Aula 15 Profa Ducati_Integrais

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Aula 15 : Integrais - 1
BC-0201 Funções de Uma Variável (F.U.V.)
Aula 15 – 18/04/2008
Professora: Gisele Cristina Ducati ducati@ufabc.edu.br
Home: http://gducati.googlepages.com
http://fuv1tri2008.googlepages.com
Propriedades
Sejam f e g integráveis no intervalo [a, b] e k constante. Então:
(a) f ± g é integrável em [a, b] 
∫
a
b
[ f  x ± g x] dx =∫
a
b
f x dx±∫
a
b
g x  dx
(b) k f é integravel em [a, b]
∫
a
b
k f x  dx = k∫
a
b
f x  dx
(c) f x  0 em [a, b] então:
∫
a
b
f x  dx 0
(d) Se c ∈ [a ,b] e f é integrável em [a, c] e em [c, b]
∫
a
b
f x  dx = ∫
a
c
f x  dx∫
c
b
f x  dx ⇒ ∫
a
b
f  x dx = −∫
b
a
f x  dx
(e) f x  g x  para a  x  b então
∫
a
b
f x  dx ∫
a
b
g x  dx
(f) m  xM para a  x  b então
Aula 15 : Integrais - 2
Figura 15-1. Representação de f (x) entre M e m.
mb− a ∫
a
b
f x dxM a− b
Teorema Fundamental do Cálculo
Se f for integrável em [a, b] e se F for uma primitiva de f em [a, b] então
∫
a
b
f x  dx = F b− F a
Teorema:
Se f for contínua em [a, b] então a função g definida por
g  x =∫
a
x
f t  dt , a  x b
é contínua em [a, b], diferenciável em (a, b) e g ' x  = f x .
g ' x  = d g x 
dx
= d
dx [∫a
x
f t  dt] = f x 
Exemplos:
(1) ∫
o

1 x2 − 2 cos x  dx
∫
o

1 x2 − 2cos x  dx = ∫
o

1 dx ∫
o

 x2  dx −∫
o

2 cos x  dx =
[ x ]
0

[ x33 ] 0

− [2 sen x ]
0

= −0 
3
3
− 0 0− 0 = 
3
3
(2) ∫
0
5
f x  dx , f x  = {3 x 3x x3 }
Aula 15 : Integrais - 3
∫
0
3
3 dx∫
3
5
x dx = [3 x ]
0
3
[ x22 ]
3
5
= 9− 0 252 −
9
2 = 98 = 17
Cálculo de Áreas
Seja f contínua em [a, b] com f x  0 em [a, b]. Então a área do conjunto A do plano limitado 
pelos ponto x = a , x = b , y = 0 e pelo gráfico y = f x .
Gráfico 15-2. Área calculada pela integral.
Área A = ∫
a
b
f x  dx
Exemplos:
(1) Calcule a área da região limitada pelo eixo x, o gráfico y = x2 e as retas x = 0 e y = 1.
Figura 15-3. Àrea que será calculada.
∫
0
1
x2 dx = [ x33 ]
0
1
= 1
3
3
− 0
3
3
= 1
3
A área é de 
1
3
u2 .
(2) Calcule a área da região limitada pelo gráfico de f x  = x3 pelo eixo x e as retas x = 1 e
x = −1.
Aula 15 : Integrais - 4
Figura 15-4. Área que será calculada.
Área = Área1 Área 2 = ∫
0
1
x3 dx−∫
−1
0
x3 dx = [ x44 ]
0
1
− [ x44 ]
−1
0
Área = 1
4
3
− 0
4
4
− 0
4
3
 1
4
4
= 2
4
= 1
2
A área da região limitada é de
1
2
u2 .
(3) Cálcule a área da região marcada.
Figura 15-5. Área desejada.
Área = Área da curva  x − Área da curva x2
Aula 15 : Integrais - 5
Figura 15-6. Representação das áreas das curvas. 
Área = ∫
0
1
 x dx −∫
0
1
x 2 dx = [ 2 x3/23 ]
0
1
−[ x33 ]
0
1
= 21
3 /2
3
− 20
3 /2
3
− 1
3
3
 0 
3
3
Área = 2
3
− 1
3
= 1
3
A área da região é de
1
3
u2 .
Mudança de Variável na Integral
Admita que toda função contínua em I admite, neste intervalo, uma primitiva.
TEOREMA:
Seja f contínua em I e sejam a e b dois reais quaisquer em I.
Seja g : [c , d ]  I com g' contínua em [c, d] tal que g c = a e g d  = b . Nestas condições
∫
a
b
f x  dx =∫
c
d
f [g u] g ' u du
x = g u ⇒ g u  = a ⇒ u = c
g u  = b ⇒ u = d
g u = x ⇒ g ' udu = dx
Exercício:
(1) ∫
−4
−3
 x 448 dx
x  4 = u , dx = du , −4 4 = 0 , −3 4 = 1
∫
−4
−3
 x 448 dx =∫
0
1
u48 du = [ u4949 ]
0
1
= 1
49
49
− 0
49
49
= 1
49
Aula 15 : Integrais - 6
(2) ∫
0
1 x
x21
dx
x2 1 = u , 2 x dx = du ⇒ xdx = du
2
021 = 1 , 121 = 2
∫
0
1 x
x 21
dx = 1
2 ∫1
2 du
u
= 1
2
[ ln u ]
1
2
= 1
2
ln 2− ln 1 = 1
2
ln 2
(3) ∫ x cos x2 dx
x2 = u , 2 x dx = du ⇒ x dx = du
2
∫ x cos x2 dx = 12 ∫ cosu du =
1
2
sen u c = 1
2
sen x2  c
(4) ∫ x2 x 1 dx
x 1 = u , dx = du ⇒ x2 = u−12
∫ x2 x 1 dx =∫u− 12u du =∫u2 −2 u1u1 /2 du
∫ u5 /2− 2u3/2 u1/2 du = 2u
7 /2
7
− 2u
5/2
5
 2 u
3 /2
3
 c
∫ x2 x 1 dx = 2 x 1
7/2
7
− 2 x 1
5/2
5
 2 x 1
3 /2
3
 c