conhecermos os máximos e os mínimos de uma função, devemos derivar e igualar a zero.
Igualando a zero para e usando a definição da tangente (), chegamos à seguinte relação:
Esta relação pode ser representada graficamente por meio de um triângulo retângulo:
As hipotenusas dos triângulos, que são iguais, podem ser obtidas pelo Teoremade Pitágoras. Com isso, são iguais a:
Construindo as relações para sen2θ e para cos2θ, e substituindo nas equações do quadro resumo, obtemos:
Esta equação nos leva a uma relação já conhecida de Resistência dos Materiais I, o círculo de Mohr.
Círculo de Mohr para Momentos de Inércia
Uma vez calculados Ix, Iy e Ixy, podemos construir o círculo para obtermos os valores graficamente.
O eixo horizontal é o eixo dos momentos de inércia;
O eixo vertical é o eixo dos produtos de inércia;
O centro do círculo é o valor médio entre Ix e Iy, (Ix+Iy)/2;
O raio do círculo é √(Ix−Iy/2)2+Ixy2);
O ponto A possui coordenadas (Ix, Ixy).
A marcação dos pontos (Ix, Ixy) e (Iy, -Ixy) é importante, pois nos dá a origem da marcação dos ângulos e a inclinação em relação aos eixos principais.
Note que, para Imax e para Imin, o valor de Ixy é nulo.
Só para reforçar, a inclinação para os eixos principais é dada por:
Raio de Giração
O raio de giração é uma medida de comprimento baseada nas propriedades da seção, que será muito importante no estudo do fenômeno da flambagem, podendo ocorrer em barras sob efeito de compressão. Desta forma, ele pode ser calculado em função da área e do momento de inércia.
Como já vimos, o momento de inércia pode ser calculado em relação a qualquer eixo, o que também vale para o raio de giração.
O momento de inércia, como visto na 1ª aula, pode ser calculado através da integral onde y é a distância do elemento infinitesimal até o eixo considerado, no caso, x.
Uma vez calculado o momento de inércia e a área, podemos dizer que: 
Onde ix é o raio de giração da figura.
Portanto, podemos entender que o raio de giração é a distância medida do eixo considerado até um determinado ponto, de tal forma que, se concentrarmos a área nesse ponto, o momento de inércia da figura, em relação ao referido eixo, será preservado.
As figuras a seguir ilustram essa ideia.
Atenção:
O módulo de resistência (W) ocorre entre o momento de inércia, em relação a um eixo e a maior distância entre o centroide da área, até a superfície da figura medida, na direção transversal ao eixo, conforme a figura:
O módulo de resistência será muito importante no estudo da flexão.
Dimensão: [L]3
Unidades: m3, cm3, mm3 ...
Prática:
Para a área detalhada da figura, determine o raio de giração e o módulo de resistência em relação aos eixos x e y.
Módulo de Resistência
Em relação ao eixo x, as distâncias extremas são 1,61 até a borda inferior e 3,39 cm até a superior.
Em relação ao eixo y, as distâncias extremas são iguais (direita e esquerda) a 2,50 cm.
Com isso, temos:
Nesta aula, você:
Reconheceu como determinar o produto de inércia de uma área plana;
Compreendeu como determinar os momentos principais de uma área plana;
Identificou como determinar o raio de giração de uma área plana.
Na próxima aula, você estudará:
Configuração deformada de torção;
Avaliação de deformações por torção;
Avaliação de tensões por torção.
Aula 3 – Torção
Introdução
Nesta aula, analisaremos o comportamento de elementos de barra submetidos à torção.
Inicialmente, abordaremos o elemento de barra com seção transversal circular e veremos que a análise da configuração deformada por torção no domínio linear elástico deste elemento possibilita o entendimento geométrico dos efeitos da deformação por torção, fato que leva a um modelo matemático que consegue estimar as tensões desenvolvidas.
Você já praticou uma torção?
Quando pensamos em torção e no comportamento de um objeto submetido a ela, lembramos logo situações do dia a dia como, por exemplo, torcer uma roupa molhada ou uma esponja.
Essas são situações de grandes deformações sob o ponto de vista do comportamento estrutural.
Quando se pensa em uma estrutura em regime de carga, não podemos admitir deformações perceptíveis. Por isso, é usual se dizer que uma estrutura deve “trabalhar” em um regime de pequenas deformações.
O conceito que envolve uma deformação ser grande ou pequena deve estar sempre atrelado à percepção humana.
Uma estrutura bem projetada deve ter pequenas deformações e, portanto, imperceptíveis.
Para isso, o material deve ser adequado ao projeto de forma que, com as dimensões requeridas, as tensões desenvolvidas em regime de pequenas deformações sejam compatíveis com a sua resistência.
Teóricos
As teorias que vamos estudar nesta aula foram inicialmente desenvolvidas por Coulomb, aquele mesmo da eletricidade, que iniciou o processo, e por Thomas Young, o do módulo de elasticidade.
Porém, foi Saint-Venant que realmente a desenvolveu em detalhes e conseguiu modelar matematicamente o comportamento das barras submetidas à torção.
Como nosso interesse aqui se limita ao âmbito das estruturas, a análise da configuração deformada da barra de seção circular sob efeito de torção será desenvolvida supondo pequenas deformações. Isso nos leva a uma deformada geometricamente mais simples e a um modelo matemático compatível com este tipo de consideração.
Deformação por torção
Suponha uma barra de seção circular conforme mostra a figura 1: engastada em uma extremidade e livre na outra, sobre a qual são desenhadas linhas longitudinais paralelas ao seu eixo e círculos transversais igualmente espaçados.
A torção provoca um giro em torno do eixo longitudinal da barra e, caso haja algum impedimento ao giro, surgem tensões internas associadas às deformações desenvolvidas.
Quando isso ocorre, a configuração deformada da barra assume uma conformação geométrica tal que suas seções transversais, inicialmente planas, permanecem planas após a aplicação da torção, ou seja, após o giro.
Isso pode ser percebido visualmente na configuração deformada.
Já quanto às linhas longitudinais não se pode dizer o mesmo. Elas se deformam de acordo com o ângulo de giro experimentado pela barra, como também observamos na figura 2.
Portanto, vamos prosseguir lembrando que estamos no universo das pequenas deformações.
Isso faz com que as seções transversais permaneçam circulares, sem alteração de diâmetro e, por último, que o comprimento da barra também permaneça inalterado.
No entanto, se compararmos as duas seções extremas, não é difícil perceber que, por impedimento físico, uma delas permaneceu inalterada e a outra registrou o giro demarcado na figura que destaca o ângulo de torção.
Já a figura 3 mostra a variação do ângulo de torção ao longo do eixo longitudinal da peça denominado de x.
É fácil perceber que há um crescimento linear de zero até o ângulo da seção transversal da outra extremidade da barra.
Deformação por cisalhamento
Nosso próximo passo é estabelecer as relações matemáticas que descrevam numericamente o comportamento descrito, observado e percebido.
Para isso, vamos nos concentrar em um elemento da barra em uma seção intermediária qualquer.
Com isso, a face anterior possuirá rotação e a posterior , caracterizando uma deformação por cisalhamento, pois o ângulo de torção cresce na medida em que x aumenta.
Pode-se perceber, também, que as deformações são nulas no eixo central e aumentam na medida em que se caminha para a superfície ao longo de um raio da seção circular.
Basta reparar na distância entre b e b’ no elemento destacado da barra e entre n e n’ na seção extrema da barra.
Dessa forma, podemos estabelecer duas relações geométricas que caracterizam a deformação.
Uma na superfície da barra identificada por ϒ (gama) em radianos, que pode ser vista seguindo a-b-b’ no elemento destacado, e outra, na seção transversal, identificada por dφ em radianos, que interliga os mesmos b e b’ até o centro do círculo da seção transversal.
Agora vamos imaginar uma distância que será medida a partir do centro da seção transversal ao longo do raio.
Será identificada pela letra grega ρ (rô) e que pode variar de zero (centro da seção) até R, valor do raio da seção.
Como estamos lidando com pequenas deformações podemos admitir que: bb' = ϒ dx = ρ dφ
Com isso, podemos afirmar que:
Como a taxa de variação dφ do ângulo de torção é constante ao longodo comprimento dx de barra de seção circular sujeita a torção pura, o ângulo de torção por unidade de comprimento, designado por θ, é:
Podemos observar que a deformação é nula no centro, que vai crescendo com o raio e atinge o valor máximo na superfície. Também é possível perceber que a variação é linear, pois é estabelecido o ângulo de torção Ф, característico de uma seção.
Essa conformação deformada nos leva ao próximo passo que é o estudo das tensões desenvolvidas no material por conta das deformações promovidas pela ação do momento torsor.
De volta às tensões
Com a geometria da deformação definida, vamos recorrer à Lei de Hooke aplicada ao cisalhamento: τ = Gϒ
Onde: τ: tensão de cisalhamento
G: módulo de elasticidade transversal (cisalhamento)
Como ϒ=ρ θ, então: τ = G ρ θ
Ângulo de torção
O estudo da torção faz com que seja necessária uma grandeza geométrica denominada Momento Polar de Inércia (J0).
Se você tiver alguma dúvida, pode voltar nas aulas 1 e 2.
	Figura 7
	Figura 8
Agora vamos construir uma relação entre os dados de entrada de um problema real. Nosso objetivo é especificar uma expressão para determinar o ângulo de torção.
O problema real seria uma barra de seção circular maciça, de um determinado material com um comprimento definido.
Se aplicarmos um momento torsor, qual seria o ângulo de torção?
Dados:
T – Momento torsor;
G – Módulo de elasticidade transversal do material da barra;
ρ – Raio medido a partir do centro, variando até a superfície;
ϴ - Ângulo por unidade de comprimento;
Φ – Ângulo de torção.
Pensando no equilíbrio de uma seção transversal, o momento torsor aplicado deve ser igual à resultante das tensões na seção.
Se isolarmos um elemento de área infinitesimal dA, submetido a uma tensão τ, sua resultante é τ dA e sua contribuição de momento é τ ρ dA.
Utilizando a expressão vista anteriormente para a tensão τ, que pode ser avaliada por G Ρ ϴ, podemos dizer que a contribuição de momento torsor de um elemento dA é definido pela expressão: G ρ 2 ϴ dA.
A resultante de tensões, equivalente ao torsor aplicado, então, seria:
A parcela ∫A p2 dA é denominada Momento Polar de Inércia, identificado por J0.
No caso da seção circular, seu valor é igual a πr4/2.
Prosseguindo o nosso raciocínio, podemos, então, dizer que: T = GJ0ϴ
Reorganizando:
Como ϴ é o ângulo de torção por unidade de comprimento e o nosso objetivo é o ângulo de torção, temos que multiplicar pelo comprimento.
Em um caso genérico, onde o torsor e a seção variam ao longo do comprimento da barra, podemos utilizar o recurso da integração como na expressão:
Curiosidade 1: O produto GJ0 é denominado Módulo de Rigidez à Torção do eixo.
Curiosidade 2: Se reorganizarmos a equação do ângulo de torção da forma G = TL/ΦJ0, fica evidenciada uma forma usual de se determinar, em laboratório, o módulo de elasticidade transversal do material, bastando para isso aplicar um torsor na barra, medir o ângulo de torção e aplicar a expressão.
Como estamos tratando da barra de seção circular maciça, seu momento polar de inércia pode ser calculado pela soma de Ix com Iy para o círculo, que são valores iguais, devido à simetria.
Portanto, ao realizarmos os cálculos, devemos usar a seguinte expressão para determinar o valor do momento polar de inércia para seções maciças circulares:
De volta às tensões. Agora vamos nos voltar novamente para as tensões. Já vimos que:
Com isso, temos 2 equações que relacionam o momento torsor T com valores de grande interesse em projeto, o ângulo de torção e a tensão máxima.
Tensões e direções principais
Considerando o estado de tensão de um ponto material qualquer de uma barra submetida à torção, podemos estimar o valor da tensão pela expressão desenvolvida: 
No entanto, para equilibrar a tensão na direção do plano da seção, surgem tensões longitudinais, conforme a figura.
Assim, as tensões principais se desenvolvem na superfície da barra inclinadas a em relação ao eixo longitudinal da barra, da seguinte forma:
Por isso, barras com seção circular formadas por materiais frágeis (apresentam pouca deformação na ruptura) rompem segundo linhas de ruptura perpendiculares às tensões principais de tração, conforme a figura.
Já para materiais dúcteis, as tensões elevadas na superfície levam o material ao escoamento, fazendo com que a barra passe a trabalhar em regime inelástico, modificando o diagrama de tensões.
Como no escoamento é possível que diferentes deformações convivam com o mesmo nível de tensão (patamar de escoamento no diagrama tensão deformação), as tensões passam a ter a seguinte evolução:
Seção circular vazada
Como vimos, no regime elástico, as regiões próximas do eixo trabalham em níveis de tensão muito inferiores aos das regiões próximas da superfície da barra, que trabalham nos níveis mais elevados.
Seções vazadas permitem a economia de material, redução do peso e baixa perda de performance, pois o material retirado pouco contribuiria para a resistência da peça.
As hipóteses vistas até aqui permanecem válidas, a não ser para a medida que chamamos de ρ, que mede a distância do eixo até a superfície, que agora irá variar de um valor inicial diferente de zero, que é o raio interno da seção até um valor máximo igual ao raio da seção.
Tubos fechados de paredes finas
Um tubo vazado pode ser considerado de parede fina quando a espessura de sua parede (e) é pequena em relação à dimensão total da seção.
Como a espessura da parede é pequena, a variação do raio também é pequena, permitindo que o modelo adotado para estimar deformações e tensões nessas circunstâncias admita tensão constante na parede.
Portanto, em uma seção vazada com parede fina, admite-se tensão constante circulando pela parede. É o chamado fluxo de cisalhamento.
Vamos considerar um elemento infinitesimal abcd que necessariamente deve estar em equilíbrio (∑F = 0 e ∑M = 0).
Como dx é o mesmo, o produto 𝜏𝑒 deve ser constante. O que dá o suporte matemático ao conceito de fluxo de cisalhamento.
A ideia do fluxo constante permite afirmar que qualquer variação de espessura na parede da seção tenha que ser compensada na tensão para que o fluxo de cisalhamento (𝜏𝑒) mantenha-se constante. Portanto, o aumento da espessura implica em uma redução da tensão da mesma forma que uma diminuição da seção provoca um aumento da tensão. No caso de espessura constante, a tensão é uniforme ao longo de todo o contorno.
Torque e fluxo de cisalhamento
Agora vamos relacionar o momento torsor (torque) com o fluxo de cisalhamento.
O momento torsor aplicado na seção se distribui na parede sob a forma de tensão. Isso faz com que, para haver equilíbrio estático, o momento provocado pela distribuição de tensões ao longo de toda a parede da seção provoque um torsor em relação ao eixo longitudinal igual ao torsor aplicado.
Vamos calcular o momento torsor provocado pela distribuição de tensão em um elemento infinitesimal em relação ao eixo.
Considerando que f seja o fluxo de cisalhamento, obtido pelo produto da tensão pela espessura da parede, basta multiplicarmos pelo comprimento ds do elemento infinitesimal para obtermos o valor da força resultante dF = fds.
A linha pontilhada representa a linha média da parede fina, onde ficarão posicionadas as forças resultantes dF de cada elemento infinitesimal.
O momento torsor provocado pela força resultante dF vale:
dT = r f ds
Portanto, para obtermos o torsor, temos que somar a contribuição de cada elemento infinitesimal ao longo de toda a parede.
Fazemos isso através da seguinte integração:
A resolução dessa integral, por simplicidade, pode ser obtida por interpretação geométrica.
Repare que o produto r ds gera como resultado a área de um retângulo que corresponde ao dobro da área do triângulo destacado na figura.
De volta ao ângulo de torção
O ângulo de torção de um tubo de parede fina é determinado por métodos de energia que, a partir do conceito de conservação de energia, iguala o trabalho realizado pelas açõesque atuam sobre a peça à energia de deformação acumulada na estrutura.
Utilizando essa lógica, chega-se à seguinte expressão:
Considerando uma seção bem-comportada geometricamente, com espessura constante, podemos evoluir para uma simplificação da expressão, da seguinte forma:
Onde a integral de linha representa o perímetro da seção medida ao longo da linha média.
Barras maciças não circulares
A configuração deformada de barras não circulares assume grande complexidade geométrica pela forma com que as tensões se distribuem na seção, provocando um abaulamento nas superfícies originalmente planas da geometria não deformada, além, é claro, dos efeitos esperados da torção, como pode ser visto na figura.
A modelagem matemática desse problema é objeto de estudo de disciplinas mais avançadas, normalmente contempladas em cursos de Pós-graduação que tratam da Teoria da Elasticidade.
Esses estudos nos dão a possibilidade de estimar as tensões máximas e os ângulos de torção em barras de seção quadrada, triangular e elíptica, conforme a tabela:
Tensão admissível
O processo de dimensionamento passa pelas Normas Técnicas que preconizam todos os processos em normas específicas para cada tipo de material.
No Brasil, temos a ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas) que produziu normas específicas para projetos em estruturas de aço (NBR-8800), de concreto (NBR-6118) e de madeira (NBR-7190).
Hoje, os processos de projeto se baseiam no conceito dos estados limite, que são objetos de estudo nas disciplinas específicas de projeto de estruturas.
Aqui cabe, de uma forma genérica, utilizar o conceito das tensões admissíveis, que tem como ideia central limitar a tensão máxima imposta à peça em regime de trabalho a um valor inferior à tensão limite associada à resistência do material, que seria a tensão admissível.
Com isso, garantimos que a peça está em segurança, pois sua tensão máxima estará afastada da tensão considerada limite para o material, já que as condições de projeto impõem dimensões aos elementos de forma que as tensões nunca ultrapassem o valor da tensão dita admissível.
A relação entre o limite da resistência e a tensão admissível representa o coeficiente de segurança.
Onde A é a área da seção transversal do corpo de prova.
Método direto para determinação da tensão de cisalhamento última.
Nesta aula, você:
Verificou o comportamento de barras (seção circular maciça) submetidas à torção;
Aplicou o modelo matemático de avaliação de tensões e ângulo de torção para seções circulares maciças e vazadas, para seções maciças triangulares, elípticas e quadradas e também para seções tubulares de paredes finas com qualquer formato;
Analisou o conceito de tensões admissíveis.
Referências desta aula
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. A.1 e A.2, p. 568-572.
MARGARIDO, A. F. Fundamentos de Estruturas. São Paulo: Zigurate, 2007.
TIMOSHENKO, S. P. Resistência dos Materiais 1. Rio de Janeiro: LTC, 1981
TIMOSHENKO, S. P., GERE, J. E. Mecânica dos Sólidos 1. Rio de Janeiro: LTC, 1983.
Na próxima aula, você estudará:
Flexão: momentos e cortantes
Para saber mais sobre os assuntos estudados nesta aula, sugerimos:
Telecurso 2000 – ensaio de torção, disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=ueT4LAVp46I. 
Torção de peça de madeira, disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=mTPYmrCuYnY. 
Torsion in Circular Shafts - Magic Marks, available in: https://www.youtube.com/watch?v=ICDZ5uLGrI4. 
Aula 4 - Flexão: diagramas de cortante e de momento fletor
Introdução
Esta aula inicia o tema flexão que, no nosso contexto, está associado ao comportamento das vigas. As vigas são barras que recebem cargas transversais aos seus eixos longitudinais, comumente horizontais e que tem como função suportar estas cargas e conduzi-las em segurança aos seus apoios, normalmente pilares.
Nesta aula, vamos tratar de vigas biapoiadas (a), vigas em balanço (b) e vigas biapoiadas com uma extremidade em balanço (c).
Viga biapoiada
A viga biapoiada se caracteriza por possuir dois apoios que impedem o deslocamento vertical e liberam o giro da barra.
Para que a barra não fique livre horizontalmente, um dos apoios também impede o deslocamento horizontal. No caso (a), o apoio da esquerda impede os 2 deslocamentos.
A viga em balanço (b) se caracteriza por ser engastada em uma de suas extremidades e livre na outra. O engaste impede os deslocamentos (horizontal e vertical) e a rotação.
A viga biapoiada com extremidade em balanço (c) mistura as situações (a) e (b).
Veremos os efeitos dos carregamentos nas vigas, começando pela determinação das reações de apoio e, na sequência, vamos desenvolver metodologias para a criação dos diagramas de esforços cortantes e de momentos fletores.
Cargas
Vamos iniciar estudando as cargas atuantes nas vigas. As cargas podem ser concentradas ou distribuídas.
As cargas distribuídas podem, para efeito de equilíbrio, ser substituídas pela sua resultante posicionada estrategicamente no centroide da distribuição.
Portanto, para questões de equilíbrio, podemos substituir carregamentos distribuídos por concentrados “equivalentes” (que produzem o mesmo efeito).
Seguindo essa ideia, vamos iniciar pela distribuição mais simples: a carga uniformemente distribuída.
A carga uniformemente distribuída
A resultante de uma carga uniformemente distribuída pode ser obtida pela “área” do carregamento, ou seja, pelo produto de q (kN/m) por L(m), o que nos daria uma resultante Q (kN) = q . L.
Para que o efeito produzido pelo carregamento distribuído seja o mesmo que o da carga resultante, é preciso posicionar a resultante Q no centroide da “área” do carregamento, que, por se tratar de um retângulo, fica exatamente em seu centro, ou seja, em L/2.
Vamos evoluir para o caso da distribuição linear (carga triangular).
A resultante também será obtida pela “área” do carregamento que, para o caso do triângulo, pode ser computada como q0 L / 2.
Para que o efeito produzido pelo carregamento distribuído seja o mesmo que o da carga resultante, é preciso posicionar a resultante Q no centroide da “área” do carregamento que, por se tratar de um triângulo, fica exatamente a 2/3 do vértice com valor nulo, ou seja, em 2L/3.
O carregamento em forma trapezoidal só incorpora trabalho braçal, pois, na verdade, trata-se da combinação dos dois casos anteriores.
Análise de situação genérica
Prosseguindo, vamos para uma situação genérica, que é uma carga com variação descrita por uma função qualquer.
Na figura, temos um trecho de viga, de comprimento L, recebendo uma carga com intensidade descrita pela função q(x), em um intervalo que varia de a até b.
Seguindo o mesmo raciocínio, a resultante Q pode ser obtida através da “área” do carregamento. Para isso, vamos recorrer à integração da função entre a e b.
E para determinar o ponto de aplicação?
Podemos utilizar a geometria e o cálculo dos centroides de áreas planas estudado na aula 1. Mas também vale a pena raciocinarmos no tema que estamos discutindo.
Vamos imaginar um elemento infinitesimal de carga em uma posição x, a partir de a.
Qual é o momento produzido por essa carga infinitesimal em relação ao ponto a?
Basta multiplicar a carga por x!
Se somarmos os momentos em relação ao ponto a produzidos por todos os elementos infinitesimais existentes entre a e b, o valor obtido será o momento produzido por todo o carregamento em relação ao ponto a.
A seguinte integração expressa o momento em relação ao ponto a produzido pelo carregamento distribuído de acordo com a função q(x):
Estamos buscando um posicionamento para a resultante Q, já conhecida, que produza exatamente o mesmo momento Ma gerado pelo carregamento.
Para descobrirmos qual é o ponto em que devemos posicionar a força para obter o mesmo momento.
	Basta perceber que:
	Portanto:
	
	
Reações de apoio
Matematicamente, os apoios são incógnitas que podem ser calculadas em função do equilíbrio da viga.
O somatóriodas forças aplicadas e das reações deve ser nulo, assim como o momento em um apoio simples extremo.
Com essa ideia, conseguimos construir as equações e calcular as reações de apoio.
Como você já deve conseguir reduzir um carregamento distribuído em uma carga concentrada estrategicamente posicionada, como acabamos de ver, esse é o primeiro passo para o cálculo das reações.
Na sequência, devemos construir as equações de equilíbrio e determinar o valor das reações.
Inicialmente, vamos pensar em uma viga com uma carga concentrada.
Para garantirmos o equilíbrio, podemos afirmar que:
Dessa forma, podemos afirmar que: Ra + Rb = 15
Se Ma = 0, então Rb ×. 8,5 = 15 . 5, o que nos dá um valor de 𝑅b = (15 × 5) / 8,5 = 8,82 𝑘𝑁
Logo, Ra = 15 - 8,82 = 6,18 kN
Também poderíamos ter considerado Mb=0 e, assim, montado a expressão
Ra × 8,5 = 15 . 3,5. Isso nos daria 𝑅a = (15 × 3,5) / 8,5 = 6,18 𝑘𝑁
Repare que podemos, para efeito de simplificação, adotar, de forma genérica uma regra:
Agora, só falta verificarmos como ficaria uma carga posicionada em um trecho em balanço.
Nesse caso, Ra + Rb = 15
Ma = 0, então Rb × 8,0 = 15 × 11,5, o que nos dá um valor de 𝑅b = (15 × 11,5) / 8,0 = 21,56 𝑘𝑁
Logo, Ra = 15 – 21,56 = -6,56 kN, o que nos indica que a reação do apoio a está invertida (é para baixo), pois quando pressionamos a ponta do balanço, a outra extremidade tende a levantar.
Nesse caso, não poderíamos considerar Mb=0 porque o momento ali vale 15 × 3,5 = 52,5kNm.
Pela convenção de sinal normalmente adotada, esse momento é negativo, pois produz uma tendência de giro no sentido horário.
Dessa forma, poderíamos ter montado a expressão Ra × 8,0 = -52,5, o que nos daria um valor de -6,56kN para Ra.
E no caso de termos várias cargas concentradas?
Não tem problema. É só trabalho braçal.
Vamos ter que calcular as reações para cada carga concentrada e acumular os valores de Ra e Rb até o final.
Momentos fletores e esforços cortantes
As cargas que atuam nas vigas provocam nas seções internas tensões normais e de cisalhamento.
As tensões normais, parte de tração e parte de compressão, podem ser substituídas por um binário resultante que, por sua vez, pode ser visto como um momento, que é denominado momento fletor.
As resultantes das tensões de cisalhamento, que atuam no plano das seções, podem ser vistas forças cortantes.
Os momentos fletores e os esforços cortantes variam ao longo da viga e, como eles são fundamentais ao projeto, você terá que aprender a construir a melhor forma de representá-los, que é através da visualização gráfica, os conhecidos diagramas de cortantes e de momentos.
Diagramas de esforços cortantes
O que é um esforço cortante?
É a resultante de tensões cisalhantes presentes nas seções transversais das vigas.
Como podemos avaliá-las?
Uma das formas é utilizarmos o método das seções já estudado em disciplinas anteriores. Vamos recordar!
Se tivermos uma viga submetida a um determinado carregamento e desejamos avaliar o esforço cortante em uma determinada seção, o procedimento mais comum é:
Calcular as reações de apoio (que acabamos de estudar);
Proceder um corte na viga exatamente no ponto de interesse, gerando duas porções, uma à esquerda da seção e outra à direita;
Equilibrar a porção da viga à esquerda da seção. Isso significa considerar o somatório de forças e de momentos nulos na seção.
O equilíbrio só é possível se existirem uma força vertical e um momento aplicado na seção.
A força é o esforço cortante e o momento é o momento fletor.
O significado físico desses esforços pode ser entendido como a ação que a porção desprezada (lado direito da seção) exercia sobre a seção analisada.
Vamos ver inicialmente a convenção de sinais:
Interpretação do Diagrama de Esforços Cortantes
Agora vamos interpretar este gráfico que é denominado Diagrama de Esforços Cortantes. Ele apresenta a variação do valor da força cortante ao logo do eixo longitudinal da viga.
Qual a melhor forma de construí-lo?
Vamos iniciar da extremidade esquerda, marcando o valor da reação de apoio. Como a força é para cima, marca-se seu valor também para cima. Agora vamos seguir varrendo a viga aumentando o valor de x. Como só temos um carregamento, o comportamento é o mesmo ao longo de toda a viga.
A ação da carga aplicada é equivalente a acumular o valor q a cada metro que caminhamos para a direita. Portanto, iniciamos com o valor da reação de apoio e, a cada metro, perde-se um valor equivalente a q. Por isso, a variação linear. 
O que nos leva a uma situação matemática em que se pode afirmar que:
Isso significa dizer que a inclinação do diagrama de esforços cortantes em cada ponto da viga tem o mesmo valor da carga distribuída no mesmo ponto, com valor negativo.
Diagramas de momentos fletores
O que é um momento fletor? 
As tensões normais geradas nas seções transversais das vigas têm como resultante um binário que pode ser visto como um momento, que é denominado momento fletor.
Como podemos avaliá-los?
Uma das formas é utilizarmos o método das seções visto anteriormente.
Se tivermos uma viga submetida a um determinado carregamento e desejarmos avaliar o momento fletor em uma determinada seção, o procedimento mais comum é:
Calcular as reações de apoio (vistas nesta aula);
Proceder um corte na viga exatamente no ponto de interesse, gerando duas porções, uma à esquerda da seção e outra à direita;
Equilibrar a porção da viga à esquerda da seção. Isso significa considerar o somatório de forças e de momentos nulos na seção.
O equilíbrio só é possível se existirem uma força vertical e um momento aplicados na seção.
A força é o esforço cortante e o momento é o momento fletor.
O significado físico desses esforços pode ser entendido como a ação que a porção desprezada (lado direito da seção) exercia sobre a seção analisada.
Vamos ver inicialmente a convenção de sinais para os momentos:
Nesta aula, você:
Determinou as reações de apoio de uma viga isostática;
Criou o diagrama de esforços cortantes;
Criou o diagrama de momentos fletores.
Referências desta aula
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. A.1 e A.2, p. 568-572.
Na próxima aula, você estudará:
Tensões normais nas seções transversais de uma viga;
Tensões de cisalhamento nas seções transversais de uma viga.
Para saber mais sobre os assuntos estudados nesta aula, sugerimos:
Programa FTOOL (download do programa, manual e roteiro)
http://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftool/ 
Aula 5 - Flexão: tensões normais e cisalhantes
Introdução
Esta aula dá continuidade ao tema flexão de vigas isostáticas retas, iniciando com a apresentação e a análise das configurações deformadas, que nos levará ao modelo adotado para especificação da forma e da quantificação das tensões atuantes nas seções transversais (normais e cisalhantes).
Objetivos
Descrever a configuração deformada de vigas isostáticas;
Distinguir o modelo que avalia a intensidade e a forma das tensões normais nas seções transversais de vigas retas;
Examinar o modelo que avalia a intensidade e a forma das tensões de cisalhamento nas seções transversais de vigas retas.
Créditos
	Jarcélen Ribeiro
	Luciane Pery
	Thiago Lopes
	Rostan Luiz
	Redator
	Designer Instrucional
	Web Designer
	Desenvolvedor
Deformação por flexão
Nós vamos nos limitar a analisar vigas isostáticas retas, como já foi combinado anteriormente.
Para entender como é a configuração deformada de uma viga, precisamos entender os apoios que são os elementos que impedem os deslocamentos em pontos estratégicos.
A essência se reduz a duas situações relevantes, o apoio simples, que permite o giro e impede o deslocamento vertical, e o engaste, que, além de impedir os deslocamentos, impede o giro.
A seguir é apresentado um conjunto de situações em que podemos perceber a diferença entre o apoio simples e o engaste.
A linha inferior descreve a configuração deformada de cada caso.
Uma viga jamais poderia ter uma configuração deformadacomo as da figura porque ela não estaria cumprindo seu papel, que seria, além de promover a condução das cargas aos apoios com segurança, passar a sensação de segurança.
Isso somente seria possível com deformações imperceptíveis. Por isso, obviamente essas configurações deformadas estão exageradas para que possamos estudá-las.
Uma forma interessante de estudo da configuração deformada das vigas é utilizar material deformável, como neoprene ou espuma.
Um modelo de viga com uma malha ortogonal desenhada conforme a figura permite que possamos observar que, após carregada, as linhas horizontais se curvam e as verticais permanecem retas, mas sofrem rotação.
Modelo matemático para representar esse comportamento
Após essas observações, podemos tomar algumas decisões no sentido de construir um modelo matemático que possa representar esse comportamento:
O eixo longitudinal da viga que passa pelo centroide da seção transversal não sofre alteração de comprimento e passa a ser denominado eixo neutro, embora se curve;
As seções transversais permanecem planas e perpendiculares ao eixo neutro. Portanto, sofrem rotação;
As deformações da seção transversal no seu próprio plano serão desprezadas por não serem relevantes no contexto das pequenas deformações.
Agora vamos isolar um pequeno trecho de uma viga com seção transversal genérica, de comprimento Δx.
Grandezas no elemento indeformado
Vamos definir algumas grandezas no elemento indeformado:
Largura original Δx constante em toda altura;
Altura y medida a partir do eixo neutro;
Largura Δs medida em y vale Δx antes da deformação.
Elemento deformado
Agora vamos analisar o elemento após a deformação.
Temos que destacar algumas grandezas novas:
Centro de rotação O’;
Raio ρ de O´até o eixo neutro;
Nova largura do elemento em y vale Δs;
Ângulo referente à porção analisada é Δθ.
Veja a situação da porção deformada:
A espessura do elemento acima do eixo neutro é inferior a Δx;
A espessura do elemento abaixo do eixo neutro é superior a Δx;
O encurtamento que ocorre acima do eixo neutro só pode ser proveniente de tensões normais de compressão;
O alongamento que ocorre abaixo do eixo neutro só pode ser proveniente de tensões normais de tração.
Antes da deformação, a espessura do elemento em uma posição y era Δs e passou a ser Δs´ após a deformação. Portanto, podemos nos organizar matematicamente e dizer que:
Observando o elemento deformado, também podemos afirmar que, como Δs é igual a Δx e Δx pode ser escrito como ρΔθ, é possível reescrever a expressão da deformação assim:
Isso não nos ajudou muito, mas Δ𝑠´ é a espessura da seção em y e, portanto, podemos dizer que vale (ρ−y)Δθ.
Assim, podemos novamente reescrever a expressão da deformação:
Cortando os Δθ:
Um valor interessante é a deformação máxima. Como y é a distância medida a partir do eixo neutro, se consideramos c a distância máxima para chegarmos à superfície do elemento partindo do eixo neutro.
Então, a deformação máxima será:
Deformação em relação à deformação máxima
As coisas podem até estar indo bem, mas ainda não temos ideia do valor de ρ. Logo, vamos trabalhar com a deformação em relação à deformação máxima para ver o que acontece.
Se ε for a deformação em qualquer ponto da seção e εmáx for a deformação na superfície (máxima), podemos montar a seguinte relação:
Tensões normais
Analisando a Lei de Hooke, é fácil perceber que as tensões são proporcionais às deformações (a constante é o módulo de elasticidade), tornando possível afirmar que:
Como a seção está em equilíbrio, o eixo neutro pode ser localizado a partir da premissa de que a resultante das tensões na seção deve ser nula, pois não há esforço normal.
Como temos certeza de que -σmáx / c é diferente de zero, então, obrigatoriamente ∫AydA = 0. Isso significa que o momento estático deve ser nulo, fato que nos leva a firmar que: o eixo neutro passa pelo centroide da seção transversal.
Deformações relacionadas às tensões
Relacionando as deformações com as tensões, podemos afirmar que em uma seção sujeita a um momento M:
As tensões variam linearmente (de forma análoga às deformações);
A tensão no eixo neutro é nula;
A tensão máxima ocorre no ponto mais afastado do eixo neutro (c).
Como a ideia é dispor de um modelo que avalie as tensões na seção transversal, temos que relacionar o momento M com as tensões.
A resultante de um diagrama de tensões é uma força, que já sabemos que é nula. No entanto, podemos dividir o diagrama de tensões em duas porções.
Uma acima do eixo neutro, também conhecido como linha neutra, que nos dará uma resultante de compressão, e outra porção abaixo da linha neutra, que nos dará uma resultante de tração.
Como já vimos que a resultante é nula, a resultante de compressão (porção acima da linha neutra) deve ser igual em intensidade à resultante de tração (abaixo da linha neutra).
Esse par de forças constrói um binário cujo efeito é exatamente igual ao momento fletor na seção. Vamos reconsiderar determinar o momento a partir das tensões.
Como conhecemos o valor de M do diagrama de momentos, podemos reescrever a expressão assim:
Genericamente (para qualquer y), podemos dizer que:
Assim conseguimos um modelo baseado nas observações e hipóteses assumidas que nos permite avaliar o valor das tensões normais em uma seção transversal de uma viga, conhecendo o momento fletor e suas características geométricas.
Tensões de cisalhamento
Uma visão exagerada das deformações causadas em uma viga em balanço por uma carga concentrada na sua extremidade nos mostra que as seções transversais não permanecem planas como havíamos admitido no estudo anterior.
No entanto, como em projeto de estruturas, lidamos com pequenas deformações (imperceptíveis). Proporcionalmente, as deformações por cisalhamento não são relevantes podendo ser desprezadas. Dessa forma, as hipóteses admitidas anteriormente permanecem válidas.
Isolamento de um pequeno trecho de uma viga com comprimento dx
Vamos iniciar isolando um pequeno trecho de uma viga com comprimento dx.
Se consultarmos o diagrama de momentos fletores, teremos um valor de momento na posição x e outro na posição x+dx.
Agora vamos visualizar como seriam as tensões normais em x e em x+dx.
Apesar das forças resultantes do lado direito (dF´) serem diferentes das resultantes do lado esquerdo (dF), o somatório é nulo, pois os pares se compensam.
No entanto, se considerarmos apenas uma porção desse elemento (do topo até uma posição y´, contada a partir da linha neutra), não teremos a mesma condição de equilíbrio.
Como as tensões do lado direito são diferentes das tensões do lado esquerdo, o equilíbrio somente é possível pela tensão tangencial que surge na face inferior da porção estudada.
Construção de uma viga através do empilhamento de várias tábuas
Para visualizar essa tensão tangencial longitudinal, vamos imaginar a construção de uma viga através do empilhamento de várias tábuas, inicialmente soltas e posteriormente coladas.
Veja o que ocorre ao carregarmos as vigas nas 2 situações:
As tábuas, quando soltas, deslizam umas sobre as outras. Já, quando estão coladas, sofrem deformação, pois estão impossibilitadas de deslizar, gerando a tensão tangencial longitudinal que detectamos no modelo que estávamos desenvolvendo.
Desenvolvimento matemático das expressões
Voltando ao nosso modelo, vamos promover o desenvolvimento matemático das expressões que vão avaliar a forma e a intensidade das tensões de cisalhamento na seção transversal, avaliando a área A´ em destaque.
Tensões tangenciais longitudinais
Não podemos deixar de lembrar que estamos avaliando as tensões tangenciais longitudinais.
No entanto, elas também são válidas para a seção transversal porque elas são complementares e, portanto, possuem o mesmo valor.
Para entender isso basta isolar um elemento tridimensional infinitesimal e verificar que essa condição deve ser observada para que seja possível seu equilíbrio.
Distribuição das tensões de cisalhamentoVamos avaliar as tensões de cisalhamento em uma seção transversal retangular de uma viga.
	
	
	
Diante disso vamos analisar o termo Q:
A análise dessa expressão nos leva a perceber que as grandezas V, b e h são constantes e que apenas y nos dá a distância em relação ao centroide da seção.
Também é possível observar tratar-se de uma função parabólica (2º grau), com valor nulo para y = ± h/2 e valor máximo para y=0 (centroide).
Resumo do conteúdo
Nesta aula, você:
Verificou a configuração deformada de uma viga reta sujeita à flexão;
Utilizou o modelo de determinação das tensões normais das seções transversais das vigas;
Aplicou o modelo de determinação das tensões tangenciais (cisalhantes) das seções transversais das vigas.
Referências desta aula
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. A.1 e A.2, p. 568-572.
LIMA, D.M., AMORIM M.M., LIMA JÚNIOR, H. C.; BARBOSA N. P., WILRICH, F. L., Avaliação do comportamento de vigas de bambu laminado colado submetidas à flexão. Ambiente Construído. Versão online. vol.14. n.1. jan./mar. 2014. Porto Alegre: SciELO Brasil, 2014.
Disponível em: <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1678-86212014000100003&lng=pt&nrm=iso&tlng=en>. Acesso em 17 de junho de 2016.
Próximos passos
Na próxima aula, você estudará:
Linha elástica das vigas retas e isostáticas sob efeito de flexão.
Explore mais
Para saber mais sobre os assuntos estudados nesta aula, sugerimos:
What is an i-beam? (Design Squad)
Teoria (tensões de flexão)
Ensaio de materiais (Profissionalizante – Telecurso)
Resistência à flexão de uma viga de concreto armado
Beams Bending Moment and Shear Force Diagram
Bending Moment (Elastic Case)
Strain in a Beam
Aula 6 - Flexão: Linha Elástica
Introdução
Esta aula finaliza o tema flexão de vigas isostáticas retas. Trataremos da apresentação e análise das configurações deformadas, que nos levará ao modelo adotado para especificação da forma da Linha Elástica e da quantificação das inclinações e dos deslocamentos provocados pelo carregamento em uma viga isostática, tão importantes para o projeto de vigas.
Objetivos
Reconhecer a configuração deformada de vigas isostáticas;
Identificar o modelo matemático de representação da linha elástica;
Aplicar o modelo matemático para especificar a inclinações e flechas.
Linha Elástica
A teoria que vamos discutir é baseada no modelo criado por Leonhard Euler e Daniel Bernoulli, por volta de 1750, quando foram orientados por Jacob Bernoulli na Universidade de Basileia, na Suíça.
No projeto de vigas, uma das principais condições é limitar as deformações de forma que sejam imperceptíveis ou não afetem o funcionamento de outros sistemas.
Daí a relevância do estudo de deflexões em vigas, que nos dá a possibilidade de determinar os deslocamentos verticais em qualquer ponto, denominados flechas.
A Linha Elástica, tema desta aula, é uma linha imaginária, baseada em uma reta horizontal que passa pelo centroide das seções transversais e reflete as deformações sofridas pela viga
Como o projeto preconiza condições de pequenas deformações, a Linha Elástica deve ser apresentada com a utilização de um fator de escala para que seja possível a visualização qualitativa da configuração deformada.
Diferença entre o apoio simples e o engaste:
A seguir é apresentado um conjunto de situações onde podemos perceber a diferença entre o apoio simples e o engaste.
A linha inferior é a Linha Elástica de cada caso.
O entendimento da forma da Linha Elástica passa por duas condições fundamentais: 
●. Identificar o apoio simples, que permite o giro da viga;
●. O engaste, que impede o giro.
Os dois tipos de apoio impedem o deslocamento vertical.
Momento-curvatura
Vamos priorizar as deflexões causadas pela flexão e desprezar o efeito do cisalhamento, uma vez que, em elementos onde o comprimento é muito maior do que as dimensões da seção transversal, pode-se desprezar tal efeito pela sua contribuição mínima.
Nesses termos, o diagrama de momento fletor possui uma relação direta com a configuração deformada refletida pela Linha Elástica. Essa relação é denominada momento-curvatura.
O momento fletor imposto em uma seção transversal possui uma relação muito forte com o raio de curvatura da Linha Elástica naquele ponto. 
Para analisarmos a relação momento-curvatura, precisamos estabelecer algumas condições:
O eixo x é horizontal, para a direita, e passa pelo centroide da seção;
O eixo v é vertical, aponta para cima, e mede o deslocamento do centroide ao longo do eixo x.
Vamos considerar um elemento infinitesimal de largura dx.
No nosso contexto (material homogêneo e que atende à lei de Hooke), podemos promover outra substituição:
𝝆: raio de curvatura em um dado ponto da linha elástica;
𝑴: momento fletor no ponto analisado;
𝑬: módulo de elasticidade do material;
𝑰 : momento de inércia da seção transversal em relação ao centroide.
Inclinação e deflexão (flecha/deslocamento vertical)
Precisamos representar a curvatura (1/ρ) em termos de x e v. Para isso, vamos utilizar um recurso do cálculo diferencial e integral que é a equação da curvatura de curvas planas.
Trata-se de uma equação diferencial não linear de segunda ordem.
Colocando um pouco de engenharia na matemática
Já comentamos algumas vezes que estamos trabalhando no universo das pequenas deformações. Tanto que os deslocamentos (flechas) das vigas devem ser pequenos a ponto de serem imperceptíveis.
Dessa forma, as inclinações (𝑑𝑣/𝑑𝑥) são muito pequenas. Se repararmos na equação, percebemos que no denominador temos o quadrado da inclinação que, de tão pequeno, pode ser desprezado.
Assim, chegamos a nossa equação fundamental:
Como 𝑴= 𝑬𝑰 𝒅𝟐 𝒗/𝒅X𝟐, 𝑽=𝒅𝑴/𝒅𝒙 𝑒 𝒅𝑽/𝒅𝒙 =−𝒘(𝒙), também podemos dizer que:
Considerando apenas vigas com inércia constante e mesmo material, podemos nos organizar:
Condições de contorno
A solução matemática envolve integrações sucessivas para que possamos calcular as inclinações e a flecha, que são informações de grande interesse em projeto.
Como a cada integração surgem as constantes de integração, temos que analisar cada caso e aplicar as condições de contorno para que seja possível chegar à solução.
As condições de contorno podem ser entendidas como situações estratégicas onde conhecemos antecipadamente a solução.
Por exemplo, um apoio simples extremo possui momento fletor nulo; o deslocamento vertical é nulo em um apoio.
Agora vamos analisar estas condições.
Nesta aula, você:
Verificou como é a configuração deformada de uma viga reta sujeita à flexão;
Analisou o modelo de determinação da Linha Elástica de uma viga;
Utilizou o modelo de determinação da Linha Elástica de uma viga para avaliar inclinações e flechas.
Referências desta aula
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. A.1 e A.2, p. 568-572.
Na próxima aula, você estudará:
Flexão composta reta
Para saber mais sobre os assuntos estudados nesta aula, sugerimos:
Vídeo sobre “Deflexão de Vigas - Curso Completo de Resistência dos Materiais” em (https://www.youtube.com/watch?v=qGvBaViE7w4): Clique aqui em (http://estacio.webaula.com.br/Cursos/gon556/galeria/aula6/docs/a06_t14.pdf) e veja algumas atividades sobre o conteúdo da aula.
Aula 7 - Flexão: Flexão Composta Reta
Introdução
Esta aula apresenta a flexão composta reta (ação simultânea do momento fletor, tal qual estudamos nas vigas e do esforço normal) e suas ações sobre a seção transversal.
A flexão composta reta, embora seja comum em elementos de viga, já inicia, pela presença do esforço normal, a transição para o último de nossos grandes temas que são os pilares.
Objetivos
Analisar a configuração de tensões normais devida à combinação de momento fletor e esforço normal (flexão composta reta);
Identificar as tensões normais devidas à flexão composta reta;
Determinar a posição da linha neutra em seções transversais submetidas à flexãocomposta reta.
Flexão Composta Reta
A denominação “Flexão Composta Reta” é devida à combinação do momento fletor da forma como estudamos até aqui com o esforço normal.
As tensões de tração e compressão motivadas pelo esforço normal foram objetos de estudo em Resistência dos Materiais I e o efeito do momento fletor foi estudado nas últimas aulas.
A flexão composta reta aparece de várias formas, como, por exemplo:
Uma das formas mais significativas da flexão composta é, com certeza, os pórticos planos.
Veja este exemplo: →
	Diagrama de Esforços Cortantes ↓
	Diagrama de Esforços Normais ↓
← Diagrama de Momentos Fletores
Observando os 3 elementos do pórtico, podemos verificar que o esforço cortante, o esforço normal e o momento fletor estão presentes de forma simultânea.
O esforço cortante, por ser transversal, sempre gera tensões tangenciais na seção transversal, qualquer que seja ela.
Já o esforço normal e o momento fletor geram tensões normais na seção transversal. Daí os efeitos serem combinados e estudados simultaneamente.
	ANÁLISE DE UMA SEÇÃO GENÉRICA
	Vamos analisar uma seção genérica, sujeita a esforço de compressão e momento fletor.
O esforço normal, centralizado, gera uma tensão uniforme, que pode ser de tração ou de compressão, dependendo do sentido.
O momento fletor também gera esforços normais, como já vimos neste curso, só que com variação linear, sendo de tração em um bordo e de compressão no outro, passando pela linha neutra, que coincide com a posição do centroide da seção.
	ESBOÇO DA SUPERPOSIÇÃO DOS 2 EFEITOS (NORMAL + MOMENTO)
	Vamos esboçar a superposição dos 2 efeitos (normal + momento) através da construção do diagrama de distribuição de tensões normais para flexão composta reta.
Observe que a linha neutra na distribuição de tensões resultante se desloca, deixando de coincidir com o centroide.
Repare que, se aumentarmos o esforço normal, a linha neutra vai continuar baixando até “sair da seção”, fato que eliminará a presença das tensões de tração, tornando a seção toda comprimida.
E se a tensão normal fosse de tração?
Observe agora que a linha neutra na distribuição de tensões resultante se desloca para cima, deixando de coincidir com o centroide.
Repare que, se aumentarmos o esforço normal, a linha neutra vai continuar subindo até “sair da seção”, fato que eliminará a presença das tensões de compressão, tornando a seção toda tracionada.
Observação:
Todos os exemplos de diagrama de distribuição normal de tensões analisados para esforço normal de compressão e de tração contaram com a ação simultânea de momento fletor positivo, que gera tração no bordo inferior e compressão no superior. 
A ação de momento negativo obviamente altera a configuração do estado de tensões resultante e, por consequência, a posição da linha neutra.
A superposição de efeitos do esforço normal com o momento fletor, da forma como estamos estudando, só é válida se o estado de tensões resultante imposto ao material permanecer no domínio linear elástico, onde a Lei de Hooke é válida.
A representação da flexão composta reta também é usualmente apresentada através de um esforço normal excêntrico.
O par Normal + Momento pode ser substituído pela Normal associada a uma excentricidade de tal forma que o produto da Normal pela excentricidade produza o mesmo momento imposto pela flexão composta reta.
Dessa forma, podemos resumir a tensão no bordo superior como sendo:
E a do bordo inferior:
	Onde:
N: esforço normal;
A: área da seção transversal;
M: momento fletor;
I: momento de inércia da seção em relação ao centroide;
Csup e Cinf: distância do bordo considerado até o centroide.
Obs: Nas seções simétricas Csup e Cinf
	Convenção de sinais:
Compressão: normal negativo;
Tração: normal positivo;
Momento positivo: tração no bordo inferior e compressão no superior;
Momento negativo: tração no bordo superior e compressão no inferior.
Pela expressão: 
Podemos encontrar o valor da tensão em qualquer ponto da seção ao longo da sua altura.
O valor de y para tensão nula nos fornece a posição da linha neutra. 
Podemos construir uma equação para determinação da posição da linha neutra melhorando a expressão:
Vamos substituir M por N × e;
Vamos identificar a posição da linha neutra de y0, e 
Por último, vamos explorar o raio de giração da seção que pode ser obtido por 𝑖=√(𝐼/𝐴)
Como o esforço normal não pode ser nulo, obrigatoriamente, (𝑒 𝑦0)/𝑖2 deve ter valor absoluto 1.
Com isso, 𝒚𝟎=𝒊𝟐/𝒆
Chegou a hora de analisarmos a tensões!
A tensão normal, de compressão, vale 𝑵/𝑨= 100/2=50𝑘𝑁/𝑚2
A tensão devida ao momento vale 𝑴𝒚/𝑰= 𝑴.𝟏,𝟎/𝟎,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟕=𝟏,𝟓𝑴
𝝈 = 𝑵/𝑨 + 𝑴𝒚/𝑰
Como vimos, o acréscimo do momento desloca a linha neutra. Essa ideia nos leva à solução do problema: coincidir a linha neutra com um dos bordos da sapata, pois, dessa forma, ela estaria integralmente comprimida com momento máximo.
Tensão de compressão: -50kN/m2
Para que a tensão seja nula no bordo (linha neutra), o momento deverá ser tal que imponha à sapata -50kN/m2 no bordo comprimido e 50kN/m2 no bordo tracionado.
Assim, teremos tensão de compressão máxima de 100kN/m2 em um bordo e tensão nula no outro, garantindo o momento máximo e a base integralmente comprimida.
Resumo do conteúdo
Nesta aula, você:
Compreendeu o que é a flexão composta reta;
Conheceu a configuração de tensões imposta na seção transversal pela sua ação;
Utilizou a configuração de tensões para determinar a posição da linha neutra e estimar as tensões normais impostas em qualquer ponto da seção transversal.
Referências desta aula
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. A.1 e A.2, p. 568-572.
Próximos passos
Na próxima aula, você estudará:
Flexão Composta Oblíqua.
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Para saber mais sobre os assuntos estudados nesta aula, sugerimos:
Pesquisar na internet sites, vídeos e artigos relacionados ao conteúdo visto. Se ainda tiver alguma dúvida, fale com seu professor online, utilizando os recursos disponíveis no ambiente de aprendizagem.
Aula 8 - Flexão: Flexão Composta Oblíqua
Introdução
Esta aula apresenta a flexão composta oblíqua (ação simultânea de dois momentos fletores ortogonais e do esforço normal) e suas ações sobre a seção transversal.
A flexão composta oblíqua é muito comum nos pilares e também nas sapatas, elementos de fundação superficial que, através de contato com o solo, transmite tensões de compressão.
Objetivos
Compreender a configuração de tensões normais devida à combinação de momento fletor em 2 direções e esforço normal (flexão composta oblíqua);
Quantificar as tensões normais devidas à flexão composta oblíqua;
Compreender e especificar o núcleo central de inércia.
Flexão composta oblíqua
A denominação “flexão composta oblíqua” identifica a combinação de dois momentos (em torno dos eixos ortogonais que se cruzam no centroide da seção) com um esforço normal centralizado.
Na última aula, foi estudada a combinação de um momento em torno de um desses eixos com uma força normal e vimos que a variação da intensidade do esforço normal, além de alterar a intensidade das tensões, sobe ou desce a posição da linha neutra, mantendo-a paralela ao eixo em torno do qual o momento atua.
Agora, vamos estudar uma combinação de ações que rotaciona a linha neutra, daí o termo “oblíqua” ser incorporado à sua denominação.
Mais uma vez é bom chamar a atenção para o fato do estudo que estamos desenvolvendo ser válido apenas se o estado de tensões resultante imposto ao material permanecer no domínio linear elástico, regido pela Lei de Hooke.
A combinação com dois momentos é um pouco mais complexa. Vamos, por isso, trabalhar utilizando a superposição de efeitos, construindo a distribuição de tensões devida à flexão composta oblíqua a partir das distribuições de tensões individuais (N, Mx e My).
Vale a pena relembrar que, por convenção, tensões de tração são consideradas positivas e decompressão são negativas. Por isso, a expressão possui os sinais de mais ou menos.
Na prática, qualquer carga aplicada com excentricidades em relação ao centroide impõe à seção uma flexão composta oblíqua.
Pilar de canto das edificações
Um exemplo corriqueiro é o pilar de canto das edificações.
Um pilar é dito de canto quando ele está posicionado em um vértice da fachada.
Essa posição faz com que ele seja apoio extremo de duas vigas de fachada, recebendo momentos de cada viga, uma em cada direção, constituindo a flexão composta oblíqua.
Distribuição de tensões e a linha neutra
Uma seção submetida à flexão composta oblíqua pode estar inteiramente comprimida, inteiramente tracionada ou possuir os dois estados em partes distintas da seção.
Uma seção inteiramente comprimida ou tracionada possui ação mais significativa do esforço normal do que dos momentos.
Outra forma de ver isso é imaginar excentricidades pequenas na aplicação da força normal. Já a seção parcialmente comprimida possui ação significativa dos momentos ou excentricidades da carga normal maiores.
Análise de caso concreto
Para começarmos a construir um raciocínio mais concreto, vamos imaginar uma base de 3m por 4,5m submetida, em seu topo, a uma carga de 800kN aplicada com excentricidades ex=0,25m e ey=0,5m.
Vamos iniciar calculando as propriedades básicas da seção:
Agora vamos analisar a distribuição de tensões:
A partir da expressão, vamos construir uma tabela contendo as parcelas da expressão distribuídas por coluna, contemplando os pontos A, B, C e D, vértices da seção analisada.
A tensão normal é constante (compressão) em toda a tensão.
Os momentos geram tração em um bordo e compressão no outro.
O momento de 400 kNm, em torno do eixo x, comprime os vértices B e C e traciona os vértices A e D.
O momento de 200kNm, em torno do eixo y, comprime os vértices C e D e traciona os vértices A e B.
Vamos construir a representação gráfica da distribuição de tensões: ↑
	Vértice
	Normal
	Mx
	My
	Total
	A
	
	
	
	
	B
	
	
	
	
	C
	
	
	
	
	D
	
	
	
	
O vértice A foi o único tracionado. Grande parte da seção está comprimida e uma pequena parte tracionada próxima ao vértice A.
As regiões são separadas pela linha neutra, destacada na figura.
Agora vamos continuar a análise do mesmo exemplo, construindo a equação da reta sobre a qual podemos posicionar a mesma carga (800kN) de forma que a seção fique integralmente comprimida, considerando apenas o primeiro quadrante.
Para isso, temos que considerar que o ponto mais sensível à tração tenha tensão nula, pois, dessa forma, garantimos que todos os outros pontos estarão comprimidos.
Portanto, vamos considerar o ponto A como referência de tensão nula.
	A reta foi traçada a partir dos pontos destacados (0, 0.75) e (0.5, 0).
	Se seguirmos o mesmo raciocínio posicionando a carga nos outros quadrantes e analisando cada caso, teremos situações de simetria, nos levando à seguinte situação:
Conclusão:
Sempre que a carga de 800kN estiver posicionada sobre as arestas do losango, um dos vértices da seção possuirá tensão nula e a seção estará integralmente comprimida.
Prosseguindo o raciocínio, sempre que a força estiver posicionada dentro do losango, a seção estará integralmente comprimida. Se estiver fora, a seção será parcialmente tracionada.
A esse losango dá-se o nome de Núcleo Central de Inércia, que possui a propriedade de demarcar a região da seção na qual o posicionamento de cargas de compressão impõe apenas tensões de compressão.
Como construir o Núcleo Central de Inércia?
Acertando os denominadores:
Agora podemos eliminar os denominadores:
Agora podemos eliminar N:
Considerando o caso que vínhamos estudando:
Que é o mesmo resultado obtido anteriormente:
Sapatas que recebem carga e 2 momentos
Um caso interessante de uso do núcleo central de inércia é o de sapatas que recebem carga em 2 momentos.
Como uma sapata apenas toca o solo, ela só consegue transmitir tensões de compressão. Por isso, quando os momentos são significativos em relação ao esforço normal, é importante que as excentricidades se mantenham no núcleo central de inércia.
Com isso, além da tensão máxima imposta ao solo, deve ser avaliado se a carga está situada no núcleo central, para que a sapata não tenha sua área de contato diminuída, com o consequente aumento de tensão máxima.
Resumo do conteúdo
Nesta aula, você:
Compreendeu o que é a flexão composta oblíqua;
Conheceu a configuração de tensões imposta na seção transversal pela sua ação;
Utilizou a configuração de tensões para determinar a posição da linha neutra e estimar as tensões normais impostas em qualquer ponto da seção transversal;
Conheceu e aprendeu a posicionar o núcleo central de inércia.
Referências desta aula
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. A.1 e A.2, p. 568-572.
Próximos passos
Na próxima aula, você estudará:
Flambagem.
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Para saber mais sobre os assuntos estudados nesta aula, sugerimos:
Flexão composta (UFJF):
FEUP-PT
Aula 9: Flexão: Flambagem
Introdução
Esta aula apresenta a flambagem, fenômeno de instabilidade ligado a elementos comprimidos. Como esse fenômeno pode reduzir a capacidade de carga de compressão, torna-se fundamental seu estudo. Os elementos comprimidos mais comuns são barras de treliça, estroncas e colunas (pilares).
Nesta aula, você vai conhecer o fenômeno e o modelo matemático que representa seu comportamento e permite que sejam estimadas as deflexões, cargas e tensões críticas, fundamentais no projeto estrutural.
Objetivos
Explicar o fenômeno da flambagem em elementos comprimidos;
Aplicar o modelo matemático associado ao fenômeno da flambagem;
Aplicar o modelo matemático para estimar cargas e tensões críticas de elementos comprimidos.
É um fenômeno de instabilidade que se manifesta em elementos comprimidos e provoca deslocamentos laterais acentuados que comprometem a segurança do elemento.
A esbeltez do elemento é o fator que determina o risco de flambagem de um elemento comprimido.
	Esbeltez
	A esbeltez é uma relação entre o comprimento do elemento e uma grandeza associada à seção do elemento, denominada raio de giração, que já vimos nas primeiras aulas desta disciplina.
Uma peça esbelta possui um risco aumentado de flambagem. Mais adiante veremos essa questão em detalhes.
Carga de Euler ou Carga Crítica
Estudos de Leonhard Euler, datados de 1757, levaram à determinação da chamada Carga de Euler ou Carga Crítica, que é a intensidade de força de compressão máxima que um elemento pode suportar antes de entrar em processo de flambagem.
Leonhard Euler
Euler nasceu em Basiléia, na Suíça (1707), e desenvolveu profundos conhecimentos de matemática, medicina, astronomia e engenharia. Fez diversas descobertas importantes e influenciou tantas outras, principalmente na matemática. Escreveu mais de 500 livros e artigos.
Pensando apenas no domínio linear elástico, qualquer elemento pode sofrer flambagem?
A resposta é não.
Mesmo sendo possível se determinar a Carga Crítica, pode ser que ela seja elevada a ponto de ser superior à carga máxima resistida pelo elemento no domínio linear elástico.
Portanto, dependendo da esbeltez do elemento, ele se torna mais ou menos suscetível à flambagem, como já foi dito.
Pegue uma régua comum, dessas de plástico com 30cm e aplique uma compressão com as mãos, uma em cada extremidade. Inicie de forma a comprimir levemente e aumente a intensidade aos poucos.
O que acontece?
Ela flamba em torno da direção mais frágil.
Da mesma forma que a régua de plástico comum, uma coluna esbelta carregada axialmente (em eixo longitudinal) também flamba em torno do eixo de menor inércia, no caso da figura, em torno do eixo a-a.
Chegou a hora do modelo matemático
Os estudos de Euler foram desenvolvidos para a chamada coluna ideal, ou seja, perfeitamente reta, composta por material homogêneo, submetida à carga de compressão