Apostila 02

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JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao capital formando o montante (capital mais juros) do período. Este montante, por sua vez, passará a render juros no período seguinte formando um novo montante (constituído do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros sobre os juros formados em períodos anteriores), e assim por diante.
Este processo de formação dos juros é diferente daquele descrito para os juros simples, onde unicamente o capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os juros formados em períodos anteriores.
FÓRMULAS DE JUROS COMPOSTOS
No regime de juros compostos, os juros são capitalizados, produzindo juros sobre juros periodicamente.
Para melhor desenvolver este conceito e definir suas fórmulas de cálculo, admita ilustrativamente uma aplicação de R$ 1000,00 a taxa composta de 10% ao mês, identificando-se por PV o valor presente (capital) e FV o valor futuro (montante), têm-se os seguintes resultados ao final de cada período:
Final do 1.º mês:
o capital de R$ 1000,00 produz juros de R$ 100,00 (10% x R$ 1000,00) e um montante de R$ 1100,00 (R$ 1000,00 + R$ 100,00), ou seja:
FV= 1000,00 x (1 + 0,10) = R$ 1100,00
Final do 2.º mês:
o montante do mês anterior (R$ 1100,00) é o capital deste 2.º mês, servindo de base para o cálculo dos juros deste período. Assim:
FV = 1000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10)
FV = 1000,00 x (1 + 0,10)2 = R$ 1210,00
Final do 3.º mês:
dando seqüência ao raciocínio de juros compostos:
FV = 1000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) = 
FV = 1000,00 x (1 + 0,10)3 = R$ 1331,00
Final do enésimo mês:
aplicando-se a evolução dos juros compostos exposta para cada um dos meses, o montante (valor futuro) acumulado ao final do período atinge:
FV = 1000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x ... x (1 + 0,10) = 
FV = 1000,00 x (1 + 0,10)n 
Generalizando:
	As fórmulas também podem ser escritas assim:
 ou 
ATIVIDADES DE APLICAÇÃO
QUESTÃO 01
Determinar o montante de uma aplicação de R$ 56 000,00 admitindo os seguintes prazos e taxas:
a) i = 2,2% a . m . e n = 7 meses b) i = 4% a . m . e n = 2 anos
c) i = 8% a . t . e n = 1 ano e meio d) i = 12% a . s . e n = 4 anos
e) i = 0,35% a . d . e n = 58 dias f) i = 9% a . a . e n = 216 meses
QUESTÃO 02
Calcular o juro de uma aplicação de R$ 86 000,00 nas seguintes condições de prazo e taxa:
a) i = 3,5% a . m. e n = 1 semestre b) i = 3,3% a . m . e n = 1 ano e 3 meses
c) i = 8% a . s . e n = 60 meses d) i = 10% a . a . e n = 120 meses
QUESTÃO 03
Um banco lança um título pagando 6% a.t.. Se uma pessoa necessitar de R$ 5800 000,00 daqui a 3 anos, quanto deverá aplicar neste título?
QUESTÃO 04
Qual o rendimento do capital de R$ 50.000,00, aplicado a 40% a.a. , durante 1 semestre, com capitalização trimestral, no sistema de juros compostos?
QUESTÃO 05
Quais os juros compostos de R$ 100 000,00 aplicados a 60% a.a., durante 1 ano com capitalização semestral?
QUESTÃO 06
Que capital, aplicado a 80% a.a. durante 9 meses, com capitalização trimestral se eleva a R$ 518 840,00?
QUESTÃO 07
Que capital, aplicado a 60% a.s., durante 1 trimestre, com capitalização mensal, rende R$3.310,00?
QUESTÃO 08
Durante quanto tempo o capital de R$ 200 000,00 produziu o montante de R$ 450.000,00 a 100%a.a., com capitalização semestral?
QUESTÃO 09
Calcular o montante de R$ 30.000,00 aplicados a 1% a. m. , com capitalização mensal durante 7 meses.
QUESTÃO 10
Calcular o montante de R$ 40.000,00 aplicados pelo regime de juros compostos a 5% a. a., durante 3 anos, com capitalização semestral.
QUESTÃO 11
Durante quanto tempo esteve aplicado o capital de R$ 200.000,00 que, a 8% a. a. atingiu o montante de R$ 860.000,00, com capitalização trimestral?
QUESTÃO 12
Calcule os juros e o montante correspondentes a um capital de R$ 100.000,00 empregado, no regime de juros compostos, durante um ano a cada uma das seguintes taxas:
a) 60% a . a . b) 30% a . s . c) 15% a . t. d) 5% a . m.
TAXAS: NOMINAL, PROPORCIONAL, EQUIVALENTE E EFETIVA
Taxa Nominal 
	É aquela que não coincide com o período de capitalização de uma aplicação.
É toda taxa expressa numa unidade diferente da capitalização.
Taxa Proporcional
Duas ou mais taxas serão proporcionais se guardarem a mesma proporção com relação ao tempo.
Não têm o mesmo rendimento.
Para calcular duas taxas proporcionais, simplesmente dividimos ou multiplicamos pelos prazos envolvidos.
Ex:
A taxa de 30% a.t. é proporcional a 10% a.m..
 Repare que 30% estão para 10% assim como três meses estão para um mês.
Taxa Efetiva
	É aquela que coincide com o período de capitalização de uma aplicação.
São as taxas reais das operações financeiras. Como o nome está dizendo, são as taxas que realmente serão pagas em uma determinada operação financeira.
Para transformar uma taxa nominal em efetiva, ou vice-versa, devemos utilizar o conceito de proporcionalidade entre as taxas.
Ex:
Um capital de R$ 1 000 000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 60% a.a. com capitalização mensal. Qual é o montante dessa aplicação?
Resolução:
 
Taxas Equivalentes
Duas ou mais taxas são equivalentes quando têm o mesmo rendimento em prazos diferentes. Não guardam proporção com relação ao tempo, mas rendem o mesmo valor.
i1 : taxa dada 
i2 : taxa a ser obtida
n1: número de períodos dado
n2 : número de períodos da unidade a ser obtida
	Em outras palavras, tanto faz aplicar R$ 100,00 durante três meses a 10% a.m. ou aplicar R$ 100,00 a 33,10% a.t. durante um trimestre, teremos o mesmo efeito, o mesmo montante.
 
ATIVIDADES DE APLICAÇÃO
Qual é o montante de uma aplicação de R$ 1 000 000,00 a juros compostos, durante seis meses à taxa de 36% a.a., capitalizados mensalmente?
Determine o prazo de uma aplicação de R$ 550 000,00, a juros compostos, capitalizados mensalmente, se desejo obter um montante de R$ 1 106 270,00, à taxa de juro de 15% a.m..
Qual é a taxa efetiva para que o capital de R$ 1 200 000,00, aplicado durante 1 ano, com capitalização mensal, atinja um montante de R$ 3 021 720,00?
A taxa de juros nominal de 30% a.s., capitalizada mensalmente, equivale à taxa semestral de:
Um banco paga juros compostos de 30% a.a., com capitalização semestral. Qual é a taxa anual efetiva?
DESCONTOS COMPOSTOS
O conceito de desconto no regime de capitalização composta é o mesmo do desconto simples.
Desconto é uma operação financeira que retira de um título um certo valor, em virtude de não ter sido respeitado o prazo desse título.
Desconto é a diferença entre o valor de um título (valor nominal) e o valor do resgate do título (valor atual).
 D = N – A
Onde, D = desconto;
 N = Valor nominal ou valor de face ou valor futuro ou valor do título;
 A = valor atual ou valor do resgate ou valor presente ou valor descontado.
Também pode definir desconto como sendo um juro que pagamos pelo fato de não respeitar o prazo de vencimento de um título. Sendo esse juro calculado sobre o tempo que falta para o vencimento do título. Quanto menor o prazo, menos pagamos e, quanto maior esse prazo, mais pagamos.
Existem dois tipos de desconto composto: “por fora” (ou comercial) e “por dentro” (ou racional).
 	Para calcular o valor atual e os descontos, comercial e racional, utiliza-se as seguintes fórmulas:
	
	DESCONTOS COMPOSTOS
	
	DESCONTO POR DENTRO
	DESCONTO POR FORAValor atual
	
	
	Desconto
	
	
 
ATIVIDADES DE APLICAÇÃO
Determinar o valor do desconto por dentro que um título de R$ 408 150,00, com vencimento para quatro meses, deverá sofrer se for descontado a 8% a.m. de desconto composto. 
Um título disponível ao fim de seis meses foi descontado por dentro a juros compostos de 8% a.m. e se reduziu para R$ 40 000,00. Qual é o valor do título?
Um título vale em sua data de vencimento R$ 121 000,00. Um investidor quer saber quanto tempo poderá antecipar ser resgate para que, havendo um desconto composto por dentro de R$ 21 000,00, a taxa de juros compostos cobrada seja de 10%a.a..
O valor atual de um título de R$ 700 000,00 vencível em quatro meses é R$478109,42. Qual é a taxa de juros compostos vigente? Considere desconto por dentro.
Um título obteve um desconto de R$ 4 641,00 a uma taxa de juros de mercado de 10% a.m. quatro meses antes do seu vencimento. Qual deverá ser o valor de resgate do título? Considere desconto por dentro.
EQUIVALÊNCIA COMPOSTA DE CAPITAIS
	A equivalência de capitais tem por objetivo trocar títulos que não serão honrados em seus prazos, uma vez que, ao realizar um empréstimo, a empresa poderá fazê-lo sem um prévio estudo de como ira pagá-lo. Desse modo, ela acaba adquirindo uma dívida que não poderá ser paga, então tenta renegociá-la, com o banco trocando as datas de vencimentos por datas futuras, trocando a taxa ou, ainda, o número de parcelas a serem pagas por outra que ele poderá honrar. Muitas vezes, a empresa necessita trocar alguns títulos por um único, já que teve sobra de caixa e quer honrar toda a dívida que fez em um único pagamento a fim de não pagar juros.
	Ao fazer equivalência de capitais, devemos sempre estar atento se utilizaremos os conceitos de desconto racional ou desconto comercial. O esquema de equivalência é capitalizar o título (aumentar o valor do título), caso a troca seja por uma data futura, ou descapitalizá-lo (diminuir o valor do título), caso a troca seja por uma data anterior à do vencimento do título.
	É bom saber!
	
Ao capitalizar um título, encontramos o seu valor nominal.
Ao descapitalizar um título, encontramos o seu valor atual.
	Quando do estudo de desconto em regime de juros simples, pode-se notar que dois ou mais capitais diferidos são equivalentes, em certa época, quando seus valores atuais, nessa época, são iguais.
	Enfatizou-se, ainda, em regime de capitalização simples, a necessidade de os valores atuais serem levados à data focal zero. Isto se devia ao fato de que, caso se, procedesse, de forma diferente estar-se-ia fazendo juros sobre juros, o que é próprio do regime de juros compostos.
	Dessa forma, em se tratando de equivalência de capitais no regime de juros compostos, não há mais necessidade de se calcularem os valores atuais na data zero.	Uma sugestão para fazer equivalência de capitais no juro composto (desconto racional) é levar tudo para qualquer data focal, de preferência para a última, pois isso diminui as contas, uma vez que realiza-se multiplicações.
As fórmulas a serem utilizadas:
	
	POR DENTRO
	POR FORA
	Antecipar 
	
	
	Postecipar 
	
	
EXEMPLOS:
Um capital de R$ 900,00 disponível em 90 dias é equivalente a outro capital, disponível em 150 dias, à taxa composta de 5% a.m.. Qual é o valor do outro capital?
Qual é o valor do capital, disponível em 210 dias, equivalente a R$ 10 000,00 disponíveis em 90 dias, à taxa composta de 10% a.m.?
Qual é o valor do pagamento ao final de 90 dias capaz de substituir os seguintes pagamentos: R$ 180,00 ao final de 60 dias e R$ 220,00 ao final 120 dias, se a taxa de desconto composto de mercado (por dentro) é de 10% a.m.?
ATIVIDADES DE APLICAÇÃO
Qual é o valor do pagamento ao final de 90 dias capaz de substituir os seguintes pagamentos: R$ 180,00 ao final de 60 dias e R$ 220,00 ao final de 180 dias, se a taxa de desconto composto (por dentro) é 10% a.m.?
Devo saldar uma dívida da seguinte maneira: pagando R$ 20 000,00 hoje, R$12000,00 daqui a um mês, R$ 10 000,00 daqui a dois meses, R$ 10 000,00 daqui a três meses e R$ 10 000,00 daqui a quatro meses. Como só terei recursos daqui a 30 dias e achei a taxa composta (por dentro) de 10% a.m. proposta pelo credor muito atraente, resolvi quitar a dívida ao fim de 30 dias, em comum acordo com o credor. De quanto deverá ser esse pagamento único?
Precisamos trocar três títulos com vencimentos daqui a um, dois e três meses, todos com valores de R$ 1000,00, por dois outros títulos de mesmo valor nominal com vencimento daqui a quatro e seis meses. Considerando o regime de desconto composto (por dentro), a uma taxa de 10% a.m., qual é o valor nominal desses títulos?
Qual é o valor do capital disponível em 120 dias equivalentes a R$ 8 500,00, disponível em 90 dias, à taxa de desconto comercial composto de 15% a.m.?
Qual é o valor do pagamento ao final de 90 dias capaz de substituir os seguintes pagamentos: R$ 162,00 ao final de 60 dias e R$ 100,00 ao final de 120 dias, se a taxa de desconto comercial composto é 10% a.m.?
Qual é o valor do capital disponível em 120 dias equivalente a R$ 8 100,00, disponível em 60 dias, à taxa de desconto comercial composto de 10% a.m.?
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao capital formando o montante (capital mais juros) do período. Este montante, por sua vez, passará a render juros no período seguinte formando um novo montante (constituído do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros sobre os juros formados em períodos anteriores), e assim por diante.
Este processo de formação dos juros é diferente daquele descrito para os juros simples, onde unicamente o capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os juros formados em períodos anteriores.
FÓRMULAS DE JUROS COMPOSTOS
No regime de juros compostos, os juros são capitalizados, produzindo juros sobre juros periodicamente.
Para melhor desenvolver este conceito e definir suas fórmulas de cálculo, admita ilustrativamente uma aplicação de R$ 1000,00 a taxa composta de 10% ao mês, identificando-se por PV o valor presente (capital) e FV o valor futuro (montante), têm-se os seguintes resultados ao final de cada período:
Final do 1.º mês:
o capital de R$ 1000,00 produz juros de R$ 100,00 (10% x R$ 1000,00) e um montante de R$ 1100,00 (R$ 1000,00 + R$ 100,00), ou seja:
FV= 1000,00 x (1 + 0,10) = R$ 1100,00
Final do 2.º mês:
o montante do mês anterior (R$ 1100,00) é o capital deste 2.º mês, servindo de base para o cálculo dos juros deste período. Assim:
FV = 1000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10)
FV = 1000,00 x (1 + 0,10)2 = R$ 1210,00
Final do 3.º mês:
dando seqüência ao raciocínio de juros compostos:
FV = 1000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) = 
FV = 1000,00 x (1 + 0,10)3 = R$ 1331,00
Final do enésimo mês:
aplicando-se a evolução dos juros compostos exposta para cada um dos meses, o montante (valor futuro) acumulado ao final do período atinge:
FV = 1000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x ... x (1 + 0,10) = 
FV = 1000,00 x (1 + 0,10)n 
Generalizando:
	As fórmulas também podem ser escritas assim:
 ou 
ATIVIDADES DE APLICAÇÃO
QUESTÃO 01
Determinar o montante de uma aplicação de R$ 56 000,00 admitindo os seguintes prazos e taxas:
a) i = 2,2% a . m . e n = 7 meses b) i = 4% a . m . e n = 2 anos
c) i = 8% a . t . e n = 1 ano e meio d) i = 12% a . s . e n = 4 anos
e) i = 0,35% a . d . e n = 58 dias f) i = 9% a . a . e n = 216 meses
QUESTÃO 02
Calcular o juro de uma aplicação de R$ 86 000,00 nas seguintescondições de prazo e taxa:
a) i = 3,5% a . m. e n = 1 semestre b) i = 3,3% a . m . e n = 1 ano e 3 meses
c) i = 8% a . s . e n = 60 meses d) i = 10% a . a . e n = 120 meses
QUESTÃO 03
Um banco lança um título pagando 6% a.t.. Se uma pessoa necessitar de R$ 5800 000,00 daqui a 3 anos, quanto deverá aplicar neste título?
QUESTÃO 04
Qual o rendimento do capital de R$ 50.000,00, aplicado a 40% a.a. , durante 1 semestre, com capitalização trimestral, no sistema de juros compostos?
QUESTÃO 05
Quais os juros compostos de R$ 100 000,00 aplicados a 60% a.a., durante 1 ano com capitalização semestral?
QUESTÃO 06
Que capital, aplicado a 80% a.a. durante 9 meses, com capitalização trimestral se eleva a R$ 518 840,00?
QUESTÃO 07
Que capital, aplicado a 60% a.s., durante 1 trimestre, com capitalização mensal, rende R$3.310,00?
QUESTÃO 08
Durante quanto tempo o capital de R$ 200 000,00 produziu o montante de R$ 450.000,00 a 100%a.a., com capitalização semestral?
QUESTÃO 09
Calcular o montante de R$ 30.000,00 aplicados a 1% a. m. , com capitalização mensal durante 7 meses.
QUESTÃO 10
Calcular o montante de R$ 40.000,00 aplicados pelo regime de juros compostos a 5% a. a., durante 3 anos, com capitalização semestral.
QUESTÃO 11
Durante quanto tempo esteve aplicado o capital de R$ 200.000,00 que, a 8% a. a. atingiu o montante de R$ 860.000,00, com capitalização trimestral?
QUESTÃO 12
Calcule os juros e o montante correspondentes a um capital de R$ 100.000,00 empregado, no regime de juros compostos, durante um ano a cada uma das seguintes taxas:
a) 60% a . a . b) 30% a . s . c) 15% a . t. d) 5% a . m.
TAXAS: NOMINAL, PROPORCIONAL, EQUIVALENTE E EFETIVA
Taxa Nominal 
	É aquela que não coincide com o período de capitalização de uma aplicação.
É toda taxa expressa numa unidade diferente da capitalização.
Taxa Proporcional
Duas ou mais taxas serão proporcionais se guardarem a mesma proporção com relação ao tempo.
Não têm o mesmo rendimento.
Para calcular duas taxas proporcionais, simplesmente dividimos ou multiplicamos pelos prazos envolvidos.
Ex:
A taxa de 30% a.t. é proporcional a 10% a.m..
 Repare que 30% estão para 10% assim como três meses estão para um mês.
Taxa Efetiva
	É aquela que coincide com o período de capitalização de uma aplicação.
São as taxas reais das operações financeiras. Como o nome está dizendo, são as taxas que realmente serão pagas em uma determinada operação financeira.
Para transformar uma taxa nominal em efetiva, ou vice-versa, devemos utilizar o conceito de proporcionalidade entre as taxas.
Ex:
Um capital de R$ 1 000 000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 60% a.a. com capitalização mensal. Qual é o montante dessa aplicação?
Resolução:
 
Taxas Equivalentes
Duas ou mais taxas são equivalentes quando têm o mesmo rendimento em prazos diferentes. Não guardam proporção com relação ao tempo, mas rendem o mesmo valor.
i1 : taxa dada 
i2 : taxa a ser obtida
n1: número de períodos dado
n2 : número de períodos da unidade a ser obtida
	Em outras palavras, tanto faz aplicar R$ 100,00 durante três meses a 10% a.m. ou aplicar R$ 100,00 a 33,10% a.t. durante um trimestre, teremos o mesmo efeito, o mesmo montante.
 
ATIVIDADES DE APLICAÇÃO
Qual é o montante de uma aplicação de R$ 1 000 000,00 a juros compostos, durante seis meses à taxa de 36% a.a., capitalizados mensalmente?
Determine o prazo de uma aplicação de R$ 550 000,00, a juros compostos, capitalizados mensalmente, se desejo obter um montante de R$ 1 106 270,00, à taxa de juro de 15% a.m..
Qual é a taxa efetiva para que o capital de R$ 1 200 000,00, aplicado durante 1 ano, com capitalização mensal, atinja um montante de R$ 3 021 720,00?
A taxa de juros nominal de 30% a.s., capitalizada mensalmente, equivale à taxa semestral de:
Um banco paga juros compostos de 30% a.a., com capitalização semestral. Qual é a taxa anual efetiva?
DESCONTOS COMPOSTOS
O conceito de desconto no regime de capitalização composta é o mesmo do desconto simples.
Desconto é uma operação financeira que retira de um título um certo valor, em virtude de não ter sido respeitado o prazo desse título.
Desconto é a diferença entre o valor de um título (valor nominal) e o valor do resgate do título (valor atual).
 D = N – A
Onde, D = desconto;
 N = Valor nominal ou valor de face ou valor futuro ou valor do título;
 A = valor atual ou valor do resgate ou valor presente ou valor descontado.
Também pode definir desconto como sendo um juro que pagamos pelo fato de não respeitar o prazo de vencimento de um título. Sendo esse juro calculado sobre o tempo que falta para o vencimento do título. Quanto menor o prazo, menos pagamos e, quanto maior esse prazo, mais pagamos.
Existem dois tipos de desconto composto: “por fora” (ou comercial) e “por dentro” (ou racional).
 	Para calcular o valor atual e os descontos, comercial e racional, utiliza-se as seguintes fórmulas:
	
	DESCONTOS COMPOSTOS
	
	DESCONTO POR DENTRO
	DESCONTO POR FORA
	Valor atual
	
	
	Desconto
	
	
 
ATIVIDADES DE APLICAÇÃO
Determinar o valor do desconto por dentro que um título de R$ 408 150,00, com vencimento para quatro meses, deverá sofrer se for descontado a 8% a.m. de desconto composto. 
Um título disponível ao fim de seis meses foi descontado por dentro a juros compostos de 8% a.m. e se reduziu para R$ 40 000,00. Qual é o valor do título?
Um título vale em sua data de vencimento R$ 121 000,00. Um investidor quer saber quanto tempo poderá antecipar ser resgate para que, havendo um desconto composto por dentro de R$ 21 000,00, a taxa de juros compostos cobrada seja de 10%a.a..
O valor atual de um título de R$ 700 000,00 vencível em quatro meses é R$478109,42. Qual é a taxa de juros compostos vigente? Considere desconto por dentro.
Um título obteve um desconto de R$ 4 641,00 a uma taxa de juros de mercado de 10% a.m. quatro meses antes do seu vencimento. Qual deverá ser o valor de resgate do título? Considere desconto por dentro.
EQUIVALÊNCIA COMPOSTA DE CAPITAIS
	A equivalência de capitais tem por objetivo trocar títulos que não serão honrados em seus prazos, uma vez que, ao realizar um empréstimo, a empresa poderá fazê-lo sem um prévio estudo de como ira pagá-lo. Desse modo, ela acaba adquirindo uma dívida que não poderá ser paga, então tenta renegociá-la, com o banco trocando as datas de vencimentos por datas futuras, trocando a taxa ou, ainda, o número de parcelas a serem pagas por outra que ele poderá honrar. Muitas vezes, a empresa necessita trocar alguns títulos por um único, já que teve sobra de caixa e quer honrar toda a dívida que fez em um único pagamento a fim de não pagar juros.
	Ao fazer equivalência de capitais, devemos sempre estar atento se utilizaremos os conceitos de desconto racional ou desconto comercial. O esquema de equivalência é capitalizar o título (aumentar o valor do título), caso a troca seja por uma data futura, ou descapitalizá-lo (diminuir o valor do título), caso a troca seja por uma data anterior à do vencimento do título.
	É bom saber!
	
Ao capitalizar um título, encontramos o seu valor nominal.
Ao descapitalizar um título, encontramos o seu valor atual.
	Quando do estudo de desconto em regime de juros simples, pode-se notar que dois ou mais capitais diferidos são equivalentes, em certa época, quando seus valores atuais, nessa época, são iguais.
	Enfatizou-se, ainda, em regime de capitalização simples, a necessidade de os valores atuaisserem levados à data focal zero. Isto se devia ao fato de que, caso se, procedesse, de forma diferente estar-se-ia fazendo juros sobre juros, o que é próprio do regime de juros compostos.
	Dessa forma, em se tratando de equivalência de capitais no regime de juros compostos, não há mais necessidade de se calcularem os valores atuais na data zero.	Uma sugestão para fazer equivalência de capitais no juro composto (desconto racional) é levar tudo para qualquer data focal, de preferência para a última, pois isso diminui as contas, uma vez que realiza-se multiplicações.
As fórmulas a serem utilizadas:
	
	POR DENTRO
	POR FORA
	Antecipar 
	
	
	Postecipar 
	
	
EXEMPLOS:
Um capital de R$ 900,00 disponível em 90 dias é equivalente a outro capital, disponível em 150 dias, à taxa composta de 5% a.m.. Qual é o valor do outro capital?
Qual é o valor do capital, disponível em 210 dias, equivalente a R$ 10 000,00 disponíveis em 90 dias, à taxa composta de 10% a.m.?
Qual é o valor do pagamento ao final de 90 dias capaz de substituir os seguintes pagamentos: R$ 180,00 ao final de 60 dias e R$ 220,00 ao final 120 dias, se a taxa de desconto composto de mercado (por dentro) é de 10% a.m.?
ATIVIDADES DE APLICAÇÃO
Qual é o valor do pagamento ao final de 90 dias capaz de substituir os seguintes pagamentos: R$ 180,00 ao final de 60 dias e R$ 220,00 ao final de 180 dias, se a taxa de desconto composto (por dentro) é 10% a.m.?
Devo saldar uma dívida da seguinte maneira: pagando R$ 20 000,00 hoje, R$12000,00 daqui a um mês, R$ 10 000,00 daqui a dois meses, R$ 10 000,00 daqui a três meses e R$ 10 000,00 daqui a quatro meses. Como só terei recursos daqui a 30 dias e achei a taxa composta (por dentro) de 10% a.m. proposta pelo credor muito atraente, resolvi quitar a dívida ao fim de 30 dias, em comum acordo com o credor. De quanto deverá ser esse pagamento único?
Precisamos trocar três títulos com vencimentos daqui a um, dois e três meses, todos com valores de R$ 1000,00, por dois outros títulos de mesmo valor nominal com vencimento daqui a quatro e seis meses. Considerando o regime de desconto composto (por dentro), a uma taxa de 10% a.m., qual é o valor nominal desses títulos?
Qual é o valor do capital disponível em 120 dias equivalentes a R$ 8 500,00, disponível em 90 dias, à taxa de desconto comercial composto de 15% a.m.?
Qual é o valor do pagamento ao final de 90 dias capaz de substituir os seguintes pagamentos: R$ 162,00 ao final de 60 dias e R$ 100,00 ao final de 120 dias, se a taxa de desconto comercial composto é 10% a.m.?
Qual é o valor do capital disponível em 120 dias equivalente a R$ 8 100,00, disponível em 60 dias, à taxa de desconto comercial composto de 10% a.m.?