Aula 7 Profa Ducati_Derivadas

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Aula 7 : Derivadas - 1
BC-0201 Funções de Uma Variável (F.U.V.)
Aula 7 – 11/03/2008
Professora: Gisele Cristina Ducati ducati@ufabc.edu.br
Home: http://gducati.googlepages.com
http://fuv1tri2008.googlepages.com
Derivadas
f x =xn⇒ f ' x =n x n−1
Para n0, n∈ℕ
Binômio de Newton
xan= xnna x n−1...n xan−1an
lim
h0
f xh− f  x
h
=lim
h0
xhn−xn
h
lim
h0
f xh− f  x
h
=lim
h0
xnn. h. xn−1...n. x.hn−1hn− xn
h
lim
h0
n.h. xn−1...n. x.hn−1hn
h
=lim
h 0
n. xn−1...n. x.hn−2hn−1=n. xn−1
f x =xn⇒ f ' x =n x n−1
Para m0,m=−n ,m ,n∈ℕ
lim
h0
f xh− f  x
h
=lim
h0
1
xhn
− 1
xn
h
lim
h0
1
xnn.h. xn−1...n. x.hn−1hn
− 1
xn
h
lim
h0
1
xn1n.h. x−1...n. x1−n.hn−1x−n .hn
− 1
xn
h
Aula 7 : Derivadas - 2
lim
h0
[ 1−1n.h. x−1...n. x1−n .hn−1x−n .hnxn1n.h. x−1...n. x1−n .hn−1x−n .hn ]
h
lim
h0
1−1n.h. x−1...n. x1−n .hn−1x−n . hn
h.xn1n. h. x−1 ...n. x1−n . hn−1 x−n . hn
lim
h0
−n.h. x−1...n. x1−n.hn−1x−n .hn
h.xn1n.h. x−1 ...n. x1−n .hn−1 x−n.hn
lim
h0
−n. x−1−n...n. x1−2n .hn−2x−2n .hn−1
1n.h. x−1...n. x1−n.hn−1x−n . hn
Como h0 todos os termos que triverem h serão zero.
−n.x−1−n
1
como m=−n
f x =xm⇒ f ' x =m xm−1
f x =e x⇒ f ' x =e x
lim
h0
f xh− f  x
h
=lim
h0
e xh−ex
h
lim
h0
e xh−ex
h
=lim
h0
e x eh−e x
h
lim
h0
e x eh−1
h
=[ limh 0 e
x][limh0 e
h−1
h ]
lim
h0
eh−1
h
=1 * Ver 4ª Lista de exercicios 
[ex ] [1 ]=e x
Regras de Derivação
1) [ f xg x ] '= f '  xg '  x
* Ver a demonstração na aula 6
Aula 7 : Derivadas - 3
2) [ f x g x ]'= f ' x g x  f x  g ' x
* Ver a demonstração na aula 6
3) [c f x ]'=c f ' x 
lim
h0
f xh− f  x
h
=lim
h0
c f xh−c f  x
h
=lim
h0
c [ f xh− f x ]
h
c lim
h0
f xh− f x 
h
4) [ f x g x  ]
'
=
f ' x g  x− f  x g ' x 
g x2
lim
h0
f xh− f  x
h =limh0
[ f xhg xh− f  xg x ]
h
lim
h0
[ f xh g x − f x g xhg x g  xh ]
h =limh0 [ f xh g x − f x  g xhh g x  g xh ]
lim
h0
[ f  xh g x − f x g xh][ f  x g x − f x g x ]
h g x g xh
lim
h0
g x [ f xh− f x ]− f  x[ g  xh−g x ]
h g x g xh
lim
h0
g  x[ f xh− f x ]− f x [ g xh−g  x]
h
lim
h0
g x g xh
lim
h0
g  x[ f xh− f x ]
h
−lim
h0
f x [g xh−g x ]
h
lim
h0
g x g xh
f '  x g x − f x g ' x 
g x 2
[ f x g x  ]
'
=
f ' x g  x− f  x g ' x 
g x2
Aula 7 : Derivadas - 4
Função Derivada e Derivadas de Ordem Superior
Seja f uma função e A o conjunto dos x, para os quais f ' x existe. A função f : Aℝ dada 
por X f '(x) denomina-se FUNÇÃO DERIVADA ou derivada de f .
Dizemos ainda que f ' é a derivada de 1ª ordem de f ( ou DERIVADA PRIMEIRA): Se f ' for 
derivavel então sua derivada é chamada de derivada de 2ª ordem de f (ou derivada segunda) e 
denotada por f '' ( = (f ' )' ) [leia: f duas linhas].
De forma análoga, definimos as derivadas de ordem superior.
f '= f 1 f ' ' ' ' ' ' ' ' ' '= f 10
f ' '= f 2 f ' ' ' '= f  IV 
f ' ' '= f 3
x= x t
x '= x˙
x ' '= x¨
Ex.:
1) Seja f x =x2 e x
f ' x=x2 e x'
f ' x=x2 ' ex  x2e x '
x2 '=2x ex  '=ex
f ' x=2x ex x2ex 
f ' x=2xe xx2 e x
f ' ' x =2x exx2 e x '
f ' ' x =2x ex  'x2 ex '
2x ex '=2x ' e x2x ex  ' x2 ex  '=x2 ' ex x 2e x '
2x ex '=2e x2x ex  x2 ex  '=2x ex  x2e x
f ' ' x =2 ex2x e x2xex x2e x=2 ex4xexx2 e x
2) Seja f x =x∣x∣
f x 
x2 x0
−x2 x0
Aula 7 : Derivadas - 5
f ' x
2x x0
−2x x0
f ' ' x 
2 x0
−2 x0
Notação de Leibniz
y− f  x y '= f '  x
dy
dx
=df
dx
lim
0
 y
 x
=dy
dx
Exercício:
Seja y=sen x . Calcule dydx
y '=cos x 
lim
h0
f xh− f  x
h
=lim
h0
sen xh−sen x
h
Sendo
sen ab=sen a cos bsen bcosa
sen a−b=sen a cos b−sen bcosa
sen ab−sen a−b =2 sen bcos a 
a= xh
2
b=h
2
Aula 7 : Derivadas - 6
sen xh2h2−senxh2−h2 =2 sen h2cos xh2 
lim
h0
f xh− f  x
h
=lim
h0
2 sen h2 cosxh2
h
[lim
h0
2senh2
h ][ limh 0 cosx h2]
[lim
h0
2 senh2
h ][cos x ]
u=h
2
[limu0 sen u u ][cos x ]=[1][cos x ]=cos x 
Seja y=cos x . Calcule dydx
y '=−sen x 
lim
h0
f xh− f  x
h
=lim
h0
cos xh−cos x 
h
Sendo
cos ab =cos acos b−sen a sen b
cos a−b =cos acos bsen a sen b
cos ab −cos a−b=−2 sen a  sen b
a= xh
2
b=h
2
cos x h2h2−cosxh2−h2 =−2 sen xh2 senh2 
lim
h0
f xh− f  x
h
=lim
h0
−2 senxh2 senh2
h
Aula 7 : Derivadas - 7
[lim
h0
2 senh2
h ][ limh 0 −sen xh2]
[lim
h0
2 senh2
h ][−sen x]
u=h
2
[limu0 sen u u ][−sen x ]=[1] [−sen x ]=−sen x 
f f '
xn nxn−1
e x e x
ln x 1x
,[ x0 ]
sen x cos x 
cos x  −sen x 
Exemplo:
Se y=u2 . Sabemos que dy
du
=2u.
Agora, y=u2 , onde u=u x 
Calcule dy
du
y=u.u
dy
du
=
d [u.u]
dx
ou
2u du
dx
= dy
du
du
dx
y '=2u ' u
Aula 7 : Derivadas - 8
Regra da Cadeia
Se f e g forem diferenciáveis, então f °g também será diferenciável e
[ f °g  x] '=[ f g x ]'= f ' [ g x ] g ' x 
ou
y= f u  e u=g x  então
dy
dx
=dy
du
du
dx
[ f g x ] '≠ f ' [ g x ]
Exemplo:
1) h x =e3x
f x =3x
g u=eu
[ g  f x ] '=g ' [ f x ] f ' x 
g ' [ f x ]=[eu] '=eu=e3x
f ' x=3x  '=3
[ g  f x ] '=e3x 3=3 e3x
2) f x =sen2x 
h u=u2
g  x=sen x 
[hg x ]'=h ' [ g  x] g ' x 
h ' [ g x]=[u2] '=2u=2 sen x
g ' x =sen x  '=cos x 
[hg x ]'=2sen xcos x 
3) h x = x−1x2
3
2
f u =u 
3
2
Aula 7 : Derivadas - 9
g  x= x−1
x2
f ' [g x ]=[u 32] '=3
2
u 
1
2=3
2 x−1x2 
1
2
g ' x = x−1x2
'
=
x−1 ' x2−x−1 x2 '
x22
=
1x2−x−11
x22
= 3
 x22
[ f g x ] '=[ 32  x−1x2
1
2][ 3x22 ]= 92x22  x−1x2
1
2
4) h x =e f  x
g u=eu
h '  x= f ' x e f x
5) f x =cos g  x
[cosu]'=−sen u 
f ' x=−g ' x  sen g x
6) f x =[ g x ]n
f ' x=n[ g x]n−1 g ' x 
7) [ f x g x ]'
e ln∣ f x
g x∣
e g x ln∣ f x∣
[eg  x ln∣ f x ∣]'=[eg x ln∣ f  x∣] [ g  x ln∣ f x ∣]'
[g x ln∣ f  x∣] '=g '  x ln∣x∣ g x  f ' x
f  x
[ f x g x ]'=[e g x ln∣ f  x∣][g ' x ln∣x∣ g  x f ' x f x  ]
Aula 7 : Derivadas - 10
Derivada de Função Inversa
 f °g x =x
[ f g x ] '=x '
f ' [g x ] g ' x =1
g ' x = 1
f ' [ g  x]
∀ x∈Dg
Exemplo:
y=arcsenx
y=arcsenx⇔ sen  y= x
y∈−2 ,2 
y '= 1
cos y 
= 1
cos arcsenx
sen2x cos2x =1 cos2x =1−sen2x 
cos x =1−sen2x 
y '= 1
1−sen2 arcsenx 
= 1
1−x2
Teorema: Seja f uma função inversível com função inversa g. Se f for derivável em g(p) com 
f ' [g  p]≠0 , e se g for contínua em p, então g será derivável em p.