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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Me´todos Determin´ısticos II 1o Semestre de 2017 Gabarito do EP7 Questa˜o 1: Seja f : R− {2} −→ R− {−1} dada pela expressa˜o f(x) = 3−xx−2 . Encontre a expressa˜o de f−1 e tambe´m o domı´nio e a imagem de f−1. Soluc¸a˜o: Para calcular a inversa vamos adotar o procedimento de chamar x de y na expressa˜o da func¸a˜o e igualar a x e tentar isolar y. x = 3− y y − 2 ⇔ xy − 2x = 3− y ⇔ xy + y = 2x+ 3 ⇔ y = 2x+ 3 x+ 1 . E portanto, f−1 : R− {−1} −→ R− {2} tem como fo´rmula f−1(x) = 2x+3x+1 . Questa˜o 2: Considere f(x) = 73x−2 e g(x) = logx+2(x2 − 2x− 8). a) Determine o domı´nio da func¸a˜o g(x). b) Calcule f ( 2g(5)+2 3 ) . Soluc¸a˜o: a) Se x e´ real, para que exista um nu´mero real y, tal que y = logx+2(x 2 − 2x − 8), as seguintes condic¸o˜es devem ser satisfeitas: • x+ 2 6= 1 se, e somente se, x 6= −1; • x+ 2 > 0 se, e somente se, x > −2; e • x2 − 2x− 8 > 0 Fac¸amos o estudo dos sinais da expressa˜o x2 − 2x− 8 = (x+ 2)(x− 4): Portanto, x2 − 2x− 8 > 0 se, e somente se, x ∈ (−∞,−2) ∪ (4,+∞). 1 E o domı´nio de g e´ {x ∈ R : x > 4}. (concluiu corretamente vale 0,5pt restantes deste item) b) Vamos fazer a conta f ( 2g(5) + 2 3 ) = f ( 2 log7(7) + 2 3 ) = f ( 2 + 2 3 ) = 7(3( 4 3)−2) = 72 = 49. Questa˜o 3: Calcule 1a log (√ b c )a , sabendo que log(a) = 6 e log(c) = −2. Soluc¸a˜o: Vamos calcular 1 a log (√ b c )a = a a log (√ b c ) = log (√ b ) − log (c) = 1 2 6− (−2) = 5. Questa˜o 4: Determine os seguintes limites a) lim x→5 1 x − 15 x− 5 b) lim x→5 √ x− 1− 2 x− 5 . Soluc¸a˜o: a) lim x→5 1 x − 15 x− 5 = limx→5 5−x 5x x− 5 = lim x→5 −(x− 5) 5x(x− 5) = − 1 25 . b) lim x→5 √ x− 1− 2 x− 5 = limx→5 (√ x− 1− 2 x− 5 )(√ x− 1 + 2√ x− 1 + 2 ) = lim x→5 x− 1− 4 (x− 5)(√x− 1 + 2) = lim x→5 1√ x− 1 + 2 = 1 4 . Questa˜o 5: Considerando a func¸a˜o real f , cuja expressa˜o e´ f(t) = 2t+1 t2−t−2 a) Determine o domı´nio de f ; b) A(s) Ass´ıntota(s) vertical(is) ao gra´fico de f ; 2 c) A(s) Ass´ıntota(s) horizontal(is) ao gra´fico de f . Soluc¸a˜o: a) Inicialmente veja que t2 − t − 2 = (t + 1)(t − 2) e, portanto, o domı´nio de f(t) sa˜o t ∈ R− {−1, 2}. b) E´ para encontrar as ass´ıntotas verticais precisamos calcular os limites laterais nos pontos −1e 2. lim t→−1− 2t+ 1 t2 − t− 2 = −∞ lim t→−1+ 2t+ 1 t2 − t− 2 = +∞ lim t→2− 2t+ 1 t2 − t− 2 = −∞ lim t→2+ 2t+ 1 t2 − t− 2 = +∞. Portanto, f(t) possui como ass´ıntota vertical x = −1 e x = 2. c) (vale 0,5pt) Para encontrar as ass´ıntotas horizontais precisamos calcular lim t→+∞ 2t+ 1 t2 − t− 2 = limt→+∞ t2 t2 ( 2/t+ 1/t2 1− 1/t− 2/t2 ) = 0 lim t→−∞ 2t+ 1 t2 − t− 2 = limt→−∞ t2 t2 ( 2/t+ 1/t2 1− 1/t− 2/t2 ) = 0. Portanto, existe apenas uma ass´ıntota horizontal que e´ y = 0 3
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