4ª Lista Vetorial UFRJ

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Departamento de Matem´atica
Disciplina: C´alculo Vetorial 
4a Lista de Exerc´ıcios
51. Determine a equaca˜o da elipse com centro na origem do sistema cartesiano e focos no eixo Ox sabendo que sua distancia focal ´e 16 e a sua excentricidade ´e 4
2. Um ponto P da elipse x2 + y2
= 1 dista 2 de um dos seus focos. Determine a distˆancia de P ao
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outro foco da elipse.
3. Determine as coordenadas dos focos e as medidas dos semi-eixos da elipse de equa¸c˜ao
(x − 4)2
25
(y + 8)2
+ = 1
16
.
4. Seja k um nu´mero real positivo e F1 (3, 0) e F2(−3, 0) os focos da elipse de equa¸c˜ao 16x2 + ky2 =
16k. Sabendo-se que P ´e um ponto dessa elipse, cuja distˆancia ao foco F 1 mede 4 unidades de comprimento, calcule a distˆancia de P ao foco F2.
5. Determinar o centro, os v´ertices, os focos e a excentricidade das hip´erboles:
a) 9x2 − 4y2 − 18x − 16y − 43 = 0 b) x2 − 4y2 + 6x + 24y − 31 = 0
c) 4x2 − y2 − 32x + 4y + 24 = 0.
6. Determine a equa¸cao e a excentricidade da hip´erbole de focos F1(0, −6) e F2(0, 6), sabendo que o eixo imagin´ario tem 8 unidades de comprimento.
7. Determine a distancia focal da hip´erbole de equac˜ao 9x2 − y2 − 36x − 8y + 11 = 0.
8. Um hip´erbole equil´atera, cujos focos pertecem ao eixo das ordenadas, o eixo real tem 8 unidades de comprimento. Determine a equa¸cao dessa hip´erbole.
9. Uma hip´erbole tem o eixo real sobre o eixo x, passa pelo ponto (4,6) e suas ass´ıntotas s˜ao as retas
y = −√3x e y = √3x. Calcule a excentricidade dessa hip´erbole.
10. Determinar uma equa¸cao da curva gerada por um ponto que se move de modo que sua distˆancia ao ponto A(-1,3) seja igual `a sua distˆancia a` reta y + 3 = 0.
11. Dada a parabola de equac¸ao y − −x2 + 4x + 5, determinar:
a) o v´ertice;
b) as intersec¸coes com os eixos coordenados;
c) o grafico;
d) o foco;
e) uma equacao da diretriz.
12. Determine o v´ertice, o foco, uma equaca˜o para a diretriz da das par´abolas de equac˜ao:
a) y2 + 4y + 16x − 44 = 0 b) x2 − 2x − 20y − 39 = 0 c) x2 = 10y.
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