Antiderivação-integrais indefinidas

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Curso- Engenharia Civil/Mecânica
Disciplina- Cálculo II – Prof. Olga
1º Semestre de 2013
Antiderivação- Integração Indefinida
Muitas vezes conhecemos a derivada de uma função e queremos encontrar a própria
função.
Por exemplo: um físico conhece a velocidade de um corpo em movimento e quer saber
a posição desse corpo em um determinado tempo futuro.
O processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado antiderivação ou
integração indefinida.
F(x) é uma antiderivada de f(x) para qualquer x do domínio de f se F’(x) = f(x)
Exemplo: F(x) =x2 é uma antiderivada de f(x) = 2x pois F’(x) = 2x
Observamos também que F(x) = x2 + 3 é também uma antiderivada de f(x) = 2x pois
F’(x) = 2x.
Dada uma função f(x) existe uma família de antiderivadas de f(x) da forma F(x) + C em
que C é uma constante.
Ou seja, se F(x) é uma antiderivada de f(x), todas as antiderivadas de f(x) são da forma
F(x) +C.
Essa família de antiderivadas é representada por :
em que F’(x) = f(x)
 dxxf )(  integral indefinida de f(x)
 f(x)  integrando
 dx  símbolo que indica a variável x ( variável de integração).
Exemplos:
1) Cxdxx  4
4
3 pois 3
4
4.4
1)4( xC
x
dx
d  = x3
2) poisCxdxx  323 23 3)( xCxdxd 
3)   (21 23 dtdpoisCtdtt 32 )21   tCt
Regras de integração:
1) Regra da constante
  CxFdxxf )()(
  Ckxkdx ( k = constante )
2
Exemplos :   Cxdx 22 ;   Cxdx 33 ;   Cxdx
2) Regra da potência
Exemplos:
CxCxdxx 
 312
312
2 ; CtCtdtt 


 2133 2113
3) Regra do logaritmo
Na regra da potência, se n = -1, temos dxx 1 que não pode ser calculada como
11
11

x + C ( o denominador se anula )
Temos então :
 x 0
4) Regra da exponencial
Regras algébricas para integração:
1)   dxxfkdxxfk )()(.
2)    dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
3)    dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
Exemplos :
1)   dxxdxdxxdxxdxxx 32323 515)15(   dxdxx 12 =
Cn
xdxx
n
n 
 1
1
 ( n  -1 )
Cxdxxdxx    ln11
Cekdxe
kxkx  1 , k  0
3
5( 321
3
4
32
3
1
4
5;34
5)(3)4 CCCCCx
xxCxCxCx 
Verificação:
Podemos verificar as integrações indefinidas, derivando a expressão final para ver se
obtém o integrando ou uma forma equivalente do mesmo.
No exemplo anterior:
(dx
d )34
5 34 Cxxx  = 4. 15013
1.34
5 2323  xxxx
Exercícios:
Calcule a integral dada. Verifique se o cálculo está correto derivando o resultado:
1)   dxx )34(
2) dxxx )184( 2 
3) dttt )349( 2 
4) dtttt )732( 23 
5) dzzz )
31( 23 
6) duuu )
13( 
7) dvvvv )362 44
1
4
5

8) dxx  2)13(
 9)   dxxx )32(
10) dxx
xx )72(
3 
11) dtte t )3( 5  
12) dxxxe
x
)2( 
13) dxx
xx )12( 2
2 
14) dyyyy )
12(3 
15) dxxxx )5
1()2( 23 
16) dyyyy )
32
2
1( 2 
4
17) dxx
xx  232
18) duue
u )2ln62( 
19) 1;1
13 
 xdxxx
20) dxxx  2)12(
21) dxsenxx )2cos5( 
22) dttt )cos( 
Tabela de integrais indefinidas Tabela de derivadas
1)    Cxdxdx1 1)( xdxd
2) )1(1
1

 nCnxdxx
n
n n
n
xn
x
dx
d 

)1(
1
3) 0;ln1  xCxdxx xxdxd 1)(ln  ; x 0
4)   Cxsendxxcos xxsendxd cos)( 
5)   Cxdxxsen cos senxxdxd )(cos
6) Ctgxxdx  2sec xtgxdxd 2sec)( 
7) Cgxxdxec  cotcos 2 xcogxdxd 2sec)(cot 
8) Cxtgxdxx  secsec tgxxxdxd .sec)(sec 
9) Cecxgxdxxec  coscot.cos gxxcoecxdxd cot.sec)(cos 
6) Cedxe xx  xx eedxd )(
7) Cekdxe
kxkx  1 kxkx eekdxd )1(
Problemas de valor inicial
1) Determine a função f, sabendo que a sua derivada f’(x) = 4125 4  xxx , e
que f( 1 ) = 9
5
5
2) Determine a função f tal que f’(x) = 5x3 -2x + 15, com f(0) = -1
3) Sabendo que u’(t) = 3 3 73 .19 ttt  , e que u(1) = 1, determine a função u
4) Determine a função polinomial cuja tangente tem inclinação 4x+1 e cuja curva
passa pelo ponto (1,2)
5) Determine a função polinomial cuja tangente tem inclinação 3x2 + 6x -2 e cuja
curva passa pelo ponto ( 0,6)
6) Estima-se que daqui a t meses a população de certa cidade estará aumentando à
razão de 4 + 5 t 3
2
habitantes por mês. Se a população atual é de 10000 habitantes,
qual será a população daqui a 8 meses?
7) A velocidade escalar em um movimento é dada por v(t) = t 3
2
. Ache a função
horária do movimento, sabendo que ela vale 1 no instante t=0
8) Um corpo está se movendo de tal forma que sua velocidade após t minutos é v(t)
= 1 + 4t + 3 t2 metros por minuto. Que distância o corpo percorre no terceiro
minuto?
9) Um fabricante constatou que o custo marginal é 3q2 – 60q + 400 reais por
unidade, onde q é o número de unidades produzidas. O custo total para produzir
as primeiras 2 unidades é R$900,00. Qual é o custo total para produzir as
primeiras 5 unidades?
10) Se um ponto se move em uma reta coordenada com aceleração a(t) e as
condições iniciais dadas, determine s(t)
a) a(t) = 2-6t ; v(0)= -5 e s(0) = 4
b) a(t) = 3 t2 ; v(0)= 20 e s(00 = 5
Integração por Substituição ( Cálculo- Um Curso Moderno e Suas
Aplicações Hoffmann, pág. 311)
Uso da Substituição para integrar  dxxf )(
1) Escolha uma substituição u = u(x) que simplifique f(x)
2) Expresse toda a integral em termos de u e du = u’(x) dx. Isto significa que todos
os termos que envolvem x e dx devem ser transformados em termos que
envolvem u e du
3) Depois de executado o 2º passo, a integral deve estar na forma
  duugdxxf )()(
4) Calcule o valor desta integral
5) Substitua u por g(u)
Exemplo:
dxx  7)53(
u= 3x + 5
3dx
du du = 3 dx
6
dxx  7)53( = 31 dxx  3)53( 7 = 31 duu 7 = 31 Cu 8
8
 = Cx 24
)53( 8
1) dx
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Exercícios
1) Calcule as integrais indefinidas:
a)
b) dx
c) dx
d)
e) dx
f)
g)
h) dx
i)
j)
7
k)
l)
Integração por partes
É uma técnica utilizada para integrar produtos de funções, isto é, o integrando
é do tipo f (x) . g (x)
Para tanto, podemos seguir os seguintes passos para a integração por partes.
1) Escolha os fatores, um fator fácil de integrar e outro fácil de derivar
2) Se f (x) será derivada, derive
3) Se g’(x) dx será integrado, integre, encontrando g (x)
4) Substitua os fatores encontrados na fórmula de integração por partes, ou seja,
 ou
Exemplos: Resolva as integrais abaixo, utilizando a integração por partes:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Algumas vezes precisamos utilizar a integração por partes mais de uma vez
Exemplo:
9)
8
10)
11)
Lista 3
Calcule a integral dada. Verifique se o cálculo está correto derivando o resultado:
1) dxxx )4
1( 35 
2) dxxx )
1( 
3) dxxx )
12( 43 
4) dxx
x )1(
2  , x>0
5) dxx )33( 5 2 
6) dxxx )31( 
7) dxxx )( 3 2
8) dxxx )1( 2 
9) dxxx  2)1(
10)   dxx)cos3(
11)   dxsenxx )( 2
12) dxe x 2
13) dxe x )3( 
14) dxtgxx  2)(sec
15) dxx  72
16) dxx  5)62(
17) dxxx  52 )34(8
18) dttt 52 )1( 
19) dxxx 4
3
32 )1( 
20) dxe x 1
9
21) dyy
y 125
4
22) dxx
x 1
23) dxxx
x 

382
63
2
24) dxx
x 2)(ln
25) dxe x 25
Respostas
1) Cxx
x  42
1
6 2
6
2) ln x + Cx 33
2
3) Cx
x  3
4
3
1
2
4) Cxx  ln2
2
5) Cxx  37
15 5 7
6) x - 2 2
2
3 xx 
7) Cx 8
33 8
8) Cxx  3
2
7
2 37
9) Cxxx  23
2
4
234
10) 3x + sen x + C
11) Cxx  cos3
3
12) Ce x 22
1
13) 3x - Ce x 
1
14) 2 tgx + 2 secx –x + C
15) Cx 3
)72( 3
10
16) Cx 12
)62( 6
17) Cx 6
)34( 62
18) Ct 12
)1( 62
19) Cx  4
7
3 )1(21
4
20) - e Cx 1
21) Cy 1ln5
2 5
22) x-1+ln 1x +C23) Cxx  3822
3 2
24) Cx 3)(ln3
1
25) Ce x 255
1
Lista 4- Integrais Trigonométricas
Calcule as seguintes integrais trigonométricas ( método da substituição)
1)  xdx4cos
2)  dxxsen43
3) dxx )34cos( 
4) dxx
x cos
5) dxxsenx 55cos3
6) dxxx 3cos
7)  v sen(v dv)2
8) dxxsenx 3 33cos
9) dxxsenx  2)cos( (sugestão: sen 2x = 2 senx cosx)
10) dxxsenx  2)cos1(
11) dxx
senx 4cos
12) dtsent
t  2)1( cos
13) dxx )43(sec2 
11
14) dxxtgx 33sec2
15) dxx 2cos12
16)  dxxsen2 ( sen 2 2cos12 xx  )
17) dxx 2cos (cos 2 2cos12 xx  )
18)  dxtgx
Respostas:
1) Cxsen 44
1
2) - Cx 4cos4
3
3) Cxsen  )34(4
1
4) 2 sen x +C
5) - Cx 5cos20
1 4
6) 33
2 xsen +C
7) - Cv )cos(2
1 2
8) 3
4
)3(4
1 xsen + C
9) x - Cx 2cos2
1
10) –cos x - cos x2 - x3cos3
1 + C
11) Cx 3cos3
1
12) sent1
1 + C
13) Cxtg  )43(3
1
14) Cx 3sec6
1 2
15) Cxtg 22
1
12
16) Cxsenx  4
2
2
17) Cxsenx  4
2
2
18) ln xsec + C