Lista de EDP

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Universidade Federal de Lavras
Lista 01 de exercício - EDP
Professora: Graziane Sales Teodoro BOM TRABALHO!
Questão 1. Encontre os autovalores e autofunções do problema de valores de contorno dado.
a) y′′ + λy = 0, y(0) = 0, y′(pi) = 0.
b) y′′ + λy = 0, y′(0) = 0, y′(L) = 0.
Questão 2. Utilize a série de Fourier para mostrar que para θ ∈ (−pi, pi),
θ
2
= senθ − sen2θ
2
+
sen3θ
3
− sen4θ
4
.
Porque a expansão não é válida para |θ| = pi?
Questão 3. Encontre a série de Fourier das funções.
a) f(x) =
{
1, para − L < x < 0,
1 +
x
L
, para 0 < x < L.
b) f(x) = ex, para −L < x < L
Questão 4. Considere f uma função definida no intervalo [−pi, pi] dada por
f(x) =
{
0, para − pi < x ≤ 0,
1, para 0 < x ≤ pi.
Encontre a série de Fourier dessa função e mostre que
pi
4
=
∞∑
n=1
(−1)n+1
2n− 1 .
Questão 5. Seja g(x) = x2, definida em −L ≤ x ≤ L. Calcule a série de Fourier de g e
mostre que
pi2
6
=
∞∑
n=1
1
n
.
Questão 6. Considere a função f(x) = x, 0 ≤ x ≤ L.
a) Estenda f de forma ímpar no intervalo [−L,L] e encontre a série de Fourier em senos.
b) Estenda f de forma par no intervalo [−L,L] e encontre a série de Fourier em cossenos.
c) Compare as duas séries em relação a convergência
Questão 7. Obtenha a série de senos e a série de cossenos das seguintes funções:
a) f(x) = 1, 0 < x < pi,
b) f(x) = pi − x, 0 < x < pi.
Questão 8. Seja f(x) = 3− x, 0 < x < 3.
a) Esboce o gráficos das extensões periódicas par e ímpar de períodos 2L da função dada.
b) Encontre a série de Fourier em cossenos e em senos da função dada.
c) Esboce o gráfico dessas séries de Fourier.
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