Apostila IME Servomecanismos - Parte 2 - Sistemas de Controle de Segunda Ordem

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UD-3
 
SISTEMAS DE CONTROLE DE SEGUNDA ORDE!\tI 
OBJETIVO 
Desenvolver conceitos relativos aos sistemas de segunda ordem lineares, 
continuos e invariantcs no tempo, sua carJctcriza~ao, JnflJise CID respostJ 
transitoria e especifica~6es de desempenho em resposta a entrJdJ do tipo degrau. 
SUMARIO 
3.1 Caracteriz8~ao dos Sistcm~ls de Scguncla Orclcm 
3.2 AnciJise da Resposta Tr.'1I1sitoria 
3.3 Especifica~6es de Desempenho 
3.4 Exercicios 
PRE-R EQUISiTOS 
~ Transform.'1da de Laplace ( D'AZZO 4.1 a 4.5 ) 
- Expansao em fra~6es parciais ( D'AZZO 4.6 a 4.9 ) 
- Resposta tr3l1sitoria ( D'AZZO 3.5 ) 
- UD-l e UD-2 
3.1 CARACTERIZACAO DOS SISTEMAS DE SECUNDA ORDEM 
(OGATA6A) 
( 0/AZZO 3.5 ) 
( DORF 2.4 ) 
( SHINNERS ~.l c 4.2) 
A ordem C,um par£lmCtl'O muito signil'icativo na caracleriz~I~~IO de um 
sistema, No DOMINIO DO TEMPO .'1 orc!el11 do sistel11,'l esullig<l(i:l :'1 derivacl:l 
de Jl1Jis JILl orclelll cI.l v:lri;\vcl cOlltrolJcl;l IlJ cqll.'H,;50 clifcrcnci,l! que descrcvc a 
dinamica do sistema. No DO M fN 10 DA FR EO (j ENCIA a ordclll do sistema 
C.'1 ordem dJ m8is clev,lda potcnciJ cle s n~ denominaclor da run~:io de 
transfercncia a m81h8 fechJda, 
45
 
Os sistemas de segunda ordcm sao muito importantes para 0 engenheiro 
decontrole. Essc tiro de sistema c(lracteriza a dinamica de muitas aplicayoes em 
sistemas de contro!c enconLradas em servomcC(\nismos, veiculos espaciais, 
processos qUlmicos, bioengenharia, aeronaves, navios, eLc. 
A m(lior p(lrLe dos projetos de sistemas de controle se bascia na <.\n,ilisc 
de SiSLel11,lS de scgunda ordcI11. Mesl110 que 0 sistema scja de ordeI11 superior, (J 
quce co 111 U111, elc podc ser aproximado por um sistema de scgunda ordcm a rilll 
de sc obter uma primeira aproximayao com prorositos de rrojcto inicial e (1(; 
precisJo razoavci. Uma solu(,:ao exaLa rode assim ser estudada a partir do 
descmrenho obticlo com um sistema de segunc!<.l orclem. 
A funi;8o de transfercncia a malha fechadade um sistema c!c conl!ole dc 
segullc!a orclcm [em a forma: 
// 
(6. ! 7) 
(4 ..) ) 
\ 
A cquai;8o (lifcrenc.ial que modela matcmaticamcl'lle um sistema e!cs') ,1 
orclclll Lem a forma (1 SCgUlr.', 
OneiL; fatal' de amortecimcilto. 
w" freCllicllcia natural n80 amorLccida. 
(2 .. \2)
 
ger:ll 
. i)
,. , II . l) 
As raizes ciesta eqLla~ao sao: 
4b2bo - b l-
) 
b, +. (3.33)Sl2 = - -2/ - j ) 
, ')2 4bi. 
.. (J 1 a parte real, C0 amortcciiTIento . 
. 'uh ,3 parte in1aginarja, C3 freql.icncia natural ar.nortccida . 
. b I • caconstante·dc·-j"i1lOftGcimen-toefcti-vo de) sistema. 
Se b1 ,= 2Jb2 bo , cntao as duas raizes sao REAIS e IGUAIS. Este C 0 
VALOR CRITICO (//1) cla constantc efetiva de amortecimento. 
o FATOR DE AMORTECIMENTO ( edefinido cCJiTIO a rnao entre 
o valor da constante de 3mortecimento cfctivo e 0 valor critico CJcst;l constantc. 
y­ AMORTECIMENTO EFETIVO b l 
':. - =--= 
AMORTECIMENTO CRITICO h' I 
A FREQUENCIA NATURAL N.;I.O AMORTECIDA (U II cc1dtni(la 
como a freqlicncia de oscilacao do transitorio para a constante de ~lmoItccimento 
cfctivo nula ( b l = 0 ). A [J~1rLir das cqua~6es ( 2.32 ), ( 3.33 ) c ( 3.34 ) tcm-sc : 
(3.3))
 
., 
'0 AMORTECIMENTO (j Cobtido (1c (2..32) c (3.33): 
-", 
:- A FREQUENCIA NATURAL Afv'!ORTECIDA (U,! 
eX[JITssa a panil' cia comparac5o de ( 2.32) c ( 3.33 ) : 
o 
Fig 3.8 ( lY.\!70) r·r(~qii(l1ci:l de Os('ii:lC:lo \ Cocficiciltc de !\111o!"tcciIiICI1IO. 
3.2	 ANALISE DA RESPOSTA TRANS!TORJA ( OGATA 6.4) 
( SHINNERS 4.2) 
(D/AZZa 3.6,3.7,3.9 c 3.10) 
. ( DORF 2.4,4.2 c 4.3 ) 
a) Resposta ao Degrau 
A entrada do tipo degrau Ul1ltitrlO e usualmel1te empregada como meio 
de obter a resposta clo sistema a flm de analis{l-Ia. E um metoda padrao para 
comparayao de descmpenho de difc[cntes sistemas ouas variayoes· de 
desempcnl10 do mesIDo sistema quando s30 alterados seus parametros internos. 
A resposta no dominio do tempo difere para caela conjunto de 
CO N DI~6 ES IN ICIAIS. Para campara!" us respostas de diferentes sistemas, au 
variayocs para um mesmo sistema, e necessario pmtir de condiyoes iniciajs 
padronizadas. 0 mais pratic0t.. e que se tornoll usual, e partir com 0 SISTEMA 
EM REPOUSO, CONDr~OES iN1CIAIS NULAS, ou seja, SISTEMA 
RELAXADO. 
A RELA(:AO ENTRA DA-SAI DA para um sistema de segunda orc!cm 
e, cOllformc ( D.l 7 ) : 
R(s)C(s) 
Scja a el1 trada clo tipo 0 EC RA lJ U N ITA R10 : 
5 I, {2 0
r(t)	 => !?(s) . ­(0, t < 0 s 
Suponclo concli<;:ocs iniciais l1ulJS lcm-se : 
C(s) = (4.4)
 
Fatol';ll1c1o 0 denomilwdor obl.\~m-sc : 
(-L5)C(s) 
A solll<;:Jo c.\ata par;l :.l said;1 iL' ,joi11inio do tempo clcpcndc do valor clo 
fator de (lmol'lcciil1cnto (. !--Le\ tiC:' ;~:,!sos para ;\naliscH, cujas cJcclll<;:oes sc 
enCOl1lfam nas p;lgJn;lS 143 (1 1,:)7 ,k SflJNNERS. 
------
SUBAMORTEcrMENTO 
-w{ '-w{W 
n 
ten - c n 
AMORTECIMENTO CRITICO . 
1­c(t) 
I){ = 
/ .... 
2)/ (> 1 SUPERAMORTECIMENTO 
c(t) - 1 + [2((2 + (J(2 - 1 - 1)]-le-((+J(2- 1 )Wn { 
+ [2((2- (,J(2 - 1 ~ l)rle-((-~)wn( 
:00« < 1 
+ 
(4.12) 
(4.16) 
c(t) (4.24) 
jw 
51 jWd 
I UnI 
WnP I 
I 
I eI 
cr 
I 
I W 
I 
I 
-------
-j W d ~ 
SW n 
rig 4.3 ( SHE\i\JERS ) Localiz;l\:;\O dos Polos Conjllgados Jl() Plano s. 
rig 2.S ( DORF ) . 
rig 6.15 (OGATA) 
O = cos -Ie. (4.[1)) 
A scguir sao rC[leLldas clu.as cx[Jress6es que raci!iLam J compreens3o da 
ftgura acimJ. 
(.'3.33) 
(2.32)S 1,2 
49 
A figufa 4.2 ilustra 0 comportamcntotransitorio da rcsposta ao degrau 
nos tres casos J ntcriores : 
rlr) CRITICAMCNTC 
AMORTCCIDO 
e (t) 
~.I 
) 
( a) 
r(l) 
-------­ ( SUPERAMORTCCIDO 
(b) 
3.3 
-:- U8 
'­
-~ 
c 
SCB:\;\IOInCCIDO 
I () < « I I 
(el 
Fig 4.2 ( SIlIi\"iERS ) 
Os parameLros ( e W n s50 muito importJntes n:1 car<lcLerizac;;ao dJ 
resposta de urn sistema de segunJa ordem, como se \Ie a seguir. 
Das expressoes de () e Wd, e de (4.24 ), podem ser tiradas duas COIlC USlJcS 
sobre 0 efeito de (e W n com relac;;50 30 transitorio no caso SUGAMORTECIOO. 
1) Quanto !vIAIOR j'or 0 proc!uto ((;)n, M/\[S RAPTOAMENTf::: clccaira 0 
transitorio. 
so
 
2) A frcqLicncia natural amortccida Wd : 
- Varia DIRETAMENTE COIll a frcqlicilcia natural nao amortccida w n • 
- DECRESCE COI11 0 AUMENTO do fator dc a/11ortccimento (. 
A rcspcito de ( quatro obscrvayocs podcm ser inicialmcnlc feitas : 
I) Quando (= 0 NAO HI\. AMORTECI MENTO, 0 quc podc ser vlsto ILlS 
C:Xpl"CSS()CS (4.24 c 2.32). Neste caso = (.un C a rcsposla OSC IL/\ com (\(;)d
 
freqLicncia natural W n
 • 
2) A Illedida que ( AUMENTA de valor de 0 a J (0 < ( < I) a csc:\:.lI:;UO 
vai scndo gradativamcntc amorLccida ( SU BAMOI~TECr M r"::NTO). 
3) Quando ( = I ocorrc a TR0NSle,::i\CJ para 0 c!esnpnrccilllcl1Lo d~i (,Sc;!(\(.;Dn 
( AMORTECIMENTO CRITICO). 
4) QU~lndo (> i NAO OCOrUZErl! CSCILACOES I',' ,:'C;.C;)OS~,t 
(SU PERAMORTECI MENTO ). 
r I') 
20 
\ 
1.8 f -0.1 
1.6 
(.4­
11 
10 
08 
06 
0.1 
01 ­
1 
I I 
t,.;~ .~. _ 
(J 
.__ ~:~. ._~ .__.L_--L _ 
~, : ~' 
Duas outras observ:1<;ocs podem scr aincla 'feitas .sobrc os valorcs dc ( . 
1) Quando ( > 1 0 sistema de segllnda ordem tcm p()los da rcla<;ao de controlc 
SOBRE 0 EIXO REAL NEGATIVO do plano complcxo. 
2) Quando ( < I 0 sistemfl apresenta um PAR de POLOS COMPLEXOS 
CONJUGADOS. 
0<. 1< 1 
~ crCCient~ 
Wn 
Fig 2.9 ( DOnF ) Lugar Geoenetrico dos Polos de :\'Talha fcchada ao Variar ~ com (;1. COl1st·,,;tc. 
H) Resposta (10 Imrlllso 
Outro tipo dc excitayao empregada na analise matcmatica dfl. resposta d'~ 
sistemas ea en trada do tipo impulso unitario. 
A rela~iio cntraca-said3 para um sist.ema de segunda ordem C : 
R(s)C(s) 
Seja a entr:1da do tipo impulso llnitario: 
r(r)= 0, r =F 0 
R(s){ f= r(t)dr = I 
-00 
SU[lO!1clo cO!lcli<;()C's iniciais nuLls teill-sc: 
C(s) , (~.l 0) ~ 
s- T 2 ( 0)/1 S + w.~ 
52 
A rcsposta no dominio tempo sera: 
(4.11 )c( t) 
SISTL~1"S ,\UTO\I/\TICOS Ill: COI'TIWI, 
~. 1.0 
0.8 
O,t i 
0.1 
0.2 
g(l) 
0.0
 
-0.2
 
-0.4
 
-0.0)
 
-0.8 
5 (i 7 f. 9 J 02 3 
• I I1/"f=o.IO 
1\\ =~1.25 I I /V\W=O,.'iO -f; ~ 
r~ ~ 
o 
/""" 
1/ 
'\I 
//I \=\,0'-..), ~ - ~ ""---- L , \\i= ---~. 
\~VI 
f\ 1/
"-' I I 
w,ll -­
Fig 4.(j ( DORf ) Resrosta de lim Sistel11a de SegunJa Onlcm :1 Entrada do tiro Impubo Unit:irio. 
c) Localizay;10 das Rllizes no Plano s e Resposta Transitoria 
A resposta transitoria de urn sistema de controlc com rctroa,<;i1o rode scr 
descrita em termos cla localiza<;:ao dos palos da fun<;:ao de transfcrcncia a malha 
fcchadfl ( rcla<;:ao de controle ). 
Cis}R(s) 
D(s) 
C(s) C(s) 
R(s) + C(s)H(s) 
A cqua<;:ao CJ ractcristica C + C(s) 1-1(5) = 0 
As raizcs da. cquJ<;:ao cJulcteristicll sao os POlOS da lun<;::10 de 
transfcrcncia a malha fcchada. 
5\
 
Como ja foi vista na analise das rcspostas ao· degrau c ao impulso, a 
rcsposta transitorja. de umsistema de controIe e formada por uma composit;'.3.o 
de: 
- SAIDA EM ESTADO ESTACIONARIO, 
- TERMOS EXPONENCIAIS c 
- TERMOS SENOIDAIS. 
As figuras a scguir mostram graficamente a rclac;ao entre a localizac;ao 
d8s raizes cia equac;ao .caracteristica e a rcsposta transitoria para uma entr8da do 
tipo impulso unitario. 
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I'll NClO:--J1\ MICNTO 1)1: LOS SISTI:MI\S DI: CONT1WI 105 
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A __ -:._=. ­I~ "I~
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fJ1JDTI . 'MAt
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/·il.:. ~-12. Rcspuc,I;: ,I Ull il11pulso r,tr;t varia~ lo<.:alizaciollcs (Ie rclll:CS en cI plano~. 
(No sc Il1UCSlr,1 la rJiz colljl'g~cJa.) 
fig 4.12 ( DOIU' ) 
--
--
-
-
-
VAN VALKENBURG 
"NET\VORK ANALYSIS". 
s plane 
4Nv
, 4EN
, 
~ 
-
-4Jy 
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-
,
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, 
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___V____1SJfr 
Ii·---­
____.V 
! 
-L (J 
Fig. 6- 10. The forms of the resDonse for variolls s-plane locations of 
Ihe roots of the characterislic equation in the left half of 1he s plane. 
Points on (he a ,lxis corrcsfJond to single rOOIS and olher points 
assume thai [he conjugate is presen!. 
55 
303 
VAN VALKENBURG
 
"NETWORK ANALYSIS"
 
Sec. /0-7 / Time- Domain Beltmior from tlte Pole and Zero Plot 
s plane 
t 
Fig. 10-24. The form o~ the responses identified with each of the 
pole positions shown in Fig. 10-23. The responses are shown with 
arbitr:JfyamfJlitudes. 
') Constante de Tempo 
Os termos transitorios tem a forma EXPONENCIAL A emc. Quandc 
m = -a creal e negativo, 0 tra<;:ado de Ae-ot tern a forma mostrada na Fig 
..., ~ 
J.j. 
CONSTANTE DE TEMPO e 0 valor de t que torna 0 expoente de e 
igual a -1. 
-aT=-l => 
1,0 
T
 
III = -0 
~--+--
• I 
2T 
Fig 3.3 ( Df AZZO ) Trapdo da cxponcncial e- Qr C locaiizayao da rail.. 
No in tervalo de 0 a T a exponencial A e-Ol decresce de 1 para 0,368. 
Geometricamente, 
a tangente a curva Ae-Ol em t = 0 intercepta 0 eixo dos tempos em t = T; 
a tangeote a curva Ae-oC em t = T intercepta 0 eixo dos tempos em t = 2T, 
e assim por diante. 
Quando m = + jWd C um valor complexo, 0 transltono possui a forma(J 
AeC{sen(wdt + 0). A constaote de tempo c aqui definida em termos do 
amor~ecimeoto (J que caracteriza a ENVOLTORIA Ae<JI. 
T=_l_=_l_ (3.4 )
Iv I (w n 
A expressao acima confirma a conclusao do [loa! da paglna SO. 
_ :\ (' c , 
Fi;:; 3.2 ( D'AZZO ) [Sb0yO de tlma scnoidc :lmortccida O:POI1Cllci:dlllcntc. 
57
 
A constante de tempo na resposta ao clegrau de um sistema parle ser 
visualizada na fig 6.4. 
/ 
i 
,e ,e o!? 0"0 0 
N c'") ~ 0 N,! 
,.)' \[). <J) '" ai'OJ 
ill OJ a) G> m 
I I II I
-i__L__L I_ 
0 T ZT ~T ~ T ST 
Fig 6.4 ( OGATA) ClIr,,:!. de rcsrosta exponencial. 
3.3	 ESPEClflCACOES DE OESEMPENHO ( OGATA 6.4 'j 
( 0 1 AZZO 3.9 c 3.t 0 ) 
( SHINNERS 4.2 ) 
( DORf 4.2 ) 
Em muitos casas prillicos as car8ctcristicas de c1escmpcnho desejaclas dc 
sistemas (Ie controle sao especificad8s cm termos e grandezas no cJomlnio clo 
lempo. Sistemas com armazenamento de energia nao podcm responder 
instanlaneamente e tcrao respostas transiu')I"ias semrre que sujcilos a entracJas ou 
perlllrba~6es. 
Frcq(ienlemente ClS carclcteristicClS cJe desempenho sao especificadas [Jara 
uma entrada clo tipo DEGRAU UNITARIO, parser de facil ge["(\(;:ao c 
suficien temen tc severa. AJcm d isso, conhecida a resposta ao cJcgra u, c 
matem8ticamente [Jossivel cOll1putar a resposta pClrCl qUCllquer enuacJa. 
Como foi vista n8 pagina 48, ClS concJi~6es iniciais sao considcradas nllla-;, 
a rim de padl"Onizar Cl compar:l<;:ao das cspecit'ica<;:ocs. 0 sistema inici:1 ('m 1=0. 
portanto, em rcpouso e com a saidCl e tocl8s ClS suns clcrivaclas nulas. 
Sao quatro as principClis ESPECIFfCA\=OES DE DESE!\IPEN[-IO cc 
um sistema de controlc de seguncla ol·clem. 
a) Rel:lcioIladas j RAPIDEZ DA RESPOSTA 
I) Tempo de Subida, !r ( "rising lillle") 
2) Tcmpo de Pico, 1" ( "pccd, l i 111 C" ) 
b) Relacion:ld:ls ;') PROXIMID;\DE DARESI)OSTA A V/\LORES 
DE.S EJADOS : 
.:.I) Tempo (!c .Acomo(Llc;jo, 15 ( "SCLLllllg Lime", tcmpo (!c COlnCll.,',ll) 
5S
 
1) TEMPO DE SUBIDA, IT' C 0 tempo para a resposta passar de 0% a 100% 
do seu valor final. 
Esse e 0 criterio empregado para sistemas SUBAMORTECIDO:3. 
Para sistemas SUPERAMORTECIDOS 0 criterio tern seus limites alterados 
para 10% e 90%. 
2) TEMPO DE PICO, Ip , e 0 tempo necessario para a resposta alcanpr 0 pico 
da primeira ultrapassagem. 
3) U LTRAPASSAGEM MAxIMA, M p , C0 maximo valor de pico da curva de 
resposta, medido a partir do valor unitario. 
Quando 0 valor final de regime estaci09ario da res posta difere da 
unidade, emprega-se a ULTRAPASSAGEM MAXIMA PERCENTUAL. 
4) TEMPO DE ACOMODA(AO, Is , e 0 tempo necessaflO para a curv;; de 
rcsposta alcanc;ar e permanecer dentro de uma faixa em torno do valor final. 
Erros de ± 2% e ± 5% sao os valores usuais para a dctcrminac;ao do 
.. ,tempo de acomodac;ao. 
c(t) l.D 
1.0+0 
-----­ ---T----­
~ ±-=-=..= 
------ ---+1-----T--­
09 ---/­ - - I I 
. 1.0-6 I: I I 
II I I 
II I I 
II I I 
II I I 
II I I 
:: I I 
II I II 
D.l -
Or 
:: 
I II 
iT"1 
: 
T 
Ticm;odcl 
I 
T, 
Ticmpodc 
Ticmpo 
I--T,~ opiC cSI~bjljzacjoll 
Tiempo de ascenso 
fig 4.7 ( DORf ) RCSI>OS(:t ao degr:llI de lllll sis(ern:1 de cOfl(rolc. 
59
 
Scja um sistema de controlc subamortccido com resposta ao dcgrau na 
forma ja vista: 
(4.24)
 
1) TEMPO DE SUBIDA, t, 
o tempo de subida ( 0% a 100% ) C 0 tcmpo para a rcs[)osta [)artir de 
c(O) = 0 c chcgar a c(t,) = I . 
ty + D) = 1 
Como e-(wnl, C .j1 - (2 i: 0 , cotao : 
sen(A + B) = senA cos B + cos AsenB 
.. ::.: .... 
Oa Figura 4.3 ( SHINNERS ), pagina 49, po<lcm ser obtidas as trcs 
rcla~6cs a seguir. 
senD = )1 - (2 
cos e= ( 
J1 - (2
taO = --- ­
<:> ( 
/ scn(wdl,.) + cos(wdtr) = 0 
-J J - (2 
60
 
- )1 _(2
Como tgO = - tg(n - 8) , entao: tg(n - 0) = ( 
n-e 
ty - W (6.26) 
d
tg(Wdtr ) = tg(n - 0) ~ \'\ \~ 
2) TEMPO DE PICO, tp 
Para obter 0 tempo de pico deriva-se a cquat;ao ( 4.24 ) e iguala-se 0 
resultado a zero. Isso pode ser feito com 0 emprego de uma propriedade da 
transformada de Laplace: 
de(t) }
2! -;;;- = se(s){ 
onde 0 valor inicial ee(O) = 0. 
Multiplicando a cquat;ao ( 4.4 ) da pagina 48 por s obtcm-se : 
Aplicando a transformada inversa de Lapl~lce chega-sc a : 
de(r) (4.1 [)
dl 
A derivada sed nula paraWdt = 0, n, 2n, ...
 
Como 0 tempo de pica cOlTesponde ao primclI"o pico da ultrapassagem,
 
en tiio : 
3) ULTRAPASSAGEM MAXIMA, A1p
 
A 1I1trap~lssagcm m:ixil113 ocone qUJndo t = lp = ;d'
 
61
 
Como Wd = W n J1 - (2 , cnL3.o : 
/Como sen(n + 0) = - senO c senD = J1 - (2 , cnUio : / 
~. 
(n 
M p-- e (4.31 ) 
A ulLrapass8gcm maxima perccntual MA%) e, portanto: 
(4.32)
 
102	 SISTEMAS AUTOMATICOS DE CONTROl. 
100 5.00 
90 4.80 
E SO 4.60 
.~ 70 4,40 
'" GO 4.20 
::> 
B ::<l 4.00 wnTp 
~ 
8. ,0 3.80 
'J 
;. 30 3.60 
13 ?J 3.40 
c 
Vl 
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1\	 /
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'\.~( 
I V "-./ 
""Ir ~~ 
-
3.00 (DOI2...F)
')0 0.1 0.2 0.3 O.~ 0.0 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 
Rdaci011 de i!mOrtiguC1CI~-)Il, ~ 
Fi~. 4-iL	 Sobrc~.vci porcenlual '! tiempo dc P,CO contra la relacior1 de amortl ­
gU3ci6:- ( p:lr" un siStema de segundo orden (ecuacion 4-8) 
4) TEMPO DE ACOMODAc;AO'!j 
Para sistemas c:~· scgullda orclc n () \:I:O( do transilc)rio ell qualquer 
instante e igual ou men';:' que a cxponenclal L' ;"'n' (cnvoltoria). 0 valor dessc 
Lerma c dado na Labela 31 rara divelsos \'(Jlorcs de ( cxrrcssos Cill rnL!lLir1o<:: dCl 
CONSTANTE DE TEi\iPO T. 
62 
TABELA 3.1 - VALORES EXPONENCIAIS
 
L/
t e-;wllt Erro(%) IT 0,368 36,8 
2T 0,135 13,5 
3T 0,050 5,0 
4T 0,018 1,8 
ST 0,007 0,7 
Pma ERRO de ± 2%: 
4 4 (3.64)t =4T=--=-­
S lui (wn 
Para ERRO de ± 5%: 
r[ = 3T= _3_ = _3_ 
S Iu I (w n 
COMENTARros FINAlS 
I) 0 SISTEMA SUPERAMORTECrDO nao oscila em torno cia POSit;:30 final, 
porcm c de 8yJO Icnta. Ha casos em que a auscncia de oscilat;:6es c desejaYel, 
como e1cvadorcs. 
2) 0 SISTEMA SUI3AMORTECIDO c de at;:ilo mais rapida, porcm oscila de 
forma amortecicla em torno cia posiyao final. Em sistemas ande se deseja 
rapidez na a<;ao pacicndo-se tolcrar oscilayoes lim itadas, c usu;J1 situar 0 
FATOR DE AMOR1:ECJI\1ENTO (entre 0,4 e 0,8. 
( < 0,4 ==> ultrapJssagel1l maxima excessiva. 
( > 0,8 => Icntidno c.\ccssiva cia rcsposta. 
3) A c1ctermina<;iio clas especifica<;oes de descmpenho de lim sistema obrigJ 0 
projctisl;! a atencler cornpromissos entre elas. Dilllinuir 0 tempo de subid:) I r 
ejou 0 tempo de pica [p, allmcntancJo a rapidez cia resposta, impliea em 
allmenUlr 0 valor da ulLrapassagcm mJ.\ima M ejoll 0 tempo de :lcomocl:l;~Op 
[s· 
4) A resposta de um sistcma de LCiccira orc1em pode ser aproximmia peJa de um 
sistema de scglluda orclcm scmple que a parte real dos palos cia rcla<;i:io de 
cOlltrole deste l'OrI11CIWr que 0,1 da parle real do terceiro polo. 
63
 
5) As especificayoes de dcsempcnho e suas rclac;;ocs aqui desenvolvidas tern valr:' 
exato apenas para sistemas de controle de segunda ordem com retrow;ao cujas 
funyocs de transfercncia a malha fecllada nao tenham zeros finitos e sejarn 
da forma da cquac;;ao (6.17) : 
(6.17) 
(4.3) 
Sc a funyao de transfercncia tiver forma diferente, as ferramentas de analise 
aprescntadas poderao determinar, quando possive!, apenas aproximayoes (vcr 
comcnulrio anterior). 
VAN VALKENBURG 
"NETWORK ANALYSIS" 
302 Nelwork Functions; Poles and Zeros / Cit. fo 
s plane }W s plane 
(6)(a) 
s pia 
/ 
}w 
(d) 
s plane 
(c) 
ne I I r I }w III (f 
I I 
r 
Fig. 10-22. Contours of constant parameter values in the s plane: 
(0) contours of constant CU n , (6) Jines of constant damping ratio at 
the angle 0 = cos- 1( with respect to the negative rea! axis, (c) 
straight Iines parallel to the imaginary axis arc contours of constant 
damping, (J = (0J n , and (d) straight lines parallel to the real axis 
represent contc'tii:S of constant freqll,'flCY 0 1 oscillation, ()).-= 
CU ..)] -(2.n 
--------
3.4 EXERCICrO 
Deseja-se selccionar 0 ganho K e 0 para.metro p do sistema de controlc 
abaixo de forma a satisfazer as seguintes especificac;6es de desempenho : 
1)	 tempo de estabilizac;ao menor que 4 s para erro de ± 2% ; 
2)	 resposta ao dcgrau unitario 0 mais rapida possivel, com ultrapassagem maxima 
de ate 4,32%. 
R(S) 
+
-	
C(S) 
-
­
K 
S (S + p) 
fig 4.10 Sistema de Controle com Retro:l9ao. 
a) Funyao de Transfercncia a Malha Fechada 
K 
G(s) = ( ) H(s) = 1 
s s + P 
K 
C(s) G(s) s(s + p) K 
-- - -----'--- - ----- - ---- ­
R(s) 1 + G(s)H(s) ! + K s(s + p) + K 
s(s +p) 
.C(s) K 
~ A relac;ao de controle tern a 
R.(s) S2 + ps + K 
forma padrao da cquayao ( 6.17 ). 
b) Limitayao da parte real dos palos da relayao de contro]e, (w" 
t = _4_ < 4 1/, - (w S - 1 I . 
n r (w ­
n	 I . 
.	 c) Limitayao do falor de amortecjmento, ( 
- (n 
J! - (2 
- (nMp--e	 S 0,0432 --;:::.==- S /n 0,0432 = -3,1419JI - (2 
(n 2 + 9,g716) (2:?: 9,8716 
9,8716 
n 2 + 9,8716 ( :?: 0,707 I 
d) Regiao dos palos no plano 5 para atendimento das especificar;:oes de 
descmpcnho. 
c< 0,707 jW 
~ 0,707 
, I 
I 
I 
, ~
'> 0,707 
-~W.<-I"''''f------ ----I,...... - 'W. > -I 
a= cos- I ( 
8 = cos- I 0,707 
8 = 45° 
/1 
rig 4.11 Especitlca<;oes de dcsem[>cnho e raizcs no pl:tno s. 
A localizay30 das raizes na regiao hachurada do plano 5 satisfaz as 
especiricar;oes de desempcnho I) e 2). 
e) Escolha dos palos para atender rapidez na resposta 
7[-8
= 
A rim de diminuir 0 tempo de resposta f, deve-se, simultaneamente, 
aumcntar 0 no numcrador e diminuir ( no denominador. Como a diminuir;:ao de 
( implica aumento de 0 (0 = cos-IO 0 polo com parte imaginaria positiv'a 
devera se situar sobre a reta ( = 0,707 ou 8 = 45° . 
Sendo W n constante para cJda valor de K (K = w~), 0 menor ( posslvel 
lr3 imrlicar se ter os r610s cia relar;Jo de conu-ole com a parte real sobre a reta: 
- (w =-1 
n 
Os palos de malha fechada serao, portanto : 
fJl,2 = --l ± j 
06
 
f) Detcrminac;:ao de ( e W n 
jW 
e 
(=_1_ 
J2 
g) Determina<;ao de K cp 
Comparando a relac;:ao de controle do sistema, ja obtida em a), com (i 
forma padrao da funs;:ao de transferencia a malha fechada de um sistema de 
contro[e de segunda ordem, equac;:ilo ( 6.17 ), obtem-se as valores de Key 
satisfazendo as especificac;:6es de desempenho. 
K
 
p 
(6.17) 
(4.3) 
67