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CURSO DE LICENCIATURA EM FÍSICA/MATEMÁTICA PRÓ-LICENCIATURA/UAB 1 a AVALIAÇÃO PRESENCIAL - AP1 � DATA:10/05/2014 � VALOR: 40 PONTOS DISCIPLINA: CÁLCULO III PROFESSOR(A): GRIGORI CHAPIRO ALUNO(A): N o DE MATRÍCULA: POLO: Informações: Esta prova contém quarto questões. A prova deve ser feita sem consulta a qualquer material. Não é permitido usar rascunhos ou calculadoras. A resolução das questões pode ser feita a lápis. Questões sem desenvolvimento não serão corrigidas. Questão 1: Dada função f : R2 → R, f(x, y) = x2 − 2y2 − 1. (a) Encontre a equação da curva de nível de f(x, y) que corresponde ao valor 0. (b) Faça o esboço desta curva de nível. Solução: (a) curva de nível de f(x, y) que corresponde ao valor 0 é x2− 2y2− 1 = 0. Assim a curva de nível é uma hipérbole: {(x, y) ∈ R2, x2 − 2y2 = 1} (b) Esboço da curva x2 − 2y2 = 1: -1 1 x y Pontuação: (a) 15 pts. (b) 10 pts. Parte do desenho 5pts. Questão 2: Determine o domínio de continuidade da função f : R2 → R de�nida por f(x, y) = 1 x2 + (y − 2)2 (x, y) 6= (0, 2) 0 (x, y) = (0, 2) Solução: 1 A função f(x, y) é contínua para todos os pontos onde x2 + (y − 2)2 6= 0 (não anula), portanto basta veri�car se f(x, y) é contínua no ponto (0, 2). Para que a função seja contínua em (0, 2), o limite desta função no ponto (0, 2) tem que existir e ser 0. Temos Fazemos y = 2, temos lim (x,y)→(0,2) f(x, 2) = lim x→0 1 x2 =∞. Ou seja, o limite não existe! Portanto a função f não é contínua em (0, 2) e o domínio de continuidade da função f é {(x, y) ∈ R2, (x, y) 6= (0, 2)}. Pontuação: Erro de conta (-5pts). Resposta sem justi�cativa 0 pts. Quem lembrou da de�nição de continuidade ganhou 10 pts. Questão 3: Dizemos que um par de funções u(x, y) e v(x, y) satisfazem as Equações de Cauchy-Riemann se ∂u ∂x = ∂v ∂y e ∂u ∂y = −∂v ∂x . Veri�que se seguintes pares de funções veri�cam as Equações de Cauchy-Riemann: 1. u(x, y) = x2 − y2 e v(x, y) = 2xy; 2. u(x, y) = −y x2 + y2 e v(x, y) = x x2 + y2 . Solução: Item (1). Calculando as derivadas parciais temos: ∂u ∂x = 2x, ∂u ∂y = −2y, ∂v ∂x = 2y, ∂v ∂y = 2x. Substituindo nas relações de Cauchy-Riemann temos que de fato ∂u ∂x = ∂v ∂y e ∂u ∂y = −∂v ∂x . Item (2). Calculando as derivadas parciais temos: ∂u ∂x = 2xy (x2 + y2)2 , ∂u ∂y = −x2 − y2 + 2y2 (x2 + y2)2 = −x2 + y2 (x2 + y2)2 , ∂v ∂x = x2 + y2 − 2x2 (x2 + y2)2 = y2 − x2 (x2 + y2)2 , ∂v ∂y = −2xy (x2 + y2)2 . Neste caso temos ∂u ∂x = −∂v ∂y e ∂u ∂y = ∂v ∂x . Portanto as relações de Cauchy-Riemann nao são satisfeitas. Pontuação: Item 1. 10 pts. Item 2. 15 pts. Erro de conta (-5pts). Questão 4: Determine o conjunto no qual a função f(x, y) = |x|+ y admite ambas as derivadas parciais. Solução: Existem várias formas de resover esta questão. A mais fácil é: A função f(x, y) pode ser escrita como soma de duas funções f1(x, y) = |x| e f2(x, y) = y, logo as derivadas parciais de f(x, y) existem nas mesmas regiôes onde existem as derivadas parcias de f1 e f2 simultaneamente. Do cálculo 1 sabemos que a funçao f1 não é derivavel apenas em x = 0 e f2 é derivavel em R2 todo. Portando a região é: R = {(x, y) ∈ R2, x 6= 0}. Pontuação: 25 pts. 2
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