Prova de Física Geral III - UFIta - 2012

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBA´
Segunda Prova de F´ısica Geral III (FIS403) 18 de Maio de 2012
Questa˜o 1 (40 pontos) Um fio carregado uniformemente com uma densidade linear de carga
positiva λ esta´ posicionado sobre o eixo x no plano xy. Ele tem comprimento L e seu centro coincide
com x = y = 0. (a) Calcule o potencial eletrosta´tico em um ponto qualquer sobre o eixo y. (b)
A partir do resultado anterior calcule o campo ele´trico sobre o eixo y. (c) Uma part´ıcula pontual
de massa m e carga Q e´ lanc¸ada em direc¸a˜o ao fio de uma distaˆncia muito grande e executa uma
trajeto´ria retil´ınea sobre o eixo y. Se Q for igual a` carga total do fio, qual deve ser a velocidade inicial
da part´ıcula para que o ponto de ma´xima aproximac¸a˜o ao fio seja y =
√
3
4
L?.
Questa˜o 2 (40 pontos) Considere um capacitor de placas planas paralelas com a a´rea das placas
dada por A. Uma das placas, com densidade superficial de carga +σ, esta´ localizada no plano
x = 0 enquanto a outra, com densidade −σ esta´ localiza no plano x = a, onde a e´ muito pequeno
comparado com as dimenso˜es das placas. (a) Calcule o potencial eletrosta´tico em todos os pontos
do espac¸o fazendo V = 0 na placa carregada negativamente. (b) Uma bateria com d.d.p. dada por
V0 permanece todo o tempo conectada a`s placas. Se um diele´trico com constante diele´trica κ = 2 e
expessura a/2 e´ inserido entre as placas, calcule a nova capacitaˆncia em termos de a e da capacitaˆncia
inicial. (c) Qual a diferenc¸a entre a energia eletrosta´tica final e inicial?
Questa˜o 3 (30 pontos) Um capacitor e´ formado por um sistema de duas cascas esfe´ricas conceˆntricas,
uma com carga +Q e raio a e a outra com carga −Q e raio b > a. (a) Calcule a capacitaˆncia desse
dispositivo. (b) Um outro capacitor esfe´rico possui mesma carga que o anterior, mas o raio da esfera
externa e´ dado por 5b/2, enquanto a esfera interna tem o mesmo raio a. Qual a diferenc¸a entre as
energias eletrosta´ticas que os dois capacitores podem armazenar se na˜o esta˜o conectados a nenhuma
bateria?
Atenc¸a˜o: A escolha do me´todo de resoluc¸a˜o faz parte da prova. Resolva em detalhes!
FORMULA´RIO∫
undu =
un+1
n+ 1
, n 6= −1,
∫ 1
u
du = lnu,
∫ du√
a2 + u2
= ln(u+
√
a2 + u2)
∫ udu√
a2 + u2
=
√
a2 + u2,
∫ du
(a2 + u2)3/2
=
1
a2
u√
a2 + u2
,
∫ udu
(a2 + u2)3/2
= − 1√
a2 + u2∫
sin au du = −1
a
cos au,
∫
cos au du =
1
a
sin au,
∫
eaudu =
1
a
eau
Potencial para distribuic¸o˜es discretas: V = 1
4pi�0
q
r
e cont´ınuas V = 1
4pi�0
∫ dq
r
.
Relac¸o˜es entre campo ele´trico e o potencial: ~E = −~∇V , V2 − V1 = − ∫ 21 ~E · ~d`.
Lei de Gauss:
∮
S
~E · nˆdA = qint
�0
, forma diferencial: ~∇ · ~E = ρ
�0
Conservac¸a˜o do campo ele´trico:
∮
C
~E · ~d` = 0, ~∇× ~E = 0.
Trabalho: W = −∆U . Energia potencial eletrosta´tica para uma carga: U = qV , para um sistema de
N cargas U = 1
2
ΣNi=1qiVi, onde Vi e´ o potencial avaliado na posic¸a˜o de cada carga.
Capacitaˆncia: C = Q/V . Energia em um capacitor: U = 1
2
QV . Na presenc¸a de diele´tricos: C = κC0.
~∇ = ∂
∂x
xˆ+ ∂
∂y
yˆ + ∂
∂z
zˆ.
Vetor separac¸a˜o: ~r = ~r − ~r ′ onde ~r ′ localiza a fonte do campo e ~r localiza o ponto onde o campo e´
gerado. rˆ e´ o vetor unita´rio na direc¸a˜o de ~r e |~r| = r.
Para distribuic¸o˜es lineares dq = λd`, superficiais dq = σdA e volume´tricas dq = ρdV
Em coordenadas polares: ~d` = drrˆ + rdθθˆ, dA = rdrdθ
Em coordenadas esfe´ricas: ~d` = drrˆ + rdθθˆ + r sin θdφφˆ, dA = r2 sin θdθdφ, dV = r2 sin θdrdθdφ
Em coordenadas cil´ındricas: ~d` = dρρˆ+ ρdφφˆ+ dzzˆ, dA = ρdφdz, dV = ρdρdφdz