Slides (Delfino) - Séries de Fourrier

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CÁLCULO IV 
 
 
SÉRIES DE FOURIER 
 
 
 
Maj Reinaldo Teixeira DELFINO 
Séries de Fourier 
• Considere a série com a forma: 
𝑎0
2
+ 𝑎𝑚. 𝑐𝑜𝑠
𝑚𝜋𝑥
𝐿
+ 𝑏𝑚. 𝑠𝑒𝑛
𝑚𝜋𝑥
𝐿
∞
𝑚=1
 
• Nos pontos em que esta série é convergente, 
ela define uma função f cujo valor, em cada 
ponto, é a soma da série para esse valor de f. 
Neste caso, a série é denominada série de 
Fourier da função f. 
• Desejamos determinar que funções podem 
ser representadas como a soma de uma série 
de Fourier, e calcular os coeficientes da série. 
Para tanto, alguns conceitos devem ser 
revistos. 
 
1) Periodicidade das funções seno e cosseno: 
diz-se que uma função f é periódica, com 
período T > 0, se o domínio de f contiver x + T 
sempre que x estiver nele contido, e se f(x + 
T) = f(x) para qualquer valor de x no domínio. 
– Demonstra-se facilmente que, se f e g são duas 
funções periódicas com período T, então o seu 
produto f.g e quaisquer combinações lineares 
destas também são periódicas com período T. 
 
 
– Observe que as funções 𝑠𝑒𝑛
𝑚𝜋𝑥
𝐿
 e 𝑐𝑜𝑠
𝑚𝜋𝑥
𝐿
 são 
periódicas, com período 𝑇 =
2𝐿
𝑚
. 
2) Ortogonalidade das funções seno e cosseno: 
diz-se que duas funções u(x) e v(x) são 
ortogonais em 𝛼 ≤ 𝑥 ≤ 𝛽 quando o seu 
produto interno é nulo, isto é: 
𝑢, 𝑣 = 𝑢 𝑥 . 𝑣 𝑥 𝑑𝑥
𝛽
𝛼
= 0 
 
– Diz-se ainda que um conjunto de funções é 
mutuamente ortogonal se qualquer par de 
funções deste é ortogonal. 
– Observe que as funções 𝑠𝑒𝑛
𝑚𝜋𝑥
𝐿
 e co𝑠
𝑚𝜋𝑥
𝐿
 , 
m = 1,2,... constituem um conjunto de funções 
mutuamente ortogonais no intervalo [-L, L]. 
3) Funções pares e funções ímpares: uma 
função f é par se o seu domínio contiver o 
ponto –x sempre que contiver o ponto x, e se 
f(–x) = f(x) ∀ x no domínio de f. 
Analogamente, uma função é ímpar se o seu 
domínio contiver o ponto – x sempre que 
contiver o ponto x, e se f(–x) = –f(x) ∀ x no 
domínio de f. 
– Funções pares são simétricas em relação ao eixo y, 
enquanto que funções ímpares são simétricas em 
relação à origem. 
 
• EXERCÍCIO: Demonstre que: 
– a soma/diferença e o produto/quociente de duas 
funções pares é uma função par; 
 
– a soma/diferença de duas funções ímpares é 
ímpar, e o produto/quociente de duas funções 
ímpares é par; 
– a soma/diferença de uma função ímpar e uma par 
não-nulas não é nem par nem ímpar, enquanto 
que o produto/quociente destas funções é ímpar; 
 
– Se f é par, então 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
= 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝐿
0
; 
 
– Se f é ímpar, então 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
= 0. 
 
Fórmulas de Euler-Fourier 
• Suponha que uma dada série de Fourier seja 
convergente, e seja f(x) a sua soma, isto é: 
 
𝑓 𝑥 =
𝑎0
2
+ 𝑎𝑚. 𝑐𝑜𝑠
𝑚𝜋𝑥
𝐿
+ 𝑏𝑚. 𝑠𝑒𝑛
𝑚𝜋𝑥
𝐿
∞
𝑚=1
 
(1) 
• A fim de determinar os coeficientes am e bm, 
multipliquemos a equação acima por 𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑥
𝐿
 , 
onde n é um inteiro positivo fixo. Sabendo 
que séries de Fourier podem ser integradas 
termo a termo, integremos a equação de – L a 
L, obtendo-se: 
 
 𝑓 𝑥 𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑥
𝐿
𝐿
−𝐿
𝑑𝑥 =
𝑎0
2
 𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑥
𝐿
𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
+ 
+ 𝑎𝑚 𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑥
𝐿
𝑐𝑜𝑠
𝑚𝜋𝑥
𝐿
𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
+ 𝑏𝑚 𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑥
𝐿
𝑠𝑒𝑛
𝑚𝜋𝑥
𝐿
𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
∞
𝑚=1
 
• Como n é fixo e m varre o domínio dos inteiros 
positivos, e lembrando das relações de 
ortogonalidade, constata-se que o único 
termo não-nulo do segundo membro da 
equação acima será aquele em que m = n no 
primeiro somatório. Logo: 
 
 𝑓 𝑥 𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑥
𝐿
𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
= 𝐿. 𝑎𝑛 , n = 1, 2, 3, ... 
• O termo a0 pode ser calculado integrando-se a 
equação (1) de – L a L. Se escrevermos o 
termo constante da equação (1) como a0/2, e 
não como a0, obtemos a mesma expressão de 
an. 
 
• Os coeficientes bn podem ser obtidos 
multiplicando-se a equação (1) por 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝐿
 e 
integrando-se termo a termo de – L a L. Logo, 
an e bn podem ser obtidos pelas expressões: 
𝑎𝑛 =
1
𝐿
 𝑓 𝑥 𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑥
𝐿
𝑑𝑥
𝐿
−𝐿 
, n = 0, 1, 2, 3, ... 
 
 
𝑏𝑛 =
1
𝐿
 𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝐿
𝑑𝑥
𝐿
−𝐿 
, n = 1, 2, 3, ... 
 
• As equações acima são denominadas fórmulas 
de Euler-Fourier. Se a série da equação (1) for 
convergente para f(x), então os coeficientes 
são dados por estas fórmulas. 
• Observe, porém, que podemos construir uma 
série de Fourier a partir de uma função f 
qualquer, caso as integrais existam. Este 
procedimento é indicado pela notação ~ : 
 
𝑓 𝑥 ~
𝑎0
2
+ 𝑎𝑛. 𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑥
𝐿
+ 𝑏𝑛. 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝐿
∞
𝑛=1
 
 
• Ex.: Seção 10.2, Exemplo 1. 
 
Teorema de Fourier 
• Há casos em que a série de Fourier 
correspondente a uma função f pode não 
convergir para f(x), e casos em que a série 
diverge. A fim de garantir a convergência da 
série para a função a partir da qual foram 
calculados seus coeficientes, é necessário 
impor algumas condições adicionais à função. 
Estas condições estão discriminadas no 
chamado Teorema de Fourier. 
• TEOREMA: sejam f e f’ funções contínuas por 
partes no intervalo [- L, L]. Suponha ainda que 
f seja definida fora do intervalo [- L, L] de 
modo a ser periódica com período 2L. Então f 
tem uma série de Fourier da forma da 
equação (1), cujos coeficientes são dados 
pelas fórmulas de Euler-Fourier. Esta série 
converge para f(x) em todos os pontos onde f 
é contínua, e para [f(x+) + f(x-)]/2 em todos os 
pontos onde f é descontínua. 
• As condições dadas pelo Teorema de Fourier 
para a convergência de uma série de Fourier 
são suficientes, mas não necessárias. Observe 
que uma série de Fourier pode convergir para 
uma função que não seja derivável, ou nem 
mesmo contínua, embora cada termo da série 
seja contínuo e infinitamente derivável. 
 
• Ex.: Seção 10.3, Exemplo 1. 
Séries de Senos e de Cossenos 
• Sejam f e f’ funções contínuas por partes em 
[-L, L], sendo f uma função periódica par com 
período 2L. Logo, 𝑓 𝑥 . 𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑥
𝐿
 é par, e 
𝑓 𝑥 . 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝐿
 é ímpar. Das propriedades de 
funções pares e ímpares, conclui-se que 
𝑎𝑛 =
2
𝐿
 𝑓 𝑥 𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑥
𝐿
𝑑𝑥
𝐿
0
 e bn = 0. 
• Assim, a série de Fourier de qualquer função 
par é constituída apenas pelas funções em 
cosseno e pelo termo constante; séries desta 
forma são chamadas séries de Fourier de 
Cossenos. 
 
• Analogamente, se f e f’ são funções contínuas 
por partes em [-L, L], e se f é uma função 
periódica ímpar de período 2L, então an = 0 e 
𝑏𝑛 =
2
𝐿
 𝑓 𝑥 . 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝐿
𝑑𝑥
𝐿
0
. 
• A série de Fourier de qualquer função ímpar é 
constituída somente pelas funções em seno; 
estas séries são chamadas séries de Fourier de 
senos. 
• Ao resolver E.D.P., muitas vezes é conveniente 
expandir em série de Fourier uma função 
definida no intervalo [0,L]. Esta expansão 
pode ser feita a partir de uma extensão 
periódica par, resultando em uma série de 
cossenos, ou de uma extensão periódica 
ímpar, resultando em uma série de senos. 
• Ex.: Seção 10.4, Exemplo 1. 
 
• OBS.: Se f é uma função contínua de período 
2L, e se f’ é contínua por partes, então a série 
de Fourier de f converge uniformemente para 
f em todo intervalo do eixo dos x. 
• Diferenciação de Séries de Fourier: seja f uma 
função contínua de período 2L e seja f’ uma 
função contínua por partes em [-L, L]. Então a 
série de Fourier de f’ pode ser obtida 
derivando-se a série de f termo a termo, e a 
série derivada converge pontualmentepara 
f’(x) se f”(x) existe. Em um ponto onde f”(x) 
não existe, mas no qual f’ tenha derivadas à 
esquerda e à direita, a diferenciação ainda é 
válida, e a série derivada converge para a 
média dos valores f’(x+) e f’(x-). 
• Integração das Séries de Fourier: seja f uma 
função contínua por partes no intervalo 
(- 𝜋, 𝜋). Então, quer a série correspondente a 
f: 
𝑓 𝑥 ~
𝑎0
2
+ 𝑎𝑛. 𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑥
𝐿
+ 𝑏𝑛. 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝐿
∞
𝑛=1
 
 convirja, quer não, a seguinte igualdade é 
válida: 
 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝑥
−𝜋
=
𝑎
2
𝑥 + 𝜋 + 
1
𝑛
𝑎𝑛. 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥 − 𝑏𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋
∞
𝑛=1
 
quando −𝜋 ≤ x ≤ 𝜋. 
• Exercício 1: demonstre a igualdade anterior. 
 Sugestão: use a função 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝑥
−𝜋
−
−
𝑎0
2
𝑥 e escreva a série de Fourier para 𝐹(𝑥). 
 
• Exercício 2: calcule 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
. 
 Sugestão: 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝑥
0
−
𝑎0
2
𝑥. 
 Resposta: 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
=
𝑎
2
𝑏 − 𝑎 + 
1
𝑛
𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑏 − 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑎 − 𝑏𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑏 − 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑎
∞
𝑛=1