Apostila de Cálculo I

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UNIVERSIDADE FEDERAL
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA
 
 
 
UNIDADE 4 −−−− DERIVADA DE FUNÇÕES DE UMA VA
 
 
 O cálculo teve sua origem em quatro problemas em que os matemáticos europeus estavam 
trabalhando durante o século XVII. São 
 
• O problema da reta tangente
• O problema da velocidade e da aceleração
• O problema de máximos e mínimos
• O problema da área. 
 
 Cada um destes problemas envolve o conceito de limite
qualquer um deles. 
 
 
4.1 O Problema da Reta Tangente
 
O que significa dizer que uma reta é tangente a uma curva em um determinado ponto?
circunferência, a reta tangente no ponto P é a reta perpendicular à radial que passa por P
Para uma curva qualquer esta caracterização é mais difícil
 
(a) 
 
 
(b) 
 
O problema de encontrar a reta tangente em um ponto P consiste, basicamente
inclinação da reta procurada. Esta inclinação pode ser aproximada utilizando uma reta que passa pelo ponto de 
tangência e por outro ponto da curva, tal reta é chamada de secante. 
 
(a) 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA
DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 
O cálculo teve sua origem em quatro problemas em que os matemáticos europeus estavam 
trabalhando durante o século XVII. São eles: 
O problema da reta tangente 
O problema da velocidade e da aceleração 
O problema de máximos e mínimos 
Cada um destes problemas envolve o conceito de limite e é possível introduzir o cálculo
Reta Tangente 
O que significa dizer que uma reta é tangente a uma curva em um determinado ponto?
circunferência, a reta tangente no ponto P é a reta perpendicular à radial que passa por P
ualquer esta caracterização é mais difícil (observe Figura 1(b-d)). 
 
(c) 
 
Figura 1 
 
O problema de encontrar a reta tangente em um ponto P consiste, basicamente
da reta procurada. Esta inclinação pode ser aproximada utilizando uma reta que passa pelo ponto de 
tangência e por outro ponto da curva, tal reta é chamada de secante. 
 
(b) 
 
 
(c) 
Figura 2 
GRANDE 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA 
O cálculo teve sua origem em quatro problemas em que os matemáticos europeus estavam 
possível introduzir o cálculo a partir de 
O que significa dizer que uma reta é tangente a uma curva em um determinado ponto? No caso de uma 
circunferência, a reta tangente no ponto P é a reta perpendicular à radial que passa por P (observe Figura 1(a)). 
 
(d) 
 
O problema de encontrar a reta tangente em um ponto P consiste, basicamente, na determinação da 
da reta procurada. Esta inclinação pode ser aproximada utilizando uma reta que passa pelo ponto de 
 
Cálculo Diferencial e Integral Unidade 4 – Derivadas de Funções de uma Variável 
 
2 
 
Fixa-se um ponto P do gráfico de )(xf , e toma-se Q do mesmo, PQ ≠ (Figura 2(a)). Fazendo Q 
se aproximar de P , pode acontecer que a reta PQ tenda a uma posição limite: uma reta t. Neste caso, a reta t é 
chamada de reta tangente ao gráfico em P , desde que ela não seja vertical. Neste contexto, a reta PQ é secante 
ao gráfico de )(xf . É importante salientar que Q deve se aproximar de P tanto pela esquerda como pela 
direita, e em ambos casos a reta PQ deve tender à t. Nas Figuras 2(a) e 2(b), mostram-se instantâneos de Q 
escorregando ao longo do gráfico de )(xf , em direção à P pela esquerda (2a) e pela direita (2b). 
Sejam ( )11 , yxP e ( )22 , yxQ dois pontos da curva ( )xfy = , então a reta secante (que corta a curva 
em dois pontos) possui uma declividade dada por: 
12
12
sec
xx
yy
m
−
−
= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou ainda (outras notações): ( ) ( )
h
xfxf
m 12sec
−
= 
( ) ( )
x
xfxxf
m
∆
−∆+
=
11
sec 
 
Observação 1: Note que xy ∆∆ é a inclinação da reta secante (que corta a curva em P e Q ). Se x∆ for 
muito pequeno, isto é, 0→∆ x , então o ponto Q tende para o ponto P , a inclinação da reta secante ( )PQ 
tende para a inclinação “ m ” da reta tangente no ponto P . 
 
Definição: Se ( )11 , yxP é um ponto no gráfico da função f , então a reta tangente no gráfico de f em P é 
definida como a reta que passa em P com declividade (coeficiente angular): 
( ) ( )
h
xfxf
m
htg
12
0
lim −=
→
, ou seja, ( ) ( )
h
xfhxf
m
htg
11
0
lim −+=
→
. 
 Logo, ( ) ( )
x
xfxxf
m
x
tg ∆
−∆+
=
→∆
11
0
lim . 
 
Importante: Da Geometria Analítica, a equação da reta tangente num ponto (x0, y0) é escrita como: 
( )00 xxmyy tg −=− . 
 
Observação 2: A reta tangente a um gráfico nem sempre existe. A Figura 
2(c) apresenta um exemplo onde ( )( )00 , xfxP = é um ponto anguloso 
 
reta secante 
y∆ 
x∆ 
tangente em P 
1x 2x
1y 
2y 
X
 
Y ( )xf 
Q
P
 
α
 
 
Cálculo Diferencial e Integral Unidade 4 – Derivadas de Funções de uma Variável 
 
3 
 
(bico), e que o processo anteriormente descrito conduz a duas posições limites t1 e t2, obtidas respectivamente ao 
fazer Q se aproximar de P pela esquerda e pela direita. 
 
Observação 3: Cálculo da inclinação da reta tangente: Fazendo Q se aproximar de P , o que corresponde a 
fazer x∆ tender a zero. A reta secante tende à reta tangente, e a inclinação da reta secante PQm tende à 
inclinação da reta tangente: ( ) ( )
x
xfxxf
mm
x
PQ
x
tg ∆
−∆+
==
→∆→∆ 00
limlim . 
 
Observação 4: Chama-se reta normal a uma curva num ponto considerado, a reta 
perpendicular à reta tangente neste ponto. A equação da reta normal é dada por 
( ) )(1 00 xx
m
xfy
tg
−−=− . 
 
I
saac Newton 
1643 – 1727 
 
Exemplo 1: Sendo ( ) 2xxf = , calcule a inclinação da reta tangente ao gráfico de )(xf no ponto de abscissa 5. 
Solução. 
 
( ) ( )
1022lim
2limlim
5
2
0
222
00
==
∆
∆+∆
=
=
∆
−∆+∆+
=
∆
−∆+
=
=→∆
→∆→∆
xx
xx
tg
x
x
xxx
x
xxxxx
x
xfxxf
m
 
 
 
Exemplo 2: Sendo ( ) xxxf 23 += , escreva a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de )(xf no 
ponto de abscissa 1. 
Solução. 
 
( ) ( )
0
5
16
5
1)1(
5
13
025)1(5323
233lim233limlim
3,1
2
322
0
33223
00
=+−+−→−−=−→
=−−→−=−→+=
=
∆
+∆+∆+∆
=
∆
+−∆+∆+∆+
=
∆
−∆+
=
==
→∆→∆→∆
yxxynormalretadaEq
yxxyxx
x
xxxxxx
x
xxxxxxxx
x
xfxxf
m
tgretadaeq
yx
xxx
tg
 
 
4.2 Taxa de variação média e instantânea 
 
A velocidade pode ser vista como uma taxa de variação – a taxa de variação da posição (s) com o 
tempo (t). As taxas de variação ocorrem em muitas aplicações. 
Por exemplo, podemos considerar o problema da velocidade: aquele em que o objeto pode ser pensado 
como um ponto móvel ao longo de uma reta, de modo que a sua posição seja determinada por uma única 
coordenada s . 
 
Cálculo Diferencial e Integral Unidade 4 – Derivadas de Funções de uma Variável 
 
4 
 
 
O movimento é totalmente conhecido se sabemos onde o ponto móvel está em cada momento; isto é, 
se conhecemos a posição s como uma função do tempo t : ( )tfs = . O tempo é normalmente medido a partir de 
algum instante inicial conveniente 0=t . 
Todos nós estamos familiarizados com a idéia de velocidade em nosso sentido cotidiano, como um 
número que mede a taxa em que a distância está sendo percorrida. Isto é, falamos em andar a 4km/h, dirigir a 
100km/h, etc. Falamos também de velocidades médias, que são os números computados. Se percorremos de 
carro a distância 480km em 6 horas, então nossa velocidade média é de 80km/h,pois a velocidade média mv é 
dada por 
t
d
vm = , onde d é a distância percorrida e t é o intervalo de tempo gasto. 
Para determinar a velocidade do objeto num dado instante t , fazemos o seguinte: no intervalo de 
tempo t∆ , entre tt =1 e um instante posterior ttt ∆+=2 observa-se que o objeto se desloca de ( )tfs =1 até 
( )ttfs ∆+=2 . A velocidade média nesse intervalo é o quociente t
s
tt
ss
vm ∆
∆
=
−
−
=
12
12
. 
Quando t∆ for pequeno, essa velocidade média está perto da velocidade exata v no começo do 
intervalo, isto é, 
t
s
v
∆
∆
≅ , onde ≅ lê-se “é aproximadamente igual a”. Além disso, quanto menor t∆ , torna-se 
cada vez melhor essa aproximação, e assim temos 
( ) ( )
t
tfttf
t
s
v
tt ∆
−∆+
=
∆
∆
=
→∆→∆ 00
limlim . 
 
Essa velocidade é conhecida como velocidade instantânea. Nessa terminologia, a velocidade é 
simplesmente a taxa de variação da posição com relação ao tempo. 
Sabemos que a velocidade é importante para estudar o movimento de um ponto ao longo de uma reta, 
mas a maneira como a velocidade varia também é importante. Por definição a aceleração de um móvel é a taxa 
de variação de sua velocidade v : 
t
v
a
t ∆
∆
=
→∆ 0
lim . 
 
Exemplo 3: Encontre a velocidade e a aceleração nos instantes 1=t e 2=t de um objeto em queda livre cuja 
função posição é dada por ( ) 10016 2 +−= tts , onde s está em metros e t em segundos. Calcule também 
a velocidade média no intervalo [ ]2,1 . 
Solução. 
Cálculo Diferencial e Integral Unidade 4 – Derivadas de Funções de uma Variável 
 
5 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
sm
t
s
vmédiavelocidade
sm
t
ttt
t
v
a
smvtesmvt
t
t
ttt
t
ttttt
t
ttt
t
tfttf
t
s
v
tt
tt
ttt
/48
12
8436
/32323232limlim
/64,2/32,1
321632lim10016100216lim
1001610016limlimlim
2
00
2
0
222
0
22
000
−=
−
−
=
∆
∆
=→
−=
∆
+∆−−
=
∆
∆
=
−==−==
−=
∆
∆−∆−
=
∆
−++∆+∆+−
=
=
∆
+−−+∆+−
=
∆
−∆+
=
∆
∆
=
→∆→∆
→∆→∆
→∆→∆→∆
 
 
4.3 Definição de Derivada 
 
 
De acordo com a seção anterior, para calcular a inclinação da reta tangente ao gráfico de )(xf no 
ponto ( )( )00 , xfxP = , procede-se assim: 
 
1. Toma-se ( )( )xxfxxQ ∆+∆+= 00 , do gráfico, distinto de P , 
2. Calcula-se ( ) ( )00 xfxxff −∆+=∆ de onde resulta que a inclinação PQm da reta secante PQ é 
( ) ( )
x
xfxxf
mPQ ∆
−∆+
=
00
. (O lado direito é chamado de quociente de Newton.) 
3. Faz-se Q se aproximar de P , o que se consegue fazendo x∆ tender a zero; então a reta secante tenderá à 
reta tangente ao gráfico de )(xf no ponto ( )( )00 , xfxP = , de modo que se m for sua inclinação, tem-se 
( ) ( )
x
xfxxf
mm
x
PQ
x ∆
−∆+
==
→∆→∆
00
00
limlim . 
O segundo membro recebe o nome de derivada de )(xf em 0x . 
Define-se a derivada de uma função )(xf no ponto de abscissa 0x como o número 
( ) ( ) ( )
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=
→∆
00
00
lim' , supondo que o limite exista, caso em que se diz que a função é derivável em 
0x . 
A derivada de f em x é dada por ( ) ( ) ( )
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=
→∆ 0
lim' , desde que o limite exista. O 
domínio de ( )xf ' consiste de todos os valores de x para os quais o limite exista. 
 
Notações: ( )xf ' , 'y , 
dx
dy
,
dx
df
, ( )[ ]xf
dx
d
 (notação de Leibniz) 
[ ]yDx (notação de operador) 
 
 
Gottfried Wilhelm von Leibniz 
 1646 – 1716 
Exemplo 5: Mostre que a derivada de xxxf 3)( 2 += é 32)(' += xxf . 
Solução. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3232lim3332lim
33limlim'
2
0
222
0
22
00
+=
∆
∆+∆+∆
=
∆
−−∆++∆+∆+
=
∆
+−∆++∆+
=
∆
−∆+
=
→∆→∆
→∆→∆
x
x
xxxx
x
xxxxxxxx
x
xxxxxx
x
xfxxf
xf
xx
xx
 
Cálculo Diferencial e Integral Unidade 4 – Derivadas de Funções de uma Variável 
 
6 
 
 
 
Exemplo 6: Usando a definição, determine a derivada das seguintes funções: 
 
a) axexf =)( b) ( )axsenxg =)( 
 
Solução. 
 
a) 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
ax
e
xa
x
ax
xa
x
ax
axxxa
xx
ea
xa
e
ea
x
e
e
x
ee
x
xfxxf
xf ⋅=
∆
−
⋅=
∆
−
=
∆
−
=
∆
−∆+
=
∆
→∆
∆
→∆
∆+
→∆→∆
43421
ln
0000
1lim1limlimlim' 
b) 
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )
x
axxasen
x
xaaxsen
x
axsenaxxasenxaaxsen
x
axsenxxasen
x
xfxxf
xg
xx
x
xx
∆
∆
+
∆
−∆
=
∆
−∆+∆
=
∆
−∆+
=
∆
−∆+
=
→∆→∆
→∆
→∆→∆
coslim1coslim
coscoslim
limlim'
00
0
00
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )axaxg
xa
xasen
axa
x
xa
axsen
x
axxasen
ax
x
xaaxsen
axsenxg
xx
xx
cos'
limcos1coslim
coslimcos1coslim'
1
0
0
0
00
⋅=
∆⋅
∆
⋅+
∆
−∆
=
∆
∆
+
∆
−∆
=
→∆→∆
→∆→∆
4434421444 3444 21
 
 
 
Exemplo 7: Considere a função xxm =)( , determine: 
 
a) a derivada de )(xm ; 
b) a inclinação da reta tangente a )(xm em 9=x ; 
c) os limites de )(' xm quando +→ 0x e +∞→x 
 
Solução. 
 
a) 
x
xm
2
1)(' = 
b) Cálculo do coeficiente angular: 
6
1
92
1)9(' ==m 
 Eq. da reta tangente: ( ) 0969
6
13 =+−⇒−=− yxxy 
 
c) +∞==
++ →→ x
xm
xx 2
1lim)('lim
00
; 0
2
1lim)('lim ==
+∞→+∞→ x
xm
xx
 
 
 
E2. Determine a derivada de ( )axxf cos)( = pela definição. Resposta: ( )axsena ⋅− 
Cálculo Diferencial e Integral Unidade 4 – Derivadas de Funções de uma Variável 
 
7 
 
 
Teorema: Forma alternativa para a derivada: ( ) ( ) ( )
0
0
0
0
lim'
xx
xfxf
xf
xx
−
−
=
→
 
 
 
Demonstração: A derivada de f em 0x é dada por 
( ) ( ) ( )
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=
→∆
00
00
lim' . Se xxx ∆+= 0 , então 0xx → 
quando 0→∆x . Logo, trocando xx ∆+0 por x , obtém-se 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
000
00 0
limlim'
xx
xfxf
x
xfxxf
xf
xxx
−
−
=
∆
−∆+
=
→→∆
. 
 
4.4 Derivadas Laterais em um Ponto 
 
� Derivada lateral à direita: Uma função ( )xfy = tem derivada lateral à direita de um ponto de 
abscissa 0xx = , se existir o limite lateral à direita de 0xx = da razão incremental. 
 
( ) ( ) ( )
0
0
0
0
lim'
xx
xfxf
xf
xx
−
−
=
+→
+
 
 
� Derivada lateral à esquerda: Uma função ( )xfy = tem derivada lateral à esquerda de um ponto de 
abscissa 0xx = , se existir o limite lateral à esquerda de 0xx = da razão incremental. 
 
( ) ( ) ( )
0
0
0
0
lim'
xx
xfxf
xf
xx
−
−
=
−→
−
 
 
 
Exemplo 8: Mostre que a função 2)( −= xxf não possui derivada em 2=x . 
 
Solução. 
 
Calculando as derivadas laterais: 
 
( ) ( ) ( ) 1
2
02
lim
2
2lim2'
22
=
−
−−
=
−
−
=
++ →→
+
x
x
x
fxff
xx
 
 
( ) ( ) ( ) 1
2
02
lim
2
2lim2'
22
−=
−
−−
=
−
−
=
−− →→
−
x
x
x
fxff
xx
 
 
Como ( ) ( )+− ≠ 2'2' ff , pode-se se afirmar que a função não possui derivada em 2=x . 
 
 
Exemplo 9: Verifique se a função ( )xsenxf =)( possui derivada em 0=x . 
 
Solução. 
 
Calculando as derivadas laterais: 
 
 
x0 x 
f (x0) 
f (x) 
f (x) – f (x0) 
x - x0 = ∆xCálculo Diferencial e Integral Unidade 4 – Derivadas de Funções de uma Variável 
 
8 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 1
0
0lim
0
0lim0'
00
=
−
−
=
−
−
=
++ →→
+
x
xsen
x
fxff
xx
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 10lim
0
0lim0'
00
=
−
=
−
−
=
−− →→
−
x
xsen
x
fxff
xx
 
 
Como ( ) ( )+− ≠ 0'0' ff , pode-se se afirmar que a função ( )xsenxf =)( possui derivada em 0=x . 
 
 
E3. Mostre que a função xxm =)( não é derivável em 0=x . 
 
 
 
Observação 5: Quando uma função não possui derivada em um ponto? 
 
Uma função terá derivada em 0xx = se os coeficientes angulares das retas secantes que passam por 
( )( )00 , xfxP e um ponto Q próximo no gráfico tenderem a um limite à medida que Q se aproxima de P. Quando 
as secantes não têm uma posição limite ou se tornam verticais à medida que Q tende a P, a derivada não existe. 
Logo, a diferenciabilidade está ligada à “suavidade” do gráfico da função. Uma função cujo gráfico é, de modo 
geral, suave pode não ter derivada em um ponto por vários motivos. Ela não terá derivada nos pontos em que o 
gráfico apresentar 
 
a) uma quina (as derivadas laterais são diferentes) 
b) um ponto cuspidal (o coeficiente angular de PQ tende a ∞ de um lado, e a −∞, do outro) 
c) uma tangente vertical (o coeficiente angular de PQ tende a ∞ ou a −∞, de ambos lados) 
d) uma descontinuidade. 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
Cálculo Diferencial e Integral Unidade 4 – Derivadas de Funções de uma Variável 
 
9 
 
 
 
 
4.5 Diferenciabilidade e Continuidade 
 
Teorema: Se a função )(xf é diferenciável em 0xx = , então ela é contínua em 0xx = . 
 
Demonstração: Pela hipótese, )(xf é diferenciável em 0xx = , logo 
( ) ( )
0
0
0
lim
xx
xfxf
xx
−
−
→
 existe e é igual a ( )0' xf
. Deve-se mostrar que )(xf é contínua em 0xx = , isto é, que ( ) ( )0
0
lim xfxf
xx
=
→
. 
Para 0xx ≠ , tem-se ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
0
0
0 xx
xx
xfxf
xfxf −⋅
−
−
=− , assim, 
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 00'limlimlim 00
0
0
0
000
=⋅=−⋅
−
−
=−
→→→
xfxx
xx
xfxf
xfxf
xxxxxx
, 
 
ou seja, ( ) ( )[ ] 0lim 0
0
=−
→
xfxf
xx
 e, portanto ( ) ( )0
0
lim xfxf
xx
=
→
. 
 
Observação 6: Segue do teorema que se )(xf não for contínua em 0xx = , então )(xf não poderá ser 
derivável em 0xx = . 
 
 
Exemplo 10: Considere as funções 



>
≤
=
1,2
1,)(
2
x
xx
xf e 



>
≤
=
1,1
1,)(
2
x
xx
xg , responda: 
 
a) As funções )(xf e )(xg são contínuas em 1=x ? 
b) As funções )(xf e )(xg são diferenciáveis em 1=x ? 
 
Solução. 
 
a) 
Para )(xf : Como 22lim
1
=
+→x
 e 1lim 2
1
=
−→
x
x
 são diferentes, então )(xf não é contínua. 
 
Para )(xg : Como 11lim
1
=
+→x
 e 1lim 2
1
=
−→
x
x
 são iguais, então )(xg é contínua. 
 
b) Para )(xf : A função )(xf não é contínua, portanto não é diferenciável. 
 Para )(xg : 
 
Cálculo Diferencial e Integral Unidade 4 – Derivadas de Funções de uma Variável 
 
10 
 
Calculando as derivadas laterais: 
 
( ) ( ) ( ) 0
1
11lim
1
1lim1'
11
=
−
−
=
−
−
=
++ →→
+
xx
fxff
xx
 
 
( ) ( ) ( ) 21lim
1
1lim
1
1lim1'
1
2
11
=+=
−
−
=
−
−
=
−−− →→→
−
x
x
x
x
fxff
xxx
 
Observa-se que seus valores são distintos, logo )(xg não é diferenciável em 1=x . 
 
 
Exemplo 11: Verifique se a função xxf =)( é contínua e se possui derivada em 0=x . 
 
Continuidade: Os limites 0lim
0
=
+→
x
x
e 0lim
0
=
−→
x
x
são iguais, logo xxf =)( é contínua. 
Diferenciabilidade: A função xxf =)( não é diferenciável, pois os limites 
 
( ) ( ) ( ) 1
0
0
lim
0
0lim0'
00
=
−
−
=
−
−
=
++ →→
+
x
x
x
fxff
xx
 
 
( ) ( ) ( ) 10lim
0
0lim0'
00
−=
−
=
−
−
=
−− →→
−
x
x
x
fxff
xx
 
 
são distintos. 
4.6 Regras de Derivação 
 
As regras de derivação tornam o cálculo de derivadas mais eficiente. 
Sejam c um número real, n um número racional, ( )xf e ( )xg funções diferenciáveis: 
 
1. Derivada da função constante: 0=
dx
dc
 
 
Demonstração: 
 
Através da definição de derivada, temos ( ) ( ) ( ) 0limlim'
00
=
∆
−
=
∆
−∆+
=
→∆→∆ x
cc
x
xfxxf
xf
xx
. 
 
 
Exemplo 12: Calcule a derivada das seguintes funções em relação a x : a) ( ) 9=xf b) ( ) pi=xg 
 
Solução. 
 
a) ( ) 0' =xf b) ( ) 0' =xg 
 
2. Derivada da potência de x : 1−= n
n
nx
dx
dx
 
 
Demonstração: 
 
Para demonstrar a essa regra utiliza-se a forma alternativa da definição de derivada e a fórmula 
( )( )1221 −−−− +++−=− nnnnnn xzxxzzxzxz . Isto é, 
Cálculo Diferencial e Integral Unidade 4 – Derivadas de Funções de uma Variável 
 
11 
 
 
( ) ( ) ( ) 11221limlimlim' −−−−−
→→→
=+++=
−
−
=
−
−
=
nnnnn
xz
nn
xzxz
nxxzxxzz
xz
xz
xz
xfzf
xf . 
 
 
Exemplo 13: Calcule a derivada das seguintes funções em relação a x : a) ( ) 3xxf = b) ( ) 6−= xxg 
 
Solução. 
 
a) ( ) 23' xxf = b) ( ) 76' −−= xxg 
 
 
3. Derivada da multiplicação de uma função por uma constante: Se c é uma constante e ( )xfu = é uma 
função derivável em x, então ( )[ ] ( )xcfxcf
dx
d
'= . 
 
Exemplo 14: Calcule a derivada das seguintes funções em relação a x : a) ( ) 234xxf = b) ( ) xxg 7= 
 
Solução. 
a) ( ) 2
11
2
3
6
2
34' xxxf =





⋅=
−
 b) ( ) 7' =xg 
E4. Escreva a equação da reta tangente à função 
x
y 2= no ponto ( )2,1 . Resposta: 42 +−= xy 
4. Derivada da função ( ) xexf = : ( ) xexf =' 
 
Demonstração: 
 
Através da definição de derivada, temos 
 
( ) ( ) ( ) ( ) xx
x
x
xx
x
xxx
xx
e
x
e
e
x
ee
x
ee
x
xfxxf
xf =
∆
−
=
∆
−
=
∆
−
=
∆
−∆+
=
∆
→∆
∆
→∆
∆+
→∆→∆
1lim1limlimlim'
0000
. 
 
Exemplo 15: Calcule a derivada de ( ) xexf 4= . 
 
Solução. 
 
( ) xexf ⋅= 4' 
 
5. Derivada da soma algébrica: Se ( )xfu = e ( )xgv = são funções de x, então ( )
dx
dv
dx
du
dx
vud ±=± . 
 
Demonstração: 
 
Através da definição de derivada, temos 
 
Cálculo Diferencial e Integral Unidade 4 – Derivadas de Funções de uma Variável 
 
12 
 
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( )
dx
dv
dx
du
dx
vud
x
xvxxv
x
xuxxu
x
xvxxvxuxxu
x
xvxuxxvxxu
dx
vud
xx
x
x
+=
+
∆
−∆+
+
∆
−∆+
=
∆
−∆++−∆+
=
∆
+−∆++∆+
=
+
→∆→∆
→∆
→∆
00
0
0
limlim
lim
lim
. 
 
 
Exemplo 16: Calcule a derivada das seguintes funções: 
 
a) ( ) 2065 34 −+= xxxf 
 
b) ( ) 53355 xxxxz −+= c) ( )
3
15 31
3
1
xx
xxg −+−= 
 
Solução. 
 
a) ( ) 2323 18203645' xxxxxf +=⋅+⋅= 
b) ( ) 52
5
3
2
35' 4 −−+⋅= xxxxz 
c) ( )
3 43
14 11
2
115
3
1
'
xx
xxg +−⋅−= 
 
E5. Calcule a derivada das seguintes funções hiperbólicas: a) ( ) ( )xsenhxf = b) ( ) ( )xxg cosh=
 
 
 
 
E6. Em um experimento metabólico a massa M de glicose decresce de acordo com a fórmula 
( ) 203054 t,,tM −= , onde t é o tempo de reação dado em horas. Calcule: 
 
a) ataxa de reação em 0=t ; 
b) a taxa de reação em 2=t ; 
c) a taxa média de reação no intervalo de 0=t a 2=t . 
 
Respostas: 5. a) ( )xcosh b) ( )xsenh c) ( )xh 2sec 6. a) 0 b) − 0,12 c) −0,06 
 
 
6. Derivada para o produto de funções: Se ( )xfu = e ( )xgv = são funções de x, então 
( )
dx
du
v
dx
dv
u
dx
vud
+=
⋅
. 
 
Demonstração: 
 
Através da definição de derivada, temos ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x
xvxuxxvxxu
dx
vud
x ∆
−∆+∆+
=
⋅
→∆ 0
lim . 
 
 Para transformar essa fração em uma equivalente que contenha razões incrementais para as derivadas 
de u e v , subtraímos e adicionamos ( ) ( )xvxxu ∆+ ao numerador: 
 
Cálculo Diferencial e Integral Unidade 4 – Derivadas de Funções de uma Variável 
 
13 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x
xuxxu
xv
x
xvxxv
xxu
x
xuxxu
xv
x
xvxxv
xxu
x
xvxuxvxxuxvxxuxxvxxu
dx
vud
xxx
x
x
∆
−∆+
⋅+



∆
−∆+
⋅∆+=




∆
−∆+
+
∆
−∆+∆+=
∆
−∆++∆+−∆+∆+
=
⋅
→∆→∆→∆
→∆
→∆
000
0
0
limlimlim
lim
lim
 
 À medida que x∆ tende a zero, ( )xxu ∆+ se aproxima de ( )xu , logo ( )
dx
du
v
dx
dv
u
dx
vud
+=
⋅
. 
 
Exemplo 17: Determine a derivada das seguintes funções: 
 
a) ( ) ( )135 2101 += xxxf b) ( ) ( )42 += xxxg c) ( ) ( )( )xxxxxm 32
2
2
+
+
= 
 
Solução. 
 
a) ( ) ( ) ( )1011032101 35135 xxxxxf +=+= 
 
Fazendo a multiplicação primeiro: 
 
( ) 100102100102 353536051013510335' xxxxxf +=⋅+⋅= ou 
 
Usando a regra do produto: 
 
 
 
 
b) ( ) ( ) xxxxxg 8242 2 +=+= 
 
Fazendo a multiplicação primeiro: 
 
( ) 84822' +=+⋅= xxxg ou 
Usando a regra do produto: 
 
 
 
c) ( ) ( )( ) 






+++=+
+
=
22
3
32
52
3232
2
132
2
xxxxxx
xx
xm 
Fazendo a multiplicação primeiro: 
 
( ) 






+++=







⋅+⋅+⋅+⋅= xxxxxxxxxm 6395
2
123
2
3233
2
52
2
1
'
2
1
22
3
2
1
22
3
 ou 
 
Usando a regra do produto: 
 
( ) ( )( ) ( ) 











+++++= 313212
2
1
'
2
x
xxxxxxm 
 
( ) ( ) ( )[ ]xxxxxf 2110135' 1012100 ++⋅=
( ) ( ) ( ) 844212' +=++= xxxxg
Cálculo Diferencial e Integral Unidade 4 – Derivadas de Funções de uma Variável 
 
14 
 
7. Derivada para o quociente de funções: Se ( )xfu = e ( )xgv = são funções de x, então 
2v
'uv'uv
v
u
dx
d −⋅
=





, 0≠v . 
 
 
Exemplo 18: Obtenha a derivada das funções abaixo: 
 
a) ( )
12
1
+
+
=
x
x
xf b) ( )
1
1
2
2
+
−
=
x
x
xg c) ( )
1
18
2 +
−
=
x
e
xh
x
 d) ( ) ( )
10243
log10 2
+
+
=
pi
xv 
 
Solução. 
 
a) ( ) ( )212
1
'
+
−
=
x
xf b) ( ) ( )22 1
4
'
+
=
x
x
xg c) ( ) ( )( )22
2
1
218
'
+
+−
=
x
xxe
xh
x
 d) ( ) 0' =xv 
 
8. Derivada da potência de uma função: 
dx
du
un
dx
du nn
⋅⋅=
−1
 
 
Exemplo 19: Calcule a derivada das funções: 
 
a) ( ) ( )42 43 += xxf b) ( ) 12 += xxg c) 
3 3
1
x
y = d) ( ) ( ) 2122 −+= xxxh e) ( )
43
7
45





 +
=
x
xm 
Solução. 
 
a) ( ) ( ) ( )3232 43246434' +=+⋅= xxxxxf b) ( ) ( ) 2112' −+= xxg 
c) ( )323' xy −= d) ( ) ( )( )2121' 2 xxxxh ++−= 
e) ( ) ( )33242
33
45
7
603
7
5
7
454' +=⋅




 +
= xxx
x
xm 
 
 
9. Derivada de função composta (Regra da Cadeia): Se ( )ufy = e ( )xgu = , então 
dx
du
du
dy
dx
dy
⋅= 
 
 
Exemplo 20: Calcule a derivada das funções: 
 
 a) ( ) xxexf 43 += b) ( ) ( )10242 22 +−= xxy c) ( ) ( ) 222 9 −−= xxxh 
 
Solução. 
 
a) ( ) ( ) xxexxf 42 343' ++= 
b) ( ) ( ) ( )67224' 29232 −+−= xxxxy 
c) ( ) ( )( ) 422 992' −−+= xxxxh 
 
E7. Escreva a equação da reta normal ao gráfico de xey −= no ponto ( )1,0 . Resposta: 1+= xy 
 
Cálculo Diferencial e Integral Unidade 4 – Derivadas de Funções de uma Variável 
 
15 
 
10. Derivada da função inversa ( )xfg 1−= : ( )( )xgfdx
dg
'
1
= 
 
Essa regra também pode ser escrita como 
dy
dxdx
dy 1
= . 
 
Exemplo 21: Calcule 
dx
dy
 nos seguintes casos: a) yyx 53 2 += b) yyyx ++= 23 3 
 
Solução. 
 
a) yyx 53 2 += 
Derivando em relação a x : 
56
1
''5'61
+
=→+=
y
yyyy 
 
b) yyyx ++= 23 3 
Derivando em relação a x : 
163
1
'''6'31 2
2
++
=→++=
yy
yyyyyy 
 
 
 
 
 
 
11. Derivada da função logaritmo natural: ( )
dx
du
udx
ud 1ln
= 
 
Demonstração: 
 
Para determinar a derivada da função ( )xy ln= , usa-se a relação de função inversa xe y = . 
Derivando ambos lados em relação a x : ( ) ( )x
dx
d
e
dx
d y
= 
Isto é, 1=
dx
dy
e y . 
Isolando 
dx
dy
, obtemos yedx
dy 1
= , ou seja, 
xdx
dy 1
= . 
 
 
Exemplo 22: Determine as seguintes derivadas: 
 
a) ( )
dt
td 2ln
 b) ( )5ln 2 +z
dz
d
 c) 
'
1
1ln 











−
+
x
x
dx
d
 
 
Solução. 
 
a) ( )
ttdt
td 12
2
12ln
=⋅= b) ( )
5
25ln 2
2
+
=+
z
z
z
dz
d
 
 
Cálculo Diferencial e Integral Unidade 4 – Derivadas de Funções de uma Variável 
 
16 
 
c) ( ) ( )32
'
1
22
1
11
1
1
1
1ln
+
−
=





+
+−+






+
−
=











−
+
x
x
x
xx
x
x
x
x
dx
d
 
 
 
12. Derivada da função exponencial (base a ): ( )
dx
du
aaa
dx
d uu ln= 
 
Exemplo 23: Derive as funções: a) ( ) xxxf 432 += b) ( ) 145 +−= xxxg 
 
Solução. 
 
a) ( ) ( ) 2ln432' 243 += + xxf xx 
b) ( ) ( ) ( ) ( )22
1
2 1
5ln5
1
5ln5
1
55ln5'
1
45ln5'
1
32
1
4
1
4
1
4
+
=
+
=





+
=





+
−
=
+
−
+
−
+
−
+
−
+
xxxx
x
xg
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
Exemplo 24: Calcule a derivada das seguintes funções: a) ( ) xxxf = b) ( ) x xxf = 
 
Solução. 
 
a) Escreve-se xxy = . 
Aplica-se logaritmo: ( ) ( ) ( ) ( )xxyxy x lnlnlnln =→= 
Deriva-se em relação a x : ( ) ( ) ( )1ln'1ln'1ln'1 +=→+=→⋅+= xxyxyy
x
xxy
y
x
 
b) Escreve-se xxy
1
= . 
Aplica-se logaritmo: ( ) ( ) ( )x
x
yxy x ln1lnlnln
1
=→







= 
Deriva-se em relação a x : ( ) ( ) ( )xxyx
x
yy
xx
x
x
y
y
x ln1'ln1'11ln1'1
1
22 −=→−=→⋅+−= 
 
E8. Mostre que ( )aaa
dx
d xx ln= . 
 
E9. Suponha que ( )xg é uma função derivável, utilizando a regra da cadeia, mostre que 
 
a) ( )[ ] ( ) ( )xgee
dx
d xgxg
'= b) ( )[ ]{ } ( )( )xg
xg
xg
dx
d 'ln = 
 
 
13. Derivada da função logarítmica de base a : e
dx
du
u
u
dx
d
aa log
1log = 
 
Exemplo 25: Diferencie as funções: a) ( ) ( )13log += xxf b) ( ) 





=
x
xg 1log 2 
Solução. 
 
Cálculo Diferencial e Integral Unidade 4 – Derivadas de Funções de uma Variável 
 
17 
 
a) ( ) ( )e
x
xf log3
13
1
' ⋅⋅
+
= b) ( ) ( ) ( )e
x
e
x
x
xg 222 log
1log11
1
' −=





−⋅= 
14. Derivada da função seno: ( )( ) ( )
dx
du
uusen
dx
dcos= 
 
Exemplo 26: Determine a derivada das seguintes funções: 
 
a) ( ) ( )653 23 ++= xxsenxf b) ( ) ( )12 += xsenxg c) ( ) ( )xsenexh x 4= 
 
Solução. 
 
a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxxxxxxf 109653cos'653653cos' 2232323 +⋅++=++⋅++= 
 
( ) ( ) ( )653cos109' 232 ++⋅+= xxxxxf 
 
b) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )'11cos12
1
'1
12
1
'
22
2
2
2
+⋅+
+
=+
+
= xx
xsen
xsen
xsen
xg 
 
( ) ( ) ( )[ ] xxxsenxg 21cos12
1
'
2
2
⋅+
+
= 
( ) ( )( )1
1cos
'
2
2
+
+⋅
=
xsen
xx
xg 
 
c) ( ) ( )[ ] [ ] ( ) ( ) ( )xsenexexsenexsenexh xxxx 44cos44''4' +=+= 
( ) ( ) ( )[ ]xsenxexh x 44cos4' +⋅= 
 
15. Derivada da função cosseno: ( )( ) ( )
dx
du
usenu
dx
d
−=cos 
 
Exemplo 27: Encontre a derivada das funções abaixo: 
 
a) ( ) 





−
+
=
1
6
cos
x
x
xf b) ( ) ( ) ( )xxsenxg 22 cos+= c) ( ) ( )78cos3 += xxh d) ( ) ( )( )x
xsen
xm
cos
= 
 
Solução. 
 
a) ( ) ( )( ) ( ) 




−
+
−
=





−
+






−
+−−
=





−
+
⋅





−
+
=
1
6
1
7
1
6
1
61(
'
1
6
1
6
' 22 x
x
sen
xx
x
sen
x
xx
x
x
x
x
senxf 
 
b) ( ) 1=xg ⇒ ( ) 0' =xg 
 
c) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )'787878cos3'78cos78cos3' 22 +⋅+⋅+−=+⋅+= xxsenxxxxh 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7878cos2487878cos3' 22 +⋅+−=⋅+⋅+−= xsenxxsenxxh 
 
Cálculo Diferencial e Integral Unidade 4 – Derivadas de Funções de uma Variável 
 
18 
 
d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )xxx
xsenxsenxx
xm 222 seccos
1
cos
coscos
==
−⋅−⋅
= 
 
E10. Determine a derivada das seguintes funções: 
 
a) ( ) ( )( )xsen
x
xg cos= b) ( ) ( )xxh cos
1
= c) ( ) ( )xsenxm
1
= 
 
Resposta: a) ( ) ( )xecxg cos' −= b) ( ) ( ) ( )xtgxxh ⋅= sec' c) ( ) ( ) ( )xgxecxm cotcos' ⋅−= 
 
16. Derivada da função tangente: ( )( ) ( )
dx
du
uutg
dx
d 2sec= 
 
Exemplo 28: Obtenha a derivada das seguintes funções: 
 
a) ( ) ( )xtgxf 3= b) ( ) ( )xtgexg x 25 ⋅= c) ( ) ( )( )xtg
xsen
xh 4= 
Solução. 
 
a) ( ) ( )xxf 3sec3' 2= 
 
b) ( ) ( )[ ] ( ) ( )xtgextgexg xx 2''2' 55 +⋅= 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]xtgxextgexexg xxx 252sec2252sec2' 25525 +⋅=+⋅= 
 
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )xtg
xxsenxxtg
xh 2
2sec44cos4
'
⋅−⋅⋅
= 
17. Derivada da função cotangente: ( )( ) ( )
dx
du
uecug
dx
d 2coscot −= 
 
Exemplo 29: Calcule a derivada das seguintes funções: 
 
a) ( ) ( )86cot += xgxf b) ( ) ( ) ( )xgxxg cotln ⋅= c) ( ) ( )32 cot xgxxh = 
 
Solução. 
 
a) ( ) ( )86cos6' 2 +⋅−= xecxf 
b) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]'cotlncot'ln' xgxxgxxg ⋅+⋅= 
 ( ) ( ) ( ) ( )[ ]xecxxg
x
xg 2coslncot1' −⋅+⋅= 
 ( ) ( ) ( ) ( )xecxxg
x
xg 2coslncot1' ⋅−⋅= 
 ( ) ( ) ( ) ( )( )xxsen
xxxsenx
xg 2
lncos
'
−
= 
 
c) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )xgxxecxxxgxxgxxh cot2cos3cot''cot' 3222232 +−=+= 
 ( ) ( ) ( )xgxxecxxh cot2cos3' 324 +−= 
 
Cálculo Diferencial e Integral Unidade 4 – Derivadas de Funções de uma Variável 
 
19 
 
18. Derivada da função secante: ( )( ) ( ) ( )
dx
du
utguu
dx
d
⋅= secsec 
 
 
Exemplo 30: Diferencie as seguintes funções em relação a y: 
 
a) ( ) ( )yyyf 8sec 2 += b) ( ) ( ) ( )yysenyg 3sec3 ⋅= c) ( ) ( )yyyh sec= 
 
Solução. 
 
a) ( ) ( ) ( ) ( )yytgyyyyf 88sec82' 22 +⋅+⋅+= 
 
b) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )yysenyysenyg 3sec'3'3sec3' ⋅+⋅= 
 ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )yyytgyysenyg 3sec3cos333sec33' ⋅⋅+⋅⋅⋅= 
 ( ) ( )( ) ( )[ ] ( )yytgy
ysenyg 3sec33133
3cos
33' 222
2
=+=+= 
 
c) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y
y
ytgyyyyyyyh sec
2
1
secsec''sec' +=+= 
 ( ) ( ) ( )








+= ytg
y
yyh
2
1sec' 
 
 
 
 
19. Derivada da função cosecante: ( )( ) ( ) ( )
dx
du
uguecuec
dx
d
cotcoscos ⋅−= 
 
Exemplo 31: Determine ( )xf ' : 
 
a) ( ) ( )22cos xecxf = b) ( ) ( )3 3cos xecxf = c) ( ) ( )( )4cosln += xecxf 
 
Solução. 
 
a) ( ) ( ) ( )22 2cot2cos4' xgxecxxf ⋅−= 
b) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]xgxecxecxecxecxf 3cot3cos33cos
3
1
'3cos3cos
3
1
' 3
2
3
2
−==
−−
 
 ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )xgxecxgxecxecxf 3cot3cos'3cot3cos3cos' 3132 −=−= − 
 
c) ( ) ( ) ( )( ) ( )4cot4cos
4cot4cos
' +−=
+
++−
= xg
xec
xgxec
xf 
 
20. Derivada da função arco seno: ( )( )
dx
du
u
uarcsen
dx
d
21
1
−
= , 1<u 
 
Demonstração: 
 
Cálculo Diferencial e Integral Unidade 4 – Derivadas de Funções de uma Variável 
 
20 
 
Determina-se a derivada de ( )xarcseny = , escrevendo ( ) xysen = . 
Derivando ambos lados em relação a x : ( )( )
dx
dxysen
dx
d
= . 
Através da regra da cadeia: ( ) 1cos =
dx
dyy . 
Isolando 
dx
dy
, temos ( )ydx
dy
cos
1
= . 
Como ( )yseny 21cos −= e ( ) xysen = , obtemos 21cos xy −= . 
Consequentemente, 
21
1
xdx
dy
−
= . 
 
 
Exemplo 32: Determine ( )xf ' : 
 
a) ( ) ( )82 += xarcsenxf b) ( ) ( )3 34 += xarcsenxf c) ( ) ( ) 21 xxarcsenxxf −+⋅= 
 
Solução. 
 
a) ( ) ( ) ( ) ( )2222 81
22
81
1
'
+−
=⋅
+−
=
x
x
x
x
xf 
 
b) ( ) ( ) 323 3
1
3
1
31
4
'
+
⋅⋅
+−
=
xx
xf ⇒ ( ) ( )233 31
1
33
4
'
+−+
=
xx
xf 
 
c) ( ) ( )
22 12
2
1
'
x
x
x
x
xarcsenxf
−
−
+
−
+= ⇒ ( ) ( )xarcsenxf =' 
 
21. Derivada da função arco cosseno: ( )( )
dx
du
u
u
dx
d
21
1
arccos
−
−= , 1<u 
 
Exemplo 33: Calcule ( )xf ' : 
 
a) ( ) ( )( )xsenxf 2arccos= b) ( ) ( )2arccos3 xxxf = c) ( ) ( ) )arccos(arccos xexxf += 
 
Solução. 
 
a) ( ) ( )( ) ( )( )
( )
( )( ) 221
2cos22
21
1
'
22
−=
−
−
=
−
−=
xsen
x
xsen
dx
d
xsen
xf 
b) ( ) ( ) ( ) ( )








+







−
−
=








+⋅







−
−
⋅=
2
2
2
2
2
arccos
1
23arccos2
1
13' x
x
x
xx
x
xxf 
 
c) ( ) ( )x
dx
d
e
xx
xf x arccos
2
1
1
1
'
)arccos(+⋅
−
−= ⇒ ( ) ( ) 





−
−
+
−
−=
2
)arccos(
1
1
12
1
'
x
e
xx
xf x 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral Unidade 4 – Derivadas de Funções de uma Variável 
 
21 
 
E11. Mostre que ( )( )
21
1
arccos
x
x
dx
d
−
−= . 
 
 
22. Derivada da função arco tangente: ( )( )
dx
du
u
uarctg
dx
d
21
1
+
= 
 
Demonstração: 
 
Determina-se a derivada de ( )xarctgy = , escrevendo ( ) xytg = . 
Derivando ambos lados em relação a x : ( )( )
dx
dxytg
dx
d
= . 
Através da regra da cadeia: ( ) 1sec2 =
dx
dyy . 
Isolando 
dx
dy
, obtemos ( )ydx
dy
2sec
1
= . 
Como ( )ytgy 22 1sec += e chegamos a ( )ytgdx
dy
21
1
+
= , substituindo ( )xarctgy = , obtemos que 
( ) ( )( ) 222 xxarctgtgytg == . 
Assim, ( )( ) 21
1
x
xarctg
dx
d
+
= . 
 
 
 
 
 
Exemplo 34: Obtenha a derivada das seguintes funções: 
 
a) ( ) ( )( )36 += xarctgxf b) ( ) ( )[ ]xarctgxg ln= c) ( ) 





= 2
1
x
arctgxh 
 
Solução. 
a) ( ) ( ) 51818
3
361
6
' 22 ++
=
++
=
xxx
xf 
b) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )xarctgxxxarctgxarctgxarctgxg 22 1
1
1
11
'
1
'
+
=
+
⋅== 
c) ( ) ( ) 434
422
2
1
22
1
'
1
11
1
'
x
x
x
x
x
x
x
xh
+
−=−⋅
+
=











+
=
−
 
 
23. Derivada da função arco cotangente: ( )( )
dx
du
u
ugarc
dx
d
21
1
cot
+
−= 
 
 
Exemplo 35: Calcule a derivada das seguintes funções trigonométricas inversas: 
 
a) ( ) ( )xegarcxf 51 3cot= b) ( ) ( )( )xxgarcxf lncot 22 = c) ( ) ( ) ( )xgarcxsenxf cot3 ⋅= 
 
Cálculo Diferencial e Integral Unidade 4 – Derivadas de Funções de uma Variável 
 
22 
 
Solução. 
 
a) ( ) ( )
x
x
x
x e
e
e
e
xf 10
5
5
101 91
15
'3
91
1
'
+
−=
+
−= 
 
b) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
xx
xxx
xx
x
x
xx
xx
xx
xf 242242242 ln1
ln2ln21
ln1
1
'ln
ln1
1
'
+
+
−=





+
+
−=
+
−= 
 
c) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]'cotcot''3 xgarcxsenxgarcxsenxf ⋅+⋅= 
 ( ) ( ) ( ) ( )








⋅
+
−⋅+⋅=
xx
xsenxgarcxxf
2
1
1
1
cotcos'3 
 ( ) ( ) ( ) ( )( )xx xsenxgarcxxf +−⋅= 12cotcos'3 
 
E12. Mostre que ( )( ) 21
1
cot
x
xgarc
dx
d
+
−= . 
 
24. Derivada da função arco secante: ( )( )
dx
du
uu
uarc
dx
d
21
1
sec
−
= 
 
Demonstração: 
 
Determina-se a derivada de ( )xarcy sec= , escrevendo ( ) xy =sec . 
Derivando ambos lados em relação a x : ( )( )
dx
dxy
dx
d
=sec . 
Através da regra da cadeia: ( ) ( ) 1sec =⋅
dx
dyytgy . 
Isolando 
dx
dy
, obtemos ( ) ( )ytgydx
dy
⋅
=
sec
1
. 
Mas ( ) xy =sec e como ( )ytgy 22 1sec += , então podemos escrever que ( ) 1sec22 −= yytg , ou 
seja, ( ) 1sec2 −= yytg chegamos a 
1sec
1
2
−
=
yxdx
dy
, usando o fato que ( ) xy =sec , obtemos o 
resultado ( )( )
21
1
sec
xx
xarc
dx
d
−
= . 
 
Exemplo 36: Determine a derivada das seguintes funções trigonométricas inversas: 
 
a) ( ) ( )3sec += xarcxf b) ( ) ( )2sec xarcxxg ⋅= c) ( ) ( ) ( )xarcxxh seccos ⋅= 
 
Solução: 
 
a) ( ) ( ) ( )2313
1
'
+−+
=
xx
xf 
b) ( ) ( ) x
xx
xxarcxg 2
1
1
sec1'
42
2
−
+⋅= ⇒ ( ) ( )
4
2
1
2
sec'
x
xarcxg
−
+= 
 
Cálculo Diferencial e Integral Unidade 4 – Derivadas de Funções de uma Variável 
 
23 
 
c) ( ) ( ) ( ) ( )
21
1
cossec'
xx
xxarcxsenxh
−
+⋅−= 
 
25. Derivada da função arco cossecante: ( )( )
dx
du
uu
uec
dx
d
1
1
arccos
2
−
−= 
 
Exemplo 37: Obtenha a derivada das seguintes funções: 
 
a) ( ) ( )3arccos xecxf = b) ( ) ( )[ ]xecxg arccosln= c) ( ) ( )xeecxh 5arccos= 
 
Solução. 
 
a) ( ) ( )
1
3
1
3
'
1
1
'
663
2
3
63
−
−=
−
−=
−
−=
xxxx
x
x
xx
xf 
 
b) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )xecxxxxxecxecxecxg arccos1
1
1
1
arccos
1
'arccos
arccos
1
'
22
−
−=





−
−== 
 
c) ( ) ( )
1
5
1
5
'
1
1
'
10105
5
5
105
−
−=
−
−=
−
−=
xxx
x
x
xx eee
e
e
ee
xh 
 
 
E13. Mostre que ( )( )
21
1
arccos
xx
xec
dx
d
−
−= . 
 
Lista de Exercícios IV 
Derivada de Funções de Uma Variável 
 
1. Calcule a derivada das funções abaixo: 
 
a) ( ) 3234 25 −+−= xxxxf b) ( ) ( )xarcsenxf
x4= c) ( ) ( ) ( )xtgxxf ⋅= ln 
 
d) ( ) ( )3ln 6 += xxxf e) ( ) ( ) ( )xarcsenxxxf ln2= e) ( ) ( )
7235
cosh
34
−+−
=
xxx
x
xf 
 
f) ( ) ( )
2+
+
=
x
exsen
xf
x
 g) ( ) ( )
xe
xx
xf
4cos3 +
= h) ( ) ( )xexf xx 3)cos( log3 ++= 
 
i) ( ) ( ) ( )
x
xsenxx
xf ⋅−= 2
4
 j) ( ) ( )xxf cos= k) ( ) ( )xexf cos= 
 
l) ( ) ( )( ) 41logcos 53 −




+=
x
tgxxf m) ( )








+= xxexf 2cos
1
 n) ( ) ( ) ( )[ ]3ln xtgxxf = 
 
o) ( ) ( )( ) 4+= xextgxf p) ( ) ( )( ) 32 +−= xx xxsenxf q) ( ) ( ) ( )xtgxxxf 53 24 −−= 
 
Cálculo Diferencial e Integral Unidade 4 – Derivadas de Funções de uma Variável 
 
24 
 
r) ( ) ( ) ( )xsenh
x
senxarctgxf x 2195 2 +




−−= s) ( ) ( )
12
2
+
=
x
xsen
xf 
 
2. Dada ( ) 53 23 +−−= xxxxf , obtenha a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de f no 
ponto ( )2,3 . 
 
3. Seja ( ) 22 xxxf −−= . Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f que seja paralela à reta 
4−= xy . 
 
4. Em que ponto a reta tangente à parábola 372 +−= xxy é paralela à reta 035 =−+ yx ? 
 
5. Encontre a equação da reta tangente à curva 134 −−= xy que seja perpendicular à reta 
0112 =−+ yx . 
 
6. Determine, se houver, os pontos da curva 201243 234 +−+= xxxy nos quais a reta tangente é horizontal. 
 
7. Influências externas produzem uma aceleração numa partícula de tal forma que a equação de seu 
movimento retilíneo é ct
t
by += , onde y é o deslocamento e t é o tempo. Responda: 
a) Qual é a velocidade da partícula quando 2=t ? 
b) Qual é a equação da aceleração dessa partícula? 
 
8. Considere as funções 



≥+−
<
=
2,205
2,5)(
xx
xx
xg 
 
a) A função )(xg é contínua? Justifique sua resposta. 
b) A função )(xg é diferenciável? Justifique sua resposta. 
Respostas da Lista IV 
 
1. a) 3
5
4
4
2
3
5
4
xxx
−− b) )4ln()(4
1
4
2
xarcsen
x
x
x
+
−
 c) )(sec)ln()( 2 xx
x
xtg
+ 
d) 
x
x
x
x
2
)3ln(
3
6 6
6
2
11
+
+
+
 e) )ln()(2
1
)ln()(.
2
2
xxxarcsen
x
xx
xarcsenx +
−
+ 
f) 43243
32
5327
)(
)5327(
)cosh()2092(
xxx
xsenh
xxx
xxx
+−+−
+
+−+−
+−
− g) 2)2(
)(
2
)cos(
x
xsene
x
xe xx
+
+
−
+
+
 
h) )3ln(
1)()3ln(3 )cos(
x
xsene xx +− i) 23
434
2
)()2()()24()cos()2(
x
xsenxx
x
xsenx
x
xxx −
−
−
+
−
 
j) 
)cos(2
)(
x
xsen
− k) )()cos( xsene x− l) 
( )
6
5
2
3
1sec5
)3ln(
)(log
x
x
x
xsen
−− 
m) 








−



 + )2ln(22 2
1
1
x
x
xx
x
e
esen n) 
x
xtgx
xtgxx )()(ln3)()(sec)(ln3
32
223 + 
o) [ ] 4))(()(cos)sec())(ln( 4 +++ xex xtgexecxxtg 
p) ( )( ) ( ) [ ]{ }1)1)(ln(2))(ln()cot(3232 −+++−+− xxxsenxxxxsen xxxx x 
Cálculo Diferencial e Integral Unidade 4 – Derivadas de Funções de uma Variável 
 
25 
 
q) ( ) ( ) 





−−
−
+−−−−
53
64)()53ln()(sec53 24
3
24224
xx
xx
xtgxxxxx
xtg
 
r) ( )x
x
x
x
x 2cosh2
1
cos18
)5ln(5
1
1
3
2
2 +






+−
+
 s) ( ) ( )
( )23
22
1212
cos2
+
−
+ x
xsen
x
xx
 
 
 
2. reta tangente: 0228 =−− yx reta normal: 0408 =−+ yx 
3. 03 =+− yx 
4. ( )3,1 −=P 
5. 022 =−− yx 
6. ( ) ( ) ( )20,0,12,2;15,1 −− 
7. a) cbv +−=
4
)2( b) 3
2)(
t
b
ta =