Capítulo 06

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Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-1
Estatística
Teoria e Aplicações
5a. Edição
Capítulo 6
A Distribuição Normal e Outras
Distribuições Contínuas
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-2
Objetivos do Aprendizado
Neste capítulo, você irá aprender:
 Calcular probabilidades a partir da distribuição normal.
 Utilizar o gráfico da probabilidade normal para
determinar se um conjunto de dados está distribuído
aproximadamente nos moldes da distribuição normal.
 Calcular probabilidades a partir da distribuição
uniforme.
 Calcular probabilidades a partir da distribuição
exponencial.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-3
Distribuições de 
Probabilidades Contínuas
 Uma variável aleatória contínua é uma variável que 
pode assumir qualquer valor em um conjunto contínuo 
(pode assumir um número incontável de valores)
 Espessura de um item
 Tempo necessário para completar uma tarefa
 Temperatura de uma solução
 Altura
 Estes podem potencialmente assumir qualquer valor, 
dependendo apenas da capacidade de medir com 
precisão e exatidão.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-4
A Distribuição Normal 
Propriedades
 ‘Formato de sino’
 Simétrica
 Média, Mediana e Moda são iguais
 A localização é caracterizada pela média, 
μ
 O espalhamento é caracterizado pelo
desvio padrão, σ
A variável aleatória tem uma amplitude 
teórica infinita: - até +
Média
= Mediana
= Moda
f(X)
μ
σ
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-5
A Distribuição Normal 
Função de Densidade
2
μ)(X
2
1
e
2π
1
f(X)





 

 

 A fórmula para a função de densidade da probabilidade normal é
onde e = constante matemática aproximadamente igual 2,71828
π = constante matemática aproximadamente igual 3,14159
μ = média populacional
σ = desvio padrão populacional
X = qualquer valor da variável contínua
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-6
A Distribuição Normal 
Formato
Variando os parâmetros μ e σ, obtemos 
diferentes distribuições normais
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-7
A Distribuição Normal 
Formato
X
f(X)
μ
σ
Mudando μ muda a distribuição 
para a esquerda ou direita.
Mudando σ aumenta ou
diminui o espalhamento.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-8
A Distribuição Normal 
Padronizada
 Qualquer distribuição normal (com qualquer 
combinação de média e desvio padrão) pode ser 
transformada na distribuição normal 
padronizada (Z).
 É necessário transformar as unidades de X em
unidades de Z.
 A distribuição normal padronizada tem média 0 e 
desvio padrão 1.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-9
A Distribuição Normal 
Padronizada
σ
μX
Z


 Transforme X em unidade normal padronizada (a 
distribuição “Z”), subtraindo a média de X e 
dividindo pelo seu desvio padrão:
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-10
A Distribuição Normal Padronizada: 
Função de Densidade
2
Z2
e
2π
1
f(Z)


 A fórmula para a função de densidade de probabilidade 
normal padronizada é
onde e = constante matemática aproximadamente igual 2,71828
π = constante matemática aproximadamente igual 3,14159
Z = qualquer valor da distribuição normal padronizada
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-11
A Distribuição Normal Padronizada: 
Formato
Z
f(Z)
0
1
 Tanbém conhecida como distribuição “Z”
 Média igual a 0
 Desvio padrão igual a 1
Valores acima da média têm Z valores positivos, valores 
abaixo da média têm Z valores negativos.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-12
A Distribuição Normal 
Padronizada: Exemplo
2,0
50
100200
σ
μX
Z 




 Se X é distribuído normalmente com média 100 e 
desvio padrão de 50, o valor Z para X = 200 é
 Este diz que X = 200 é de dois desvios-padrão
(2 incrementos de 50 unidades) acima da média de 
100.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-13
A Distribuição Normal 
Padronizada: Exemplo
Z
100
2,00
200 X (μ = 100, σ = 50)
(μ = 0, σ = 1)
Note-se que a distribuição é a mesma, apenas a escala 
foi alterada. Podemos expressar o problema em 
unidades originais (X) ou em unidades padronizadas (Z)
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-14
Probabilidade Normal
a b
f(X)
(Note-se que a 
probabilidade de qualquer 
valor individual é zero)
Probabilidade é medida pela área sob a curva
P(a ≤ X ≤ b)
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-15
Probabilidade Normal
A área total sob a curva é de 1,0 e a curva é simétrica, 
então metade está acima da média, e a outra metade 
está abaixo.
f(X)
0,50,5
1,0)XP( 
0,5)XP(μ 
0,5μ)XP( 
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-16
Tabela de Probabilidade Normal
Exemplo: 
P(Z < 2,00) = 0,9772
 A tabela de Probabilidade Normal Padronizada
no livro-texto (Apêndice tabela E.2) fornece a 
probabilidade à esquerda do valor desejado de Z 
(i.e., de menos infinito até Z).
Z0 2,00
0,9772
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-17
Tabela de Probabilidade Normal
O valor dentro da tabela
fornece a probabilidade de 
Z =   até o valor 
desejado de Z.
0,9772
2.0P(Z < 2,00) = 0,9772
A linha mostra o 
valor de Z até 
a primeira 
casa decimal
A coluna dá o valor de Z até a 
segunda casa decimal
2,0
.
.
.
Z 0,00 0,01 0,02 …
0,0
0,1
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-18
Procedimento para encontrar
a Probabilidade Normal 
 Desenhe a curva normal para o problema em termos de X.
 Transforme os valores de X para valores de Z.
 Use a Tabela Normal Padronizada.
Para encontrar P(a < X < b) quando
X é distribuído normalmente:
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-19
Determinando a Probabilidade
Normal: Exemplo
 Se X representa o tempo que leva (em segundos) para 
baixar um arquivo de imagem a partir da internet.
 Suponha que X segue uma distribuição normal com 
média 8,0 e desvio padrão 5,0
 Encontre P(X < 8,6)
X
8,6
8,0
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-20
Determinando a Probabilidade
Normal: Exemplo
0,12
5,0
8,08,6
σ
μX
Z 




 Suponha que X segue uma distribuição normal com média
8,0 e desvio padrão 5,0. Determine P(X < 8,6).
Z
0,120
X
8,68
μ = 8
σ = 10
μ = 0
σ = 1
P(X < 8,6) P(Z < 0,12)
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-21
Determinando a Probabilidade
Normal: Exemplo
Z 0,00 0,01 0,02
0,0 0,5000 0,5040 0,5080
0,1 0,5398 0,5438 0,5478
0,2 0,5793 0,5832 0,5871
0,3 0,6179 0,6217 0,6255
Tabela de Probabilidade
Padronizada (Parte)
Z
0,120
μ = 0
σ = 1
0,5478
= P(Z < 0,12)
P(X < 8,6)
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-22
Determinando a Probabilidade
Normal: Exemplo
 Determine P(X > 8,6)…
P(X > 8,6) = P(Z > 0,12) = 1,0 - P(Z ≤ 0,12)
= 1,0 – 0,5478 = 0,4522
Z
0.12
0
0,5478
1,0 – 0,5478 = 0,4522
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-23
Determinando a Probabilidade
Normal entre dois valores
 Suponha que X segue uma distribuição normal com média
8,0 e desvio padrão 5,0. Determine P(8,0 < X < 8,6)
P(8 < X < 8,6)= P(0 < Z < 0,12)
0
5
88
σ
μX
Z 




0,12
5
88,6
σ
μX
Z 




Calculando os valores de Z:
Z0,120
X8,68
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-24
Determinando a Probabilidade
Normal entre dois valores
Z 0,00 0,01 0,02
0,0 0,5000 0,5040 0,5080
0,1 0,5398 0,5438 0,5478
0,2 0,5793 0,5832 0,5871
0,3 0,6179 0,6217 0,6255
Tabela de Probabilidade
Padronizada (Parte)
Z
0,12
0,0478
0,00
= P(0 < Z < 0,12)
P(8 < X < 8,6)
= P(Z < 0,12) – P(Z ≤ 0)
= 0,5478 – 0,5000 = 0,0478
0,5000
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-25
Dado a Probabilidade Normal, 
Determine o Valor de X
 Se X representa o tempo que leva (em segundos) para baixar um 
arquivo de imagem a partir da internet.
 Suponha que X segue uma distribuição normal com média 8,0 e 
desvio padrão 5,0
 Determine X de tal forma 20% seja a probabilidade associada ao tempo 
para baixar um arquivo de imagem.
X
? 8,0
0,2000
Z
? 0
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-26
Dado a Probabilidade Normal, 
Determine o Valor de X
 Primeiro, determine o valor de Z que corresponde a 
probabilidade conhecida usando a tabela.
Z …. 0,03 0,04 0,05
-0,9 …. 0,1762 0,1736 0,1711
-0,8 …. 0,2033 0,2005 0,1977
-0,7 …. 0,2327 0,2296 0,2266
X
? 8,0
0,2000
Z-0,84 0
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-27
Dado a Probabilidade Normal, 
Determine o Valor de X
 Segundo, converta o valor de Z para
unidades de X usando a fórmula.
80,3
0,5)84,0(0,8
ZσμX



Assim, 20% do tempo para baixar um arquivo com distribuição 
normal com média 5,0 desvio 8,0 e padrão são menores de 3,80 
segundos.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-28
Avaliando a Normalidade
 É importante avaliar como o conjunto de dados 
segue uma distribuição aproximadamente normal.
 Dados normalmente distribuídos deve se aproximar 
da distribuição teórica normal:
 A distribuição normal é em forma de sino 
(simétrico), onde a média é igual à mediana.
 A regra empírica aplica-se a distribuição normal.
 A amplitude interquartil de uma distribuição normal 
é 1,33 desvios padrão.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-29
Avaliando a Normalidade
 Construa tabelas ou gráficos
 Para conjuntos de dados de pequeno e médio porte, o 
gráfico de ramo e folhas e o gráfico de caixa mostram-
se simétricos?
 Para conjuntos de dados de grande porte, o histograma
e o polígono mostram um formato de sino?
 Calcule as medidas do resumo descritivo
 A média, a mediana e a moda têm valores similares?
 A amplitude interquartil é de aproximadamente 1,33 σ?
 A amplitude é de aproximadamente 6 σ?
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-30
Avaliando a Normalidade
 Observe a distribuição do conjunto de dados
 Aproximadamente 2/3 das observações situam-se no 
intervalo média ± 1 desvio padrão?
 Aproximadamente 80% das observações situam-se no 
intervalo média ± 1,28 desvios padrão?
 Aproximadamente 95% das observações situam-se no 
intervalo média ± 2 desvios padrão?
 Avalie o gráfico de probabilidade normal
 O gráfico de probabilidade normal é aproximadamente
linear com inclinação positiva?
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-31
Gráfico de Probabilidade Normal
 Gráfico de probabilidade normal (etapas):
 Organizar os dados em um conjunto ordenado.
 Determine os valores correspondentes da variável
normal padronizada (Z).
 Construa o gráfico com os pares de pontos no qual os
valores dos dados observados (X) são colocados no eixo
vertical e os valores da variável normal padronizada (Z) 
no eixo horizontal.
 Avalie o gráfico para evidenciar a linearidade.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-32
Gráfico de Probabilidade Normal
30
60
90
-2 -1 0 1 2 Z
X
Um gráfico de probabilidade normal para os dados de uma 
distribuição normal é aproximadamente linear:
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-33
Gráfico de Probabilidade Normal
Assimétrico à esquerda Assimétrico à direita
Retangular
30
60
90
-2 -1 0 1 2 Z
X
30
60
90
-2 -1 0 1 2 Z
X
30
60
90
-2 -1 0 1 2 Z
X
Gráficos não lineares indicam
desvio da normalidade
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-34
A Distribuição Uniforme
 A distribuição uniforme é uma distribuição de 
probabilidade que tem probabilidades iguais 
para todos os possíveis resultados da variável 
aleatória.
 Devido à sua forma, também é chamado de 
distribuição retangular.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-35
A Distribuição Uniforme
A Distribuição Uniforme Contínua:
posição outraqualquer em 0 
bXas
ab
1


e
onde
f(X) = valor da função de densidade para qualquer valor de X 
a = valor mínimo de X
b = valor máximo de X
f(X) =
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-36
A Distribuição Uniforme
2
ba
μ


12
a)-(b
σ
2

 A média da distribuição uniforme é :
 O desvio padrão é:
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-37
A Distribuição Uniforme
Exemplo: Distribuição de probabilidade
uniforme no intervalo 2 ≤ X ≤ 6:
4
2
62
2
ba
μ 




1547,1
12
2)-(6
12
a)-(b
σ
22

f(X) = = 0,25 for 2 ≤ X ≤ 66 - 2
1
2 6
0,25
X
f(X)
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-38
A Distribuição Exponencial
 Usado para modelar a extensão de tempo entre duas
ocorrências de um evento (o tempo entre chegadas)
 Exemplos: 
 Tempo entre os caminhões que chegam a um 
cais de descarga
 Tempo entre as operações de uma máquina 
ATM
 Tempo entre telefonemas para o principal 
operador
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-39
A Distribuição Exponencial
Xe1X)chegada próxima da antes P(tempo λ
 Definido por um único parâmetro, sua média λ (lambda)
 A probabilidade em que um tempo de chegada é menor
que algum tempo especificado X é
onde e = constante matemática aproximadamente igual a 2,71828
λ = a média aritmética do número de chegadas por unidade
X = qualquer valor da variável contínua onde 0 < X < 

Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-40
A Distribuição Exponencial
Exemplo: Os clientes que chegam ao balcão de atendimento 
à taxa de 15 por hora. Qual é a probabilidade de que o tempo 
de chegada entre os clientes consecutivos seja menor que 
três minutos?
 O número médio de chegadas por hora é 15, então λ = 15
 Três minutos corresponde a 0,05 horas
 P(tempo de chegada < 0,05) = 1 – e-λX = 1 – e-(15)(0,05) = 
0,5276
 Portanto, há uma probabilidade 52,76% que o tempo de 
chegada entre os clientes sucessivos seja menor que três 
minutos
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 6-41
Sumário do Capítulo
 Apresentado as distribuições contínuas
 normal, uniforme, exponencial
 Determinado probabilidades usando fórmulas e 
tabelas
 Reconhecer quando aplicar diferentes distribuições
 Aplicar distribuições a problemas de decisão
Neste capítulo, temos