Seminários Integrados de Matemática Aula 6

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Seminários Integrados de Matemática
	Aula 6 : Geometria Plana, Geometria Espacial e Geometria Analítica
GEOMETRIA PLANA
Questão 01 (ENADE 2005): Em um paralelogramo ABCD, considere M o ponto da base tal que MB = ¼ AB e E o ponto de interseção do segmento CM com a diagonal BD, conforme a figura a seguir:
Prove que a área do triângulo BME é igual a 1/40 da área do paralelogramo ABCD.
SOLUÇÃO:
- Os triângulos BME e DEC são semelhantes, pois os seus ângulos são congruentes entre si, dois a dois (duas paralelas cortadas por duas transversais.
- Chamamos BE=a e AB=4a. Então CD também vale 4ª. Assim, vale a relação:
- a/4a=h/H,
Onde h e H são as alturas de BME e DEC.
- Então, h = ¼ H.
- A área do triângulo BME será:
- ABME = (Base.Altura)/2 = ah/2
Já a área do paralelogramo ABCD será:
AABCD = Base.Altura = 4a.5h = 20ah
(5h porque a relação entre as alturas dos triângulos BME e DEC é ¼. Logo, se a altura do menor vale h, a do maior valerá 4h, e a altura do paralelogramo é a soma dessas alturas).
- Então, concluímos que a relação entre as áreas será:
ABME/AABCD = ah/2: 20ah = 1/40.
- Logo, ABME = 1/40. AABCD.
GEOMETRIA ANALÍTICA
Questão 02 (ENADE 2005): As equações x2 + y2 + 4x – 4y + 4 = 0 e x2 + y2 – 2x + 2y + 1 = 0 representam, no plano cartesiano xOy, as circunferências C1 e C2, respectivamente. Nesse caso:
As duas circunferências têm exatamente 2 pontos em comum.
A equação da reta que passa pelos centros de C1 e C2 é expressa por y = -x +1.
Os eixos coordenados são tangentes comuns às duas circunferências.
O raio da circunferência C1 é o triplo do raio da circunferência C2.
As duas circunferências estão contidas no primeiro quadrante do plano cartesiano xOy.
SOLUÇÃO:
- Para compreender melhor a localização das circunferências nos eixos coordenados devemos “completar quadrados”, isto é:
C1: x2 + y2 + 4x – 4y + 4 = 0 ->
x2 + 4x + 4 + y2 – 4y + 4 = 4 ->
(x+2)² + (y-2)² = 2²
 e
C2: x2 + y2 – 2x + 2y + 1 = 0 ->
x2 – 2x + 1 + y2 + 2y + 1 = 1 ->
(x-1)² + (y+1)² = 1²
- Ora, temos então uma circunferência de centro (-2,2) e raio 2 e outra de centro (1,-1) com raio 1. O esboço será:
- Percebemos que os eixos coordenados são tangentes às circunferências esboçadas.
- Logo, a alternativa correta é a letra (c).
GEOMETRIA ESPACIAL
Questão 03 (ENADE 2008): O projeto de construção de uma peça de artesanato foi realizado utilizando-se um software geométrico que permite interceptar um tetraedro regular com planos. A figura a seguir mostra o tetraedro RSTU e três pontos M, N e P do plano α de interseção.
Sabendo que M, N e P são pontos médios de SR, SU e ST, respectivamente, e que o tetraedro RSTU tem volume igual a 1, avalie as seguintes afirmações:
 
I) O volume da pirâmide SMNP é igual ½;
II) A interseção do plano a com o tetraedro é um paralelogramo; e
III) As retas que contêm as arestas MP e RU são reversas.
É correto o que se afirma em:
A) I, apenas.
B) III, apenas.
C) I e II, apenas.
D) II e III, apenas.
E) I, II e III.