Terceiro Trabalho de Calculo I

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FUNDAC¸A˜O EDSON QUEIROZ
UNIVERSIDADE DE FORTALEZA
CENTRO DE CIEˆNCIAS TECNOLO´GICAS - CCT
Disciplina de Ca´lculo I
Trabalho de Taxa de Variac¸a˜o, Derivac¸a˜o Impl´ıcita e Func¸o˜es Trigonome´tricas
Aluno(a): Matr´ıcula:
1. Quando o prec¸o unita´rio de um produto e´ p reais, a demanda desse produto e´ de x centenas de
unidades. Ale´m disso, a demanda esta´ relacionada com o prec¸o unita´rio atrave´s da equac¸a˜o
x2 + 3px+ p2 = 79
Use a teoria de derivac¸a˜o impl´ıcita para calcular a taxa de variac¸a˜o da demanda com o tempo se o
prec¸o unita´rio e´ R$ 5, 00 e esta´ diminuindo a` taxa de 30 centavos por meˆs.
2. De acordo com a Lei de Ohm, a voltagem V, a intensidade de corrente I e a resisteˆncia R de
um circuito esta˜o relacionadas pala equac¸a˜o
V = IR,
onde as unidades sa˜o volts, ampe`res e ohms, respectivamente. Suponha que a voltagem seja constante
com V = 12 volts. Calcule (especificando as unidades):
(a) A taxa de variac¸a˜o me´dia de I em relac¸a˜o a R ao longo do intervalo de R = 8 a R = 8, 1.
(b) A taxa de variac¸a˜o de I em relac¸a˜o a R quando R = 8.
(c) A taxa de variac¸a˜o de R em relac¸a˜o a I quando I = 1, 5.
3. A poteˆncia P num circuito e´ P = Ri2, onde R e´ a resisteˆncia e i a intensidade de corrente.
Encontre
dP
dt
em t = 2 se R = 1.000 Ω e i varia de acordo com i = sin (4pit) (tempo em segundos).
4. Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es trigonome´tricas.
(a) f (x) = sin (x2 + 4x) (b) f (x) = x cos (1− 3x) (c) f (x) = sin (x2) cos (x2)
(d) f (x) = sin (cosx)) (e) f (x) =
(
cos3 x+ sin2 x+ 7
)9
(f) f (x) =
√
tanx secx
(g) f (x) = cot (cos (cscx)) (h) f (x) = (1 + cot5 (x4 + 1))
10
(i) f (x) =
secx+ tanx
sinx+ cosx
5. O valor V (em milhares de reais) de uma ma´quina industrial pode ser modelado pela func¸a˜o
V (N) =
(
3N + 430
N + 1
)
em que N e´ o nu´mero de horas dia´rias de uso da ma´quina. Suponha que o uso varia com o tempo
de tal modo que
V (t) =
√
t2 + 10t+ 45
em que t e´ o nu´mero de meses de operac¸a˜o da ma´quina.
(a) Quantas horas por dia a ma´quina estara´ sendo usada daqui a 9 meses? Qual sera´ o valor da
ma´quina nessa ocasia˜o?
(b) A que taxa o valor da ma´quina estara´ variando com o tempo daqui a 9 meses? O valor estara´
aumentando ou diminuindo nessa ocasia˜o?
6. Calcule a derivada de y em relac¸a˜o a x, usando derivac¸a˜o impl´ıcita, onde x e y esta˜o relacionados
pelas equac¸o˜es abaixo:
(a) 3x2 + 4y2 + 3xy = 24. (b) sin (x+ y) = x+ cos y
7. Uma escada de 16 pe´s esta´ encostada numa parede. No instante t = 0 a base da escada esta´ a 5
pe´s da parede e se afasta da parede a uma taxa de 3 pe´s/s. Encontre a velocidade do alto da escada
no instante t = 1.
8. Um bala˜o subindo verticalmente e´ observado a 2 milhas de distaˆncia do ponto em que iniciou a
subida. Num dado momento, o aˆngulo entre a linha de visa˜o do observador e a horizontal e´ de pi
5
e
varia a uma taxa de 0, 2 rad/min. Nesse instante, qua˜o ra´pido esta´ subindo o bala˜o?
9. A receita obtida com a venda de um novo tipo de skate motorizado t semanas apo´s o lanc¸amento
do produto e´ dada por
R (t) =
63t− t2
t2 + 63
0 ≤ t ≤ 63
milho˜es de reais.
(a) Expresse R′ (x) .
(b) Use o teste da derivada primeira para decrescimento e crescimento de func¸o˜es e determine para
que valores de t a func¸a˜o R (x) e´ crescente e para que valores de t e´ decrescente.
(c) Use o teste da derivada primeira para extremos locais de func¸o˜es e determine para que n´ıvel de
produc¸a˜o t a receita e´ ma´xima? Qual e´ a receita ma´xima?