Exercícios do capítulo 3 do livro Estatística Aplicada à Administração e Economia - Allen L. Webster

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,1 ,, 
42 Estatística Aplicada à Administração e Economia 
, · · , · l I eal da receita Esta taxa nos dá um resultado de $78.088 que esta mmto mais proxim., e ova or r e de $78.000. 
Interpretação: 
'd. d · - d t d ·' d I t po Como a taxa A média geométrica representa a me ra a vanaçao cn ro e um peno o e e em . , 
'd· d · di' · d 10°1 - ' ' · tra campanha de crescimento é maior que a taxa me ia a m ustna e 10, nao sera necessaría ou e publicitária. 
A média geométrka será sempre menor que a média aritmética, com exceção dos casos onde. as 
porcentagens de aumento forem iguais para todo o período. Nesse caso as duas médias serão iguais. 
;I 
3.3 Comparando a Média, a Mediana e a Moda 
A média é a 1'.'edida de tendênc;a ~Utra\ mais usad~, ~la é fácil de calou \ac. e ; n terpr~t:. 
lnfclizmente, a media e afetada po, valores extremos º'l:ª'1P1cos e, diferente da mediana, podes 
drasticamente desviada por observações que ficam extr mamente acima ou abaixo da rnaiona das ) ló ... observações. j:>- ~ O . 
Por exemplo, pafll Ç dados 4, 5, 6, 6,J, P, a média e a mediana sã (i e representam uma medi da 
cx;e.lcnte,do pout,l,ccntra\. do'.~ ,ju 'fu ~e :J;i~os. Se a últ;ma º~_l",Ii:(çã
0 
fosse 80 em vez de 6,'. '. 
media sena 18 mas a mediana amaa s~ 6'Como a media a'\ao e aretada pelo valor extremo ela 
repcéscnt.'mclhor as s;;!s ~fill,XJ~CS, - Q,'l>i; e, ,-j 
' (A moda també"i é,poi1co afetada por algumas gQerva1,iits~j ioa&.e'cont;nua sendo 6 mesmo 
\; 'se o últim°,y'l!l> osse 8!); De qualquer ma· !ora, se nfo'liá,moda//;u se 
O 
conjunto de dados for bimodal, ~·~so podo ser confuso, e. , e e,'<>' . 
t\\ - • l'.}fi\. d["d -( f (\ e O;, ~ ( • ' 
gsso nao fil"' ca que uma ~r 'ª e 1)l!!\lllfriJue a outra, WC ai da esco \h ida depende da natur e· 
<:, Q aos .dad@s ou da man':ra ,50m ~"l' os d 11?_:s,sãt usados, Rlir exemplo, v;sões da Terra, orna lora 
Q,O de eqmpamentos de ºªJ{'Qmg, faraJ)oueo liso da mfo ação de que 
O 
tamanho médio das botas de 
~ O escaladas vend;das ê de 4 I ,l:QÇluito n'iais ú\ii; ara dec;sões nos negócios seria conhecer a moda h ' . b .,,.. t' \ ·{;\ ... ' do taman o, J)ms sa ~tGJ e o tamanho n~1s .... vendido é 
O 
39 . 
. Ent,:'Ía\it\,\"ílG;\Im 9~a 'v~ões,..Ú1erra deseja «>locar no mercado lima nova barraca. As 
~''l!ens~'.:\"~ssa bai,Xl8' ~ep'.;!,1d.õnr!dentre outras cu;sas, da estatura méd;a dos adultos. A expen· y,, encca lei!! ruostrad,2,~º" a ."'.slica :erv.e muito bem como uma medida de tendênc;a centrnl quando 
se tS!a d',1'5'dutos 9"' sao confecc1onados para uso de pessoas O tamanho das portas, a altura 
do reçJ:iretto ;1R.'5''J<s, os balcões em lojas e nrnhas das mobihas produz;das têm como base ª estatura med{a.. 
'- 
. Exercícios da Seção 
L Suaempresa esia mtroduzindo no m«cad . , . . · , · · · 
. . , . 
0 
um novo computador que promete realizar calculos estat1str cos murto mais rap1dos do que os con, · t y· , 1 -- . - · 
. corren es. rnte ca culos diferentes são realiz,1dos nos tempos ei11 segundos, reg1strados na tabeh ab,1·x V, ,, - -< ' 
. ·, , ., ' '
1 
º· oce nao quer deturpar as características de seu produto mas de- seJ'"prcsentac os resultados da melhor ma,,;, , . . , , • , , , . . ' d· 
C , ª para sua empresa. Calcule a medra a mediana e a mo a. ornente a vantagem do uso de cada uma delas. , 
Capítulo 3 Medidas de Tendência Central e Dispersão 43 
2. Como gerente de vendas da Bella, Inc., você deseja calcular as medidas de tendência central dos lucros 
de sua empresa nos últimos 12 meses, dados os seguintes registros mensais, em milhares: 
$12,3 $14,3 $ 25,7 · 
21,6 21,6 -12,8 
22,3 18,0 23,1 
1 -3,4 17,9 22,3 
3. o diretor da fábrica da Printel quer comparar a média salarial da sua fábrica em São Paulo com a de seu 
concorrente em Santa Catarina. Dos seus 6012 funGi011ári0s, 1221 recebem $35,00 por hora; 650 recebem 
$15,50, 3098 ganham $23,50 e o resto $17,112:!Dos 5634 empregadas !fa outra fábrica, 1654 ganham 
$12,75, 815 recebem $17,80 e os outros e)o. Escreva um pe ~~~e detalhado relatório para O diretor 
com as informações desejadas. Q :( O 
4. Uma grande empresa d~ equipamentos esportivos ~á~s~ndo os resultados de duas campanhas publici- 
tárias comparando as v.enâas"110s últimos quatro@eses.12fdas as vendas na tabela.abaixo, que programa 
ç ' . d . ,,_,. i C. . . \. . publicitário parecre estar produzm o a ~t;.tneuia~ crescimento nas vend:5 ttnsais? 
, e e.e "-\ '\ .\· ,-i'\ · J~ 
~' ,,o,-;;J .. ., l J:J-.,,. e' 
\_.; • lo:: Q':) Mês. 0. _ ppg ama 2 ~- {\\- S, 
e\\,; Q:\ v oJ . Go Â\'\ Janeiro $1.65~ (? $4 735, ,.. ~~ 
S U e\'ô Fevereiro À .9,98.:;: , Q B.G12 r>,V"'õ- ~ . 
.; Ü 'Q Março ÔU2 267 (:., ""\ 5.479 :J ~ Ô 
QÜ Abri1 r, 'Ç) _3 i32~ .-, ~-5~9 Q'V 
~o o~"~ 0 ,<\'""' ·o~,u~ (5...~~\ 
0-~ se'\ ~e'--(.. i\5 '3,cs:. . o . e o...0 
O:. ·,..\_'\ AO~. ou 
3.4 Medidas Bisg~(sao ?>v . cS 
,... "?).\ c,-!J ·~' O . 1 , . Em nosso Gsforço;ar, tl_escre_v€rlmn conJ.unto e e m11:1e~os, vimos que é útil localizar O centro 
do conjunto de da~\ Mts L~$!3li'l.kar a medida de te~denc1a ce_ntral raramente é suficiente. Uma 
descrição completa do coll,JMnto d~ dados pode ser obtida se medirmos o quanto os dados estão dis- 
persos ao redor do ponto central. E exatamente o que as medidas de dispersão fazem. Elas mostram 
0 quanto as observações desviam-se de sua média. 
Medidas de Dispersão Medem a extensão em que as observações individuais estão espalhadas em re- 
lação à sua média. 
Tome, por exemplo, os três pequenos conjuntos de dados seguintes. 
48 Estatística Aplicada à Administração e Economia 
$87, $120, $54, $92, $73, $80 e $63. 
Solução: 
Temos X = $81,29 e 
2 I:(X; -X)2 S==---- n-1 
(87 -81,29)2 + (120-81,29)2 + ... + (63-81,29)2 == 
7 -r 
s
2 
== 465, 9 ao quadrado 
s=~ ==$21,58 
Interpretação: 
"°" 00~ o'ô . O 
TodaQsas estatísticas pdd~ sçr '5'kuladas pelo comi,tttador u~do vários pacotes compu- 
tacionais. O Quadro 3 !, 11.ostra ~aiila do Excc I rai,/)~} dado '.l!,l p &P. Repare que as rned idas d dê · J' "~1 . ' '1 - - 1 I ,1 .) " . 
~ ... e ten encia centra, e uesv1ô.,Paurao sao ca cu aeas J1mto ~m outr'!óe.\ltéitísticas que discutiremos 
\; niais tard<;;{I..O'=' I>\ ~ ,, ~e, ,0 O 2, \Ú 
~adm 3 ~\'Õ"' Õfé, '::i. \O {\,<>,V ~o-=i 
(Estatísticas'H:Íescritivas para R&iP o,,.\t::J .;., 
1 
• ()'V 
óº~ Média > e ~ o..\) • ,-, 7&,j»\ 
'\O Erro Padrão 0?>.. 'f0' ct''i,,59.l:J9J·8774 
Mediana • ..JO e\'õ e'-S 0,\'-:> 78,5 
Moda f\ s , e~ ÔJ 83 
Desvio:'\PaGlr.ão~ Q '.t;, :\} 11, 31327557 -.IJ. · ,, · Q Q 
.MaPiancia ~f,ª ostra ~ 127,990
2
0
41 e 1:;curtose:,\ r\_?:J. ,, úo 
""' Assimetria ~ 0"::l ~~ \;. 
Ampfitud~t;) ~'(,, 
:!:~:~' ,o"\º 
Bonani estimou o preço médio de fechamento da ação em $81,2 9, com tendência de variar para 
cima ou para baixo o preço cm $2 ,58. Outra cxplicaçã3:1fola"Zrso e interpretação do desvio padrão 
será dada mais adiante, neste capitulo. Entretanto,~. _!l)~·se que Bonani sempre pode interpr·etar o 
desvio padrão de $21,58 como uma medida de ,Sndência de flutuação do preço de fechamento em volta de sua média ele $J:H,29. e Ç 
< \ ~ g\J. - 
-o, 036918787 
-0,05225955 
52 
Soma 
Contador (n) 
50 
102 
3918 
50 
S. Estjo send., usados dois prncessosoa prndu ão j d - ,, . . . , . , - 
. 
1 
- ,• . _ ç e e isquetes para computador. Surgiram problemas ern 
re açao a vanaçao oo tam'"ho desses discos. Basearrdo-se na amostrn aba;,o para uito tamanhos de 
Capítulo 3 Medidas de Tendência Central e Dispersão 49 
discos, em polegadas, para cada processo, explique que processo você aconselharia se O objetivo é mini- 
mizar o desvio de tamanho ao redor da média. 
Processo 1 Processo 2 
3,41 3,22 3,81 3-;26 
3,74 3;06 3,26 3,79 
3,89 3,65 3,07 3,14 
3,65 3,33 -B,35 -3,51 
) 
6. Explique com suas palavras o que são as medidas de variância e desvio padrão.Por que seus cálculos são 
diferentes para a amostra e população? 
7. Um analista de investimentos sugeriu que você invista em Ações Confiáveis em vez de investir em Ações 
Seguras. Dadas as taxas anuais de retorno para uma amostra de cada um dos investimentos, 0 que você 
diria ao analista se você deseja minimizar o risco? .. 
Seguras f .J 
3.5 
' 
Trabalhando com dados que estão agrupados numa distribuição de freqüências, não sabemos 
como são as observações individuais. Na tabela de freqüências dos passageiros da P&P, Tabela 2.2, 
sabemos apenas que, em três dias, entre 50 e 59 passageiros embarcaram no avião. Não sabemos 
os números exatos nesses três dias. Sem os valores específicos, os procedimentos descritos ante- 
riormente para calcular medidas descritivas não servem. Precisamos lembrar que cálculos usando 
dados agrupados são apenas aproximações. Portanto, quando possível, as observações individuais 
brutas devem ser usadas. ' 
S2 Estatística Aplicada à Adrnmistração e Economia 
Da Tabela 3.3, a moda é 
l 18-7 J . · Moda= 70 + (10) = 76,47 passageiros (18 -12) + (18 - 7) 
D. Variância e Desvio Padrão 
Se os dados são agrupados em uma tabela de freqüências, a variância e o desvio padrão podem 
ser calculados por: 
Variância Amostral para 
Dados Agrupados 
~? 
, I./M2 -nx- s: = . . 
n -1 [3.13] 
:\ 
i 
Desvio Padrão Amostral 
e 
[3.14] 
! : ' 
~! 
fM M1 fM1 
54,5 163,50 2 970,25 8910,75 64,5 451,5 4 160,25 29.121,75 74,5 1.341,0 5 550,25 99.904,50 84,5 1 014,0 7140,25 85.683,00 94,5 756,0 8.930,25 71442,00 
100-109 2 104,5 209,0 1 O 920,25 21.840,50 n" 50 IfM" 3.935,0 
IfM2 - 316.902,50 
Solução: 
Calculamos Xg no exemplo anterior como 
X _ "i.fM 3935 g-~==-c=:78 7 
n 50 ' 
Capítulo 3 Medidas de Tendência Central e Dispersão 53 
Portanto, a Equação 3.13 nos fornece 
n-1 
7 316.902,50-50(78,7)2 14 . s: = = . 7, 31 passageiros quadrados 49 
1 I,JM2 -nX2 :r=__::__ _ 
s = y'l47,3 l = 12,14 passageiros 
Interpretação: 
o diretor de vôos pode decidir se os atuais aviões acomodam as flutuações do número de passa- 
geiros baseando-se no desvio padrão de 12, 14. Caso não acomodem, talvez aviões maiores sejam 
usados nos dias com maior número de passageiros. 
. C a.._Ç>,,.\... o'? 
9. Aparentemente, 0 número de abstençõR (falilis ao trabalho) tem ªlm!r)ta o na sua empresa. No ano passa- 
do faltavam em média 47,8 empregad~s por dia com um desvapadrão de 14,7 empregados. Uma amostra 
coletada durante esse ano foi ct'Õ'locada na tabela de fre~ênc,ias abaixo. Calcule a média, a mediana, a moda 
e 
O 
desvio padrão dess~dado}e compare com os d~os'do ano anterior. A que conclusão você chegou? ()\ o ~ )V, . ("\o Quanlidad uP \ (?,": - Quantidades df \ô~A <:,\ ,V Empregados Ausente ,\ Dias de Ab.sten ãlf f F\ f:, 
\,.. "Ç., ·;,, JI r r;, ~ 
. . ~o'=' · . 20:29 R s ,ti~~, ~f 
Ã\'\e\ \ e'3o-39 i '{ 0 9, O '"' j. ,i,. 1~0 . , \ s u ~0- 40-49 C:Je ~e, a z,_kt" 1-L 
Q ,('\e ~ o.e 'º 10 eü ", \ eC:J· oot:õ 't' Ç 60-69 ~ z,.\~ \fii ':+,).\:,.\, 
~O ~Q;79'. ('\...J. . r-OC::, 110, O · · 
O
(' C.80;89 ~ ........_ r, (\\V. g,., f ·- 
\'1 9Jj9~,) , .~\(..O \SC::.3 
Horas para 
Concluir a Tarefa 
Quantidade de Vezes em que a Tarefa 
Levou Muito Tempo para Ser Concluída 
5 e abaixo de 7 
7 e abaixo de 9 
g e abaixo de 11 
11 e abaixo de 13 
13 e abaixo de 15 
15 e abaixo de 17 
4 
8 
12 
8 
5 
2 
S4 Estatística Aplicada à Administração e Economia 
3.6 Outras Medidas de Dispersão 
i: 
Embora a variância e o desvio padrão sejam as medidas de dispersão mais usadas nas análises 
estatísticas, existem outros caminhos para medir a dispersão. Eles são os quartis, decis e percentis. 
Toda coleção de dados tem três quartis que dividem a coleção em quatro partes iguais. O pri- 
meiro quartil é aquele valor abaixo do qual estão 25% das observações e 75% estão acima dele. O 
segundo quartil está exatamente no meio. Metade das observações está abaixo dele e a outra meta- 
de está acima; portanto, coincide com o valor da mediana. O terceiro quartil é aquele valor abaixo 
do qual estão 75% das observações, e as restantes 25% acima do mesmo. 
A determinação dos quartis é freqüentemente utilizada. Muitas faculdades, por exemplo, só ad- 
mitem aqueles estudantes que se encontram no topo, acima do terceiro quartil das notas dos exames 
nacionais. Corporações, com freqüência, eliminam aquelas fábricas que têm recordes de produção 
abaixo do primeiro quartil. Com um pouco de imaginação, é possível enxergar em quantas situa- ções os quartis podem ser úteis. 
Decis separam os dados em 1 O subconjunto;; iguais e percentis produzem 100 partes. O primei- 
ro decil é o valor abaixo do qual ~c,~r!GÕntram 10% dai ob®'i.ações enquanto as demais (90%) 
encontram-se acima desse valor.,Oprnne1ro percentJI e-aguele valor abaixo do qual 1% das obser- 
vações são encontradas e as nestantes estão acima d51fufoa interpreté!fão similar pode ser aplicada 
para o resto dos decis .. e iferc~tis. Cada co~u~l de dados tem 9 decis e 99 percentis. 
Um pcrcentil e iua localização n9s<lal4o( ordenados são identificados por meio de (sub) i nd ices P 1 ÇI 5~ ·1 ' . d. ~...J - -n 1 · rJ 
or exemp õ,)o percenn em 8ªuo ~Q.10ú;,1s, e sua ocahe:~ao nos.dados ordenados é l
15
. 
r. ~ ' <J. ' .,_.J "'.7\;. • ~ 
rara ilustrar o calculo;.ha§,percenhs, assuma que te1~ ol5servaç-0es para o número de cotas de 
50 açõe~ negociadas n"iJ,êlvespa, ·c~nio mostrado ,n· 'f.a!ie~ 3.4. R~are .~e os dados são coloca- 
\... cfos de forma ordenada. A lo_salilaçao do Pé,;
1170 
P.@.rGenttl é et?ontradilJ~~r 
.n\~ o\ ~ ~ 
i 
,1 
" ,.;1 1 
il 
i 
1 
A.\~ \'3" e<:i 'º'<:, 0Y ,._o-:;,· 
Lc~~ízaçã0 dl?°Percentil QÇJ. ..;.,,\(b L, == (n1b-!_~~ [3.15] d':) 'Q °:'J.V (" '::) ' ' OQ) 
"\O~ -zo ~ " \G =-e--~~~-~~-~ 
onde LP é a loÓalização~ti~~·cenfiJ ~seiad~\r:,C:X 
, , 'IC:I' \~ /\.v' n t e o num~ âe ob~e)j1va~oes, r .v 
• e~~ 't !\': cent1{)cts'é'iad\ o\) 
~:.\~s_sum(Jitc des,ej,~º1.,"•láilar o 25" percentil, P,,, para as ações da Tabela 3.4. Devemos 
pnmerro e~~ar a s~g·ocahzação nos.dados ordenados. 
e ,o\0 25 
\ L?5 === (50 + 1)- 
- . 100 
== 12, 75 
Tabela 3.4 
3 10' 19 27 34 ....1§._, 48 56 67 74 
Número ele cotas 4 12 20.-.. 29 34 39 7, 14 48 59 67 74 
negociadas na 
211 31 36 43 52 62' 69 76 
Bovespa g 15 25 31 37 45 53 63 72 79 
10, 17 27 (em centenas). 34 -~- 47 56 64 73 80 
Capítulo 3 Medidas de Tendência Central e Dispersão SS 
I 
O resultado de 12,7;/ quer dizer que o 25º percentil está localizado a 75% do caminho entre a 
12ª observação de 20 e a 13ª observação de 21, ou P25 = 20 + 0,75(21 - 20) = 20,75. 
_/ 
Se desejarmos calcular o 35° percentil, encontramos 
L35=(50+1)~ 
... 100 
== J},85 
4 
Exercícios da Seção 
o 35° percentil está a 85% do caminho entre a 17ª observação de 29 e a 18ª observação de 31, 
ou p35= 29 + 0,85 (31 - 29) = 30,7. Assim, 35% das observações estão abaixo de 30,7 e as restantes 
estão acima de 30,7. 
Voltando para decis e quartis, repare que o primeiro decil é igual a P10, que o segundo decil 
é igual a p20 e assim por diante. Ainda, o primeiro quartil é igual a P25, o segundo quartil igual a 
P e P é a posição do terceiro quartil. Pensando nisso, o cálculo de decis e quartis torna-se sim- so 75 
plesmente uma questão de determinar os percentis auroPJ;iados de acordo com as regras que foram 
estabelecidas. . oª . o'? 
Uma medida singular de dispersão é o)interquartil, (IQR). O IQR é a diferença entre O pri- 
meiro quartil e O terceiro quartil, isto é, P15 - P25· A metc@.e ela( observações encontra-se nesse 
intervalo. Ele contém 50% das'{Jbs~rvaçõe~ desc:~ª~º :s 2,5% meno_res e as 25% maiores. Como 
resultado, 0 IQ~ fornecem~ 1~ed1~fa de d1,spe_r~~q~e nao e influenciada por Üscas observações 
discrepantes. O m1rquartil esta Ilustra~aF1gurtj.J U , C,V 
, ' ~ e:,e - a\' à'>i..~ . " s 
Figura J.l \....<ç: Abaix~'de /rO \ 1 (Ô I Ac1ma~1 
·\C2S% _\ (?} • oc25% os' o interquartil. • "5..e' ~ . .... V \G 0, \z.." o, c.,.r~2 e ~ 03 ~ . 
Os e' b A0 ..... ( o' ~'C>.c, :e:,. o~ 'Q . -,;;--~~----- "J ~o 
.,,( ocJ. ~ o ~ e ,.;f,Q% ~entl!ais:) ' ' ou 
\ (\'Õ- '!S"- ,., '(.1 u.0' 
. ...J o ,;_,?; ,.., o0 ·\_sC>':. 
. oº-:, .. e'º- o..vi.º 
~ ~\; AO~ . ou 
'(;-~ "'b\ ~0-u . o'b 
II. Defina corrr s~a;palavras· , ~ 0,.\\Ü 
a. O 80º percentiJ:;;<"7 ~or$ 
b. O quarto decil. \ O 
e. O terceiro quartil. 
12. Usando os dados da Tabela 3.4, calcule e interprete: 
a. O interquartil 
b. A mediana 
e. O 50º percentil 
d. O 70º percentil 
e. O terceiro decil. 
i 
'i 
60 Estatística Aplicada à Administração e Economia 
EXEMPLO 3.8 Assimetria para os Passageiros da P&P 
Usando os dados agn1pados da lista de passageiros da viação aérea P&P, calculamos X ~ 78,7,_s" 
l 2 l 4 e a mediana de 78,3 3. Dadas essas infonnaçõcs, o chefe de operações da P &P pode verifi car 
' ' - . . . . . . . . . . El , , b ~ er uma que os dados estao d1storc1dos para a <l1rc1ta, pois a media excede a meduna. e tam em qu 
medida dessa extensão ou grau de distorção. 
Solução: 
Temos 
p == 3(78, 7 - 78,33) == 0,03 
12,14 
[3.18] 
Contudo, se calcularmos o coeficiente de variação para os passageiros, encontraremos 
CV. 12,14 ==-000)==15 43 78, 70 · ' 
Capítulo 3 Medidas de Tendência Central e Dispersão 61 
enquanto para milhas é apenas 
C'V 152, 7 (100) =-- =12 05 
1267,7 ' 
Está claro que, comparando-se a variação nos dois conjuntos de dados, percebemos que é me- 
lhor usar o coeficiente de variação e não apenas o desvio padrão. 
Um conjunto de dados dos pesos de 1000 sacos de comida para cachorro Lulu Feliz tem urna média de 
23 quil;s e um desvio padrão de 1,04 quilos. Não se sabe se os dados têm distribuição normal. Os produ- 
tores da Lulu Feliz esperam que pelo menos 750 das sacolas pesem entre 20, 6 e 24, 7 quilos. o que você 
pode afirmar para os produtores? 
14. Um conjunto de dados com distribuição normal tem a média de 5000 e desvio padrão de 450. Que por- 
centagem das observações está no intervalo de: ~ "" S 
a. 4550 a 5450? \)\ Ü PJ\OQ 
b. 4100 a 5900? o~ 'fi+.o\e 
e. 3650 e 6350? x..,.\"'- 0 ç 
d. Acima de 6350 ?1\ç.:. 'êJ.QQ~ 9'à . Q\). 
e. Abai~ dl4550 ... ? e.~ \ '\ g . ..;i:>º. S 
IS. P'lro cJr}len(rn de c,omp~irrnm ,q~'nédio de ~\:ros'. ~Ol,n desvi~ P_r~!J}í}tÍe} ,'\'.@et11s. Se os cortes são 
norníalmente d,stnbmdos, 'CJl!le po_rc(t.lljªgem de madeira e menor o que. e, S e'".:. e\ <.e o- . úo , 
a. 3 metros? A.,\'\ 0- v e e'fS' ?õ,"\'~ 
b. 2,~11~ros? ve' ,· . I Q~.~ e..'.º(_ .~'?~ \!o'b· 
.1 i~hls as idades dos J 00 maiores ~e~1vos ~as e npresas c~das na F.or.t&e 5 00, revelou-se que a 
~='-'"'~dia é de 56,2 anos de idade e\ desvio ~d~o...,12,7 a~0~V,. rendf~1édi/ desses executivos é 89.432 
__ dólares, com se= l 6.09Q.~i;el das var~{~e1s,tê1~~ flfjqr varja~~dade ou renda? 
(Ye a mediana da ~n~a-110 .. Exeaoie:'?~ é'. 8ê6I: r ...::,.'õ-' - . . 
0 Os dados~sã~ssimétncos para X:j §lia, par0a a\.S§q erda ou sao normalmente distribuídos? . -e .... < .,., 
b. Q&al { 0 coeficrTuh\e de Pe~srm ae.as,si 1e-tria? 
"('Ô A\'Ç) , 'f,,i§.'U , 
·p . e'a-~· ~o~o'0 
roblemas Resolvi OS" 
l. 0 Valor da Informação Uma empresa que vende informação pela Internet registrou O número de ata- 
ques que ela sofreu por hora como 47, 52, 69, 72, 112, 36, 28, 6~, 69 e 41. Suponha que o administrador 
da empresa deseja avaliar esses dados com base nas suas medidas de tendência central e medidas de 
dispersão. 
A média é 
- IX 594 
X==-' == - == 59 4 
n 10 ' 
64 Estatística Aplicada à Administração e Economia 
/ 
! 
/ 
1 
[3.3] 
I 
1 
1 
1 
1 , [3.4] 
I 
I 
1 [3.5] 
. n+ l Posição Medtana == - 
2 
- IXW 
X""==-- 
'i,W 
Posição da Mediana 
Média Ponderada 
Porcentagem de Mudança Durante 
um Determinado Período 
[3.6] 
Variância Populacional 
[3.7] 
Desvio Padrão Populacional 
1 
l, 
1 
1 
·1 ·. ,, 
82 == ~; - FY GcVariância da Amostra .----\o n-l 4,0º.; 
t'\J s == f;i 'f.. Q\0 Desvio Padrão da Amostra - - "0º t? ç 
0,q...<y;, 'ôr,.~ ;.rv ' 6t!J' rauacos Agrnpados () e-0 \ '\ -o - v-1} · ~:f) 
( r_.S; ':) [n/2-F1tfi'~ ,..e,, 
v[3.11] \ o Mediana== l111c1 + . l"'i '~'- ~ .f, Mediana Rara,Dados Agrupados x> . . ':i....Os · C?> .1~-"" ot:::J úo'? 
t\.\"·e' \..e\ A ~ ,,.,.ç,. e,?>('" . 
[3.1?J,, ,("\e\'Õ Moda() ,l,<1 +[ {) ~,~ (C){ e M 'd'a para Dados Agrupados 
'::i J " ü 0' -" b ovv. oº 'nl..0 'Q ó ·.rp- ~ e'\. ""'\O ece» .,-('\ 'i.ftM-2 -nX2 ..-\.~ • 
[3.13] , O'-' · 0' \'.2 == · ri,, ' t:::,'\Jo.. vanâncía para Dados Agrupados da Amostra \).\...J se~ \e\:. n-1~\ ,~ . 0o . e , 0 
l:·
1e1 ~ ~~~ o.O~· s c,).lc w 
~ ... :-. 'f\s ~?J. . '\úo 
!3.15fÕ A\.<"a'f...e c\."''{y lp==(n+I)_!_ 
, ,. ~"" 0~ 100 // . e -- \O~ 
[3.8] 
l 
[3.9] 
[3.10] 
Desvio para Dados Agrupados da Amostra 
Localização de um Percentií 
[3.16] 
O Teorema de Chebyshev 
[3.17] p == 3(X - mediana) 
s Coeficiente de Assimetria 
[3.18] s 
CV== =(100) 
X Coeficiente de Variação 
Capítulo 3 Medidas de Tendência Central e Dispersão 65 
Exercícios do Capítulo 
- ~ 18. Os preços das ações na bolsa d,e valores de N~v~ Iorque são_ cotados em oitavos de dólares como, por 
exemplo, 5 '1/8 é $5,125, 5 1/4 e $5,25, $5 3/8 e $5,375, e assim até 5 7/8 que representa $5,875. Abaixo 
há uma amostra do preço de fechamento de 7 ações tiradas do The Wall Street Jounal: 
Wal-Mart 
Disney 
Mobil 
General Motors 
27 3 / 8 
42 5 / 8 
69 7 / 8 
391 / 2 
General Mills 
Toys R. Us 
Dow Jones 
69 7 / 8 
38 5 / 8 
291 / 4 
- a. Calcule a média, a mediana e a moda. Interprete cada estatística. Qual a informação que cada uma 
traz? Por que elas são tão diferentes se são todas médias? 
b. Calcule e interprete a variância e o desvio padrão. 
e. Calcule e interprete o intervalo interquartil. 
d. Calcule e interprete o quadragésimo percentil. • --~0A emp<ess Papa Léguas vende botos em es"_l'/-'.runt!Y !Íos últimos 100 ~es vendidos, 4 foram de 
~~!\amanho 39, 33 de tamanho 40, 26 foram'\1e ~rnanho 42, e 8 de taman o 44.~Comente O uso da média, 
da mediana e da moda corno med~s de te1~dencia central e o us~de~sas informações para a tomada de 
decisão em relação a que tamanh0.u,11anter no estoque. Calcul~caõa uma das medidas. 
_fF,_
0
J, Jma amostrn das taxa dej,;;ol\,m, ,mptéstómos df,jsil,nos nas ünanciadoras em um, cidade do interior 
~esoltou em: o () \ õºº e~ o'J. '{...- O 7,1%, 7,3% 'V~1~9o/r_,~,,6t?'6,9%, 6,5%, 7,3%, u1sr:zf? e, \ '-..- . (0.;i v' A\).,.. · 0-;;i 
a. Calcule a média, a 1~iana, e.a moda: . . . ~OU ,t\\.0' 
b. Esses dados sstÍD. ~1storcidotPara a direita, d1storc1dos ®,'(.;;iª esquer .il-ou estão 
11<5imalmente distri- 
b 
íd c?-Ca1Jcti e O Ç,geficiente de Pearson corno uma medida de assimetria. 1tG UI ~S. V'\U - e nt\ ' . 
~ 
.. r:41-~
1 
}e~ interpre·H variância e o desvio padrão. e Q -C,V e... · -'g>J,·\.Jª Cl , ( C., 'ó" ( , ;../ • 
1
:l) ma ootrn pesqu;ss <eaJ;,ada em, Waaorndoras num grande centro utbano,,tttvclou taxas de juros de 
'J z.1..:. ' '\ · rC:, o- 
._:_ • 1(7,1%, 7,3r~~ ,3%..16',7lX'o é,$.%), 5,85°/o\_tl:,5%. ..... e\C.: ,i ry . ("'\',,,.r 
\ · '· l d 'W ,-.'\ ' \C,,V\ , 
a. As taxas de jcífos süo .maieJs,:ia cio~ e uo,Jntenor OlL~ granae centro urbano? 
o(>-~ .. ?'V 
b. Qual d~l,S cidad\ tfn'l aS' taxas H1a!§ GOnSlS~1ôS. 
. rs, li;l e 1·1'ffeTprcte o coefi'êiente de ~carnon éle distorção. . e. ~d cu e ô'' . ' .. - . e:- .,, ' . ·- ( (
22
. Alan Mun~ay produ:fii!i11ª tmta ela1 ·e para automove1s na regiao de Denver, EUA. Ele usa quatro pro- 
_y'utos quírnicrni,JJife~ntesdii'lução do selante. El: precisa ~e 2 galões de calcimina que custa $2
,
5 
por 
- galão, 
112 
galão de c! 6:'o 1 -a que cus:a $ J ,25 por galao, 1 gala~ de aglutmante custando $0,7
5 0 galão, e 
3 
galões de óleo secante de $2 o galao. Calcule o custo do galao do selante. 
Uma revista de economia revelou que o número de transações, em bilhõcs, realizadas nos caixas eletrô- 
nicos foram: 
2001 3,9 2004 
4,5 
2002 4,1 2005 
6,5 
2003 4,3 2006 
6,5 
A indústria bancária pretende preparar-se para 8 bilhões de transações em 2008. Será suficiente acompa- 
nhar o nível de atividade prevista para aquele ano? 
66 Estatística Aplicada à Administração e Economia 
-':l., ~7'.;\ empresa Arca de Noé vende quatro tipos de cerca. A grade A custa $5,00 por metro instalado, a grade B 
U~1sta $3,50, a grade C custa $2,50 e a grade D custa $2,00. Ontem foram instalados 100 metros de A, J50 
de B, 75 de C e 200 de D. Qual foi a média de custo por metro instalado? (,. 
··~ Uma amostra dos recibos de vendas do Bar Porco Noturno são dadas em centenas de reais 
43,3, 54,2, 34,8 42,9 49,2 29,5 28,6 
Uma campanha publicitária foi realizada para nivelar as vendas. Foi tomada uma amostra das ·vendas 
subseqi.ientes 
45,5, 39,5, 35,7, 36,7, 42,6, 42,14 
,, 
Ll A campanha publicitária atingiu seu objetivo? r _:Jum investidor comprou 20 cotas de ações a $15 cada, 50 cotas a $20, 100 cotas a $30, e 75 cotas a $35. 
· a. Qual é a quantidade total deste investimentQZ., 
b. Qual é o preço médio por cota? o o'? 
-1> 27. As idades dos 50 executivos de \Sgumas empresas estãp rn~roduzidas na tabela de frequência abaixo. \?. ..... ,;;.., .., 
a. Calcule e inter~rete Géfüa, a mediana e a vc{[a? 
b. Calcule e inte11erete a variância e ºóe~v~padrão. Q\),. 
O Q\ .,,._, v N_ ld' ti-:, - F ... '. e. o e' ~ ' ª es re~uen,e.a, • o~ x:,. \ ~ eS (o '"~ntre 50 e 55 ou (00'{ ,r.<;>.e'\ 
\_.; ·"!,._O'=' . ~. Entre55 e60'ô~ ji~ . o'=>' • 5-e' \ e\ Entre 60 e 6~ 1!> 1-5 ,, 'f::''G º' ~'ô- V EntrU5 e 79 ,e 10-0'. . 
Q'::, r.e Ó fÊmre 70 ê.75 0 .rC/'},_, ~ "Q (b 
0oí6 '="' ,., O ,çO Entre,;5 e,so .... e_,\' 1 O\)\. ~o . . '.(\~ . <(\.""' vr. ~("J }e 
-:, 28. VeJa agora osijfauios anês, em m~~es, itless;\.~Qiivos, registrados na tabela de frequência a seguir: 
\~ . à.O~ . u~\:.:.:.__-rr~--- ~e ~ \\\: o.0~. S~@rio ($1000) Freqüência 
~';) ~':J-(0, e~fc}. 
1 
,. Ú(.:;~;:;--'E-ntr-e 9-0 e-44_0 __ ___:___~9 =-_ 
\f...'Õ "l"I'( 'f.. 'Õ' ~ Entre 440 e 790 11 0(\'' oC'b Entre 790 e 1440 10 \O~ Entre1140e1490 8 
Entre 1490 e 1840 
Entre 1840 e 2190 
Entre 2190 e 2540 
4 
3 
5 
~-'> 30. 
a. Calcule e interprete a médi: , di 
ia, a me iana e a moda. Interprete os resultados. 
b. Os salários são tão dispe , . id , . 
rsos como as 1 ades do exercícn, anterior? 
Uma empresa de celulos d , . . , 
e usa uas maqumas diferentes para d . · . 1 , amostra de papéis da primeira máq . di 30 8 pro uzn pape de fax para copiadoras. uma 
. uma me iu 28 8 29 9 30 7 30 2 3 . v · produzidos pela sezunda máquina ti did ' ' ' ' , 1,5 28,7 e 31,2 centímetros. Papeis , . º' iveram me i as 30 8 28 8 ?9 2 30 7 . 
maquma com a maior consistência em relacã , , , ' ' ' - ' , . , , 30,8 e 30,2. A empresa deve usai a 
çao ao tamanho dos papeis. Que máquina ela deve usar? 
As notas das duas primeiras provas de estatística e ue v cê . ,. . , 
dias foram 9 para a Prova A e 5 , . 1 , 0 e fez foram normalmente distribuídas e as me- 
para a prova B. Voce espera um d . . d "' . . , 
esv10 pa rao alto ou baixo para a prova 
1 
1 
\ 
-~ 29. 
Capítulo 3 Medidas de Tendência Central e Dispersão 67 
A? E em relação à prova B, você acha que foi bem nesta prova? Por que? Construa um gráfico ilustrando 
/'- a lógica da sua resposta. 
( f . 31.) A amostra a seguir foi obtida a partir do número de fregueses diário de uma floricultura on-line: 
\/ - 34,45,23, 34,26,32, 31,41 
Calcule a variância, o desvio padrão e o intervalo interquartil. 
~ 32. A amostra a seguir é do lucro por cota, em dólares, das ações da P&P: 
l,12; 1,43;2,17;-l,19;2,87;-1,49. 
Calcule a variância, o desvio padrão e o intervalo interquartil. Interprete cada medida. 
~(i~ As horas trabalhadas em cada semana por Milton, durante os últimos dois meses, são: 
52 48 37 54 48 15 42 12 
1 
Calcule: 
a. A média. 
b. A mediana. 
e. A moda. 
Badalada Rock Pauleira 
5-10 
11-16 
17-22 
23-28 
29-34 
35-40 
2 
4 
6 
8 
2 
2 
4 
5 
7 
5 
2 
\ (;<9 Um matéria jornalíst_ic_a relatou u1~~ disputa entre a gestão e o sindicato \~cal dos trabalhadores quanto à 
eficiência e a produt1v1dade. A gestao argumenta que os trabalhadores estao levando mais de \ 5 minutos 
para terminar determinada tarefa. São registrados os tempos de 85 empregados, e os resultados tabula- 
dos. Baseando-se nessa amostra, a gestão está correta? Calcule as três medidas de tendência central. 
(~; i ' ; r ,.,: ~ ; ' 1 
--.: !, 
·!~··! 
1 
- - ·:------::::-:-~_ -- -- -::.. - ---------- -- ' - . - . 
68 Estatística Aplicada à Administração e Economia 
Intervalo 
. (Número de Minutos) 
Freqüência 
(Número de Empregados) 
\ 
5 e menos que 7 
7 e menos que 9 
9 e menos que 11 
11 e menos que 13 
13 e menos que 15 
15 e menos que 17 
17 e menos que 19 
19 e menos que 21 
21 e menos que 23 
2 
8 ~JJ 
10 .')1) 
15 ,_{') 
17 S'J 
11t 6'1 
7 ':?,\ 
9 'fj'0 
3 r_.,/~, 
l 
I; 
\·! 
\, 
+ 
!: 
,, 
1 
1 
A gestão do exercício anterior também está preocupada com o desempenho dos empregados, pois esta é 
muito errática, isto é, há uma grande variação na quantidade de tempo que os trabalhadores levam para 
realizar a mesma atividade. Identifique e calcule a estatística que ajudaria a gestão a tornar uma decisão. 
V ,..., · · d ~ · p ·d·1l· ~\ 38. Calcule o coeficiente de Pearsondê assimetna para as nota:nas provas de economia do Professor ai ' · 
"'\ J' \V 
~,.) 80 83 87 8b9c?8~ 84 82 88. 
39. Os sindicalistas ,:; ,Q Moto, Compan ;jd~iodo Ohio, EU A, tedamarnm de uma vio I ação ao ,w,·do 
realizado: trabalhadores da linha, t!:,1Wodução recebem menos po; h,0ra rabalhada do que seus cornpa· 
nheiQ o escritório. Uma an~stra d~;; 'LO é tomada de cadX'.'J~â das classes trabalhadoras, obtendo- 
(: Íe# s ;atores seguin~sliC7~s dados dao suporte às reclamr ~ões dos sm '-f a tistas? 
~\ ·º·:, \ oê;. /"\~, 
\,: . Q~ Tra~alh~dores Trabalhadores. da Produção ~abalhadom~ Escritório 
~ p\. - = 0 - .À\,e '""'r,,J 1 e. , 12,15 e~ ~\ 15,12 s u ;\'ô 2 e - 18,,1~) eú 18 42 o "'e 3 oêJ. à,9,42 «' \., ( h~ 12 
AOr:o Y 4 v ~ ,'2>-x 5,17 ~ ~ o"+J. 16 92 
..<QU ~(2 . 0..v .1~:6:f 0"\ 18,,15 
\ (' 6 'f0"- r. '(\) 6 ,4"2 r\ \) 1 5 ,81 ·~10 I.·?J. 1t<O 15,49':Ji"..A • \\""' c,\-w '"e'-" Hl,[3\ 19,12 '°''""' . 0o 9 . e' 0:19.12 19·15 -e 'õ -f!\~V.. 10S • ou 18,36 ;~·.:~ 
~ O. ~?in reali,zad]~~este~1pÇfa v~rificar a d -, bilid d · · s 
, . A' , 1• ·,. , . ura 11 a e de duas marcas concorrentes de tênis. Abaixo tenio 
o numero de hord§ de uso do ténis antes de se detectar um g' t · if · e ~o~ as O sigm cativo. 
"\O ---:M-:-a-rc-a -:-A------M-a-rc_a _B _ 
97 
83 
75 
82 
98 
65 
75 
78 
56 
87 
54 
89 
65 
1,. 
1 
\ 
a. Que tênis parece ter a maior durabilidade? 
b. Que tênis parece ter o maior controle de ualidade . , .. . . . , ,·,, 
q produzmdo assim produtos com a maior cons1stenc1ª 
Capítulo 3 Medidas de Tendência Central e Dispersão 6_9' 
41. Jônatas trabalha como corretor da bolsa de valores. Seus registros mostram que as taxas de retomo ( em 
porcentagem) de duas ações de I O meses são: 
) Ação 1 5,6 tz 6,3' 6,3 · 7,1 
8,2· 7,9 5,3 6,2 • 6,2. 
Ação 2 7,5 7,3 • 6,2 
8,3 8,2 
8,0 8,1 7,3 • 5,9 5,3 
a. Que ação deve ser melhor para aqueles interessados em maiores retornos? 
b. Que ação Jônatas deve indicar para investidores que preferem menos riscos? 
( 42 Os preços das cotações de 30 ações diferentes negociadasna Bovespa são apresentadas aqui. 
~ 
<8,2 
te ·v. 
© 
(6,z) 
10,0 ,... r· 
a. Calcule a média e o desvio padrão. \: .) . Q'? 
b. De acordo com o Teorema de Che15yshJv, ~uantos preços de e1l~ão caem no intervalo de dois des- 
vios padrão da média? . / Ü . Ç O 
e. Quantos preços de eota~ão\ealmente caem do áj~alo de dois desvios padrão da média? 
(
/; . o mecânico.dizc.iue d ~nserto do seu carrq c9tará $(14".1112 Os dados de mercado mbstrlm que a média de 
1 
'!: ,# · ·1 1· dN , ,}!.., $61500 d ·' ,,_l º' 
r / custo de\un e nserto s11111 ar ao rea fª o no se~rro ace . , com esvio .~aurao de -~31,00. O que você 
palie ;fi~luir do preço desse me[ânko se assum.ir\que os preços do co~t!© são no~~ltn~te distribuídos? 
·· .. ar:>. 0. d · d o · C'\ 44. A tabela de fre~qi.tndas-aoa1xoegi'stta as ven as mens:1~· e eqmpQ~1tos parêf_:!fª-quedismo (os 
dados estão em Ge,ntenas)0, \. ~ \ \V o'=' (,eY.._ (~ r:: _, ~ _e v.07>' . 
,<, Q.0,S 'I' J,te,valO ( em $100) ,.. \ !º"''° de Meiês" ~\ Ú~ 
,o ~'2rle5a\o é/; . e,05'' ~ o'V 
, No de 10 a f5\' /tF''\. 7o._)e 
r'\.'V-\ cié15 a 20 \e\..\ i\Í:9 
?J.\'-1\ .c oº de 2o_a,2s3' . o..,'\i. 10 
Gt;\.e ~\~ tde25a3o Q\j. 8 v '{\':, ~?J. de35a35.. 3 
\f...'3 . 'R'(e'fJ .. .cie i5CAo 2 
e(\'t ~og 
a. Você é 
O 
estatístico,Q1 Salto Duplo Pára-Quedas e seu gerente deseja urna análise completa da Ire- 
qüência das vendas. Ele está interessado no valor abaixo do qual pelo menos 60º/ii das observações 
encontram-se, juntamente com um estudo detalhado dos quartis. 
--.. b. Para completar sua análise você decidiu determinar os valores do 1 Oº- e do 90º percentil. 
45
. Uma supervisora de uma fábrica de montagem recebeu as seguintes taxas de eficiência dos últimos 12 meses: 
a. Se ela quer criar uma impressão mais favorável, deve apresentar a média, a mediana ou a moda no 
seu relatório anual de auto-avaliação? 
b. Quão consistentes são suas taxas?