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Si i Si tSinais e Sistemas Engenharia de Controle e Automação Universidade Federal de LavrasUniversidade Federal de Lavras Prof. Bruno Henrique Groenner Barbosaq Notas de Aula 5 – A Transformada Z S á iSumário • A Transformada Z e suas Propriedades • Solução de Equações Diferençaç q ç ç • Diagramas de Blocos Projeto de Filtros IIR e FIR• Projeto de Filtros IIR e FIR ã DifEquação Diferença • Os sistemas LDIT ▫ Equação diferença: A f d A Transformada Z • Considere o sinal x(t) amostrado a cada T segundos:g • A Transformada de Laplace de x(t) é: • Defina A f d A Transformada Z • Todo sinal amostrado pode ser escrito em função da variável z • A Transformada Z unilateral de uma sequência amostrada causal é • A Transformada Z bilateral é dada por: A f d A Transformada Z • Considere uma entrada exponencial complexa aplicada a um sistema LTI • Considere e , temos então Considere e , temos então que: A f d A Transformada Z • Aplicando ao sistema LTI A f d A Transformada Z • Determine a Transformada Z do sinal , sendo uma constante. • Por definição: • Assim, ▫ Progressão geométrica... se A f d A Transformada Z Como• Como se ▫ então,e tão, A f d A Transformada Z • O sinal possui a mesma transformada Z: ▫ Considerando apenas sinais causais (Transformada Z unilateral) ela será única(Transformada Z unilateral) ela será única A f d A Transformada Z • Uma simples equação no domínio z representa um sequência infinita de amostras.q • X[z] existe apenas para • Para X[z] provavelmente irá para o • Para , X[z] provavelmente irá para o infinito. A região a qual X[z] existe é chamada de R iã d C ê i Região de Convergência: plano z RDC A f d d Al Si iA Transformada Z de Alguns Sinais • Definição: • Impulso ee • Degrau A f d d Al Si iA Transformada Z de Alguns Sinais • Cosseno: ▫ Assim:▫ Assim: portanto A f d d Al Si iA Transformada Z de Alguns Sinais • Encontre a Transformada Z de: ▫ Pela definição: A f d d Al Si iA Transformada Z de Alguns Sinais • Lembrando que: A f d A Transformada Z A f d A Transformada Z A f d A Transformada Z Inversa • Definição:ç • Tal integral de contorno no plano complexo é de difícil avaliação, assim utilizamos os pares de ç , p transformadas A f d A Transformada Z Inversa • A maioria dos sinais é uma razão de polinômios p em z: ▫ Pólos e zeros como visto em Laplace...p A f d A Transformada Z Inversa No caso de uma função em z ser própria (m n) • No caso de uma função em z ser própria (m=n), é possível reescrever como uma função i ó i i estritamente própria mais uma constante: A f d A Transformada Z Inversa • No caso de uma função em z ser estritamente própria, podemos utilizar a expansão em frações parciaisexpansão em frações parciais • O mais conveniente é aplicar a expansão em frações parciais na função X(z)/z e depois multiplicar por z conforme depois multiplicar por z, conforme exemplo a seguir A f d A Transformada Z Inversa • Exemplo 5.3 A f d A Transformada Z Inversa • Exemplo 5.3 A f d A Transformada Z Inversa • Exemplo 5.3 A f d A Transformada Z Inversa • Exemplo 5.3 (pólos complexos) A f d A Transformada Z Inversa • Exemplo 5.3 (pólos complexos) ▫ Utilizando o par 12cp A f d A Transformada Z Inversa • Expansão em série de potência: U f ã d it ▫ Uma função em z pode ser escrita em uma série de potência dividindo o numerador pelo denominador A f d A Transformada Z Inversa • Expansão em série de potência, exemplo: A f d A Transformada Z Inversa • Expansão em série de potência, exemplo: A f d A Transformada Z • Exemplo: E t T f d Z d i t i l▫ Encontre a Transformada Z do seguinte sinal: A f d A Transformada Z • Exemplo: E t T f d Z d i t i l▫ Encontre a Transformada Z do seguinte sinal: A f d A Transformada Z • Exemplo: A f d A Transformada Z • Exemplo: A f d A Transformada Z • Exemplo: ▫ A Transformada do sinal original é:▫ A Transformada do sinal original é: ▫ Pólos e zeros: R iã d C ê iRegião de Convergência • ROC: ▫ Zona para qual a série converge ▫ Corresponde sempre a um disco sem as fronteiras p p (a ROC não contém pólos) ▫ Quando contém o círculo unitário, existe Quando contém o círculo unitário, existe transformada discreta de Fourier R iã d C ê iRegião de Convergência • Exemplo: R iã d C ê iRegião de Convergência • Estabilidade: Sistema causal e estável Sistemas estáveis Sistemas instáveis Círculo raio unitário ROC R iã d C ê iRegião de Convergência • Estabilidade no plano Z: ▫ Estável: se todos os pólos estiverem dentro do ▫ Estável: se todos os pólos estiverem dentro do círculo de raio unitário no plano Z. ▫ Marginalmente estável: se pólos de ▫ Marginalmente estável: se pólos de multiplicidade um estiverem sobre a circunferência de raio unitário, estando os demais circunferência de raio unitário, estando os demais dentro do círculo de raio unitário. ▫ Instável: se algum pólo estiver fora do círculo de Instável: se algum pólo estiver fora do círculo de raio unitário e/ou existirem pólos de multiplicidade maior do que um sobre a p q circunferência de raio unitário. P i d d d T f d ZPropriedades da Transformada Z • Linearidade: • Inversão no tempo: • Deslocamento no tempo: P i d d d f d Propriedades da Transformada Z • Multiplicação por sequência exponencial:Multiplicação por sequência exponencial: C l ã• Convolução: • Diferenciação no domínio z • Valor inicial: • Valor final: P i d d d f d Propriedades da Transformada Z • Exemplo: ▫ Encontre a transformada Z do seguinte sinal: P i d d d f d Propriedades da Transformada Z • Exemplo: P i d d d f d Propriedades da Transformada Z • Exemplo: S l ã d ã DifSolução de Equação Diferença • Considere um sistema discreto no tempo regido pela seguinte equação diferença: ▫ Assumindo condições iniciais nulas Forma geral da FT: S l ã d ã DifSolução de Equação Diferença • Exemplo 5.5 - Resolva: ▫ Para as condições iniciais ee Usando o operador de atraso: S l ã d ã DifSolução de Equação Diferença • Exemplo 5.5: S l ã d ã DifSolução de Equação Diferença • Exemplo 5.5: S l ã d ã DifSolução de Equação Diferença • Exemplo 5.5: S l ã d ã DifSolução de Equação Diferença • Exemplo 5.5: S l ã d ã DifSolução de Equação Diferença • Exemplo 5.5: S l ã d ã DifSolução de Equação Diferença • Exemplo 5.5: S l ã d ã DifSolução de Equação Diferença • Exemplo 5.5: S l ã d ã DifSolução de Equação Diferença • Exemplo 5.5 – Resposta direta: Resposta em Frequência • No tempo contínuo vimos que: • No tempo discreto H(ejΩ) Resposta em Frequência • Exemplo – Encontre a resposta em frequência do seguinte sistema : ▫ A Transformada Z é: Assim: Resposta em Frequência • Exemplo: ▫ Resposta em Amplitude Periódico! ▫ Resposta em Fase: Resposta em Frequência Diagrama Resposta em Frequência – Diagrama Vetorial Resposta em Frequência Diagrama Resposta em Frequência – Diagrama Vetorial Resposta em Frequência Diagrama Resposta em Frequência – Diagrama Vetorial Resposta em Frequência Diagrama Resposta em Frequência – Diagrama VetorialResposta em Frequência Diagrama Resposta em Frequência – Diagrama Vetorial Resposta em Frequência Diagrama Resposta em Frequência – Diagrama Vetorial Resposta em Frequência Diagrama Resposta em Frequência – Diagrama Vetorial Resposta em Frequência Diagrama Resposta em Frequência – Diagrama Vetorial Resposta em Frequência Diagrama Resposta em Frequência – Diagrama Vetorial Resposta em Frequência Diagrama Resposta em Frequência – Diagrama Vetorial Relação entre as Transformadas de Relação entre as Transformadas de Laplace e Zp • Como e Relação entre as Transformadas de Relação entre as Transformadas de Laplace e Zp • Como e il Di i iFiltros Digitais • Vantagens: Sã á i ( ã é á i d ▫ São programáveis (não é necessário mudar o circuito como no caso de filtros analógicos) á i d i l d d▫ Fáceis de implementar e de serem testados ▫ Mudança de temperatura não acarreta em alterações de seu funcionamento ▫ Mais flexíveis, podendo ser adaptativos, p p il Di i iFiltros Digitais • FIR (Filtros de Resposta ao Impulso Finita) • IIR (Filtros de Resposta ao Impulso Infinita)IIR (Filtros de Resposta ao Impulso Infinita) il Di i iFiltros Digitais il Di i iFiltros Digitais • Encontre a resposta em amplitude de um sistema discreto no tempo com frequência de amostragem de d sc eto o te po co equê c a de a ost age de 1000Hz e com zeros em 1 e em -1, pólos em e em • A FT é dada por: • Note que a frequência analógica corresponde à • Note que a frequência analógica corresponde à frequência digital onde T é o período de amostragemamostragem • Como , isso corresponde a ou il Di i iFiltros Digitais • A FT é dada por: ▫ Assim: Assim: il Di i iFiltros Digitais • Implemente um filtro notch de segunda ordem para rejeitar a frequência de 250Hz sendo qua a para rejeitar a frequência de 250Hz, sendo qua a frequência de amostragem é 1000Hz. d• 250Hz corresponde a il Di i iFiltros Digitais • Implemente um filtro notch de segunda ordem para rejeitar a frequência de 250Hz, sendo qua a frequência de amostragem é 1000Hz. í iExercícios • 5.1.1; • 5.1.2 a,c,e,g; 5 1 4 a b e g;• 5.1.4 a,b,e,g; • 5.1.5 a,b,e,f; • 5.1.6 a; • 5.2.2; • 5.2.9; • 5.3.25 3 • 5.3.5 • 5.3.11 • 5 3 23 a;• 5.3.23 a; • 5.5-4 • 5.5-9 6• 5.6-1 • 5.6-7 • 5.9-35 9 3 • 5.9-4
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